场散度和旋度义关计算通常在三维欧氏空间笛卡尔坐标系 散度矢 量场 在空 间 AV( A 是s包围 的空 间 )发散?汇聚?

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矢量场由散度和旋度唯一确定_百度文库
2010年9月27日 ... 矢量场由散度和旋度唯一确定. 矢量场由散度和旋度唯一确定 矢量场由散度和旋度唯一确定 wenku.baidu.com/view/f950e1eeaeaad1f346933f86.html - 网页快照矢量场散度和旋度的物理意义_百度文库
2010年4月18日 ... 矢量场的散度和旋度是研究各种场时必须的数学工具.本文着重说明它们的物理意义. l 矢量场的散度矢量函数A = A ( , , ) 所确定的场称为矢量场. ...
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维普资讯 http://www.cqvip.com 南 安 矿 业 牵 院 牵 植 i9 年 第l 9§ 期 J U R N A L O F I N M I I G I ST I O X I A N N N TU T E 矢量场 散度和旋度 的物 理意义 蛐 ● / 舒 秦 z (基 础 部 ) 摘 要 拳文 从流 (,,) 首先 速场 出发, 详细地 说明了 任一矢量场= ,) i , ( 散 度和旋 度 的物 理意 义. 以电学和 力学 中的简单例子 ,说 明 了散度和旋 度的计算 方 法 . . / / . . , 关饲 , 塑 矽簿 锄 薯 } 在一定的条件下,利用磁力仪能够发现埋簸在地下几百来深的磁性盲矿体.这是因为在 矿体周围存在着磁场 . 物探工作者经 常要测 定,分析 各种场 ( 电场 ,磁 场等 ) 如 的分布 ,变化规律 ,从而找 到 场源 (如带电体,磁性体等 ) .矢 量场 的散度和旋 度 是研究 各种场 时必 须的数 学工 具 .本文 着重 说 明 它们 的物 理意 义 . l 矢量场 的散度 矢 量 函 数 A = A ( , , ) 所 确 定 的场 称 为 矢 量场 .如 电场 ( , 和 流 速 场 0 , ) 是矢 量场 . , ) , 都 11 通 . 量 以 不 可压 缩 流 体 的 稳 定 流速 场 V( , ) x , 为例 ,来 说 明任 一矢 量场 通 量 的物 理 意义 … . 如 图1 示 .s 流速 场 ( , 中的任 意 曲 面 ,在 面 积 元 d 内 的流 速 场 可 以看 成 均 匀 所 为 , ) S 流速 场 .因 此 ,在1 钟 内 通 过d 秒 s的 流体 的流 量 ,即 体 积 流 量 d =V . o ~ V · d S 0 4 % s = 通 过 曲 面s 体 积 流量 曲 r 一 — r 口 V. S J 4 o J d V. s s s % ~ 可见 ,通过任意 曲面要 的体积 流量 在数 值 上等于 通过曲 面s 的流线 酌数 量. 本 文1 9 年 3 9 1 月2 日收到 维普资讯 http://www.cqvip.com 2 西 安 矿 业 学 院 学 报 1 9 年 93 由特 殊 到 一 般 ,任 一矢 量场 ( , )通 过 任 意 曲 面 S , = 的场 线 的数 量 ,称 为 该矢 量场 通 过 曲 面 S的通 量 , 用 机 表 示 , 即 = . j A· A c d J d o s S s Ss ● 如 图 2 示 .若s为 封 闭 曲 面 ,珂矢 量 场 A通 过 封 闭 曲 面 所 f J 的 通 量 ; · =; a 』 a a f + 苫 · : · 因为 在 . 上 ,日 是 大 于 9 . 面 总 O ,在 面 上 ,日 是 小 于 9 . 总 O, 所 以通 过Sl 通 量 为 负 ,通 过5: 通 量 为 正 . 的 的 12 通 ■ 是 矢 量 场 在 空 间AV内 聚 散 性 灼■ 度 . 由 上可 知 ,流速 场 ( , ) 过 封 闭曲 面s的 体 积 流 量 , = 通 有下列三种情况; r , 图2 通过封闭曲面 S 曲通置 1) s V ' ds > o 从s内 有 流 量 发 数 出来 ,如 图3(a) 示 .既 然 有 流 量流 出 ,说 明s内 一 定 有 涌 出流 体 所 的发 散 源 ,如 泉 源 . () a >0 ( ) 西 o 维普资讯 http://www.cqvip.com 集l 期 黄 圆 良等 戋量_ 散度和旋 度的物理 意 叉 l 蠹 则 矢 量场 在空 间 AV( A 是s包围 的空 间 )内 是 发 教 的 I 如 果 s A · dS o)的均匀带电球体 的球心位于原点, , (q 谩球体 的介 电常数 为8 ,求 球 内 各点 电场 强 度 构 教 度 . 解 ;由 电 学 知 ,球 内 任 一 点P臼 , : . 电 场 强 度 , ) 韵 = 寺 ( ) r 式 中 r是P点 的 位置 矢 量 r: 石 i + + z七 球内 各点电场强 度 卫的散度 维普资讯 http://www.cqvip.com 苒 安 · = · 矿 业 学 院 荦 j 互 19 - 93~ ( 专 去 ) · = = 去 ( + + ) 蔷 害 . . = 景 ·o s > · 0 说明 旆 在 内各 是 散的, 球内各 均 发 , 电 球 点 发 且在 点 有 散源( 电荷) 正 . 2 平 面矢量 场的旋 度 —一 V 旋 度 最早 是 通 过 研究 水 流∞ 涡旋 建立 起 来的概念 . 河水 流 动 时 , 于水 有 内摩 擦 力 , 由 因而 靠两岸 速度较 小 ,河 中间 速度 较大. 故 漂在水 面上 的救生圈一边顺 流而 下 ,一边 还 会旋 转 ,这 说 明水 中 有 涡旋 , 图4 示 . 如 所 2. 1 . — n L V — 环 澹 墨 区域 AS 有 无 嗣 麓 的量 度 内 图4 河水 中 的涡 旋 在 平 面流 速 场 V( , 中 ,作 有 向封 闭 曲 线 ,则 流 速 场 沿 的环 流 (图4) x ) 争 Vd = .7 J d f .了+ . ·了 J + + d f d ' d j z J l d O + = ± dl+ 0一 l . i 目 . c J cd J d' = V2 ·a b— V L·c ± 0 在 均 匀 流 速 场 ( ) ,由 于 : : , 中 ,所 以 沿 二的环 流 V ' d z =0 L 环流不等于零 ,说 明在 区域 A S(△s 为L所包围的 区域 ) 有涡旋J . 流等于零 ,说明 内 在 区域 AS内无 涡 旋 . ' 由特 殊 到 一般 ,对于 任 一 平 面矢 量场 ' d z≠ 0 L , ,如 果 ) 说 明在 区域 △s 有涡 旋 J 如 果 内 A ' d f'0 L 维普资讯 http://www.cqvip.com 第l 期 黄 国良等 矢量 场散度和旋 度的物理 意 叉 7 B 说 明在 区域 △s 无 涡 旋 . 因 此环 流 是 平 面 矢 量场 在 区域 内 有无 涡 旋 的 量 度 . 内 2 2 旋 度 是 矢量 场 在 某 点 滑 旋 强 度 的 量 度 . 环 流 的大 小 与封 闭曲 线 所 包围 的 面积 △ S有 关 ,所 以不 能用 坏 流 的 大小 采 量 度 涡旋 的 强 弱 .而 用环 流 与 面积 △S 比 ,即平 均 涡旋 强度 之 击 ● · d 7 ·l d — 来 量 度 △s 域 内的 涡 旋 强 度 . 区 当 △S , -- O,且 收缩 到 P点 时 ,用 极 限 lr i a 一 . 古 来量 度P点处的 涡旋强 度 .此极限称为平面流速场 在P 点 的旋 度 ,用 × 丧示 ,即 , × :l 云 ( i 6 . 9 . ) d , . 可 见 ,旋 度强 环 流 对 面积 的 变 化 率 . 由特 殊 到 一 般 ,任 一 平 面 矢 量场 在 P点 的旋 霞 - 4, = lr i a 一 . 打 在 直 角坐 标 系 中 ,平 面 矢 量 场 ( 如 ) 在P( ) 的旋 度 , 点 x =警一 c ( 等) 倒2 某河 水 的 速 度 场 ( )= ( . —0 0 1 )im ·8 1 , 01 . 0 . — 速 度 分布 见 图 5, 试 研究 此 速 度场 的涡 旋 特 征. 解: 的旋 度 V ( 茜) ;警一 x =( . 0 1一 0 I) 0 0 2/ . 分 别 以 =0 0 … , 0 ,1 , 1 0柚 代 入 上 式, 可求 出场 内 各点 的旋 度 值 . 目5 速度分布和涡旋持 征 维普资讯 http://www.cqvip.com f 6 西 安 矿 业 学 院 学 报 1 9 - 93 ~ 3 空间矢量 场 的旋 度 水 池中的水 漏掉耐 ,会 形成 涡旋 ,如图6所示 .以P点 为 圆 心 , 两 个 圆 周工- 作 和工z 两 圆 周 的面积 相 等 ,均 为 △s, , 它 们 的 法线 " ," 的方 向与工j 的绕 向 符 合 右 手 螺 旋 法 z ,工 则 .显 然 ● 9 I df d r y' >r ) 4 4 L 2 除 以 AS,得 素 9 'z古 . 去 · > g. d ) d 古 )y z · 图 , 池 中 的谒 旋 6畋 可 见 .同 一 点P绕 n 方 向的 平 均 涡 旋 强 度 大 于 绕 ^ 方 向韵 平 均 涡旋 强 度 . : 为 了量 度 场 中任 意 一 点 的 涡旋 强 度 ,必 须 把 △s取 得 很 小 , 同 时 为 了 能 比较 不 同 点 的浦 旋 强 度 ,应 随工 的空 间 取 向能 得 到 最大 的环 流 .在 图 6 ,流 速 场 治 工 中 莳 环 流 最 大 . 现 在 ,可 以得 到任 一 空 间 矢 量 场 旋 度 的 定 义 : 矢 量场 在P点的旋度 × A是一 个矢 量 ,其大小为 当面积 AS 趋于零 时单 位面积 上 的最 大 环 流 ,其方 向为 当 面积△S 取 向使 得 环 流 为 最 大 时 该面 积 △S的法 线方 向 (法 线 方 向 韵 的单 位矢 最 ∞方 向与工的绕 向符合右手螺旋法 则 ) ,即 州: … L9 ) A· … dj 在 直 角 坐 标 系 中 ,矢 量 场 A( , ) P( , z 点 的旋 度 x , 在 x , ) xA ( , ): , z a a x , a a l 0 I J = ( 一 ) ( ) +訾一 +訾一 ( 昔) 维普资讯 http://www.cqvip.com 第t 期 黄 国 良等 矢 量 场 散 度和 旋 度 的 物理 意 艾 7 7 倒 绕定 z a 轴 转动的 体 速度 ( 7 . 刚 的角 痴 图 ) 求刚体上 一 的 任 点P 线速度 旋 的 - , 解 : 点 P的 位置 用 位 置矢 量 r来 确 定 … r= 一 i += t 角 速 度 ∞= ∞ 由 力 学 知 ,点 P的 线 速 度 ● j x r =l 0 七 . .: m {一 + = l 图7 绕 定轴 Z 动 的 刚体 转 的 旋 度 f 了 誊 = =2 2 ∞ k 可 见 ,速 度场 韵 旋 度 × 与刚体 的 旋转 角 速 度 之 间 有 营密 切 的联 系 . 参 考 文 献 1 张 秋光 .场论 .北 京 地 质出 版社 ,1 8 .1 ~9 93 9 6 2 同 济大 学 .高等 数学 .北京 t人 民教 育 出版 社, 1 7 ; 1 7 9 9 6 PH Y S CA L EAN I I M NG F I 0 D VERG ENCE A N D CU RL N I VECT0R ELD FI H u ng O u t ng W a g Ru i g S i a ola n n hu q n — ABS TRA CT S ar i g f o f e d o f u d v l c t t tn r m i l f l i e o iy — ( , , =),t e n ng f he m a i o di e g nc a c r n e t r f e d v r e e nd u lof a y v c o i l A ( , , =) as i r a e o ph i s i t elt d t ys c s e xpl i e n e a l The s m e s m pl x mpl s i l c r c t n e ha c a n d i d t i n o i ee a e n e e ti i y a d m c ni s . a e i n t h w he m e h d f r c l u a i h o h o t e . r g ve o s o t t o o a c l tng t e b t f h m KEY ORDS v c o i l W e t r f e d, d v g nc i er e e, c r u l
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贡献者： 西郊有人 初试锋芒 二级
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散度 旋度 矢量场
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