有限尺寸的弹性体的固有频率是离散 的，若将这些固有频率的数值按升序排列，数列趋于无 穷，其中最小的固有频率称为基频

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弹性体的线性振动
linear vibrations of elastic bodies
弹性体受到的激励和由此引起的响应呈线性关系的 振动。可以用线性方程描述。实际结构的各种小振动都 可看作弹性体的线性振动，例如，钢琴中被张紧的弦的 振动，带汽缸、螺旋桨的轴系旋转时的扭转振动，钻杆 的纵振动以及各种复杂结构的地震响应。
当弹性体在稳定平衡位置附近振动，而振幅又是够 小时,弹性体的应力-应变(见应力和应变)关系、应变－ 位移关系都可以近似当作线性的。因此，所有外界激励 因素引起的振动响应是各个激励因素分别引起的响应的 叠加，而且响应和激励成正比。
研究弹性体的线性振动一般是研究其固有振动、自 由振动和受迫振动。
固有振动 在一定的初始条件下，弹性体将产生一 类特殊的振动，其特点是：物体的每点都作同频率、同 相位的简谐振动，而各点的振幅保持一定的比例，这种 振动称为固有振动，其频率称为固有频率，各点振幅构 成的形状称为固有振型或主振型，简称振型。弹性体有 无穷个固有振动，有限尺寸的弹性体的固有频率是离散 的，若将这些固有频率的数值按升序排列，数列趋于无 穷，其中最小的固有频率称为基频。对某些弹性体，有 的固有频率对应几个线性独立的振型，但其个数必然是 有限的。对应不同固有频率的振型存在着以质量为权函 数的正交关系，它表示振型之间没有能量交换。
自由振动和受迫振动 弹性体受到初干扰就作自由 振动。在实际结构中，自由振动会因阻尼作用而逐渐衰 减。若弹性体的初位移和初速度和某一固有振型成正比， 则自由振动就是相应的固有振动。
由随时间变化的外力或给定的某些部分的随时间变 化的位移引起的振动为受迫振动。若外力随时间作简谐 变化，而且变化频率和弹性体的某一固有频率接近，则 在一般情况下,振幅会急剧增大,这种现象称为共振。此 时弹性体振动的形状近似于相应的振型。共振频率有无 穷多个，但由于阻尼的存在，实际上只有在外力的频率 和比较低阶的固有频率接近时才可能产生共振。
弹性体的自由振动和受迫振动都称为弹性体的响应。 它们不仅取决于初干扰和外激励，而且取决于固有频率 和振型。研究弹性体的响应，可将它们展成固有振型的 级数，其系数是时间的函数，它们取决于初干扰、外激 励的形式以及激励频率和固有频率的关系。利用振型的 正交性可确定这些系数，从而得到弹性体的响应。这就 是（固有）振型叠加法。因此，在弹性体的振动分析中， 无论避免共振,利用共振的性质,还是确定动态响应，首 要的任务是找出固有频率和振型，其方法很多，有理论 方法(见计算结构力学)，也有实验方法（见振动试验）。
常见弹性体的固有振动
①弦的振动 两端固定的张紧的弦作固有振动时， 固有频率为：


□ 式中□□为弦长；□□为弦内张力；□□为单位弦长的质量。 □＝1对应的频率是基频。高阶固有频率和基频的比恰为 2、3、……等正整数。上式表明固有频率和弦的长度、质 量以及张力的关系。在乐器中，就是通过调整弦的长度、 质量、张力等参量，得到预期频率的音调。
两端固定的张紧弦的固有振型是一族正弦曲线，取 一弦端为□□轴原点，则对应第□□□阶固有频率□□的振型为：



□□(□)=□□sin(□□□/□)， 式中□为最大振幅。 图1弦的1、2、3阶振型表示出两 端固定的弦的1、2、3阶振型。 对应不同频率的振型之 间的正交关系为：
□。
如果弦作第□□□阶固有振动，则弦的形状始终保持□□□ 阶正弦波形，而弦的各个点对时间作频率为□□的简谐振 动。除两端固定的边界条件外，弦上有些点的位移始终 为零，这些点称为节点。弦的第□□□阶振型有□□-1个节点。 因此，由节点的数目可判别固有频率和振型的阶数。
②梁的振动 矩形截面梁作横向振动的振型由正弦、 余弦、双曲正弦和双曲余弦函数线性组合而成，其固有 频率为：


□ 式中□□为系数;□□为梁长；□为梁截面沿振动方向的高度； □□为梁的材料密度;□□为梁的弹性模量（见材料的力学性 能）。上式表示了固有频率同梁的大小以及材料性质的 关系，由此可以看出固有频率和梁的宽度无关。上式中 的□□取决于梁两端的边界条件。对于简支梁,□□=□□□,从 而高阶频率与基频之比为整数的平方4、9、……，其振 型和弦一样是一族正弦曲线。对于一端固定一端自由的 悬臂梁,□□=1.875,□□=4.694,□□=7.855,相应的1、2、3 阶振型如图2悬臂梁的1、2、3阶振型所示。
③方形膜的振动 膜的振动是二维弹性体的振动。 周边固定而且张紧的方形膜的固有频率为：

□ 式中□□为膜的宽度；□□为单位长的边界上的张力；□□为 单位面积的膜的质量;□□和□□□为任意正整数。与频率□□ 对应的固有振型为：


□。 图3方膜的振型（虚线代表节线)表示出一些方膜的振 型。方形膜上位移为零的线称为节线(图中用虚线表示)， □□和□□的节线分别是□□＝□/2和□□＝□/2□。由于□□和 □□□对应同一固有频率，所以根据线性振动的可叠加性， 它们的任意线性组合也是这一固有频率的振型（图3 方 膜的振型(虚线代表节线)之c、之d、之e）。高阶的振 型会出现更复杂的图型。
参考书目 S.铁摩辛柯等著，胡人礼译：《工程中的振动问题》， 科学出版社，北京，1981。 (S.Timoshenko,D.H.Young and W. Weaver, Jr., Vibration, Problems in En□ineerin□,4th ed.,John Wiley & Sons, New York, 1974.) 柯朗、希伯尔特著：《数学物理方法》，第1卷,科学 出版社，北京，1958。(R.Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, John Wiley & Sons,New York,1953.) （王大钧）

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• 对应不同固有频率的振型存在着以质量为权函 数的正交关系，它表示振型之间没有能量交换 -marketreflections- ♂ (616 bytes) () 06/16/2010 postreply 19:05:54

• 中国兴华科学教育网 喷水鱼洗 (图) -marketreflections- ♂ (1777 bytes) () 06/16/2010 postreply 19:20:55

• 外力频率比较低阶的固有频率接近时可能产生共振:物体不断吸收能量而引起共振 -marketreflections- ♂ (1717 bytes) () 06/16/2010 postreply 19:30:52

• 由于水的不可压缩性和流动性，波在水中传播时，水质元作二维运动，既有沿波的传播方向的纵向运动，又有沿垂直传播方向的横向运动 (图) -marketreflections- ♂ (2656 bytes) () 06/16/2010 postreply 19:37:42

• 分子在若干价键结构间共振 -marketreflections- ♂ (3081 bytes) () 06/16/2010 postreply 20:11:09

• 微观世界中，所有的生物体都极带有微弱磁场，这种磁场是由电子围绕原子核旋转而产生的，并且在这微弱磁场能量中，带着不同的健康或疾病的 -marketreflections- ♂ (16498 bytes) () 06/16/2010 postreply 20:28:16

• 傅立叶分析:高频部分:由随时间变化的外力或给定的某些部分的随时间变 化的位移引起的振动为受迫振动,时间域; 低阶的固有频率:不随 -marketreflections- ♂ (9565 bytes) () 06/16/2010 postreply 20:51:39

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