物理数学好图：第二篇有限自由度的古典力学

来源: marketreflections 于 2010-11-22 17:43:18 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (44903 bytes)

http://tpg.sysu.edu.cn/new/websource/src1/%E7%AC%AC%E5%9B%9B%E7%AB%A0%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BD%9C%E7%94%A8%E9%87%8F%E5%8E%9F%E7%90%86.pdf

80
第二篇有限自由度的古典力学
古典力学的研究对象是质点，质点的运动过程表现为一条运动轨迹。古典力学的目的就
是研究影响质点运动轨迹的各种因素，并求出质点的运动轨迹。本篇主要介绍两种古典力学
的形式结构，一种称为拉格朗日（J.L. Lagrange，法国-意大利，1736-1813）程式，另一种
为哈密顿（W.R. Hamilton, 爱尔兰，1805-1865）程式。泊松（S.D. Poisson, 法国，1781-1840）
括号程式也会简单提及。对给定势场下的有限自由度系统，这三套抽象程式和牛顿第二定律
都是等价的。我们将把最小作用原理作为整个力学形式结构的基石。拉格朗日程式以拉格朗
日量为出发点，推导出质点运动轨迹所满足的微分方程（第四章）。哈密顿程式以哈密顿量
为出发点，得到正则运动方程组，并进一步引入泊松括号（第五章）。
自爱因斯坦以来，对称性成了除实验之外人们建立基本相互作用理论的最主要的依据。
拉格朗日量拥有系统所有的对称性，最能体现对称性对系统模型的限制，因此寻找拉格朗日
量通常比寻找牛顿第二定律的力函数容易。力的概念涉及力的作用点，对多自由度系统尤其
麻烦。找出描写一切物理相互作用的统一拉格朗日量是爱因斯坦的梦想。尽管这个梦想还没
有实现，但希望仍然存在，并且仍然有很多杰出的物理学家为之奋斗。哈密顿程式特别适合
于描写稳定系统和平衡状态，因为哈密顿量本身对应着时间平移不变的守恒量——能量。在
量子力学和平衡态统计物理中广泛使用哈密顿量这个概念。泊松括号程式把运动方程表达为
代数关系，在量子力学中也有重要应用。
尽管本篇介绍的基本原理可以推广到广义相对论弯曲时空的情形，但是为了简明，只考
虑平坦的欧几里德时空。
第四章 最小作用原理
对约束系统和系统的整体性质，最小作用原理比牛顿第二定律更方便。已知有些相互作
用涉及空间整体拓扑结构，不能用力来描写，却可以纳入最小作用原理中。把最小作用原理
推广到无穷多自由度情形是很方便的。最小作用原理适用于任意自由度数目的系统，包括无
穷多自由度的场。但对无穷多自由度系统存在非常困难的技术问题，涉及到收敛性和解的存
在性等。所以本篇局限于有限自由度系统。相互作用本质也非本教程的讨论范围，我们将假
设相互作用由已知的势场给出。势场可以是自由度之间的相互作用势，也可以是外势。
4.1 作用量、拉格朗日量和最小作用原理
(1)最小作用原理
就质点的没有限制的空间运动而言，每个质点有3 个自由度，N 个质点就有n = 3N 个
自由度。在欧几里德空间中，这些自由度可以选为每个质点位置的笛卡儿坐标。有约束系统
的自由度n会比3N 少。能够确定系统各质点位置的数目最少的一组变量称为广义坐标，记
为q = {qα |α = 1,2,L,n}。已知一组广义坐标q，作坐标变换q′ = f (q)，只要函数（组）
f (q)连续可微可逆，就得到另一组广义变换q′。因此，存在无穷多组广义坐标。但每套广
义坐标的变量数目n 是固定的（如果两套广义坐标的变量数目不同，它们之间就不可能存在
可逆的变换），称为系统的维数。系统的位置形状（简称位形）和广义坐标一一对应，构成
81
所谓位形空间。
按照古典力学的基本假设1，系统某时刻（ 0 t ）从A q 开始，到另时刻（ 1 t ）运动到B q ，
中间所经历的轨迹q(t)是唯一的（为了排除大范围运动可能出现多于一条可能轨迹的特殊
情形，我们可以加上B q 和A q 相距不太远的限制）。古典力学的目标就是要从连接A q 和B q 的
所有满足给定约束条件的轨迹（ l ）中找出一条满足力学规律的“真实”轨迹（ c l ）来（图
3-9 和图4-1 中的实线）。因此，势必需要一个和轨迹联系起来的物理量，通过这个物理量的
大小来判断轨迹是否真实。一个自然的想法是：对任意一条假象的轨迹l（可能是非物理的，
但满足给定约束条件，如初始和末尾位置、运动的范围等），引入一个轨迹的函数S [l] AB （物
理上称为作用量（action），数学上称为泛函），让这个轨迹的函数当轨迹取为真实轨迹c l 时
达到极小值2，即对任意[ ] [ ] c l ≠ l ，有S [l ] S [l] AB c AB B t ,q 1
( ) C C q t
A t ,q 0
考虑图 4-1 的轨迹。对给定初始位置A q 和末尾位置B q ，由AB S 极小定出一条物理真实
的轨迹，用实线表示。取真实轨迹中任一点（ C q ），则从A q 到C q 的实线和从C q 到B q 的实
线都是真实的，而且从C 到B 的轨迹对从A 到C 的轨迹没有影响（因果关系）。如此， AB S
极小必然导致AC S 和CB S 都取极小。与此一致，有
AB AC CB S = S + S （4.1）
对作用量数学性质的一个自然假定是把（4.1）式推广到任意连接A 和B 的轨迹（包括非物
理的），即可加性假设：对一条给定的轨迹作用量满足（4.1）式，其中C 点是该轨迹上任
意一点。作用量的这个重要性质根源于物理经验：给定质点初始和末尾的位置，真实轨迹便
唯一地被确定；等价说法是，质点任一点的位置和速度唯一确定真实轨迹（牛顿决定论，见
1.4 节）。
设想把连接A q 和B q 的轨迹分成N+1小段，让N趋向无穷（C = A 0 ，C B N = +1 ）。根
1 这个假设在量子力学层次是不对的，见第四篇。
2让S 取极大也可以，只要能把真实轨迹和其他轨迹区分开就可以。
图 4-1. 从0 t 时刻在A q 起，在1 t 时刻到达
B q 的可能轨迹。其中有唯一的一条物理真
实轨迹，用实线表示。( ) C C q t 是物理轨迹
途经的某一点。
82
据可加性（4.1）式，作用量可写成一个时间的积分
Σ = ∫
Δ
= Δ
=
+
B
A
i i
t
l
t
N
i
C C
AB L t dt
t
S
S l t
( )
0
[ ] 1 ( ) （4.2）
其中Δt = (t − t ) /(N +1) B A ，t t i t A = + Δ 。式中引入了函数
t
S
L t CiCi
Δ
( ) = +1 ，它是描写系统
力学特性的一个重要的特征函数，称为拉格朗日量（Lagrangean）。如果系统是稳定性的，
则拉格朗日量不显含时间t 。
作为古典力学的基本假设，系统运动轨迹满足的动力学方程由作用量的极值条件给出3。
最小作用原理：对给定的初-末态，系统的真实物理演化轨迹使作用量取极
值。
(2)变分和拉格朗日方程
如何由最小作用原理导出运动方程呢？数学的方法称作变分(variation)。在应用这个强
有力的方法求运动方程之前，让我们看一个著名的变分问题。
◆例4-1. 在垂直平面内给定两点A 和B，找出轨迹AMB，使得动点M 以最短的时间滑过该
轨迹。假定动点的加速度仅仅来自重力的作用4。
【解】让我们取起点A 作为坐标系的原点，X 轴和Y 轴如图4-2。假定质量为m 的质点起始
时速度为零。依题意质点沿轨迹下滑没有受到摩擦力。记质点位置到原点的轨迹长度为s ，
则
ds = dx2 + dy2 = 1+ y′2 dx （例4.1）
质点的速率为υ = ds / dt。总的下降时间为
∫ ∫ + ′
= = B xB
A
I ds y dx
0
1 2
υ υ
（例4.2）
由能量守恒定律得
m 2 = mgy
2
1 υ （例4.3）
从上式解出υ 并代回（例4.2）,把总下降时间写成一个y(x)的泛函(即函数的函数)
3 通常假定变分路径是由每一时刻坐标的一个独立的小变化构成，时间的变分等于零，这称为等时变分。
等时变分下的最小作用原理一般称为哈密顿原理。
4 这是 1696 年伯努利（Joham Bernouli）提出并解决的最速降线问题。
X
Y
B ( , ) B B x y
A (0,0)
M(x, y)
图 4-2 最速下降轨迹。
83
∫ + ′
= xB dx
y
y
g
I y
0
1 2
2
[ ] 1 （例4.4）
问题转化为寻找一个函数y(x) ,使I[ y]取极小值。其解为所谓摆线方程（习题【4.2】）。
■
作用量AB S 的变分（记为AB δS ）是轨迹作无限小假想变化所引起的作用量S 的变化，
S [l] S [l ] S [l] AB AB AB δ = ′ − （4.3）
其中 l′是与l 无限接近的轨迹。作用量取极值的条件是
S [l] = 0 AB δ （4.4）
根据最小作用量原理，此式给出运动方程。
记住下面的变分规则是方便的，实际上本讲义只用到这些变分运算规则。设α A ，
（α = 1,2,L），是q(t)的一些函数A (q(t)) α 或者泛函A [q] α 。例如拉格朗日量L(q,q&,t)是
q、q&和t的函数，而作用量S[q]则是q(t)的泛函5。当函数q(t)发生无限小变化δq(t)时，
和q(t)有关的量发生的变化，即变分，满足以下变分规则：
( + +L) = + +L 1 2 1 2 δ A A δA δA （4.5）
( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 δ A A = δA A + A δA （4.6）
( ) ( )
( )2
2
1 2 1 2
2
1
A
A A A A
A
A δ δ
δ
−
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
（4.7）
如果 f (A (q(t))) α 是q(t)的复合函数，并且通过q(t)成为t的复合函数，则
( ) α
α
α δ δA
A
f A f
∂
∂
= （4.8）
我们只考虑函数q(t)的变分发生在同一时刻，即所谓等时变分（前注3），因此
δt = 0 （4.9）
δ (dA(q(t))) = d(δA(q(t))) （4.10）
关于（4.10）式的证明参见附录4-1。
5 若 α A 是q(t)的函数，则它是t的复合函数，所以记为A (q(t)) α 。若α A 是q 的泛函，则它是由所有t
的函数值（即整个函数q）所决定的，不是t的复合函数。本书中泛函总是用方括号表示， A [q] α 。
84
下面根据最小作用原理（哈密顿原理）用变分法求运动方程。设系统从t = tA的初态，
α α
A A q (t ) = q ，演化到B t = t 时刻的末态， α α
B B q (t ) = q ，（α = 1,2,L,n）。利用（4.5）和（4.9）
式，
δS =δ ∫ Ldt = ∫(δL)dt （4.11）
拉格朗日量一般是q、q&和t的函数（见（4.14）式后的讨论），写成L(q,q&,t)。利用（4.8）
式，
α
α
α
α
α
α α
α
α
α
α
δ δ
δ
δ δ δ
A
A
A A A
B
B
B B B
t
t
t
t
q
q
q L q q t
q
L q q t
q dt
q
L q q t
dt
d
q
L q q t
q dt
q
q L q q t
q
S L q q t
B
A
B
A
&
&
&
&
&
& &
&
&
& &
∂
∂
−
∂
∂
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
=
∫
∫
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
（4.12）
式中隐含对α 求和。在第二步应用了（4.10）式，
α
α
δ α δ δq
dt
d
dt
q& = dq = （4.13）
因为 = = 0 A B δq δq ，（4.12）式简化为
∫ ⎥⎦ ⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
=
B
A
t
t
AB q dt
q
L q q t
dt
d
q
S L q q t α
α α δ δ
&
( , &, ) ( , &, )
因为 δqα 是t任意函数，所以
( ) 0
( , , )
/
( , , )
=
∂
∂
−
∂
∂
α qα
t
dt
L q dq
dq dt
t
dt
L q dq
dt
d
（4.14）
这就是运动方程，称为拉格朗日方程。它是关于时间的二解微分方程，由初始位置和初始速
度就可以确定其解，和牛顿决定论一致。如果拉格朗日量含有比速度更高阶的时间导数，则
运动方程（4.14）成为高于二阶的微分方程，牛顿决定论不能成立。
以最小作用原理为出发点的理论力学首先要写出拉格朗日量。而用牛顿第二定律描写系
统则要写出系统受到的受力。通过拉格朗日量和最小作用原理所获得的运动方程（4.14）应
该和上一篇的牛顿力学的第二定律等价。如果已知牛顿的力函数，即知道牛顿第二定律给出
的运动方程，写出相应的拉格朗日量是很容易的。但更方便的做法通常是反过来，先寻找拉
格朗日量，再导出运动方程。本质上，势是比力更普遍的概念。已知有不能用力来描写的相
互作用，而用势可以描写。寻找物理系统的拉格朗日量或寻找力函数本质上都是建立物理模
型的过程，需要对相互作用的性质有所了解，考虑实验和物理合理性（如协变性、对称性等）
的限制。关于相互作用的了解或者直接来源于实验，或者从受过实验检验的更基本的相互作
85
用模型中演绎出来。对一个相互作用不清楚的系统，建立它的势模型常常比建立它的受力模
型容易。这是理论物理常采用拉格朗日程式的原因之一。此处将不对相互作用的本质进行讨
论，而假设描写相互作用的势是已知的。
(3)基本模型
A. 单质点模型
如果系统除了引力相互作用之外没有受到其他的相互作用，附录4-3 给出由广义相对论
得到的拉格朗日量。它在非相对论极限下自然给出质点在引力场ϕ (x)中的拉格朗日量
( )
2
L(x, x&) = 1 mx&2 − mϕ x （4.15）
此即我们熟悉的质点动能和引力势能之差。如果不熟悉相对论，可以验证它与牛顿力学等价，
从而对（4.15）式的正确性建立起信心。没有引力场是最简单的情况，由ϕ = 0容易验证最
小作用原理给出的运动方程为
&x& = 0 （4.16）
即匀速直线运动，和牛顿力学的惯性原理是一致的。如果有弱的静止引力场，（4.14）和（4.15）
导致的运动方程为
&x& = −∇ϕ (x) （4.17）
和牛顿理论一样。
B. 多质点封闭系统
先考虑只有引力相互作用的封闭质点系统。N 个质点组成的封闭系统共有n = 3N 个笛
卡儿坐标{xi | i = 1,2,3;λ = 1,2,L,N} λ ，其中i 是空间指标，λ 是质点编号。（4.15）式推广
为（参见关于（4.30）式的讨论）
Σ=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
= ⎡ −
N
L t t m x m
1
2 ( )
2
( ( ), ( )) 1
λ
λ λ λ λ x x& & ϕ x （4.18）
其中 ( ) λ ϕ x 是质点λ 在λ x 处的引力场强，理解为质点只受给定的引力场作用而质点间没有
直接相互作用（参看第一篇1.7 节（1.52）式后面的讨论）。需要指出的是，在（4.18）式中
的( ) λ ϕ x 假定只依赖于λ x 而与其他质点的位置无关，故代入拉格朗日方程（4.14）式时
( ) λ ϕ x 对α x （α ≠ λ ）的导数等于零。用第一篇1.7 节（1.49）式把( ) λ λ m ϕ x 写成
Σ Σ
≠ ≠
= −
−
= −
( ) ( )
( ) ~ ( ~ )
α λ
α
λ α
α λ
α λ α
λ α
λ λ ϕ x x
x x
m x G m m V N （4.19）
其中 α x ~ 其实就是α x ，这里加上波纹线是表示代入拉格朗日时不把它作为变量求导。如果把
质点受引力场作用的观点换成质点间直接相互作用的观点，即把α x ~ 换成α x ，代入拉格朗日
方程时就会比前面将( ) λ ϕ x 看作仅依赖λ x 多出一个因子2 来。为了保证拉格朗日方程不变，
86
代替（4.18）式Σλ
λ λ m ϕ (x )要用
Σ Σ
≠
= − = −
λ α
λ α
λ α
λ α
,
1 2 ( ) ( )
2
V (x , x , , x ) 1 V x x V x x L N （4.20）
最后一项是对所有不同的质点对求和。（4.20）式实际上就是质点系的总引力势能。
对一般的非相对论 N 质点系统，使用笛卡儿坐标，拉格朗日量具有如下一般形式，
( , , , , )
2
( ( ), ( ), ) 1 1 2
1
L t t t m x2 V t N
N
x x x x x L & & − =Σλ =
λ λ （4.21）
不同的相互作用体现在不同的势函数 ( , , , , ) 1 2 V t N x x L x 中。对于某一类系统（保守系统），
我们将证明第一项是系统的动能，第二项是系统的势能。我们将称V 为势函数，尽管有些
场合它没有势能的意义。其中( , , , , ) 1 2 V t N x x L x 仅依赖于某一瞬间的质点坐标，反映此模
型是瞬时相互作用的非相对论模型。由于我们已经作了低速的牛顿近似，由（4.21）式得到
的运动方程没有洛伦兹协变性，但它必须有伽利略协变性。
(4) 力和拉格朗日量的形式
把（4.21）式代入拉格朗日方程（4.14），得到
i
i
x
m x V x t
λ
λ λ ∂
∂
= − ( , ) && ， (i =1,2,3; λ =1,2,L,N) （4.22）
式中 x 是所有质点坐标的缩写。对每一个质点，每一个坐标分量都有一条（4.22）形式的运
动方程。共有n（=3N）条二阶微分方程，通解有2n 个任意常数。给定n 个初始坐标和n
个初始速度后，可以唯一确定系统的运动。将（4.22）写成三维矢量的形式，
m V (x,t) λ λ λ &x& = −∇ （4.23）
其中 λ ∇ 表示对第λ 个质点的坐标求梯度。只要把右边定义为质点受到的力，（4.23）便和牛
顿第二定律一样。因此，第λ 个质点受到的力为
V (x,t) λ
f λ = −∇ （4.24）
如果质点受到均匀的力作用，即 f λ 与质点的坐标无关，那么相应的势函数可以写成
Σ=
= − ⋅
N
V
λ 1
λ
f λ x （4.25）
这个例子说明，知道力函数后可以写出拉格朗日量。
在很多问题中，笛卡儿不是最方便的坐标。考虑任意坐标变换
λ λ (q1,q2 ,L,qn ) x = x （4.26）
一般（4.26）式限制为连续可微函数。新坐标{qα |α = 1,2,L,n}必须和笛卡儿坐标
87
{ |λ = 1,2,L,N} λ x 之间存在一一对应的关系，所以n = 3N 。利用
Σ=
∂
∂
=
n
q
α 1 q
α
α λ
λ & & x x （4.27）
代入（4.21）式得到任意坐标下拉格朗日量的一般形式
( ) ( , )
2
( , ) 1
,
L q q = Σc q q q −V q t
α β
α β
αβ & & & （4.28）
注意，第一项（所谓动能项）是广义速度的二次函数，其系数c (q) αβ 与{q& |α = 1,2,L,n} α 无
关，而且αβ βα c = c ，
Σ Σ
= ∂
∂
∂
∂
=
λ
β
λ
α
λ
αβ λ
3
i 1
i i
q
x
q
c m x （4.29）
4.2 关于拉格朗日量的一般讨论
（1）对称性
因为拉格朗日量决定了系统的运动，所以系统的对称性必然包含在拉格朗日量之中。
一般来说，拉格朗日量的对称性不应该比系统在各种边界条件以及初始条件给定后所拥有的
对称性少（关于对称性的详细讨论见第五章）。在非相对论理论中，拉格朗日量要在惯性系
中定义。它在伽利略变换下的变化不能影响运动方程的形式。
（2）可加性
考虑两个系统A 和B，他们分别具有拉格朗日量A L 和B L 。假设两个系统之间没有相
互作用，例如相距无限远，那么A 系统的运动方程由A L 完全确定而与系统B 的存在无关，
反之亦然。所以两个没有相互作用的系统合起来的总拉格朗日量必然是子系统拉格朗日量之
和，
A B L = L + L （4.30）
拉格朗日量的可加性显然可以推广到任意个无相互作用的系统。这是写出（4.18）式的根据。
（3）任意性
如果两个拉格朗日量仅相差时间和坐标函数的时间导数，
( , , ) ( , , ) f (q,t)
dt
L′ q q& t = L q q t + d （4.31）
其中 f (q,t)是任意的只依赖于t时刻和q(t)的函数（与其它时间无关），则作用量
88
( ( ), ) ( ( ), )
( , , ) ( , , ) ( , )
B B A A
t
t
t
t
t
t
S f q t t f q t t
dt
dt
S L q q t dt L q q t dt df q t
B
A
B
A
B
A
= + −
′ = ∫ ′ & = ∫ & + ∫
（4.32）
上式后两项为常数项，故两个拉格朗日量导出的运动方程一样。也就是说，拉格朗日量可以
增减时间和坐标函数的时间导数，不改变其物理内容。拉格朗日量增加或减少一个常数属于
其特例，也不改变物理内容。
（4）非相对论自由质点的拉格朗日形式
非相对论自由质点假定为没有受到任何相互作用（包括引力相互作用）影响的质点。
它的拉格朗日量可以从广义相对论的弱场近似结果（4.15）式中进一步取引力势为零而得到。
从非相对论的伽利略相对性原理和空间的均匀性和各向同性也可以得到同样的结果（参看附
录4-2）。
（5）惯性质量的任意性
拉格朗日方程是拉格朗日量的齐次函数，所以经典力学的拉格朗日量可以乘上任意一个
非零常数。因此非相对论理论中的单个自由质点的惯性质量不确定。对于多个质点组成的系
统，如果没有相互作用，即V = 0，拉格朗日量（4.21）式成为，
Σ=
=
N
L t t t m x
1
2
2
( ( ), ( ), ) 1
λ
λ λ x x& & （4.33）
那么每个质点的惯性质量都可以独立地乘以不同的常系数而不改变质点组的所有运动方程，
从而质点的惯性质量失去物理意义。可见，只有存在相互作用时，惯性质量才有物理意义。
（6）有限自由度封闭系统的势能
在牛顿力学中经常讨论一种理想系统——封闭的质点组。在有限自由度的封闭系统中只
有一些质点，相互作用只能假设为质点和质点之间的直接相互作用。因此这种相互作用理论
是超距的。如果伽利略相对性原理成立，这种质点之间的相互作用还必须是瞬时的。
假如相互作用不是瞬时的，例如两质点的相互作用有一传播速度c ，则拉格朗日量必然
包含这个物理参数c ，从而运动方程也包含这个参数。在另一个以相对速度υ 运动的惯性系
中，按照伽利略速度合成公式，相互作用传播的速度变成c +υ 。运动方程的物理参数因此
要作相应的改变，从而运动方程在两个惯性系中是不一样的，与伽利略协变性矛盾。
拉格朗日量的势函数V 是用来描写相互作用的。非相对论理论的特点是V =V (x,t)，
它只依赖于坐标而不显含x& 。这也可以被理解为瞬时相互作用的后果。因为通过瞬时相互作
用，质点不能够感觉到另一个质点的速度。
另外，在古典力学系统中我们总是暗中假设质点具有不变的性质，因此质点之间的直接
相互作用方式也是不变的。所以对于只有质点之间直接相互作用的封闭质点组，势函数不显
含时间，
( , , , ) 1 2 N V =V x x L x （4.34）
这是在非相对论近似下，超距瞬时相互作用势的一般表达方式。相对论的修正是引入传递相
互作用的媒体，相互作用通过媒体以有限速度传播。
89
（7）有限自由度非封闭系统
关于有限自由度非封闭系统的理论原则上可以从封闭系统的理论中得到。设系统 A 是
我们关心的非封闭系统，其自由度为x , x , , xn 1 2 L 。把与系统A 有直接或间接相互作用的
所有物体称作系统B，其自由度为n n N x , x , , x +1 +2 L 。那么系统A和系统B 合成一个封闭系
统，势函数可以写成
( , , , , , ) 1 2 n n 1 N V V x , x L x x + L x = （4.35）
原则上可以解出系统 B 的运动轨迹，即得到系统B 的自由度和时间的依赖关系，
( , , , , ) 1 2 g t n n x γ γ x x L x = + ， γ =1,2,L,N − n （4.36）
代入V 中可以得到系统A 的势函数
( , , , , ) 1 2 V V t A A n = x x L x （4.37）
因此一般来说，非封闭系统的势函数是显含时间的。
4.3 约束系统
(1) 虚位移和稳定理想约束
物理空间中N 个质点通常有3N 个自由度。但实际系统的坐标常常受到约束（如图4-2）。
一种常见的简单约束称为几何约束，它由k 条关于坐标的方程给出，
( , , , , ) 0 1 2 R t = N α x x L x ， α = 1,2,L,k （4.38）
Δx
δx
dx
几何约束可以等效地用所谓约束力 λ
c f 来实现。牛顿运动方程写成
λ λ
λ λ c m &x& = f + f ， λ = 1,2,L,N （4.39）
式中 λ
c f 为作用在第λ 个质点上的约束力，它的唯一作用是使质点坐标满足约束条件（4.38）；
f λ 是除了约束力之外的其他力，称为主动力。实际上约束力λ
c f 常常是不知道的，在求质
点运动规律时最好能从方程中消去它们。为了做这件事，先要准备虚位移和虚功的概念。
质点的真实位移由运动方程给出，d dt λ λ x = x& 。为了研究约束，推广位移的观念而引
入虚位移是很方便的。这和最小作用原理中引入假想轨迹类似。无限小虚位移λ δx 是质点坐
图4-3. 小球约束在曲面上运动。
δx 和dx 在曲面上是变分。如
Δx 离开曲面，就不是变分。
90
标在约束条件允许之下的假想的任意无限小位移（不一定是真实发生的位移，无需产生位移
的原因）。图4-3 给出一个例子，其中小球约束在曲面上运动，虚线假设为小球的物理轨迹。
无穷小位移δx限制在曲面上，称为变分但不一定是真实位移。轨迹切线方向的微分dx是真
实位移，也是一个特殊的变分。离开曲面的位移Δx 不是变分。
(2) 虚功原理
一种特别简单的约束是约束力在虚位移下对质点组做的总功（虚功）等于零，
0
1
= ⋅ Σ=
N
c
λ
λ
f λ δx （4.40）
这种约束称为理想约束。以后我们仅讨论稳定的理想约束，即（4.38）式中的α R 不显含时
间，而且所有约束力满足（4.40）式。另外，我们还假设主动力是保守力，可以写成如（4.24）
式的梯度形式。这意味着我们的系统是非耗散的（所有的能量都在机械动能和势能之间转移，
不会变成其他形式的能量，称为非耗散系统），即可以忽略摩擦力、热流和电磁辐射等造成
的功耗。例如刚球在光滑曲面上滚动；光滑球铰；两刚体光滑地保持接触；具有完全粗糙表
面的两刚体保持接触（接触点无相对滑移）等，都是理想约束。
由（4.39）和（4.40）式得达朗伯-拉格朗日方程6
[ ] 0
1
= ⋅ + − Σ=
N
m
λ
λ
λ
λ λ x&& f δx （4.41）
注意，此处{ } λ δx 和最小作用原理中的轨迹变分引起的坐标变化有不同之处，（4.41）式中的
{ } λ δx 不是完全独立的，它必须满足理想约束（4.38）式的限制。因此− + λ = 0
λ λ m &x& f 并
非对所有的λ 都成立。（4.41）式因为只涉及主动力而不出现约束力，所以比较方便。缺陷
是不能获得约束力的信息。静力平衡是一个重要的问题，其中约束力也是人们常常关心的。
可以通过牛顿定律直接求约束力，也可以通过附录4-4 介绍的拉格朗日待定乘子法求解。
(3) 广义力和虚功
在k 条几何约束之下，N 质点系统的自由度变成n = 3N − k ，因为原则上可以通过约
束条件消去k 个坐标。对理想的几何约束， 可以引进n 个互相独立的广义坐标
{qα |α = 1,2,L,n}来描述系统的状态和运动。笛卡儿坐标和广义坐标的关系如（4.26）式。
利用
Σ=
∂
∂
=
n
q
α 1 q
α
α λ
λ δx x δ （4.42）
在上式的虚位移中，主动力作的虚功为
6 达朗伯-拉格朗日方程是伯努利虚功原理的推广。虚功原理即（4.41）式中去掉加速度项对应的方程，它
是稳定理想约束下静力平衡的充分必要条件。
91
Σ Σ
Σ Σ Σ
= =
= = =
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∂
∂
= ⋅
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∂
∂
= ⋅ = ⋅
n N
N N n
q
q
q
q
W
1 1
1 1 1
α
α
λ
α λ
λ
λ α
α
α λ
λ
λ
λ
λ
δ
δ δ δ
f x
f x f x
(4.44)
定义广义力
α
λ
α λ
λ
λ
α λ
λ
α q
V q t
q
V
q
Q q t
N N
∂
∂
= −
∂
∂
⋅ ∇ − = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∂
∂
=Σ ⋅ Σ
= =
( , ) ( , )
1 1
f x x （4.45）
代回（4.44）式，
Σ Σ
= =
= ⋅ =
N n
W Q q
1 α 1
α
α
λ
λ
δ f λ δx δ （4.46）
因此，在虚位移中主动力所作的总虚功等于广义力作的虚功之和。（4.46）式是求广义力的
方便的公式。
(5) 拉格朗日方程的一般形式
用（4.42）式把（4.41）式中的λ δx 换成δqα ，并利用广义力的定义（4.45）式，
0
1 1
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∂
∂
Σ −Σ ⋅
= =
n N
Q q
q
m
α
α
α
λ
α λ
λ λ &x& x δ (4.47)
因为广义坐标是互相独立的，所以广义坐标的虚位移{δqα }是独立的，故（4.47）式成立的
充分必要条件是方括号等于零，即
α
λ
α λ
λ λ Q
q
m
N
= ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∂
∂
⋅ Σ=1
x&& x （4.48）
记左边项为 α Z ，
Σ Σ Σ
= = =
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∂
∂
⋅ − ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝ ⎛
∂
∂
⋅ = ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∂
∂
= ⋅
N N N
dt q
m d
q
m
dt
d
q
Z m
1 1 λ 1
α λ
λ λ
λ
α λ
λ λ
λ
α λ
α λ λ
&x& x x& x x& x （4.49）
由约束（4.38）可以解出λ x 作为n 个广义坐标{qα }的函数， λ λ (q1,q2 ,L,qn ) x = x 。因为
约束是稳定的理想约束，这些函数不显含时间和q& ，从而有（4.27）式。注意到α
λ ∂x / ∂q 与
q& 无关，对（4.27）式求q&β 的偏导数得，
β
λ
β
λ
q ∂q
∂
=
∂
∂x x
&
&
(4.50)
对（4.27）式两边求qβ 的偏导数，
92
β
λ
α
α
β α
λ
β
λ
dt q
d
dt
dq
q q q
n
∂
∂
=
∂ ∂
∂
=
∂
∂ Σ=
x x x
1
& 2
（4.51）
反过来应用（4.50）和（4.51）式，（4.49）式化为
α α
λ
α λ λ
λ
α λ λ
λ
α λ
λ λ
λ
α λ
α λ λ
q
T q q
q
T q q
dt
d
m x
q
m x
dt q
d
q
m
q
m
dt
Z d
N N
N N
∂
∂
−
∂
∂
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
∂
∂
− ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
∂
∂
=
⎟ ⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∂
∂
⋅ − ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∂
∂
= ⋅
Σ Σ
Σ Σ
= =
= =
( , ) ( , )
2
1
2
1
1
2
1
2
1 1
&
&
&
& &
&
&
&
&
&
& x x x x
（4.52）
其中定义了系统的动能
Σ=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
= ⎛
N
T q q m x
1
2
2
( , ) 1
λ
λ λ & & （4.53）
因此我们可以把稳定理想约束下的质点组运动方程（4.48）式写成
( , ) ( , ) ( , ) Q q t
q
T q q
q
T q q
dt
d
α α α =
∂
∂
−
∂
∂ &
&
&
（4.54）
上式为拉格朗日方程的一般形式，适用于稳定理想约束条件下的系统。
利用（4.45）式，并定义拉格朗日量
L(q,q&,t) = T(q,q&) −V (q,t) （4.55）
得到运动方程，
( , , ) ( , , ) = 0
∂
∂
−
∂
∂
α qα
L q q t
q
L q q t
dt
d &
&
&
（4.56）
它和无约束系统的拉格朗日方程具有相同的形式。
结论：稳定理想约束系统的拉格朗日量仍然可以写成动能和势能之差；若用广义坐标和
广义速度作变量，则运动方程仍由拉格朗日方程给出。通常称这样的系统为保守系统。
(6) 广义坐标下的动能定理
用 q&α 乘（4.54）式两边并对α 求和，
Σ Σ =Σ
∂
∂
−
∂
∂
α
α
α
α
α
α
α
α
α q Q q t q
q
T q q
q
T q q
dt
q d & &
&
&
&
& ( , ) ( , ) ( , )
Σ Σ Σ = ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
− ⎥⎦
⎤
⎢⎣ ⎡
∂
∂
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α q Q q t q
q
q T q q
q
q T q q
q
T q q
dt
d && &
&
&
&
&
&
&
& ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
Σ Σ = − ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
α
α
α
α
α
α Q q t q
dt
q dT
q
T q q
dt
d & &
&
& ( , ) ( , )
（4.57）
因为T(q,q&)是q&的二次函数（见（4.28）式），所以（习题【4.3】）
93
q T
q
T(q,q) = 2
∂
∂ Σα
α
α &
&
&
（4.58）
代入（4.57）式
=Σ
α
α
α Q q
dt
dT & （4.59）
或写成
=Σ
α
α
α dT Q dq （4.60）
（4.59）式或（4.60）式就是稳定理想约束系统的动能定理。
◆例7 4-2 以下系统均假设受到地面引力场的作用。请写出他们的拉格朗日量。
（1）限制在平面运动的双摆锤，如图4-4。忽略连杆的重量，设连杆和天花板以及连杆和
连杆之间由光滑铰链相连接。两条杆的长度分别为1 l 和2 l ，两摆锤的质量分别为1 m 和2 m 。
图 4-4. 图4-5.
【解】 以 1
φ 和2
φ 为广义坐标。1 m 的动能和势能分别为
2
1
2
1 2 1 1
T = 1 m l φ& , 1 1 1 1 V = −m gl cosφ (例4.5)
为了求2 m 的动能和势能， 先写出它的笛卡儿坐标， 2 1 1 2 2 x = l sinφ + l sinφ ，
2 1 1 2 2 y = l cosφ + l cosφ 。于是2 m 的动能为
( ) [ ] 1 2 1 2 1 2
2
2
2
2
2
1
2
2 1
2
2
2
2 2 2 2 cos( )
2
1
2
T = 1 m x& + y& = m l φ& + l φ& + l l φ −φ φ&φ& (例4.6)
势能为
( cos cos ) 2 2 1 1 2 2 V = −m g l φ + l φ (例4.7)
所以拉格朗日量为
7 此题选自 L.D.Landau and E.M. Lifshitz, Mechanics –3rd ed. (Course of Theoretical Physics, Vol. 1), pp10-12,
Preprinted by Beijing World Publishing Co., 1999
m
l
x
φ
1 l
1 m
2 m
1 φ
2 φ
2 l
94
1 2 1 1 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2
2
2
2
2 2
2
1
2
1 2 1
( ) cos cos
cos( )
2
( ) 1
2
1
φ φ
φ φ φ φ φ φ
m m gl m gl
L m m l m l m l l
+ + +
= + & + & + & & −
(例4.8)
（2）单摆在一垂直平面运动，它的一端挂在和摆动同一平面的水平轨道上，可以自由移动，
如图4-5。假设单摆质量集中在摆杆的两端，分别为1 m 和2 m 。摆杆为l 。
【解】 以 x 和φ 为广义坐标。
( φ 2 φ cosφ ) cosφ
2
( ) 1
2
1
2
2 2
2
2
1 2 L = m + m x& + m l & + lx& & + m gl (例4.9)
（3）具有质量m 的单摆，它的支点（a）以固定角速度沿一垂直圆周运动，圆频率为γ （图
4-6）；（b）在和摆动同一平面的水平轨道上振动，水平坐标和时间的关系为x = a cosγt ；（c）
沿垂直线振动，垂直坐标和时间的关系为y = a cosγt。
【解】（a）因为圆周运动是已知的，系统只有一个自由度φ ，取为广义坐标。m 的笛卡儿
坐标为x = a cosγt + l sinφ ， y = −asinγt + l cosφ 。所以拉格朗日量为
φ γφ sin(φ γ ) cosφ
2
L = 1 ml2 &2 + mla & − t + mgl (例4.10)
其中已经去掉只与时间有关的项。再去掉与运动方程无关的时间导数项
(mla cos( t))
dt
d γ φ −γ ，拉格朗日量写成
φ γ sin(φ γ ) cosφ
2
L = 1 ml2 &2 + mla 2 − t + mgl (例4.10)
（b）（省略时间导数项）
φ γ cosγ sinφ cosφ
2
L = 1 ml2 &2 + mla 2 t + mgl (例4.11)
（c）类似有
φ γ cosγ cosφ cosφ
2
L = 1 ml2 &2 + mla 2 t + mgl (例4.12)
A
a
θ a
x 1 m 1 m
φ
y m 2 m
图 4-6. 图4-7.
95
（4）系统装置如图4-7。四段长度同为a 连杆处于同一平面并绕中轴线以恒定的角速度Ω 运
动，A 点固定。连接连杆的两个光滑铰链质量都等于1 m ，连杆质量可忽略。质量2 m 可上下
自由移动。
解：以θ 为广义坐标。设绕垂线转动的角度为φ 。依题意，φ& = Ω。质量1 m 的无限小位移
平方为
2 2 2 2 2 2
1 dl = a dθ + a sin θdφ (例4.13)
因此1 m 的速度平方为
2 / 2 2 ( 2 2 sin2 )
1
2
1 υ = dl dt = a θ& +Ω θ (例4.14)
质量2 m 到A点的距离为2a cosθ ，其无穷小位移为
dl 2asinθdθ 2 = − (例4.15)
因此2 m 的速度平方为
υ 2 2θ 2 2θ
2
2
2 = (dl / dt) = 4a & sin (例4.16)
拉格朗日量为
(θ sin θ ) 2 θ sin θ 2( ) cosθ 1 2
2 2 2
2
2 2 2 2
1 L = m a & + Ω + m a & + m + m ga (例4.17)
■
◆ 例4-3 球坐标下的广义力和运动方程
在具有球对称性的问题中使用球坐标(图4-8)常常会带来方便。设质点受到力f 作用。
本例写出与球坐标对应的广义力和运动方程。
ϕ
θ
z
r
X
Y
Z
θ eˆ
ϕ eˆ r eˆ
图4-8 球坐标。右上方小立
体为球坐标体积微元示意
图。图中还标出球坐标的三
个正交单位方向矢量。
r + dr
96
球坐标体积微元的的三条边长分别为dr , rdθ , r sinθdϕ . 所以体积微元为
dτ = r2 sinθdrdθdϕ （例4.18）
线元平方
2 2 2 2 2 2 2 dr = (dr) + r (dθ ) + r sin θ (dϕ ) （例4.19）
质点速度
υ 2 = r& 2 = r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θϕ& 2 （例4.20）
因此质点的动能等于
2 ( 2 2 2 2 sin2 2 )
2 2
T = 1 mυ = m r& + r θ& + r θϕ& （例4.21）
记 f 在球坐标三个正交方向r eˆ ， θ eˆ 和ϕ eˆ 的分量分别为r f ， θ f 和ϕ f ；与广义坐标（球坐标）
r ，θ 和ϕ 对应的广义力分别为r Q ， θ Q 和ϕ Q . 由（例4.17）式， f 在位移dr中作的功为
θ ϕ
θ θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
Q dr Q d Q d
dW f dr f dr f rd f r d
r
r
= + +
= ⋅ = + + sin
（例4.22）
所以所求广义力为
r r Q = f ， Q f r θ θ = ， θ ϕ ϕ Q = f r sin （例4.23）
把（例 4.21）和（例4.23）式代入拉格朗日方程的一般形式（4.54）式，
( ) r m&r&− mr θ& + sin2θϕ& 2 = f
m(r rr ) mr f r θ 2θ&&+ 2 &θ& − 2 sinθ cosθϕ& 2 =
( θϕ θϕ θ θθϕ ) θ ϕ m r2 sin2 &&+ 2rr& sin2 & + 2r2 sin cos & & = f r sin
简化后得
( ) r m &r&− rθ& − r sin2θϕ& 2 = f （例4.24）
θ ϕ θ θ θ f r r r m = ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛ −
+
2
2
sin
2
&& 2& & 1 & （例4.25）
( ) ϕ m r sinθϕ&&+ 2r& sinθϕ& + 2r cosθθ&ϕ& = f （例4.26）
此为所求运动方程。
习题
【4.1】假如拉格朗日量是坐标、速度和加速度的函数L = L(q,q&,q&&)，初末状态中的广义坐
97
标q , 广义速度q&和广义加速度q&&固定. 由最小作用原理推导拉格朗日方程。
【4.2】（1）求例4-1 的函数y(x)所满足的方程；（2）证明
(1 )2
1
y + y′
是常数（与x 无关）；
（3）令
2 2
1
C
a = ， y = a(1− cosθ )，证明x = a(θ − sinθ )。
【4.3】已知动能T(q,q&)是广义速度{q&α }的二次函数，证明
q T
q
T(q,q) = 2
∂
∂ Σα
α
α &
&
&
【4.4】推导例4-2 各系统的拉格朗日量和相应的运动方程，注意可以相差形式为t和q(t)函
数的时间导数的一项。
【4.5】设惯性系中质点P 受力f 的作用。在一个以恒定角速度ω 转动的参考系中写出质点
的运动方程，从中得到惯性力和科里奥利力的表达式。可取转动坐标系的Z 轴沿ω 方向。[提
示：先写出质点相对静止坐标系的动能，然后利用（4.54）式]
附录 4-1 等时变分
证明等时变分公式 dδφ (t) =δdφ (t)。
【证】这个关系式可由图4-9 说明。设φ ′(t)是由φ (t)经无限小改变得到的函数（轨迹）。等
时变分定义为
φ ′(t) =φ (t) +δφ (t) （附4.1）
φ ′
d:φ ′(t) c:φ ′(t + dt)
φ
a: φ (t) b: φ (t + dt)
t t + dt
图 4-9.
即δφ (t)是同一时刻两条轨迹的函数值之差。由a-b-c 的轨迹得
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t d t t d t
t dt t dt t dt
φ φ δφ δ φ
φ φ δφ
= + + +
′ + = + + +
（附4.2）
98
其中dφ (t)为沿一条轨迹的普通微分。另外，由a-d-c 的轨迹得
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t d t d t
t dt t d t
φ δφ φ δφ
φ φ φ
= + + +
′ + = ′ + ′
（附4.3）
比较（附 4.2）和（附4.3）则得求证式。
附录 4-2 自由质点的拉格朗日量
通过伽利略相对性原理求自由质点的拉格朗日量。
空间均匀性意味着运动方程在空间各处一样，因此拉格朗日量具有空间平移不变性，
= 0
∂
∂
xi
L
（附4.4）
这说明自由粒子的 L 不显含坐标变量。空间的各向同性意味着拉格朗日量具有空间转动不变
性，所以L只依赖于速度的平方L = L(x&2 )。在伽利略变换下，
x = x′ + υt ， x& = x&′ + υ （附4.5）
其中υ 为两个惯性系的相对速度。假设| υ |为无穷小量，可以忽略υ 2 及以上阶的项。不带
撇惯性系的拉格朗日量
( )
dt
d
x
L x L x
x
L x L x
L x L x
x υ
x υ
x υ
′ ⋅
∂ ′
∂ ′
= ′ +
′ ⋅
∂ ′
∂ ′
= ′ +
= ′ + ′ ⋅ +
( ) ( ) 2
( ) ( ) 2
( ) ( 2 )
2
2
2
2
2
2
2 2 2
&
&
&
&
&
&
&
& & & υ
（附4.6）
第二项必须可以写成坐标 x′(t)和t时间的函数的时间导数才能保证两个惯性系的拉格朗日
导出同样的运动方程。这意味着第二项时间导数前面的因子必须是一个常数（惯性质量）
m
x
L x =
∂
∂
2
( 2 )
&
&
（附4.7）
注意此处我们不能应用&x& = 0而直接宣称x& 是与时间无关的常数，从而上式成立。因为加速
度等于零是自由质点运动方程的解，那是只有真实物理轨迹才有的性质。而拉格朗日量的假
想轨迹的坐标和速度，可以和真实轨迹的不同。所以要通过空间均匀性和伽利略相对性原理，
从（附5.4）到（附5.7）才能得到（附4.7）的结论。
最后对（附 4.7）式两边积分得到满足伽利略相对性原理的自由质点拉格朗日量
2 2
2
L(x& ) = 1 mx& （附4.8）
附录 4-3 质点在引力作用下的运动方程
根据广义相对论，质点在引力场中沿短程线运动，它可以从原时积分的极值条件得到，
即对给定的初始位置A 和终止位置B，质点真实运动的轨迹是一条所耗原时最短或最长的
99
轨迹。沿一条假想的（可以是非物理的）轨迹l ，定义从A 到B 的原时积分
= ∫ = ∫ −
B
l A
B
l A
ds
c
I l d
( )
2
( )
[ ] τ 1 （附 4.9)
括号（ l ）是为了强调积分与轨迹l 有关。所谓假想轨迹是四维位置矢量x 和连续参数t（可
称之为时间）的函数关系x =φ (t)，它只需满足约束条件
( ) A A x =φ t ， ( ) B B x =φ t （附4.10）
除了（附4.10）式的约束，轨迹的几何形状和参数t 的选择都是任意的（参考图3-9）。可以
把I[l]看作函数φ (t)的函数，即泛函，也记作I[φ ]。
数学上泛函的极值条件为
0 [ ] 1
( )
2 = − = ∫
B
l A
ds
c
δI l δ （附4.11）
此处符号δ 表示变分运算，即轨迹作一无限小形变（l →l′）所引起的积分I 的变化。设l′
对应的轨迹函数为
φ ′(t) =φ (t) +δφ (t) （ 附4.12）
δφ (t)是任意无限小函数（无限小函数意为每一个变量t对应的函数值都是无限小量）。原时
积分的变分定义为
δI[l] = I[φ +δφ ] − I[φ ] （附4.13）
真实轨迹 c l （对应质点的物理轨迹x (t) phys =φ ）使I[l]取极值，即令（附4.13）式等
于零。为了求出轨迹c l 满足的微分方程，首先要把轨迹积分（附4.11）式化成普通的参数积
分。利用无限小不变时空间隔的定义
μ ν
μν ds2 = g (x)dx dx （附4.14）
可将（附 4.11）式写成
∫
∫ ∫
≡ −
= − = −
B
A
B
A
t
t
t
t
B
l A dt
dt
L t d t
m c
dt
dt
d
dt
g d
c
g x dx dx
c
I l
1 ( ( ), ( ))
[ ] 1 ( ) 1 ( )
2
0
( )
ν
μ
μ ν
μν
μ ν
μν
φ
φ
φ φ
φ
（附4.15）
对给定的函数φ (t)，上式是对时间t的普通积分。被积函数L即拉格朗日量，可从上式读出
dt
d
dt
m c g d
dt
L t d t
μ ν
μν
φ φ
φ
φ
(φ ( ), ( )) ( ) 0 = − − (附4.16)
100
积分前面的系数是为了使被积函数L 和通常的约定一致。引力场包含在度规场μν g 中。(附
4.16)式就是广义相对论的质点在引力场的拉格朗日量。
依照推导拉格朗日方程同样的步骤，由δI[φ ] = 0得到拉格朗日方程(见（4.14）式)
( ) 0
( , )
/
( , )
=
∂
∂
−
∂
∂
α φα
φ
φ
φ
φ
φ
dt
L d
d dt
dt
L d
dt
d
（附4.17）
把（附 4.16）式代入（附4.17）式得短程线方程，
0
2
=
∂
∂
+ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
dt
d
dt
g d
dt
g d
dt
d μ ν
α
μν
μ
μα
φ φ
φ
φ γ
γ （附4.18）
其中定义了
dt
d
dt
g d
μ ν
μν
φ φ
φ
γ
( )
1
−
= （附4.19）
利用
dt
g d
dt
dg ν
ν
μα μα φ
∂φ
∂
= (附4.20)
将（附4.18）式写成
0
2
2 2
2
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= −
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
= −
∂
∂
−
∂
∂
+ ⎟
⎟⎠
⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
−
dt
d
dt
g g g d
dt
d
dt
g d
dt
d
dt
g g d
dt
d
dt
g d
dt
d
dt
g d
dt
d
dt
g d
dt
d
dt
g d
dt
d
dt
g d
μ ν
μ
να
ν
μα
α
μν
μ
μα
μ ν
μ
να
ν
μα
μ ν
α
μν
μ
μα
ν μ
ν
μα
μ ν
α
μν
μ
μα
φ φ
φ φ φ
φ γ
γ
φ φ
φ φ
φ φ γ
φ
φ γ
γ
φ φ
φ
γ
φ φ
φ
φ γ
γ
(附 4.21)
两边乘gβα 并对重复指标求和得
0 = Γ + ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d μ ν
β
μν
β φ φ
γ
φ
γ （附4.22）
其中定义了
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
Γ = α
μν
μ
να
ν
μα
βα
β
μν φ φ φ
g g g g
2
（附4.23）
它正是第三章（3.37）式引入的克里斯托菲符号。
上式的φ (t)对应物理真实的轨迹，按习惯改回用x(t)表示。根据第二章（2.34）式，
时间和固有时间的关系为dt =γdτ ，最终把（附4.22）式写成
101
0 2
2
+ Γ =
τ τ τ
μ ν
α
μν
α
d
dx
d
dx
d
d x
（附4.24）
这正是（3.55）式给出的短程线方程，第一项表示惯性，第二项来自引力。以上我们从固有
时取极值得到短程线方程。
下面在缓变弱场和低速运动的条件下拉格朗日量（附4.16）式的牛顿极限。把（附4.16）
式中的质点空间坐标φ (t)改记为x(t)。对弱引力场有（附3.12）式
μν μν μν g =δ +η （附4.25）
其中{ (x)} μν η 是小量。对低速运动质点， L 函数中可以忽略μ
μ η xi x
i & & ，
( )
2
1
2
1
2
1 1
( , )
0
2
0
2
0
44
2
2
2
0
2
44
2
0
x
x x x x
ϕ
η
η
m c m x m
x
c
m c
L m c c c
= − + −
⎟⎠
⎞
⎜⎝
= − ⎛ − +
= − − ⋅ + +
&
&
& & &
(附4.26)
其中ϕ (x)为引力势（参见第三章（附3.29）式）。显然拉格朗日量加上一个常数或乘上一
个常数不影响由（附4.16）式导出的短程线方程。去掉静止能量常数，按习惯把静止质量0 m
改记为m ，便得到质量为m 的非相对论自由质点的拉格朗日量
( )
2
L(x, x& ) = 1 mx&2 − mϕ x （附4.27）
此即我们熟悉的质点动能和引力势能之差。
附录 4-4 拉格朗日待定乘子法
第 4.3 节提到，泊努利虚功原理（见关于（4.41）式的脚注）
0
1
= ⋅ Σ=
N
λ
λ
f λ δx （附4.28）
是理想约束系统静力平衡的充分必要条件，其中f λ 是第λ 个质点受到的主动力， λ δx 是该
质点的虚位移。虚功原理不用约束力的信息，也不能给出约束力的信息。拉格朗日待定乘子
法弥补了虚功原理的这个缺陷，可以同时给出平衡位置和约束力。
用x = {x j | j =1,2,L,n = 3N}记N 质点系统的n=3N个坐标，用j f 记作用在某个质点
的力的某个分量。设有k 条稳定理想约束条件（可以推广到依赖于速度的不完整约束）
R (x) = 0 α ， (α =1,2,L,k) （附4.29）
其中k 102
0
1
= Σ=
n
j
j
j f δx （附4.30）
对（附 4.29）式求变分
0
1
=
∂
∂ Σ=
n
j
j
j x
x
Rα δ , (α =1,L,k) （附4.31）
（附 4.31）式乘待定乘子γ α ，对α 求和，然后和（4.30）式相加，
0
1 1
= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
∂
∂
Σ +Σ
= =
n
j
j
k
j j x
x
f γ R δ
α
α α （附4.32）
因为n个虚位移{δx j}满足k 条约束方程（附4.31）式，只有n − k 个独立虚位移，所以（附
4.32）式求和号下的小括号只有n − k 个与独立的δx j 对应的小括号等于零。不妨设前面
n − k 个虚位移是独立的，则由（附4.32）式给出
0
1
=
∂
∂
+Σ=
k
j x j
f R
α
γ α α ， j =1,2,L,n − k （附4.33）
（附 4.32）式求和号下还剩下k 个小括号，刚好可以通过选择k 个γ α 也变成零，
0
1
=
∂
∂
+Σ=
k
j x j
f R
α
γ α α ， j = n − k +1,L,n （附4.34）
（附 4.33）、（附4.34）式和约束方程（附4.29）式合起来一共有n + k 条方程，刚好可以确
定n个平衡坐标{x j}和k 个乘子{γ α }. 知道平衡点的{x j}和{γ α }后就可以把约束力求出来。
把（附 4.33）和（附4.34）式重新用作用在每个质点的力矢量写出，
0
1
=
∂
∂
+Σ=
k R
α λ
λ γ α α
x
f ， λ =1,2,L,N （附4.35）
根据牛顿力学的静力平衡条件（每个质点的加速度等于零），主动力和约束力对一个质点的
合理为零
λ + λ = 0
c f f ， λ =1,2,L,N （附4.36）
和（附 4.35）式比较得到约束力cλ f 的表达式
Σ Σ
= =
=
∂
∂
=
k
c
k
c
R
1
,
1 α
λ
α
α λ
λ γ α α f
x
f （附4.37）
第α 个约束贡献的力定义为
λ
λ α α
α γ
x
f
∂
∂
= R
c, （附4.38）

请您先登陆，再发跟帖！