亥姆霍兹定理
一、亥姆霍兹定理：
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。
亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。
(1）矢量场可分解为一个有源无旋场和无源有旋场之和；
（2）若矢量场 在某区域内处处有：
和
则 由其在边界上的场分布确定。
注意：不存在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场
这是 http://public.hbmy.edu.cn/xxxy/xxxy_kcjs/upload/ldeiyhyr.ppt 的 HTML 档。
G o o g l e 在网路漫游时会自动将档案转换成 HTML 网页来储存。
第1章 矢量分析
1.1 矢量分析与场论基础
1.3 矢量场的通量 散度
1.2 标量场的梯度
1.4 矢量场的环流 旋度
1.5 亥姆霍兹定理
1.1 矢量分析与场论基础
1、标量与矢量
2、矢量的表示方式
一、矢量与矢量场
图形表示：带有箭头的线段，
标量：只有大小、没有方向的物理量（如温度、高度等），用它的大小 就能完整地描述物理量
矢量：既有大小、又有方向的物理量（如力、电场强度等）
数学表示：
箭头表示 的方向
空矢（零矢）：
唯一不能用箭头表示的矢量。
线段的长度
3、标量场与矢量场
物理量（如温度、电场、磁场等）在空间以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值（ ），则称在该空间中确定了该物理量的场。
占有一个空间， 在该空间区域内处处连续（除有限点或表面外）。
场的分类：
按物理量的性质
按物理量变化特性
二、矢量的运算 （以直角坐标系为例）
场概念的引入：
场的属性：
1、矢量的加、减法
1）矢量的加法符合交换律和结合律
（2）矢量的加法和减法可用平行四边形法则求解
2、矢量的点乘
（1）矢量与标量点乘
（2）矢量与矢量点乘
说明：
a、两个矢量的点积为标量
（3）矢量与矢量叉乘（矢量积）
a、两个矢量的叉积为矢量
说明:
b、矢量的点积符合交换律和分配律
说明：
b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律
c、 平行四边形面积，方向：垂直于 所在的平面
d、矢量运算恒等式
三、常用正交坐标系
1、直角坐标系（略讲）
基本变量：
单位矢量：
分别代表 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
矢量表示：
各方向的微分元与各自坐标的微分之比
微分长度元：
面元：
体元：
位置矢量：
矢量运算：（见前）
2、圆柱坐标系：
基本变量：
单位矢量：
矢量表示：
拉梅系数：
分别代表 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
(1)圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系
位置矢量：
微分长度元：
体元：
面元：
拉梅系数：各方向的微分元与各自坐标的微分之比
说明：
由于 不是常矢量，与 有关，可得
（2）圆柱坐标系下矢量运算
3、球面坐标系：
基本变量：
单位矢量：
矢量表示：
位置矢量：
微分长度元：
面元：
体元：
拉梅系数：
说明：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系
由于 不是常矢量，与 有关，可得
（2）球面坐标系下矢量运算
1.2 标量场的梯度
一、等值面（线）
1、由场值相等的点构成的面（线），即为等值面（线），等位面、等高线等
即若标量函数为
则等值面方程为
2、特点：
二、方向导数
在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同
方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变
化的规律。
标量场中有无穷多个互不相交的等值面。
1、定义：
取等位面 和 如图，
2、意义：
标量场 在 处沿 方向减小率；
场 在 处沿 方向为等值面方向（无改变）。
3、计算：
直角坐标系：
标量场 在 处沿 方向增加率；
三、梯度
1、定义
2、特性
(1)标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数；
(2)标量场的梯度的幅值表示标量场的最大增加率；
(3)标量场的梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向；
(4)标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影。
3、计算
由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知
直角坐标系：
：哈密顿算符
为场量 变化率最大的方向上的单位矢量。由方向导数的定义可知，
沿等值面法线 的方向导数最大，故
圆柱坐标系：
球面坐标系：
4、梯度的重要性质
1、3 矢量场的通量 散度
一、矢量线（力线）
力线：矢量在空间的形象描述
2、特点：
矢量线上每点的切线方向代表该处矢量场的方向。
3、微分方程：力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同
在场中找一点 ，
微分元
在点M 处与矢量线相切，即在点M 处
直角坐标系
矢量线的疏密程度表征矢量场的大小，
矢径
共线，即
二、矢量场的通量
为了克服矢量线不能定量描述矢量场
大小的问题，引入通量的概念。
若矢量场 分布于空间，在空间中存在任意曲面S，则定义
为矢量 沿曲面S的通量，若S为闭合曲面，则
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。
(1）面元矢量 定义：
：面元面积，为微分量，其值可认为无限小
矢量场的通量
：面元法线方向，垂直面元平面
讨论：
面积很小的有向曲面
对非闭合曲面：由曲面边线绕向按右手螺旋法则确定；
的确定方法：
对闭合曲面：闭合面外法线方向。
（3）物理意义：
（2）
，穿出多于穿入，闭合面内有发出矢量线的正源；
， 穿出少于穿入，闭合面内有汇集矢量线的负源（沟）；
，穿出等于穿入，闭合面内无源，或正负源代数和相等。
若
若
若
三、矢量场的散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场F 在P 点的散度。即
1、散度的定义
2、散度的物理意义
◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。
◇ 散度代表矢量场的通量源的分布特性。
• A = 0 (无源）
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处• A=0，称之为无源场。
= 0 (正源)
• A = 0 (负源)
3、散度的计算
直角坐标系：
圆柱坐标系：
球面坐标系：
任意正交坐标系：
四、高斯定理(散度定理)
n1=-n2
n1
n2
高斯定理
对于有限大体积 ，可将其按如图方式进行分割，对每一小体积元有
式中S为 的外表面
该公式表明了区域 中场A与边界S上的场A之间的关系。
1.4 矢量场的环流 旋度
一、环流
定义矢量场A沿空间有向闭合曲线C的积分
为A的环流
环流的计算
讨论：
长度 趋近于零，方向沿路径切线方向。
直角坐标系：
环流意义：
线元矢量:
二、旋度
1. 环流密度
◇ 过点P 作一微小曲面S,它的边界曲线记为C,面的法线方与曲线绕向成右手
螺旋关系。当S 收缩至P 点附近时,存在极限
◇ 该极限值与S 的形状无关，但与S的方向n 有关。称为矢量场 A 在P 点沿n 方向的环流密度
2. 旋度
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用 表示
它与环流密度的关系为
3、旋度的物理意义
◇ 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
◇ 点P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。
◇ 点P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。
◇ 与 的关系:
由旋度的定义
对于有限大面积S，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有
斯托克斯定理
4、旋度的计算
三、 斯托克斯定理
直角坐标系：
四、矢量场旋度的重要性质
1.5 亥姆霍兹定理
一、亥姆霍兹定理：
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。
亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。
(1）矢量场可分解为一个有源无旋场和无源有旋场之和；
（2）若矢量场 在某区域内处处有：
和
则 由其在边界上的场分布确定。
注意：不存在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。
说明：
二、无旋场与无散场
1、无旋场：
但在某些位置或整个空间内，有
则称在该区域内，场 为无旋场。
重要性质：
无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零（无旋涡源）。
由于
可引入一个矢量辅助函数表征标量场
称为无旋场 的标量位函数。
2、无散场：
重要性质：
无散场通过任何闭合曲面S的通量等于零（无通量源）。
结论：
若矢量场 在某区域内，处处
若矢量场 在某区域内，处处 ，但 则称
在该区域内，场 为无散场。
讨论：
由于
，可引入一个矢量辅助函数表征矢量场
即
称为无散场 的矢量位函数。
3、就矢量场整体而言，无旋场的散度不能处处为零，而无散场的旋度
不能处处为零，一般的矢量场，可能既有散度，又有旋度。
1）根据标量场梯度的性质：
2）
：矢量位函数
已知
矢量A的通量源密度
矢量A的旋度源密度
场域边界条件
在电磁场中
电荷密度
电流密度J
场域边界条件
（矢量惟一地确定）
亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。
