分形之父芒德勃罗(3)：爱因斯坦平衡态的统计物理 布朗粒子的随机运动根源于介质的分子对粒子的无规撞击，本来就和外加势力无关，其次

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分形之父芒德勃罗(3)论文发表时间:2010-05-21 11:58学术论文来源:www.csscipaper.com 论文发表者:免费论文 点击:70次设X（t）为价格，logX（t）是独立增量过程，即logX（t+d ）－logX（t）具有独立于d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首先要面对的是这种模型的奇怪性质（实际上这竟是
设X（t）为价格，logX（t）是独立增量过程，即logX（t+d ）－logX（t）具有独立于d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首先要面对的是这种模型的奇怪性质（实际上这竟是他所期望的）。芒氏大胆地假设logx（t+d ）－togx（t）“无穷方差”！他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方差是有限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了“无穷方差综合症”。具有反叛色彩的芒氏假定V＝∞自有他的考虑：“不用说，假定υ＝∞的成功后果是， “我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。”于是后来提到的“英国海岸线长度”、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然其他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是后来的事。那时他已经有了基本结论，他不断翻阅数学“故纸堆”，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但这些新发现的材料当初对于他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专著时，他当然要重新规划，以一种更直接、更通俗、更符合逻辑顺序（发现过程并不符合通常的逻辑）的方式叙述出来，甚至更多的是考虑读者的反应。
到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评介，在此之前克拉克（P.Clark ）的博士论文以及后来的自回归条件异方差（ARCH）、广义自回归条件异方差（GARCH ）模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从于一种基本的高斯分布，但有一个变化的二阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但这种处理方法仍然没有逃出分数阶自回归滑动平均（ARIMA ）的套路。到后来，许多经济学家更多地采用GP关联积分算法求时间序列的分维数，用BDS统计（Brock—Dechert—Scheinkman 三人在关联积分的基础上发明的）检查经济系统中是否存在非线性结构。但是正如米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥混沌。芒德勃罗早已摒弃了“不是决定论就是随机论”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者混沌动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路：由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上芒德勃罗采用的是一种类似统计物理／热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深入理解。
当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么？他似乎高兴地带走了价格变动的自相似观点、标度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布”。
　　5.布朗运动·莱维飞行·阵发湍流
1905年爱因斯坦用分子运动论阐述清楚布朗运动。实际上庞加莱的一个学生巴歇列（L.Bachelier,1870—1946），早在1900年就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股票市场涨落问题的，未引起物理学家的注意。巴歇利导出了随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知，它对后来布朗运动的物理学没有产生直接影响。
爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走（random walk ）均方位移（me-an squared displacement）随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子：
用现在的符号表示则有＜x[2]（t ）＞＝2Dt。1908年这一结果立即被佩兰用来测定阿佛加德罗常数， 进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。
但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。从数学上看，布朗运动涉及许多艰深的内容。对于离散布朗轨迹，可以在固定步长的格子上研究简单的随机行走，但对于连续情形却遇到了严重的困难；布朗粒子运动路径处处不可微，粒子的速度无法定义。这时已有了勒贝格的测度理论，而又恰好出现了一个伟大的人物——维纳，维纳抓住这个时机（大约于1921年），利用测度理论，发展了一整套漂亮的随机过程理论，后来称之为维纳过程或者布朗运动。芒德勃罗早就把布朗运动视为分形的一个典型，并将布朗运动轨迹视为二维分形。
1968年芒氏与尼斯（J.W.van　Ness）合作发表了一篇重要论文《分数布朗运动、分数噪声及应用》，1969年与瓦利斯（J.R.Wallis）合作发表论文《带有分数高斯噪声的计算机实验》，1971年发表论文《一种快速的分数高斯噪声发生器》等。实际上芒氏所使用的若干新工具、新方法，早在这之前他就十分熟悉了，已经在通讯工程和经济学领域部分尝试过。
芒氏1968年的文章通过引入“记忆”推广了布朗运动，对于关系σ[2]（t）＝t[2H]，H的取值范围一般限制在（1，1／2）之间，当H＝1／2时，正好对应于布朗运动。这一推广意味着随机行走的均方位移随t[2H]而增加。当H较小时扩散较慢，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。
如果随机行走发生在分形体上（如逾渗格子），则运动行为不同于一般的布朗运动，运动由于空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以分成两类。当H小于1／2，均方根位移慢于线性增长，当H大于1／2时，均方根位移快于线性增长。其中后者非常有趣，涉及著名的“莱维飞行”。
布朗运动的基本思想是随机行走，所使用的基本数学是高斯正态分布，随机行走者t时间后的位置分布是高斯型的，方差正比于时间。 对于一维的N步随机行走，每一步的步长x是一随机变量， 其概率分布为p（x），具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什么时候N 步的总和的分布仍然具有与单步相似的（乘以一个标度因子）分布？这等于问，整体与部分何时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程，因为N步高斯分布加起来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解。
广义的莱维稳定过程（S[D][,1]+S[D][,2]＝S[D]，S[,1]X[,1]+S[,2]X[,2]＝SX+常数），仅对三种极特殊的情况，可以解析地求出稳定概率分布。除了在高斯情形中，随机行走（飞行）没有特征尺度。正是这一性质决定此类随机行走是标度不变的分形。这种随机行走好的性质在于自相似；坏的性质在于具有无穷矩（infinite moments），于是均方位移发散。
矩发散长期以来被认为是一个致命缺点，物理学家不愿意看到发散性。只是由于芒德勃罗的大力鼓吹，莱维的思想才一点一点被物理学界所理解，90年代中期“莱维飞行”成了时髦的研究课题。在早些时候，在鼓吹、传播莱维不变分布方面，芒德勃罗当然是唯一的代表人物，这一点应特别提及。
莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微。但跳跃的步长可以变化。经过一番处理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量X具有无穷方差，并不能否定X以概率1取有限值。 例如柯西密度1／[π（1+x[2]）]变量几乎总是有限的，但它具有无穷方差和无穷期望。莱维飞行的宏观轨迹是一系列折线或者孤立的康托尔尘埃点集。一般情况下不考虑粒子在两个端点之间飞行的中间过程，如果考虑两次跳跃之间具有某种速度，这种过程又叫作莱维行走（Lévy　walk）。人们可以问在不同的飞行片段中，在时间t粒子的飞行速度是多少，这一定是某个与时间有关的有限值。但是平均飞跃状况是发散的。
从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将“莱维飞行”运用于各种场合，包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾的是，科学界直到90 年代才认识到这部分工作的重要性。(转载请注明网络来源：CSSCI学术论文网)
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爱因斯坦的开创性工作

《创新话旧》第5章（1）





温景嵩

南开大学 西南村 69楼 1门 401号

（2007年1月4日 于南开园）











第五章 创新点（4）──气溶胶力学的新发展



5．1 爱因斯坦等人开辟的道路



气溶胶力学是一门新兴的学科分支，但也有一百年的历史。前面已经讲过，它是在20世纪初由几位杰出的理论物理学家奠定的基础，而且已经比较详细的谈过斯莫鲁霍夫斯基的工作。这里再谈两位就是大家所熟知的爱因斯坦，以及法国的朗之万。他们在20世纪初对悬浮粒子的布朗运动的研究为悬浮体力学（这既包括了水溶胶力学，或液溶胶力学，也包括了气溶胶力学）的研究打下了坚实的基础。朗之万建立了悬浮粒子作布朗运动时的运动方程，爱因斯坦则建立了悬浮粒子布朗扩散理论。本节我们将着重谈爱因斯坦的贡献。

气溶胶粒子的布朗运动，和其他一切悬浮粒子的布朗运动一样，是它们的一个基本力学特征。由布朗运动引起的位移，对于大多数气溶胶粒子而言，都占主要地位，例如半径小于0.1微米（即小于100纳米）的超细气溶胶粒子，在1秒钟内由布朗运动引起的均方根位移大致是10微米，是重力沉降引起位移的100倍。对于0.1─1微米之间的亚微米粒子,每秒钟内布朗均方根位移是1─10微米,仍可与重力沉降位移相比。只是大到几微米的气溶胶粒子,重力沉降位移才占主导地位。因此,原则上气溶胶力学的一切问题,都应该用统计方法处理。气溶胶粒子布朗运动的统计理论,在气溶胶力学中的地位之重要由此可见。爱因斯坦能够紧紧抓住这问题,把英国植物学家布朗在1827年发现的悬浮粒子布朗运动,第一次建立在科学的统计理论基础上,再一次显示出他大科学家善于抓大问题的本色。

爱因斯坦在他1905年的工作中指出，由于人的肉眼分辨率限制，人们在显微镜中观察到的粒子随机运动的均方速度，总是小于理论上根据能量等分原理所预测的数值。因此爱因斯坦建议使用另外一个物理量来描述布朗粒子随机运动，即：它的均方位移增加率，位移是速度的积分，因此更易于观测，易于与理论相比较。当布朗运动的相关时间t0远小于观测时间时，这个物理量就是布朗运动的扩散系数，这个要求一般可以满足。对于半径小于0.1微米(100纳米)的超细气溶胶粒子,它的相关时间小到10-8─10-9秒,已经接近分子运动的t0，对于半径在0.1─1 微米的粒子而言, t0仍然很小,在10-5─10-7秒之间,就是几个微米大小的气溶胶粒子,它的t0，也只有10-3─10-5秒。显然,一般气溶胶粒子的均方位移增加率,就是它的布朗扩散系数。

爱因斯坦接着用平衡态的统计物理，结合斯托克斯的低雷诺数流体力学解决了计算布朗粒子的布朗扩散系数问题。虽然，布朗扩散过程只有在悬浮体为非均匀分布，体系处在非平衡状态时才会发生，但是爱因斯坦运用他独具特色的研究方法，建议人们可以在这一非平衡态悬浮体上施加一假想的外加势力，使之达到平衡，然后就可以对这一平衡态的悬浮体应用统计物理理论。最后，再利用斯托克斯的阻力公式，就容易导出布朗粒子的布朗扩散系数计算公式，它和体系的绝对温度T 成正比，与斯托克斯阻力公式中的阻力系数成反比，（即6pma,m是介质的粘性系数，a是粒子半径，半径越小，布朗扩散系数越大，）。 比例系数是波兹曼常数k。这里需要明确一点，这结果与假想的外加势力无关。首先爱因斯坦计算布朗扩散系数公式，确实与外加势力无关，它在推导过程中被消去了，其原因在于，布朗粒子的随机运动根源于介质的分子对粒子的无规撞击，本来就和外加势力无关，其次布朗粒子做低雷诺数运动时，两种运动彼此相互独立因而线性可加。外加势力的存在就不会对布朗运动有影响，这是一个非常美妙的结果。没有这个假想外加势，我们就无法导出爱因斯坦公式，但公式本身又和假想外加势无关。

爱因斯坦导出的这个布朗扩散系数公式十分重要，其重要性可以与当年斯托克斯和纳维在19世纪导出的粘性流体的粘性应力公式相比拟，没有纳维和斯托克斯的粘性应力公式就不会有黏性流体力学；同样可以说，没有爱因斯坦的布朗扩散系数公式，就不会有气溶胶粒子动力学，或更广义一点，就不会有悬浮粒子动力学。对单个粒子运动的问题，其基本问题是要求解气溶胶浓度对流扩散输送方程。对两个粒子相对运动而言，就要求解对分布方程，这两个方程中的扩散输送项就是布朗扩散输送项，没有爱因斯坦的布朗扩散系数公式，这一项就无法计算，把两个方程无量纲化后，就出现了无量纲相似参数──皮克列特数,这个数的大小决定了方程解的性质。若没有爱因斯坦的布朗扩散系数公式，这个皮克列特数的大小，也不可能计算出。所以应该说爱因斯坦的这一贡献奠定了气溶胶粒子动力学发展的基础。

爱因斯坦对悬浮体力学的贡献相当全面，它不仅对悬浮粒子的动力学做出了如上所述的开创性贡献，而且对悬浮体的动力学也做出了开创性的贡献，这就是我们在第四章中已经提到的悬浮体的有效粘性理论。他清楚的认识到当流体中含有悬浮粒子以后，整个悬浮体，作为一个均质体系，它的各种力学性质要比不含粒子的纯净流体力学性质有改变。悬浮体力学的任务之一，就是要弄清楚，这些变化的规律。爱因斯坦本人就解决了其中的一个基本问题──悬浮体有效粘性的变化规律问题。他的理论预测出悬浮体的有效粘性系数，将随着粒子体积浓度j的增加，按照2.5j的规律增长，此处j仍是粒子体积浓度。这一成果为以后悬浮体的动力学研究同样开辟了一条道路。悬浮体的有效粘性系数增加，是由于黏性流体在含有粒子以后，它的动能耗散率增加了，只有计算了出现粒子以后的动能耗散率的增加规律才会得到悬浮体有效粘性系数增加的规律。而为实现这一目标，首先就必须解决一个纯流体力学问题，即把一个粒子放入低雷诺数的背景流场中去后，它所引起的扰动流场结构是什么。这是一个比斯托克斯在1851年解决一个以定常速度U在背景静止的流场中运动时，所引起的扰动流场还要更复杂的问题。爱因斯坦解决了这个纯流体力学的复杂问题，所以他才得到了有效粘性按2.5j的增长规律。由此可以看到一个有趣的问题，就是在爱因斯坦时代，一个理论物理学家不仅懂得现代物理精通现代物理，而且对于像流体力学这样的经典物理也同样有兴趣，同样很精通，他也是解决流体力学问题的一个能人。这真让人赞叹不已。






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