兩個多邊形區域, 不相同, 而特徵頻率卻全部相等

http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d202/20201.pdf

機械振動的一些現象和數學問題
陳鞏
一. 簡介: 常微分方程的振動
系統
機械振動是我們日常生活中經常體驗到
的一種邉印Ｆ┤缯f, 我們看到樹葉在和風吹
拂下, 來回地搖曳。我們搭汽車通過崎嶇的路
面時, 可感到自己隨著車身上下擺動。我們沈
醉於優美的小提琴的演奏曲中, 它是由琴弦
振動所發出的音波。像這些林林種種的例子,
實在太多了。我們可以總結一句話: 在巨觀
(macroscopically) 的世界裡, 任何具有彈
性及質量的物體, 都會作機械振動。事實上,
在微觀(microscopically) 的世界裡, 次原
子的質點也具有量子力學的波動性質, 這些
性質基本上算是振動邉印Ｒ虼俗匀唤缪e的
物理系統與工程機械一樣, 都會振動。在本文
裡, 作者想從振動力學數學模型的一些方程
式及它們的解, 來說明一些機械振動的現象,
以增加讀者在學習工程及物理上, 對這一方
面的瞭解。
學習數學的人喜歡嚴格性。因此我們首
先想到的問題, 就是什麼是所謂的「機械振
動」。要給它一個嚴格的定義並不容易。不過
我們可以唤y的說, 機械邉邮蔷哂心撤N週
期性, 類似於波動, 並牽涉到能量傳遞的運r
動。自從十六世紀的啟蒙時代開始, 科學家
及數學家就開始對振動邉佑辛伺d趣。在這
一方面, 最早有所建樹的是英國大科學家虎
克(R. Hooke, 1635–1703)。他是有名的虎
克定律(發明於1660年) 的發明人, 比牛頓
(1643–1727) 出生略早; 在科學上也貢獻卓
著。虎克在研究彈簧的振動時, 寫下了有名的
簡諧邉臃匠淌絓r
m¨x(t) + kx(t) = u(t), t > 0。(1)
這裡m 表示彈簧所懸的質量, k 為彈簧的彈
性係數, x(t) 為彈簧在t 時的位移, ¨x(t) 為
x(t) 的二階時間導數, 也就是加速度; u(t)
為外力。請見圖一。
Spring constant k
force
m
u(t)
圖一. 簡諧邉覾r
方程式(1) 是一種基本的常微分方程。當外
無力, u(t) 恆為零時, 它的解可寫出如下:
x(t) = C1 cos ω0t + C2 sin ω0t,
ω0 =
q
k/m, C1,C2 為常數(2)
3
4 數學傳播20卷2期民85年6月
這個結果非常漂亮。它顯示出簡諧邉邮沁L
期性的, 其週期為2π/ω0。但是後來的人逐
漸發現有點問題。因為(2) 告訴我們, 振動
邉赢a生後, 它就會永無休止的繼續振動下
去。你曾經親眼見過一個彈簧永遠振動不停
嗎? 不可能! 也就是說, (2) 與我們的實際
觀察不合。當然, 這個問題還是出在(1), 因
為虎克所取的數學模型太簡單了, 以致有些
要緊的物理因素沒有考慮到; 其中之一就是
摩擦力, 造成能量耗損。因此, 讓我們在方程
式(1) 中, 加入u(t) = −2γx˙ (t) , 意即摩
擦力與速度成正比, 但方向相反。這項一般稱
為阻泥。從而得到
mx¨(t)+2γx˙ (t)+kx(t) = 0, t > 0。(3)
方程式(3) 的解為
x(t) = e−γt(C1 cos ω1t+C2 sin ω1t),
t > 0, (4)
ω1 =
s
k
m
− γ2, γ > 0, γ2 k
m
。
上式告訴我們當時間t 增大時, 位移依指數
衰減至零。因此(4) 式的解就合乎實際得多
了。然而微分方程(3) 所代表的數學模型, 仍
有一個缺點, 即它尚末考慮到其它外力作用。
在很多實際的情況下, 外力的作用是週期性
的。因此我們把方程式(3) 再改進為
mx¨(t)+2γx˙ (t)+kx(t)=F cos(ωt+φ)。(5)
這方程式的通解為
x(t)=e−γt (C1 cos ω1t+C2 sin ω1t)
+
F
m
q
(ω2
1−ω2)2+rγ2ω2
cos(ωt+φ−δ)
(6)
當時間增加時, e−γt(C1 cos ω1t+
C2 sin ω1t) 項很快即衰減至零, 故只剩下
F cos(ωt+φ−δ)
h
m
q
(ω2
1−ω2)+4γ2ω2
i
。這項除了相差δ 以外, 頻率ω 並沒有改變,
但振幅卻變了。我們定出
振幅放大率
=



1 −
ω2
ω2
1
!2
+ 4

γ
ω1
2
ω
ω1
2


−1/2
(7)
它具有這樣的特性: 若是系統中沒有阻泥,即
γ = 0 , 且外力的頻率ω 與系統的頻率ω1
一致的話, 則放大率為無限大。因此就算一開
始系統的振幅很小, 經過這週期性外力作用
後, 振幅會趨於無限大。這就是所謂的共振現
象。它在振動力學的理論及應用上, 佔了極重
要的地位。
一般而言, 除非在理想的狀況下, 阻泥系
數γ 是不會等於零的。不過, 只要γ 相當小,
而且外力頻率ω 也相當接近系統的自然頻率
ω1 的話, 那麼放大率是相當可觀的。這種性
質也給我們在工業上很好的應用。譬如說, 在
電子學裡的R−L−C 電路, 它滿足的振盪
方程式
1
C
I¨(t) + RI˙(t) + LI(t)
= I0 cos(ωt − δ), (8)
I(t) = 電路在時間t 的電流
基本上就跟方程式(5) 類似。要是(8) 式右
邊表示著的是透過天線感應線圈所接收的無
機械振動的一些現象和數學問題5
線電波信號的微小感應電流, 那麼這個R −
L − C 電路就可把無線電波信號放大, 再透
過麥克風, 到可聽的地步。這就是收音機了。
以上的方程式(5) 與(8), 右邊稱為輸
入, 而方程式的解為輸出。這輸入與輸出之間
的關係是線性的, 譬如說, 輸入增加三倍, 則
輸出也必會增加三倍。但是很多振動現象不
是線性的。一個很簡單的例子, 就是單擺運r
動, 其方程式為
mℓ2 ¨θ + mgℓ sin θ = 0, (9)
ℓ = 擺長, m = 擺錘質量, g = 重力加速度,
θ = 單擺與垂直線的夾角。這裡mgℓ sin θ
是一非線性項, 因此對方程式(8) 那樣的線
性方程式的解法與理論就不適用於(9)。一般
非線性振動的二階常微分程式可寫為
mx¨(t)+φ(x˙ (t))+f(x(t)) = F cos(ωt+ψ)
(10)
的形式。此處的f 或φ (二者至少有其一)
是非線性的函數。一個很有名的例子, 是van
der Pol 的方程式, 它是在廿世紀初葉, 由荷
蘭科學家van der Pol 在研究加有柵極真空
管的控制電路上, 所提出的一個數學模型:
mx¨(t)+[−αx˙ (t)+βx˙ (t)3]+kx(t)=0, (11)
t > 0,m, α, β, k > 0。
(在(11) 式中, 我們假設右端項, 即輸入信
號, 為零。) 對(11) 式所代表的振動系統而
言, 它在時間t 的能量為
E(t) =
1
2
mx˙ (t)2 +
1
2
kx(t)2。(12)
因此它對時間t 的變化率為
d
dt
E(t) = [mx¨(t) + kx(t)] x˙ (t)
=
h
αx˙ (t) − βx˙ (t)3
i
x˙ (t)
= αx˙ (t)2 − βx˙ (t)4。(13)
這個結果告訴我們
d
dt
E(t)


≤ 0 ,
≥ 0 ,
如果
|x˙ (t)|≥
q
α/β,
|x˙ (t)|≤
q
α/β。
(14)
這個特性, 告訴我們|x˙ (t)| 不能增得太大, 因
為它太大了, 就會使E(t) 減小, 也就會使
|x˙ (t)| 減小。反之, |x˙ (t)| 也不能太小, 因為
這樣會使能量E(t) 增大。這種自動調節的
功能, 在所謂伺服機械(servomechanism)
或自動控制系統的設計上, 非常有用。譬如
說, 我們可以利用這個性質, 用來作電子電
路的保護設計, 使電路上的電流, 不超過
荷載範圍, 以免電路有燒毀之虞。(13) 及
(14) 所具有的特性, 數學家稱為「自發振
盪」(self-excited oscillation), 意味著這種
振盪系統能夠自我維持, 在一定的振幅內, 振
盪不息。廿世紀的大數學家龐卡瑞(Henri
Poincar´e) 證明了van der Pol 方程式(11)
的解, 一定趨近於週期函數。最近二十年來,
在所謂動力系統(Dynamical Systems) 的
研究上, 我們對(11) 又有嶄新的瞭解; 即在
(11) 式右邊加入輸入項後:
mx¨(t)+[−αx˙ (t)+βx˙ (t)3]+kx(t)
= F cos(ωt + δ), (15)
6 數學傳播20卷2期民85年6月
如果F 及ω 取值在某些範圍內, 則(15)
式之解會具有混沌(chaos) 現象。這在目前
算是時髦的研究課題之一。
二. 偏微分方程的振動系統
上節所提到的常微分方程的振動數學模
型, 在研究連續體力學(continuum mechanics)
裡的振動現象, 是不夠用的。這時,
要用偏微分方程式才可把振動過程用數學描
述出來。我們先來看一個簡單的振動弦方程
式的例子。(這個方程式也稱為波動方程,是應
用數學中最基本的方程式之一。)
∂2u(x, t)
∂t2 −
∂2u(x, t)
∂x2 = 0, (16)
t > 0, 0 u(x, t) = 在位置x, 時間t, 弦的垂直位移,
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, (17)
L = 弦長。
在(17) 中的兩個關係, 稱為邊界條件。它的
物理意義為弦的兩端點是固定的。我們試試
找找看方程式(16)、(17) 的解, 用u(x, t) =
ψ(t)φ(x) (所謂分離變元法) 代入(16), 得
到
−
φ′′(x)
φ(x)
= −
ψ′′(t)
ψ(t)
。(18)
因x 與t 兩變元互相獨立, 上式要成立的話,
若且唯若左右都等於某常數ω2 , 故得


φ′′(x)+ω2φ(x)=0, 0 φ(0) = φ(L) = 0。
(19)
方程式(18) 只有在ω2 = n2π2 時, 有非平
凡解:
φ(x) = c sin(nπx/L),
c 6= 0, n = 1, 2, 3, · · · .
這樣子的解, 稱為方程式(18) 或(16) 的特
徵函數(eigenfunctions)。由(18) 也可看出
來, ψ(t) 的解為
ψ(t)=d1einπt+d2e−inπt,
故
u(x, t) = c sin(nπx/L)
×
h
d1einπt + d2e−inπt
i
(20)
為(16) 的解。這樣的解是具有單一(特徵)
頻率的, 即nπ 。把全部這的解加起來, 我們
即得到一個方程式(16) 及(17) 的通解
u(x, t)
=
1X
n=1

d1neinπt + d2ne−inπt

sin
nπx
L
這就是一個富里哀級數。
特徵函數的物理意義與共振現象有關。
這怎麼講呢? 我們從兩種角度來看。
第一個: 對於波動方程(16) 而言, 不管
邊界條件如何, 只要滿足波動方程的函數就
稱為波動函數。譬如eik(t−x) 與eik(t+x) 就是。
eik(t−x) 是一個向右傳遞的波, 而eik(t+x) 是
一個向左傳遞的波。我們可以把(16) 的解寫
為u(x, t) = c1eik(t−x) + c2eik(t+x) 。但因
弦本身的長度有限, 所以這兩個向右及向左
傳播的波會碰到邊界而反射。我們利用(17)
的邊界條件得
c1eik(t−x) + c2eik(t+x) = 0,
機械振動的一些現象和數學問題7
當x = 0 及x = L 成立。故


c1eikt + c2eikt = 0,
c1eik(t−L) + c2eik(t+L) = 0。
從而得


c1 + c2 = 0,
c1 + c2ei2kL = 0,
(21)
以致
ei2kL = 1, 即kL = nπ,
n = 0,±1,±2, · · · (22)
大家可以看出來, (21) 與(22) 可以推到
(20)。這告訴我們說, 特徵函數所具有的頻
率, 恰能使波從x = 0 至x = L 傳遞再
反射回x = 0 後, 相位角不變。故波動得以
來回傳遞, 而不因相位差重疊而消減。這與第
一節中所討論的共振現象基本上類似。
第二個角度: 我們以小提琴為例。要是
小提琴只有弦而沒有音箱的話, 那麼撥弦所
彈奏的曲子, 聲音是非常弱的。但是附上了音
箱, 樂曲的聲音就清析悅耳可聞了。可見音箱
有放大音量的效果, 這就是共振現象。
從這裡看來,小提琴音箱的製造, 就是一
門相當大的學問了。不論從材料或形狀上, 都
必須講究, 使它能夠發出它特有的音色。因此
你聽小提琴演奏時, 可以知道彈的不是胡琴。
所謂音色, 就是音箱對不同頻率的音波, 有不
同的放大率, 然後產生的和音效果。目前小提
琴音箱的形狀, 是音匠們幾百年來憑其經驗
不斷改革演進而成。
到了十九世紀, 聲學也隨著其它物理科
門, 有了長足的進展。德國的大數學物理學
家H. Helmholtz 在1885年, 出版了在聲學
方面的首本鉅著, 書名是「論音感」(On the
Sensations of Tone)。它裡面有提到一個鑑
定音波頻率的古老辦法: 用一張薄膜罩在一
個去底的瓶子上, 周圍用線綁緊(見圖二)。在
薄膜上灑鹽, 然後用不同頻率的音叉在瓶口
附近敲, 使音波傳入瓶內。
鹽粒
撐緊之羊皮薄膜
兩邊開口之玻璃瓶
音叉
圖二. 音叉實驗
A B C
f01 f02=2.30f01 f03=3.60f01
D E F
f11=1.59f01 f21=2.14f01 f31=2.65f01
G H I
f12=2.92f01 f22=3.50f01 f13=4.22f01
圖三. Helmholtz 在他書中所畫的節線形狀
(其排列順序應以最低頻率倍數為準,
即A,D,E,B,F,G,H,C,I)
8 數學傳播20卷2期民85年6月
如此, 我們會發現在某個特定頻率下,
薄膜上的鹽粒會全部被震下來。這就是最
低的特徵頻率。若頻率繼續加高, 則鹽粒又
不為所動。但高到某一程度, 鹽粒又被震了下
來, 但不是全部, 沒震下的形成一條直線, 稱
為節線。這時的頻率就是次低的特徵頻率。重
複這個實驗, 讓頻率不斷上升, 我們就會得到
不同形狀的節線及共振頻率, 見圖三。
從這個實驗, 我們得知共振現象並不
是對任何頻率都會發生, 它只會發生在某些
特殊的頻率, 這些特殊的頻率就跟特徵值
(eigenvalue) 和特徵函數(eigenfunction)
有關, 在數學上稱為特徵值問題(eigenvalue
problem), 就是我們下一節的主題。
我們在本節提到的(空間) 一維波動方
程(16), 在高維度的空間裡, 它可推廣為N
維空間的波動方程
∂2u(x, t)
∂t2 − u(x, t) = 0, (23)
這裡x = (x1, · · · , xn) 是N 維空間的位置
向量, 而 = ∂2
∂x2
1
+ ∂2
∂x2
2
+ · · · + ∂2
∂x2
N
是
N 維空間的拉普拉斯算子(Laplacian)。我
們再提幾個常見的機械振動中的偏微分方程:
(結構力學中的振動樑方程式)
ρ
∂2u(x, t)
∂t2 + EI
∂4u(x, t)
∂x4 = 0,
0 0, (L = 樑長) (24)
(量子力學中的薛汀格方程式)
∂u(x, t)
∂t
− i¯hu(x, t) = 0,
x = (x1, · · · , xn)。(25)
(電磁學中的馬克斯威爾方程式)


∂
⇀
E(x,t)
∂t − ∇×
⇀
H (x, t) = 0,
∂
⇀
H(x,t)
∂t + ∇×
⇀
E (x, t) = 0,
(26)
x = (x1, x2, x3)。
(結構力學中的薄板方程式)
ρ
∂2u(x, t)
∂t2 + D2u(x, t) = 0,
x = (x1, x2), 2 =

∂2
∂x21
+
∂2
∂x22
!2
。
(27)
(結構力學中的圓柱形薄殼方程式)


∂2u(x,s,t)
∂x2 +1+ν
2
∂2v(x,s,t)
∂x∂s
+1−ν
2
∂2u(x,s,t)
∂s2 + ν
a
∂w(x,s,t)
∂x = 0,
1+ν
2
∂2u(x,s,t)
∂x∂s +1+ν
2
∂2v(x,s,t)
∂x2
+∂2v(x,s,t)
∂s2 +1
a
∂w(x,s,t)
∂x = 0,
h2
122w(x, s, t)+1
a
h
1
aw(x, s, t)
+∂v(x,s,t)
∂s +ν ∂u(x,s,t)
∂x
i
+1−ν2
Eh m∂2w(x,s,t)
∂t2 = 0。
(28)
(固體力學振動方程式)
(λ+2μ)∇

∇·
⇀u
(x, t)

−μ∇×∇×
⇀u
(x, t)
−ρ
∂2 ⇀
u (x, t)
∂t2 = 0。(29)
方程式(26) 可看作是(24) 在二維空間
的推廣; 順便一提。當然, 以上所提的僅算是
很少數的例子。譬如說, 光是殼的方程式, 就
還有球形薄殼、錐形薄殼, 和圓柱形(非薄)
殼等。其它像地震波傳遞的方程式等等, 相當
複雜, 我們無法在此一一敘述。
機械振動的一些現象和數學問題9
三. 特徵值問題
我們來看看高維空間的波動方程(23),
在二維(N = 2) 的情況下, 它是一
個振動薄膜的數學模形, 就是圖二音叉實
驗的例子。我們現在將時、空二變元分開:
u(x, t) = eiωtφ(x) 代入(23) 中, 得到(所
謂Helmholtz 方程)
φ(x)+ω2φ(x) = 0, x = (x1, x2) ∈
,
(30)
此處
代表薄膜靜止時所佔區域。因薄膜邊
緣定位, 故邊界條件為
φ(x) = 0, x ∈ ∂
, ∂
為
的邊界。
(31)
這樣(30) 及(31) 便成為一個特徵值問題:
把所有的ω 值找出, 使(30) 及(31) 具有非
零解φ(x); λ = ω2 稱為是特徵值, φ(x) 是
特徵函數, 而ω 為特徵頻率。
另一方面, 我們看(25), 若將分離變元
寫為u(x, t) = e−iωtφ(x) 代入, 則得
φ(x) + ¯hωφ(x) = 0。(32)
故(32) 與(31) 基本類似。因此薛丁格方程
式的特徵函數應與波動方程者完全相同, 也
即是說它們顯出有「波動」的特性。事實上,
這是誘導薛汀格當年以方程式(25) 來建立
量子力學的數學基礎的主因之一, 因為他從
de Broglie 的物質波實驗, 獲知物質具有波
動性之故。在(32) 中的特徵值¯hω , 稱為是
電子的能階, 而特徵函數φ(x) 則對應於電
子的分佈狀態。
當
為單位(即半徑為1) 圓盤時, 我
們可以用極坐標把(30), (31) 的解決定。它
們由低頻往高排, 順序排列如表一所示:
特徵函數多重性
J0(2.4048r) 1
J1(3.8317r)e±iθ 2
J2(5.1356r)e±i2θ 2
J0(5.5201r) 1
J3(6.3802r)e±i3θ 2
J1(7.0156r)e±iθ 2
J4(7.5883r)e±i4θ 2
J2(8.4172r)e±i2θ 2
J0(8.6537r) 1
J5(8.7715r)e±i5θ 2
表一. 單位圓盤上 的特徵函數(邊界條件
為零)
這裡的Jn 是n 階的Bessel 函數, r
為半徑, θ 為角。而多重性, 係指對某一頻
率, 譬如說3.8317, 會有兩個不同的特徵
函數, 一個是J1(3.8317r)eiθ , 而另一為
J1(3.8317r)e−iθ 。我們把它們的圖形示於圖
四至圖十三中。讀者可將這些圖形右邊的節
線圖, 與H. Helmholtz 所繪的圖三中所示
節線相比較。
10 數學傳播20卷2期民85年6月
圖四. 圓盤上第一個特徵函數J0(2.4048r)
圖五. 圓盤上的第二個特徵函數J1(3.8317r)e±iθ 的實部
圖六. 圓盤上的第三個特徵函數J2(5.1356r)e±i2θ 的實部
機械振動的一些現象和數學問題11
圖七. 圓盤上的第四個特徵函數J0(5.5201r)
圖八. 圓盤上的第五個特徵函數J3(6.3802r)e±i3θ 的實部
圖九. 圓盤上的第六個特徵函數J1(7.0156r)e±iθ 的實部
12 數學傳播20卷2期民85年6月
圖十. 圓盤上第七個特徵函數J4(7.5883r)e±i4θ 的實部
圖十一. 圓盤上第八個特徵函數J2(8.4172r)e±i2θ 的實部
圖十二. 圓盤上第九個特徵函數J0(8.6537r)
機械振動的一些現象和數學問題13
圖十三. 圓盤上第十個特徵函數J5(8.7715r)e±i5θ 的實部
圖十四. 一個小提琴形狀的區域(邊界分割成50份, 用以進行邊界元素計算)
i λi = ω2
1 21.0606
2 49.7440
3 55.5648
4 59.2180
5 118.3052
6 155.8094
7 164.3584
8 212.9246
9 214.5384
10 235.7697
表二. 在小提琴形狀區域上 的邊界元素計算所得之特徵值λ (邊界條件為零)
14 數學傳播20卷2期民85年6月
圖十五. 小提琴區域上 的第一個特徵函
數
圖十六. 小提琴區域上 的第二個特徵函
數
圖十七. 小提琴區域上 的第三個特徵函
數
圖十八. 小提琴區域上 的第四個特徵函
數
圖十九. 小提琴區域上 的第五個特徵函
數
圖二十. 小提琴區域上 的第六個特徵函
數
機械振動的一些現象和數學問題15
圖二十一. 小提琴區域上 的第七個特徵
函數
圖二十二. 小提琴區域上 的第八個特徵
函數
圖二十三. 小提琴區域上 的第九個特徵
函數
圖二十四. 小提琴區域上 的第十個特徵
函數
圖二十五.一個啞鈴形的區域, 其邊界分割為
59份, 以行邊界元素法計算
i i = !2
1 25.0907
2 54.7484
3 70.7229
4 100.5261
5 103.8032
6 146.2646
7 146.6854
8 163.4051
9 172.0753
10 177.0784
表三. 在啞鈴形狀區域上 的邊界元素計
算所得之特徵值λ (邊界條件為零)
當
不是像圓形、矩形、橢圓形等的規
則區域時,則無法把特徵函數用分離變元法完
全解出。這時怎麼辦呢? 我們只好依賴解偏
微分方程的數值方法,藉計算機之力求出數值
解。數值方法如差分法、有限元素法及邊界元
素法等, 基本上均可用, 不過其中以邊界元素
16 數學傳播20卷2期民85年6月
法解(30)、(31) 較好做。這是筆者與同事周建
新教授所發展的,細節請參考我及他合著一書
G. Chen and J. Zhou, “Boundary Ele-
ment Methods” Academic Press, Lon-
don, 1992
中。以下,我們舉出兩個不規則區域
的例子,
並附其特徵函數經計算得出的圖形,供大家參
考。
第一個是像小提琴或胡琴形狀的區域,
見圖十四, 我們在用邊界元素計算的時候, 把
邊界的曲線分割成50段。在曲線的曲率較大
之處, 分割得稍微密一些。這樣用邊界元素法
算下去, 得出了十個特徵頻率(見表二) 及十
個特徵函數圖形(見圖十五至二十四)。
第二個是像啞鈴形狀的區域, 見圖二十
五, 它是由在右邊的一個大房間, 以長廊通到
左邊的小房間構造而成。我們在以邊界元素
計算的時候,將邊界分割成59份線段。所得出
的10個特徵值,請見表三中。我們也畫出13個
特徵函數的圖形, 請見圖二十六至三十八中。
計算機所繪圖形給我們在研究數學、物
理或工程時, 直覺上幫助非常大。譬如說, 我
們來看圖四, 十五, 及二十六。這三個圖都是
最低頻率的特徵函數,它們具有什麼樣的共同
特點呢? 即是函數值都是正的。這是偏微分方
程理論裡的一個基本定理。事實上, 僅有這個
特徵函數是具有這個性質的。其他的特徵函
數在
上取值, 必定有正有負。因此, 這個最
低頻的特徵函數,它在振動力學上的意義也就
特別要緊, 由於它振動時, 所有點的邉佣际荺r
同相的, 使它的振幅大, 破壞力高的緣故。
我們再來看次低頻的特徵函數, 見圖五、
十六及二十七。這三圖具有任何共同特性嗎?
是的, 它們都只有一條節線:
1. 這條節線的兩端點都在@
上。(請比較圖
七。它也僅有一條節線, 可是那節線是條
封閉曲線, 沒有端點。)
2. 這條節線把
分成兩部份,一邊特徵函數
的值是正的, 另一邊是負的。
以上這兩個性質,我們是否也可以數學嚴格證
明? 迄今為止, 很多名數學家嘗試過, 可是都
沒有做出來。這是偏微分方程裡的一個有名
的未解決的問題,稱為節線臆測(The nodal line
conjecture)。當然, 你要是做出來的話, 在數學
上就有了一個可以長久留名的貢獻。
我們本節裡的剩下篇幅, 來討論一下圖
二十六至三十八裡顯示的特徵函數。我們可
以把波動方程(23) 想像成在啞鈴區(圖二十
五) 中傳遞的聲波, 因為聲波的邉邮菨M足波
動方程的。
在頭幾個低頻率的特徵函數裡, 見圖二
十六至三十二,我們可以看到聲波的振動或傳
遞均限於右邊的大房間內。在走廊上及小房
間內, 一點振動都看不出。在那些地方的振動
完全為零嗎? 不然, 事實上在那裡仍有極小的
振動。只是振動量微乎其微(譬如說, 與右邊
大房間其量之比, 為1 : 104), 在圖形上完全看
不出來罷了。這種現象, 在量子力學上也有它
的特殊意義,稱為是隧道現象(tunneling),在表
面物理(surface physics) 及電子顯微鏡的設計
上很要緊。(見前段方程式(30) 至(32) 中說明,
因薛汀格與波動方程之特徵函數是相同的。)
直到了第八低的頻率, 見圖三十三, 我
們才見到小房間開始振動,然而走廊上及大房
間幾乎是靜止的, 與第二十六至三十二圖成
明顯的對比。我們稱這種現象為個別振動現
象(separate vibration)。
我們在此順便提一下偏微分方程理論中
有名的Holmgren 定理。這定理很粗湹臄⑹鯸r
如下。假設
為一連通區域, 而u 為
上某
線性偏微分方程的解。若u 在
的子區域
1
上恆等於零,則u 在整個區域
上恆等於零∗
。根據Holmgren的定理,我們可知在圖二十六
至三十二中, 即使在圖形中極平坦的部份, 解
也不應為零, 只是微乎其微罷了。
在圖二十六至三十三中, 個別振動現象
發生的主要原因, 係由於在大、小房間產生的
振動波, 其波長超過走廊的寬度, 以致被走廊
卡住, 不得通過。(這種現象, 可以明顯地在走
廊口上觀察到。) 到了頻率增高, 波長縮短時,
我們開始見到了波逐漸透過走廊, 傳遞起來。
見圖三十六至圖三十八。當然, 我們可以推想
到更高的頻率,大小房間的振動波都可穿過走
廊互相傳遞, 不會再有個別振動現象出現。
圖二十六. 啞鈴區域上 的第一個特徵函數
這定理成立的條件, 事實上還需要@
及這偏微分方程的係數無限「光滑」。僅此略提。
機械振動的一些現象和數學問題17
圖二十七. 啞鈴區域上 的第二個特徵函數
圖二十八. 啞鈴區域上 的第三個特徵函數
(請注意橫向波試圖通過走廊,但因波長太大,
被廊口扼住。)
18 數學傳播20卷2期民85年6月
圖二十九. 啞鈴區域上 的第四個特徵函數
圖三十. 啞鈴區域上 的第五個特徵函數
圖三十一. 啞鈴區域上 的第六個特徵函數
圖三十二. 啞鈴區域上 的第七個特徵函數
圖三十三. 啞鈴區域上 的第八個特徵函數。
左邊小間首次開始有顯著的振動。
圖三十四. 啞鈴區域上 的第九個特徵函數
機械振動的一些現象和數學問題19
圖三十五. 啞鈴區域上 的第十個特徵函數
圖三十六. 啞鈴區域上 的第十一個特徵函
數請注意, 可看到走廊上有輕微的波動。
圖三十七. 啞鈴區域上 的第十二個特徵函
數。這時可見走廊上波動更為明顯。
圖三十八. 這是一個較高頻率的特徵函數(其
順序不詳)。此時可見走廊上所振動之幅度甚
大。
四. 具有物理意義的異常形狀
特徵函數
英國名數學物理學家瑞雷爵士(Lord
Rayleigh) 在1910年研究圓形區域上聲波傳
遞的時候, 發現了一個有趣的現象: 在某些
高頻率時, 聲波好像是繞著圓周傳播, 有如
一個球沿著圓周滾動一樣。因此, 你若靠著牆
邊(以該頻率) 細語, 你的朋友在房間的另一
頭, 耳朵靠著牆可以聽到你講的話, 而站在
房子中間的朋友卻聽不到你講的話。瑞雷爵
士稱呼這種現象為沿牆細語波(whispering
gallery mode)。
到了1960年, 美國名應用數學家凱勒
(J.B. Keller) 及同事Rubinow 研究波動方
程的特徵函數時, 發現瑞雷爵士所提的沿牆
細語波, 不但對圓形區域成立, 在任何(無角
的) 凸形區域上也有。見圖三十九所示。凱勒
他們又發現了, 在凸域上, 還有另外一種波,
它好像是一個球, 沿著凸域上最短徑向的附
近, 來回反彈邉

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• 对应不同固有频率的振型存在着以质量为权函 数的正交关系，它表示振型之间没有能量交换 -marketreflections- ♂ (616 bytes) () 06/16/2010 postreply 19:05:54

• 中国兴华科学教育网 喷水鱼洗 (图) -marketreflections- ♂ (1777 bytes) () 06/16/2010 postreply 19:20:55

• 外力频率比较低阶的固有频率接近时可能产生共振:物体不断吸收能量而引起共振 -marketreflections- ♂ (1717 bytes) () 06/16/2010 postreply 19:30:52

• 由于水的不可压缩性和流动性，波在水中传播时，水质元作二维运动，既有沿波的传播方向的纵向运动，又有沿垂直传播方向的横向运动 (图) -marketreflections- ♂ (2656 bytes) () 06/16/2010 postreply 19:37:42

• 分子在若干价键结构间共振 -marketreflections- ♂ (3081 bytes) () 06/16/2010 postreply 20:11:09

• 微观世界中，所有的生物体都极带有微弱磁场，这种磁场是由电子围绕原子核旋转而产生的，并且在这微弱磁场能量中，带着不同的健康或疾病的 -marketreflections- ♂ (16498 bytes) () 06/16/2010 postreply 20:28:16

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