物理数学好图：(2)变分和拉格朗日方程,把总下降时间写成一个y(x)的泛函(即函数的函数)

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(2)变分和拉格朗日方程
如何由最小作用原理导出运动方程呢？数学的方法称作变分(variation)。在应用这个强
有力的方法求运动方程之前，让我们看一个著名的变分问题。
◆例4-1. 在垂直平面内给定两点A 和B，找出轨迹AMB，使得动点M 以最短的时间滑过该
轨迹。假定动点的加速度仅仅来自重力的作用4。
【解】让我们取起点A 作为坐标系的原点，X 轴和Y 轴如图4-2。假定质量为m 的质点起始
时速度为零。依题意质点沿轨迹下滑没有受到摩擦力。记质点位置到原点的轨迹长度为s ，
则
ds = dx2 + dy2 = 1+ y′2 dx （例4.1）
质点的速率为υ = ds / dt。总的下降时间为
∫ ∫ + ′
= = B xB
A
I ds y dx
0
1 2
υ υ
（例4.2）
由能量守恒定律得
m 2 = mgy
2
1 υ （例4.3）
从上式解出υ 并代回（例4.2）,把总下降时间写成一个y(x)的泛函(即函数的函数)

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• 物理数学好图 理论物理导论第一册 -marketreflections- ♂ (562 bytes) () 11/23/2010 postreply 13:21:06