henryharry2 研究的只是曲面本身的内在的性质，而不依赖于曲面在空间中是怎么弯曲的

来源: marketreflections 于 2011-01-17 17:34:06 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (1840 bytes)

内蕴几何内蕴几何简单地就是曲面上的几何。内蕴几何这名词的本身的意义是说，研究的只是曲面本身的内在的性质，而不依赖于曲面在空间中是怎么弯曲的。内蕴几何最简单的情形之一是球面几何，球面乃是空间中最完美匀称的曲面。两个半径相等的球面可以用一个平移把它们叠合起来，而两个半径不相等的球面所相差者就是放大或缩小这种相似变换，由此可见本质性的球面几何可以归纳到单位半径的球面来讨论。再者，在古典天文学的讨论中，观察星星的方向可以用单位球面上的一个点来标记它，而两个方向之间的角度则相应于单位球面上两点之间的球面距离。这也就是为什么古希腊天文学和几何学总是合为一体的，而且古希腊的几何学家对于球面三角学的投入程度要远远超过他们对于平面测量学的兴趣。

内蕴几何的众所周知的例子就是球面几何，在测量地球表面内我们实质上就要用到它，这个例子特别适宜于说明内蕴几何的本质；事实上，由于地球有很大的半径而把直接看到的一块平面理解成平的，因而在测量很大的距离时而观察到的与平面几何的差异就出现在我们面前。从现代的观点来看，球面几何乃是空间几何中蕴含在正交子群的部分，而向量几何则是空间几何中蕴含在平移子群的部分，而且两者又密切相关、相辅相成，例如向量运算都是正交协变的，所以向量代数又是讨论球面几何的简明有力的利器。球面三角学研究球面三角形的各种各样几何量如边长、角度、面积、外接圆和内切圆的半径等等的相互关系。

黎曼空间的最简单的例子是具有其内蕴几何的任何光滑曲面，曲面的内蕴几何是二维的黎曼几何。实际上，光滑曲面在其每个点邻近与切平面很少差异，而且当我们讨论的曲面区域越小时，这个差异也就越小；所以在曲面的微小区域里的几何与平面上的几何很少差异，而且区域越小，这个差异也越小；然而在较大的区域里，曲面的几何显得也欧几里德几何不同。黎曼几何不是别的，正是曲面的内蕴几何从二维到任何n维的推广。近年来，各种非欧几里德空间的几何学在各个方向都得到重大的发展和推广，产生了包括黎曼几何作用特别情形的一个新的理论，其中之一是伟大的法国几何学家Cartan的联结了黎曼几何与Klein的爱尔朗根纲领的空间的一般理论。

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