最 后 的 时 刻
•图雅•
１５１２年，一群法国兵攻入了意大利博利斯镇。镇上的人都逃空了，只在一堵墙的后面发现了一个十来岁的少年。于是发生了类似电影里鬼子进村的一幕：
“你跟这儿藏着干吗呢？”法国军官问。
少年低着头，不说话。
“说！”
“自己看去，”少年偏了一下头，眼睛里有嘲笑的光芒。军官看过去，发现墙根有一片湿。他勃然大怒，一脚踢过去：
“真他妈的野蛮民族！”他把刀抽出来了，“镇上的大人都藏到哪儿去了？”
“。”少年说。
“你说什么？”军官简直不敢相信自己的耳朵。
“我是说，操你们法国兵的母亲。”少年咬文嚼字地解释。
军官一刀劈了下去。
这个顽强的少年就是数学家尼可罗•方台纳（ＮＩＣＣＯＬＯ ＦＯＮＴＡＮＡ，１４９９－１５５７）。那天他之所以能活下来完全是因为一条狗。法国人在他的脸上砍了一刀，血流了一地。那条狗偶然走过来，在他的脸上舔了一阵子。狗的吐沫有杀菌的功能，因此伤口没感染。但是伤好之后，他脸上落了个可怕的大疤，连话也说不清楚了。可这没准也就是为什么他能成为数学家。他不怎么说话，老想。
命中注定，方台纳将在二十多年后受到一次严重的挑战。１５３５年，刚过了年没多久，意大利出了一件不大不小的新闻，数学家费奥（Ａｎｔｏｎｉｏ Ｆｉｏｒ，１５０６－？）挑战数学家方台纳。
那时方台纳已经成了数学教授了，在意大利很有名气。虽然１６世纪的名气也就是会开个方，会做点几何应用题什么的，可你必须知道那个时候在意大利当教授不轻松。老有人跟你犯葛，也就是挑战。怎么挑战呢？出难题。谁都能出。保不准谁哪天高兴了，就能给你出一道刁钻古怪的。你解出来当然好，解不出来，对你的名声可就有影响了。幸亏有一点还公平，谁要给你出题，你也可以给他出，你解不出不要紧，只要对方也解不出，丢脸就是共同的。因为有了这么一条，平常无理取闹的也还不太多。
可这次非同小可，挑战的对方是费奥！他的老师费罗（Ｓｃｉｐｉｏｎｅ Ｄｅｌ Ｆｅｒｒｏ，１４６５－１５２６）很厉害！虽然他死了，可他的学生必然也是很了得的。但是方台纳这个人有进无退，他接受了挑战。题目一共三十道，限一个月之内，找出下面式子里的Ｘ各得几：
Ｘ＾３＋５Ｘ＝６
Ｘ＾３＋２Ｘ＝１９
Ｘ＾３＋７Ｘ＝４８
……
你从这些方程里能看出什么吗？不错，所有三十道，都是：某数乘Ｘ的三次方＋另一个数乘Ｘ＝第三个数。简单点说，就是
Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ，
其中Ｍ，Ｎ都是已知整数。这在数学上叫做三次方程的一种特殊类型的“一般形式”。这三十道题，你能解一道是没用的，你得会解这个“一般形式”，或者能找出一个“一般解法”，也叫“算法”。问题是，方台纳并不知道这个一般解法。翻遍了所有的数学手册也没找到。一气之下，他也给费奥出了三十道特别不近人情的。然后，他便埋头推导起来。他的桌子上很快堆起了大量画得乱七八糟的纸和只咬了几口的皮萨。
时间一天天过去，桌子简直成了个垃圾堆积，推导却毫无进展。那么费奥的桌子又怎么样呢？他的桌子十分干净。不是因为他爱清洁，而是因为他根本就没去做方台纳出的那三十道题。没事他就绕到方台纳他们家附近去侦察一下，每当他看到方家灯火通明，他就忍不住想乐。
要知道他这次出题的原因，还得谈到他的老师。七年前那一天，老师派人把他叫到病床边，拉着他的手，说：孩子，你都二十二岁了。我平常看你不怎么做作业，净到外边玩。我死了，你怎么办呢？费奥到了这个关头也说不出话来了。老师叹了口气，从枕头底下拿出一张纸，说：我也帮不了你什么忙了，师徒一场，我把这个给你吧。记住，不到万不得已的时候，千万别拿出来用。
这张纸上，就写着上面那道方程的一般解法。费奥把老师的话记了六年，到了第七年，他给忘了。别的数学家都挺有成绩的，他觉得自己什么都没做出来，老这么呆着太没面子了。于是他决定把他的秘密武器拿出来，而且，出手的进攻目标是很有名气的方台纳。如果跟方台纳打成平手，他的行情自然会涨上去。他毫不怀疑这个结果，所以对方台纳的题他看也不看。
二月十四号，比划的结果出台了。完全出乎费罗的预料，方台纳解出了所有三十道题，而且公布了一般解法。而他自己连一道题也没解出来。对方台纳教授来说，这是一个辉煌的时刻，他的大疤放着光，跟垂头丧气的费奥亲切握手，然后转过身，对着鼓掌的人群大声宣布：可怜的费奥，按照比赛规则，他输给我三十顿盛宴，我不要了！观众的掌声顿时又响了起来。
今天在任何数学手册上都可以找到Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法，可只有方台纳自己才知道，他曾付出过怎样辛勤的努力。他的解法是最后一天的深夜，比赛的最后一刻才找出来的。
在这最后的时刻，他对困难的回答跟对法国军官的解释一样：富于勇气，而且井井有条。
卡丹与三次方程
-四月
图雅的文章中讲到，费厄用三次方程向方台纳挑战，方台纳大获全胜。象费厄的老师费罗一样，方台纳发现了三次方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法后，把它当作秘密武器，秘不示人。各地的信件象雪片一样飞来，向方台纳询问解法，但他一概不理。时间久了，人们见他不肯开口，渐渐地来信少了。但是其中有一个人，仍然一而再、再而三地来信，语气一次比一次恳切，最后说得方台纳也有些心软了。这个人来自米兰，名叫卡丹（Ｇｉｒｏｌａｍｏ Ｃａｒｄａｎｏ）。从此，故事出现了意想不到的转折。
在继续讲三次方程的故事之前，这里有必要讲一讲卡丹其人。
卡丹的一生很不平凡，可以算是跌宕起伏，波澜壮阔。他的出生就不一般：卡丹的父母并不想要这个孩子，他们用尽了各种堕胎药，但始终没有奏效。卡丹出生的时候又是难产，用他在自传中的话说，是“被硬生生地从母亲的子宫中拽出来的”。呱呱坠地后又差点夭折，是医生用热酒给他从头到脚洗了一遍，才保住了性命。
出生就如此艰难，可以想像卡丹一辈子的身体状况都很差。一连七八夜失眠是家常便饭，心脏、肾脏功能不良，还有大大小小的各种其他疾病。实际上他的精神也不完全正常。他经常狠咬自己的嘴唇，狠扭手指或猛掐胳臂上的皮肤，直到疼得流出眼泪。照他自己的说法，这样做是因为停下来时的感觉无比舒畅。
健康状况不佳，并不是卡丹仅有的困难。他在帕多（Ｐａｄｕａ）大学读医科，以优异成绩毕业，然而米兰地方政府却不发给他行医执照。很明显，他的古怪性格是不发给他执照的一个主要原因。这段时间是卡丹一生中的一个低谷。于是他只好搬到帕多附近的小城萨可（Ｓａｃｃｏ），在那里行医。一天夜里，他梦见了一位白衣少女。而时隔不久，他就遇到一位姑娘，和梦中见到的一模一样。卡丹非常相信梦的含义，所以很快就爱上了这位姑娘并和她结了婚。
卡丹不仅相信梦，还相信占星术，相信可以通过雷雨来预测未来事件。他相信自己有很多保护神，甚至在大庭广众之下和“保护神”说话。
他的另一个爱好是赌博。他在自传中承认自己是个赌棍，天天都赌。好在他同时利用自己这个坏习惯进行了科学研究，写了一本名叫《机会的游戏》（Ｂｏｏｋ ｏｎ Ｇａｍｅｓ ｏｆ Ｃｈａｎｃｅ）的书，在他死后发表了。这是世界上第一本对概率论做严肃的数学探讨的书。
卡丹在萨可从１５２６年住到了１５３２年。他感到在这个小城住下去实在没有发展前途，就带着妻子和一个儿子搬回了米兰。当然，在米兰他依旧被禁止行医。但是在这段时间，幸运之神终于开始向他微笑了。
他举办了很多科普讲座，在贵族中以及在知识界都大受欢迎。他的许多著作，从医学到宗教到数学，都获得了很大的成功。１５３６年，他发表了一篇揭露意大利医学界种种弊端的文章，引起舆论轰动，从此他正式获得了行医的权利。１５３９年米兰医学院聘用了卡丹，很快他就声名远播。在十六世纪中叶，卡丹大概是欧洲最有名的一位医生，他所诊治的病人中有著名的红衣主教，甚至教皇。
可惜好景不长，家庭悲剧接踵而至。１５４６年，卡丹的妻子去世，年仅３１岁，给他留下两儿一女。卡丹对长子蹇巴蒂斯塔（Ｇｉａｍｂａｔｔｉｓｔａ）寄托了极大的希望。蹇巴蒂斯塔很聪明，继承了父亲在医学方面的天赋，在帕维亚（Ｐａｖｉａ）获得了医学学位。１５５７年，蹇巴蒂斯塔不顾父亲的反对，和一个女人结了婚。事实证明这是一桩不和谐的婚姻。蹇巴蒂斯塔的妻子生育了三个孩子，但是她说，没有一个是蹇巴蒂斯塔的。蹇巴蒂斯塔愤怒已极，用毒药毒死了妻子。卡丹在儿子以谋杀罪被捕后，四方奔走求告，指望以自己的名望为蹇巴蒂斯塔免去死罪，但终于无济于事，眼睁睁地看着爱子被送上了断头台。祸不单行，不久他的小儿子也学了坏，沦为地痞，迫使卡丹几次亲自将他送进监狱。
１５６２年，卡丹离开米兰，接受了波隆纳（Ｂｏｌｏｇｎａ）大学的一个医学职位。他带着蹇巴蒂斯塔的儿子法西奥（Ｆａｚｉｏ）赴任。法西奥并不是他的亲孙子，但对老年的卡丹来说，这孩子给他带来了他的亲生子女所没能带来的亲情。
新的环境并没有给卡丹的生活带来安宁。当时意大利的教会正在极力反对欧洲的基督教改革运动，对各种“异端邪说”的惩罚非常严厉。卡丹在１５７０年被捕入狱，罪名之一是他曾写过一本书，书中介绍了一位反基督教的罗马皇帝。令人惊讶的是，在朋友的努力下，卡丹不仅后来获释出狱，还去了罗马，接受了由教皇亲自颁发的一份养老金。
１５７６年９月２０日，经历了一波三折、大起大落的一生，卡丹在平静中去世。用现代人的眼光看来，卡丹的一生非常富有传奇性，又充满了自相矛盾。他是个高产的作家，他的著作涵盖了很多方面的内容，有科学，也有非科学。他的思想一方面体现了现代的理性思维方式，另一方面又带有强烈的中世纪迷信色彩。一个世纪以后，著名数学家和哲学家莱布尼兹总结道：“卡丹是一位有很多缺陷的伟人；假如没有这些缺陷，他将是无与伦比的。”
下面我们回过头来接着讲三次方程的故事。１５３５年，方台纳击败费厄之后，卡丹一次又一次地给方台纳写信询问解法。方台纳严辞拒绝，并说自己准备将来就这个解法写一本书。卡丹一开始很生气，但后来改变了策略，用恳切的语言请方台纳到米兰作客。１５３９年，在方台纳作客期间，卡丹以基督教徒的身份起誓，至死也要保守秘密，绝不向他人泄露。方台纳受了感动，于是把方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法告诉了卡丹。
不久以后的一天，一个叫费拉里（Ｌｕｄｏｖｉｃｏ Ｆｅｒｒａｒｉ）的年轻人来到卡丹家，希望找一份工作。卡丹把他收下做了仆人，但是很快发现这个孩子特别聪明，于是主仆关系迅速转变为师生关系。卡丹给费拉里讲了方台纳的解法，然后两人一起研究，取得了惊人的进展。对最一般的三次方程：Ｘ＾３＋ｂＸ＾２＋ｃＸ＋ｄ＝０，卡丹找出了解法；然而他的解法依赖于把一般方程简化成Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的形式，而由于对方台纳的誓言，卡丹自己的发现也不能发表。同时，费拉里发现了四次方程的解法。这是代数学的一个巨大的进展，但是这个解法需要把四次方程简化为一个相关的三次方程来解，所以碍于卡丹的誓言，仍然不能发表。师徒二人手中掌握着当时代数上最重要的发现，却不能发表，其心情可想而知。
１５４３年，卡丹和费拉里来到波隆纳。他们找到了费罗的手稿，其中就有Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程的解法。对于卡丹来说，这无疑解除了誓言的约束，因为这个解法来自费罗，而不是方台纳。至于费罗的解法和方台纳的解法一模一样这个事实，卡丹就假装不知道。
１５４５年，卡丹发表了他的数学名著《伟大的艺术》（Ａｒｓ Ｍａｇｎａ）。卡丹认为代数是一门“伟大的艺术”。这本书共有四十章。在书中，他介绍了不同形式的二次和三次等多项式方程的求解方法。第十一章讲的就是Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程。在这一章的开头，卡丹写道：“三十年前，费罗发现了这个解法并在后来教给了费厄。费厄向塔塔格利亚挑战，使塔塔格利亚有机会也发现了这个解法。他在我的恳求下把解法告诉了我，但没有讲它的证明。依靠这些协助，我证明了这个解法的正确性。这个问题难度极大。”
塔塔格利亚就是方台纳。方台纳从小面部受伤，说话受影响，因此得了个外号“塔塔格利亚”（Ｔａｒｔａｇｌｉａ），意思是“结巴颏子”。后来他以塔塔格利亚出名，其本名“方台纳”却很少被提起。
虽然卡丹在书中说明了塔塔格利亚的贡献，塔塔格利亚却不满意。他指责卡丹是个骗子，违背了基督教徒的神圣誓言。卡丹本人对这些指责采取高姿态，并不反驳；但是他的弟子费拉里对塔塔格利亚进行了猛烈的反击。费拉里反过来指责对塔塔格利亚抄袭费罗的结果。双方来来往往地互相指责，对立逐渐升级。１５４８年，塔塔格利亚来到米兰和费拉里进行公开辩论。卡丹没有出场，塔塔格利亚利用这一点攻击卡丹，说他是因为心虚。这场辩论最后发展到了白热化的程度，双方动了手。费拉里占有地利人和之便，所以最终塔塔格利亚能够得以生还，都属侥幸。
至此，三次方程的故事算是告一段落。现在，三次多项式方程的根式解的公式，一般称为“卡丹——塔塔格利亚公式”。最后值得一提的是，１８２４年，年轻的挪威数学家阿贝尔（Ｎｉｅｌｓ Ａｂｅｌ）证明了五次和五次以上的多项式方程不存在根式解，给多项式方程的求解问题画上了一个完整的句号。
•图雅•
１５１２年，一群法国兵攻入了意大利博利斯镇。镇上的人都逃空了，只在一堵墙的后面发现了一个十来岁的少年。于是发生了类似电影里鬼子进村的一幕：
“你跟这儿藏着干吗呢？”法国军官问。
少年低着头，不说话。
“说！”
“自己看去，”少年偏了一下头，眼睛里有嘲笑的光芒。军官看过去，发现墙根有一片湿。他勃然大怒，一脚踢过去：
“真他妈的野蛮民族！”他把刀抽出来了，“镇上的大人都藏到哪儿去了？”
“。”少年说。
“你说什么？”军官简直不敢相信自己的耳朵。
“我是说，操你们法国兵的母亲。”少年咬文嚼字地解释。
军官一刀劈了下去。
这个顽强的少年就是数学家尼可罗•方台纳（ＮＩＣＣＯＬＯ ＦＯＮＴＡＮＡ，１４９９－１５５７）。那天他之所以能活下来完全是因为一条狗。法国人在他的脸上砍了一刀，血流了一地。那条狗偶然走过来，在他的脸上舔了一阵子。狗的吐沫有杀菌的功能，因此伤口没感染。但是伤好之后，他脸上落了个可怕的大疤，连话也说不清楚了。可这没准也就是为什么他能成为数学家。他不怎么说话，老想。
命中注定，方台纳将在二十多年后受到一次严重的挑战。１５３５年，刚过了年没多久，意大利出了一件不大不小的新闻，数学家费奥（Ａｎｔｏｎｉｏ Ｆｉｏｒ，１５０６－？）挑战数学家方台纳。
那时方台纳已经成了数学教授了，在意大利很有名气。虽然１６世纪的名气也就是会开个方，会做点几何应用题什么的，可你必须知道那个时候在意大利当教授不轻松。老有人跟你犯葛，也就是挑战。怎么挑战呢？出难题。谁都能出。保不准谁哪天高兴了，就能给你出一道刁钻古怪的。你解出来当然好，解不出来，对你的名声可就有影响了。幸亏有一点还公平，谁要给你出题，你也可以给他出，你解不出不要紧，只要对方也解不出，丢脸就是共同的。因为有了这么一条，平常无理取闹的也还不太多。
可这次非同小可，挑战的对方是费奥！他的老师费罗（Ｓｃｉｐｉｏｎｅ Ｄｅｌ Ｆｅｒｒｏ，１４６５－１５２６）很厉害！虽然他死了，可他的学生必然也是很了得的。但是方台纳这个人有进无退，他接受了挑战。题目一共三十道，限一个月之内，找出下面式子里的Ｘ各得几：
Ｘ＾３＋５Ｘ＝６
Ｘ＾３＋２Ｘ＝１９
Ｘ＾３＋７Ｘ＝４８
……
你从这些方程里能看出什么吗？不错，所有三十道，都是：某数乘Ｘ的三次方＋另一个数乘Ｘ＝第三个数。简单点说，就是
Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ，
其中Ｍ，Ｎ都是已知整数。这在数学上叫做三次方程的一种特殊类型的“一般形式”。这三十道题，你能解一道是没用的，你得会解这个“一般形式”，或者能找出一个“一般解法”，也叫“算法”。问题是，方台纳并不知道这个一般解法。翻遍了所有的数学手册也没找到。一气之下，他也给费奥出了三十道特别不近人情的。然后，他便埋头推导起来。他的桌子上很快堆起了大量画得乱七八糟的纸和只咬了几口的皮萨。
时间一天天过去，桌子简直成了个垃圾堆积，推导却毫无进展。那么费奥的桌子又怎么样呢？他的桌子十分干净。不是因为他爱清洁，而是因为他根本就没去做方台纳出的那三十道题。没事他就绕到方台纳他们家附近去侦察一下，每当他看到方家灯火通明，他就忍不住想乐。
要知道他这次出题的原因，还得谈到他的老师。七年前那一天，老师派人把他叫到病床边，拉着他的手，说：孩子，你都二十二岁了。我平常看你不怎么做作业，净到外边玩。我死了，你怎么办呢？费奥到了这个关头也说不出话来了。老师叹了口气，从枕头底下拿出一张纸，说：我也帮不了你什么忙了，师徒一场，我把这个给你吧。记住，不到万不得已的时候，千万别拿出来用。
这张纸上，就写着上面那道方程的一般解法。费奥把老师的话记了六年，到了第七年，他给忘了。别的数学家都挺有成绩的，他觉得自己什么都没做出来，老这么呆着太没面子了。于是他决定把他的秘密武器拿出来，而且，出手的进攻目标是很有名气的方台纳。如果跟方台纳打成平手，他的行情自然会涨上去。他毫不怀疑这个结果，所以对方台纳的题他看也不看。
二月十四号，比划的结果出台了。完全出乎费罗的预料，方台纳解出了所有三十道题，而且公布了一般解法。而他自己连一道题也没解出来。对方台纳教授来说，这是一个辉煌的时刻，他的大疤放着光，跟垂头丧气的费奥亲切握手，然后转过身，对着鼓掌的人群大声宣布：可怜的费奥，按照比赛规则，他输给我三十顿盛宴，我不要了！观众的掌声顿时又响了起来。
今天在任何数学手册上都可以找到Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法，可只有方台纳自己才知道，他曾付出过怎样辛勤的努力。他的解法是最后一天的深夜，比赛的最后一刻才找出来的。
在这最后的时刻，他对困难的回答跟对法国军官的解释一样：富于勇气，而且井井有条。
卡丹与三次方程
-四月
图雅的文章中讲到，费厄用三次方程向方台纳挑战，方台纳大获全胜。象费厄的老师费罗一样，方台纳发现了三次方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法后，把它当作秘密武器，秘不示人。各地的信件象雪片一样飞来，向方台纳询问解法，但他一概不理。时间久了，人们见他不肯开口，渐渐地来信少了。但是其中有一个人，仍然一而再、再而三地来信，语气一次比一次恳切，最后说得方台纳也有些心软了。这个人来自米兰，名叫卡丹（Ｇｉｒｏｌａｍｏ Ｃａｒｄａｎｏ）。从此，故事出现了意想不到的转折。
在继续讲三次方程的故事之前，这里有必要讲一讲卡丹其人。
卡丹的一生很不平凡，可以算是跌宕起伏，波澜壮阔。他的出生就不一般：卡丹的父母并不想要这个孩子，他们用尽了各种堕胎药，但始终没有奏效。卡丹出生的时候又是难产，用他在自传中的话说，是“被硬生生地从母亲的子宫中拽出来的”。呱呱坠地后又差点夭折，是医生用热酒给他从头到脚洗了一遍，才保住了性命。
出生就如此艰难，可以想像卡丹一辈子的身体状况都很差。一连七八夜失眠是家常便饭，心脏、肾脏功能不良，还有大大小小的各种其他疾病。实际上他的精神也不完全正常。他经常狠咬自己的嘴唇，狠扭手指或猛掐胳臂上的皮肤，直到疼得流出眼泪。照他自己的说法，这样做是因为停下来时的感觉无比舒畅。
健康状况不佳，并不是卡丹仅有的困难。他在帕多（Ｐａｄｕａ）大学读医科，以优异成绩毕业，然而米兰地方政府却不发给他行医执照。很明显，他的古怪性格是不发给他执照的一个主要原因。这段时间是卡丹一生中的一个低谷。于是他只好搬到帕多附近的小城萨可（Ｓａｃｃｏ），在那里行医。一天夜里，他梦见了一位白衣少女。而时隔不久，他就遇到一位姑娘，和梦中见到的一模一样。卡丹非常相信梦的含义，所以很快就爱上了这位姑娘并和她结了婚。
卡丹不仅相信梦，还相信占星术，相信可以通过雷雨来预测未来事件。他相信自己有很多保护神，甚至在大庭广众之下和“保护神”说话。
他的另一个爱好是赌博。他在自传中承认自己是个赌棍，天天都赌。好在他同时利用自己这个坏习惯进行了科学研究，写了一本名叫《机会的游戏》（Ｂｏｏｋ ｏｎ Ｇａｍｅｓ ｏｆ Ｃｈａｎｃｅ）的书，在他死后发表了。这是世界上第一本对概率论做严肃的数学探讨的书。
卡丹在萨可从１５２６年住到了１５３２年。他感到在这个小城住下去实在没有发展前途，就带着妻子和一个儿子搬回了米兰。当然，在米兰他依旧被禁止行医。但是在这段时间，幸运之神终于开始向他微笑了。
他举办了很多科普讲座，在贵族中以及在知识界都大受欢迎。他的许多著作，从医学到宗教到数学，都获得了很大的成功。１５３６年，他发表了一篇揭露意大利医学界种种弊端的文章，引起舆论轰动，从此他正式获得了行医的权利。１５３９年米兰医学院聘用了卡丹，很快他就声名远播。在十六世纪中叶，卡丹大概是欧洲最有名的一位医生，他所诊治的病人中有著名的红衣主教，甚至教皇。
可惜好景不长，家庭悲剧接踵而至。１５４６年，卡丹的妻子去世，年仅３１岁，给他留下两儿一女。卡丹对长子蹇巴蒂斯塔（Ｇｉａｍｂａｔｔｉｓｔａ）寄托了极大的希望。蹇巴蒂斯塔很聪明，继承了父亲在医学方面的天赋，在帕维亚（Ｐａｖｉａ）获得了医学学位。１５５７年，蹇巴蒂斯塔不顾父亲的反对，和一个女人结了婚。事实证明这是一桩不和谐的婚姻。蹇巴蒂斯塔的妻子生育了三个孩子，但是她说，没有一个是蹇巴蒂斯塔的。蹇巴蒂斯塔愤怒已极，用毒药毒死了妻子。卡丹在儿子以谋杀罪被捕后，四方奔走求告，指望以自己的名望为蹇巴蒂斯塔免去死罪，但终于无济于事，眼睁睁地看着爱子被送上了断头台。祸不单行，不久他的小儿子也学了坏，沦为地痞，迫使卡丹几次亲自将他送进监狱。
１５６２年，卡丹离开米兰，接受了波隆纳（Ｂｏｌｏｇｎａ）大学的一个医学职位。他带着蹇巴蒂斯塔的儿子法西奥（Ｆａｚｉｏ）赴任。法西奥并不是他的亲孙子，但对老年的卡丹来说，这孩子给他带来了他的亲生子女所没能带来的亲情。
新的环境并没有给卡丹的生活带来安宁。当时意大利的教会正在极力反对欧洲的基督教改革运动，对各种“异端邪说”的惩罚非常严厉。卡丹在１５７０年被捕入狱，罪名之一是他曾写过一本书，书中介绍了一位反基督教的罗马皇帝。令人惊讶的是，在朋友的努力下，卡丹不仅后来获释出狱，还去了罗马，接受了由教皇亲自颁发的一份养老金。
１５７６年９月２０日，经历了一波三折、大起大落的一生，卡丹在平静中去世。用现代人的眼光看来，卡丹的一生非常富有传奇性，又充满了自相矛盾。他是个高产的作家，他的著作涵盖了很多方面的内容，有科学，也有非科学。他的思想一方面体现了现代的理性思维方式，另一方面又带有强烈的中世纪迷信色彩。一个世纪以后，著名数学家和哲学家莱布尼兹总结道：“卡丹是一位有很多缺陷的伟人；假如没有这些缺陷，他将是无与伦比的。”
下面我们回过头来接着讲三次方程的故事。１５３５年，方台纳击败费厄之后，卡丹一次又一次地给方台纳写信询问解法。方台纳严辞拒绝，并说自己准备将来就这个解法写一本书。卡丹一开始很生气，但后来改变了策略，用恳切的语言请方台纳到米兰作客。１５３９年，在方台纳作客期间，卡丹以基督教徒的身份起誓，至死也要保守秘密，绝不向他人泄露。方台纳受了感动，于是把方程Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的解法告诉了卡丹。
不久以后的一天，一个叫费拉里（Ｌｕｄｏｖｉｃｏ Ｆｅｒｒａｒｉ）的年轻人来到卡丹家，希望找一份工作。卡丹把他收下做了仆人，但是很快发现这个孩子特别聪明，于是主仆关系迅速转变为师生关系。卡丹给费拉里讲了方台纳的解法，然后两人一起研究，取得了惊人的进展。对最一般的三次方程：Ｘ＾３＋ｂＸ＾２＋ｃＸ＋ｄ＝０，卡丹找出了解法；然而他的解法依赖于把一般方程简化成Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ的形式，而由于对方台纳的誓言，卡丹自己的发现也不能发表。同时，费拉里发现了四次方程的解法。这是代数学的一个巨大的进展，但是这个解法需要把四次方程简化为一个相关的三次方程来解，所以碍于卡丹的誓言，仍然不能发表。师徒二人手中掌握着当时代数上最重要的发现，却不能发表，其心情可想而知。
１５４３年，卡丹和费拉里来到波隆纳。他们找到了费罗的手稿，其中就有Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程的解法。对于卡丹来说，这无疑解除了誓言的约束，因为这个解法来自费罗，而不是方台纳。至于费罗的解法和方台纳的解法一模一样这个事实，卡丹就假装不知道。
１５４５年，卡丹发表了他的数学名著《伟大的艺术》（Ａｒｓ Ｍａｇｎａ）。卡丹认为代数是一门“伟大的艺术”。这本书共有四十章。在书中，他介绍了不同形式的二次和三次等多项式方程的求解方法。第十一章讲的就是Ｘ＾３＋ＭＸ＝Ｎ形式的方程。在这一章的开头，卡丹写道：“三十年前，费罗发现了这个解法并在后来教给了费厄。费厄向塔塔格利亚挑战，使塔塔格利亚有机会也发现了这个解法。他在我的恳求下把解法告诉了我，但没有讲它的证明。依靠这些协助，我证明了这个解法的正确性。这个问题难度极大。”
塔塔格利亚就是方台纳。方台纳从小面部受伤，说话受影响，因此得了个外号“塔塔格利亚”（Ｔａｒｔａｇｌｉａ），意思是“结巴颏子”。后来他以塔塔格利亚出名，其本名“方台纳”却很少被提起。
虽然卡丹在书中说明了塔塔格利亚的贡献，塔塔格利亚却不满意。他指责卡丹是个骗子，违背了基督教徒的神圣誓言。卡丹本人对这些指责采取高姿态，并不反驳；但是他的弟子费拉里对塔塔格利亚进行了猛烈的反击。费拉里反过来指责对塔塔格利亚抄袭费罗的结果。双方来来往往地互相指责，对立逐渐升级。１５４８年，塔塔格利亚来到米兰和费拉里进行公开辩论。卡丹没有出场，塔塔格利亚利用这一点攻击卡丹，说他是因为心虚。这场辩论最后发展到了白热化的程度，双方动了手。费拉里占有地利人和之便，所以最终塔塔格利亚能够得以生还，都属侥幸。
至此，三次方程的故事算是告一段落。现在，三次多项式方程的根式解的公式，一般称为“卡丹——塔塔格利亚公式”。最后值得一提的是，１８２４年，年轻的挪威数学家阿贝尔（Ｎｉｅｌｓ Ａｂｅｌ）证明了五次和五次以上的多项式方程不存在根式解，给多项式方程的求解问题画上了一个完整的句号。
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