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规范场理论和金融市场模型 李
- 华- 钟
（中山大学高等学术研究中心
- 广州- ./012.）
摘
- 要- - 文章介绍近年理论物理在金融学市场建模中的应用的一个新方向，与一般的数学建模不同，它是应用几
何结构的模型，建立在规范场的物理思想和纤维丛的几何结构的基础上
& 文章介绍了规范场的物理概念思想原则，也
介绍纤维丛数学概念和几何结构，然后说明规范场理论与纤维丛理论的相结合，成为与金融市场概念和运作相匹配 的市场模型，举出这一模型成功引导出金融市场产品定价的
3(*+4 5 6+!7(89 方程和公式& 文章对象以物理学者为主，
对于理论经济学、金融理论和系统科学的读者来说可略去数学推导
&
关键词
- - 金融资产定价，规范对称，纤维丛应用
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100. 5 /1 5 /1
收到，100L 5 0M 5 0N 修回
本文部分内容源自“非均衡金融定价规范建模研讨会”上的应邀专 题报告，
100. 年// 月，上海
/-
导言
近年来在金融学的理论研究中，运用理论物理的 思维方式和方法，建立金融市场的模型，金融资产价 值的定价和市场演进的预测等，把传统均衡的模型发 展为动态的模型，以至极端状态的市场出现的可能预 测，应用统计物理学方法例如随机行走，临界动力学 指标分析，混沌机制，分形，分岔等；近年来还有应用 规范场理论建立金融市场运作的模型和规律
&
本文只是在物理概念和金融市场的概念和原则 作平行展开的类比，不涉及概率论、博奕论、随机微 分方程等数学工具的运用和推演
& 同时，我们只是表
达学院式的理论研究也不涉及金融实践家的成败经 验
& 金融实践家———如银行家股票炒家和金融玩家
的立场观点和方法不是我们要谈论的话题，可以说 我们是纸上谈兵，脱离实际，书生之见，不过近十多 年来不只是经济学界的学术圈子，华尔街和瑞士银 行的大亨们对这些空论却感到兴趣
&
在金融资本市场，市场交易者通过市场运作，卖 出买入金融资产，籍以获得利润
& 在这领域，金融学
的主要课题是：研究金融资产及其衍生资产的定价， 投资组合技术，获利策略，公司金融政策，风险规避， 进而对金融市场中演进短期预测
& 其中资产定价是
市场运作的起点，这是经济数学应用最主要的领域， 富有争议的市场预测也是数学应用的重要领域
&
/O
世纪到10 世纪之初，旧金融学运用的工具
·
;:9·
评述 ! "#
卷（$%%& 年）’ 期! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ())*：++,,,- ,./0- 12- 23
是会计学和统计，资料是市场公司的财政报表，数据 分析，作出市场的短期预测
-
$%
世纪中期到现在，现代金融经济学运用数学
建立市场模型，资产定价公式，不独运用数学建立数 学模型，并且引入物理理论，建立模型和资产定价
- 这
就开始形成了现时称为金融物理，金融工程，金融数 学等新学科
-“资产定价”、“市场预测”是目前物理理
论进入金融学的切入点
- 理论物理应用到金融理论中
的现状，已经有一般性的和较为专业性的导介文章
-
本文不打算重复它们已介绍过的内容，有兴趣了解金 融物理一般前沿状态的读者请参考文献［
4—"］- 本文
只是从规范场理论这一角度来看金融市场，这也是金 融物理这个方向最近的前沿视角之一
-
在参考文献［
"］和［5］中我们已经讨论过金融
市场作为物理系统的可能性，作为大数目自由度系 统具有共通的要素，正是由于这些共同性，统计数学 的模型和方法既可用于工程建模也可用于经济建 模
- 对市场中的不确定性和物理系统的不确定性，我
们没有必要也不可能去追究它们的来源是自然界的 或社会的，是物理的还是心理的，都只是用随机方法 处理
- 自然界的动物群体和社会的群性，即使有近代
阶段之巨大差异和本质变异，但群体共性仍然存在
-
市场建模并不只专注于市场的参与者的个别行为， 模型代表的是市场整体行为，物理模型有个体行为 也有整体行为，整体行为建立在互动的个体行为的 基础上，有个体所没有的整体表现
- 概率论的应用隐
含假设在相同条件下可以重复大数目多次的实验操 作，即物理学称之为统计系综的方法的基础
- 统计力
学就建筑在包含大数目的系统的系综上
- 市场本来
就是不可以在相同条件下重复实验，因而运用概率 论方法只能是人为修饰的近似
- 在这一点上数学建
模方法同物理建模方法是同样的近似逼近
- 事实上，
现时经济学的许多数学模型，实际上也是物理模型， 只不过是表述时采用数学语言，或是物理语言的形 式概括力不同而已
- 例如随机行走模型既可以看成
一种数学模型，同时也可看成物理学的布朗运动模 型，人们能接受经济学的数学模型，就同样应该可以 接受物理模型
- 随机行走在物理上看是一个无记忆
的醉汉漫步，少数者胜的博奕模型也是两人博奕约 定的物理模型，只不过这些模型的数字意义是一般 常识可以接受的，物理的解释也是显而易见，亦为一 般常识所接受
- 我们在以后会谈到金融市场的规范
场模型，纤维丛模型
- 这些模型就与已往熟悉的数学
模型不同了，它超出了一般常识认可的范畴，以致有 的金融学者经济学者，甚至经济数学家视之为怪异
-
金融市场的规范场模型，其实同时也是一种数 学模型，就是纤维丛模型，这一模型和现在流行的经 济数学模型有特别不同之处：（
4）它不是数量上的
数学，它是几何结构的形态的数学，这是经济数学模 型所稀见的更复杂的模型，这就不易为一向熟悉数 量数学的学者们所接受
- 一般来说熟悉的是概率论、
随机微分方程等，对于微分几何、拓扑学在经济领域 的应用比较陌生
-（$）纤维丛所描述的物理是规范
场论，它主要地不是局域的描述，它统辖大范围性 质，物理系统的整体性视野，这也是与一般熟悉局域 的描述接触作用近邻逐点传播的局域观念有很大不 同
-（"）作为模型的具体演绎推算，运用理论物理学
的标准方法规程，更使人有一种印象：用物理方法去 解决金融问题，显然，这好像有人会运用经济方法去 解决物理问题同等的荒谬
-
$!
简史
应用规范场理论去构建金融市场模型的研究， 始于
4’’6 年俄罗斯科学院圣彼得堡7)89/:; 数学研
究所的数学物理学博士
<- =/03>90- 他在取得博士学
位后，赴英国伯明翰大学从事研究工作五年，在伯明 翰认识了金融市场方面的友人，从中了解了市场的 运作
- =/03>90 认为规范理论可以应用到金融建模工
作上
-
4’’6
年，=/03>90 和合作者发表了一系列科学论
文和研究报告
［#—?］，阐述了他创立的金融物理，套利
的规范理论，准有效金融市场的电动力学模型，以套 利规范理论导出
@/129 A 72(:/8> 方程等- 这一新的
金融市场理论模型引起了回应讨论
［’—4$］，自此开辟
了用物理理论研究金融市场的一条新途径
- 当然，物
理理论用于研究金融不是从规范场开始，早在
4’%%
年已有一开端，那是应用到随机行走数学的布朗运 动
［"］，4’?# 年后有很大的发展［$］，规范理论的应用
到金融市场，也反映了
$4 世纪物理学向社会科学渗
透的趋势
-
"!
市场作为物理系统
要理解为什么规范理论可以用到金融市场，需 要先回答两个问题：一是从一个理论物理的观点来 看，金融市场能否作为一个物理系统来处理？二是 从金融市场的角度来看，规范场理论框架能否容纳 ·
#"!·
评述 !""#
：$$%%%& %’)& *+& +,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 物理
金融市场包含的基本元素、概念和运作？这是一件 事情的两个侧面，或者说物理系统与金融市场是否 有共通之道，两者能否恰好匹配
&
把市场作为一个物理系统用物理理论方法处理 是否成立，这是一个仍在讨论和争论中的问题
& 经济
学者金融学者会认为这是一个假命题，理由一般来 说是：第一，经济问题和物理问题是两种对象、性质 和方式都不同的问题，不可以用物理方法去解决经 济问题，犹如不可能用解决经济问题的办法去解决 物理问题；第二，经济市场是人群所参与实践的，人 是有个人意志的参与者，其参与过程中有策略、决策 等理性的因素和心理等非理性因素，这些都不是物 理方法所能涉及的；第三，经济市场不但受自然环境 的影响还受政治的影响甚至支配，这些影响和支配 作用在性质上不是物理的，也不可以量化的
& 基于以
上三点考虑，对于目前所谓“ 金融物理”，有一部分 学者并不认同
&
对于金融市场物理模型支持者来说，他们的理 由之一是认为市场具有对称性，如同物理系统一样， 因而能够探索市场的对称原则并根据这些原则推演 一定的规律，本文所介绍的规范建模就是一项最近 的发展，下一节我们先说物理对称性原理如何支配 物理系统的行为
&
.-
对称原理支配系统行为
/0
世纪物理学基础理论的最主要成就之一，就
是对于物理世界对称性的认识，它始于
/0 世纪之初
爱因斯坦的狭义相对论，物理规律都必须遵从一定 的时空对称，亦即是相对性原理，它表现为在均匀四 维时空中的洛伦兹变换不变，这个相对论对称性限 制了可能的可供选择的如哈密顿量，拉格朗日量必 须满足相对论时空对称性，从这点出发再加入最小 作用量原理的要求下，导出了系统的运动方程，从而 建立力学系统的完整理论体系，但是应该注意到对 称性原理给出了对可供物理系统应用的模型限制， 但并未做到决定唯一的选择
& /0 世纪中叶（123.
年），杨振宁
4 米尔斯的非亚贝尔规范理论发展定
域对称性原理唯一地确定了非亚贝尔互作用
［15，1.］&
1267
年这个理论成为统一电磁和弱相互作用的框
架，回头再看其实电磁场里相互作用本身就是由相 对论对称性和定域规范对称决定的一种物质相互作 用
& 关于这个例子的详细演绎请参看本文附录：“ 对
称原理支配系统行为的一个例子：定域规范不变和 相对论洛伦兹不变决定电子电磁作用”
&
金融市场如果可以作一个物理系统来看，它是 一个很大自由度的系统，在这种系统中即使微观看 来，单个的参与者有“ 自由意志”的行动，但就宏观 整体来看，除非受到环境力场的统一指挥，这些行动 表现也是随机性的，因而正像物理的统计力学系统， 可以类似地处理，这种系统在一定时段或长或短会 达到一定程度和时间的平衡和具有某些守恒量和守 恒律，这些守恒量就反映了某些对称性
& 正是在这个
意义上对称起了支配作用，市场作为一个大数目自 由度的系统在平衡或动力状态下的变化趋势和互相 作用互动行动受到对称规律的支配
& 本文所介绍的
“规范建模”就是从这个观点出发，从规范对称的原 则去演绎市场的行为
& 作为物理学系统的一个范例
就是电子与电磁场系统的相互作用，这在“附录”中 看到电子作为系统行为的参与者，规范场中电磁场 作为信息传递者，他们间的互动互作用被定域规范 对称所支配决定
& 在第8 节将会举出一个简单例子，
外汇市场的规范对称来解说上述的理念
&
3-
规范场的基本要素
从附录所举这个例子看到规范场理论的基本要素： （
1）系统有两种相互独立、但又处于相互关连
的空间，即外空间，它就是通常的四维时空；内空间 （内禀空间），它是系统本身固有的物理量构成；外 空间（四维空间）的每一处都联结着一个内空间
&
（
/）每空间都有在它上面操作的对称变换，外
空间存在着洛伦兹变换，内空间存在着规范变换
& 物
理上要求物理系统对于这些变换具有对称性，用作 用量表达系统的力学结构，对称性原理就是作用量 对于对称变换不变
&
（
5）外空间各点上缔结的内空间对称变换是各
自独立的，称为定域化内对称变换或内对称定域规 范变换，内外空间的变换各自构成群，内对称变换群 称为规范群（参看图
1）
（
.）物理现象对以上变换不变，这个要求决定
系统的动力学，内部互作用———对称性决定互作用， 规范场就是内对称不变，所必须引入的媒介场（ 也 叫“补偿场”、“ 相位场”）在外空间相邻两点间联络 传递信息
&
（
3）上面所讲电磁场例子是亚贝尔规范场，它
的规范群是
9（1）一维可交易群，导致的理论是线
性的
& 一般的有不可易的规范群，非亚贝尔规范群，
·
#"!·
评述 ! "#
卷（$%%& 年）’期! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ())*：++,,,- ,./0- 12- 23
这种情形下的规范场有非线性的自作用
-
图
4! 在外空间球面上每一点都缔合一个三维标架定域内空间
从这里，我们可以设想规范场模型比较以往的 数量经济学的模型主要不同在于，它包含不独是单 一市场平台，它可以包含市场的互相独立同时又互 相牵连的两个平台
- 这种关系使描述的工具不单是
数量，同时也运用几何的（形态的，结构的）工具
- 因
此当我们对于金融市场使用“ 规范场”这一词的时 候，应当在比物理学更为广泛的意义上去了解
- 不应
该严格依照物理理论所规定的定义，在这个方面参 考文献［
4#—45］提供了一些想法-
规范场理论的数学结构是数学微分几何和拓朴 学的一个分支———纤维丛
- 下面简单介绍纤维丛的概
念
- 纤维丛是一种几何结构，简化地来说它的一个最
简单的非平庸结构的形象就是通常所谓
6780.9 带，
如图
$ 所示，它是图$（1）的带状图形经过一个扭转
操作，对边反贴成环状，图
$（8）所示，带状无扭转成
环状是一个平庸的结构，但经过扭转操的环，就是非 平庸结构
- 如图" 所示，纤维丛的数学概念严格来说
相当复杂，我们简化地介绍，它至少包含三个要素，这 就是底空间、纤维、丛空间，简单的示意形象如图
:，从
纤维丛的结构性质，我们可以利用它的几何概念赋予 物理的解释，如平庸与非平庸，定域与整体，平移，连 通，曲面的指标，不变量等等
- 这些数学概念和规范场
物理理论概念恰恰完全有对应
- 以下本文阐说这种对
应关系套用到金融市场去建立模型
-
图
$! 67;80.9 带（最简单的非平庸结构是6780.9 带，将
长条纸带扭转
4<%= 后，将对顶点> 点与? 点、@ 点与A
点粘结形成） 图
"! （1）平庸拓扑；（8）非平庸拓扑
图
:! （1）平庸的纤维丛是两空间的直乘；（ 8）纤维从
由底空间
6，纤维B 和从空间C 构成
图
#! 纤维丛示意图
&!
纤维丛的基本要素和规范场匹配的
描述
［4<—$4］
纤维丛是数学中一种几何的结构，它的构成主 要因素从严格的数学观点来定义可以包括十几个条 件之多，但我们从一个物理学者的应用观点来看它 的结构最主要的是几个构件
-
（
4）底空间———纤维丛整体几何结构建筑在一
个多维连续流形之上，底空间记为
6（819; 9*12;）-
（
$）纤维———在底空间的每一点上固连一个线
性空间，它称为纤维
B（D08E;）- 最简单的纤维是一维
向量空间，底空间和在其上的纤维全体构成了丛空 ·
#"!·
评述 !""#
：$$%%%& %’)& *+& +,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 物理
表
.- 规范场、纤维丛和金融市场的已知构成量的对应关系
物理术语数学（几何学）术语规范理论术语金融学术语 物质物资场资产 电流源场流货币流 正电荷场源（正源） 现金 负电荷场阱（真源） 债务 电磁势联络的分量规范势（场） 价格，贴现，利率，汇率 电磁场曲率张量规范场强套利，超额收益 运动方程矢量平行移动平行移动净产值，贴现过程 波函数截面定域规范场变换货币单位汇率的变换 波函数相位变换矢量方向改变定域规范变换 量子起伏，不定值量子起伏，不定值价格，利率，汇率等的不定 纯电磁场纯规范场均衡市场 标度变换
/01( 标度规范外汇市场
电动力学有场流场源的规范场动态市场 （电子电磁场互作用） （有资金流） 间，可以形象地说，在底空间每一点上粘上了一支纤 维
& 这构成了丛空间2（3’4(0 5#*+0）&
（
6）丛空间与底空间的点存在对应的连续映射
关系
!7 2(8 称为投射（#9:;0+"):,），这一投射关系
规定了丛空间与底空间的关系，构造了一个整体的 几何结构
&
参考文献［
<.］中列举了纤维丛的结构因子达
.=
项之多，对于我们一般地以上三项的理解也就可
以了，但是为了与规范场理论配合，还需在上列因素 之外加入： （
>）在纤维上操作的群，群的元素作用在纤维
上，称为结构群
?&
几何学讲形态和结构，这是整体的视野，纤维丛 是整体性的数学，非平庸的纤维丛是不可以由单纯 的局部直乘直和或简单粘贴而成，不可以简单因子 化而不介入另外的操作
&
物理学的规范场恰当的数学描述是纤维丛
& 规
范场的要素中包括两种空间，内外空间，在外空间每 一点上缔合一内空间，这正好与纤维丛的底空间上 粘合纤维相对应，纤维上的结构群就对应着内空间 上的规范群
&
纤维丛数学是
@& @& A!09,（ 陈省身）于.B>> 年
引入，现代的规范场理论是
.BC> 年A& D& E*,F（ 杨
振宁）和
G& H& 8)((5 引入，数学和物理两学科两项创
意重要贡献原来是互不相通的，二十余年后，才悟到 两者竟可以是一回事的各自表述
& 规范场的纤维丛
表述是杨振宁和吴大峻（
I& I& /’）于.BJC 年阐明
的，而规范场与纤维丛的对应关系也在同时为陆启 铿所认识
［<<］& 我们在本文表. 中列举了规范场理论
的物理量与纤维丛数学中的几何量对应关系
&
纤维丛是其包含的多个要素按照一定法则构造 成的几何结构体，它的重要在于它的整体性，这个几 何结构的整体用于描述物理现象时，它可以表述一 些较为复杂的现象，例如非亚贝尔规范场，即杨
K 米
尔斯场
& 现在有人试图把它用于描述金融市场，初看
起来有点匪夷所思，但是我们知道金融市场的复杂 性和整体性需要一种数学描述超出了以往常规的应 用数学
& 例如外汇市场，它包含了几个外汇货币区，
每一个货币区就有它本身各种货币的兑换率，而金 融资产对于各种货币变换，虽则表面价格改变，资产 价值不变
& 由于某地区兑换率的改变，使总体的市场
失去均衡，出现了套利的机会，就会引起资金的流 动，市场交易者得以从中获利，这种活动的结果市场 又再达到新的平衡
& 这样的机制看来适合于纤维丛
的语言去描述，因为它包含两种金融活动，货币区的 货币流通和货币兑换活动，货币区的全体构成底空 间，货币兑换构成纤维，兑换率表徵了结构群，由于 某个货币区兑换率的改变使资金从一个货币区到另 一不同兑换率货币区的流动
& 这一活动由丛空间投
射到底空间，套利活动就成为底空间的一条闭合路 径：这些考虑，使我们觉得以纤维丛代表金融外汇市 场有它的合理思维
&
建立金融外汇市场的纤维丛模型还需考虑市场 的动态演化，这就需要引入物理思维，纤维丛同样是 ·
"!!·
评述 ! "#
卷（$%%& 年）’期! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ())*：++,,,- ,./0- 12- 23
描述规范场的合适的工具
- 由此，市场的规范场模型
是合理的一步
- 为了实现这一步骤，我们把纤维丛、
规范场和金融市场三者已知的构成量的对应关系假 设如表
4-
5/03670
作出了下面的假设：实际资产价值对于
货币单位的定域标度改变的对称性是金融市场规范 建模的规范对称
- 金融环境的一切可观察性质（ 特
别是动力过程的规律）不依赖于资产单位的选择
-
这就是金融市场规范模型的立足点，但我们应该注 意到： （
4）5/03670 所用的规范场模型不是现代物理学
中常用的规范场模型： （
!）它的规范场不是通常物理学所说的8
（
4），98（$），98（"）等规范群，它用的是标度变换
（涨缩
:0/1)1)0;3）群-
（
"）这个群是线性实数不是含复数的操作，所
以不能是物理学意义上的量子效应，它所说的量子 电动力学模型是形式类比，它没有量子的算子力学 量和几率波概念
-
（
#）它的不定值不是量子的不定值是人为加
入的概率分布
-
（
$）物理学现在用到规范场是由规范对称原
理和相对论对称原理，几乎唯一地确定的互作用理 论
- 5/03670 的金融市场规范场模型要加入他所谓“第
一原理”很多假设
-
（
$）5/03670 的规范建模是应用了物理理论的一
般指导的思想路线： （
!）对称性(拉格朗日作用量(最小作用原
理
(运动方程-
（
"）为从对称性构造作用量，先建造一个几何
的模型，从几何的量中选取作用量的构件，用这些几 何量构成满足对称性的作用量
-
（
#）用这些几何构件代表了金融市场的基本
量，对几何量赋予相应的市场释义，几何学上这些几 何量的运作过程描述市场的运作
-
!
纤维丛基础上建模
物理模型
! ! 金融模型
!
)! ! ! ! ! ! )
规范场
! ( ! 金融市场
!
$! ! ! ! ! ! %
! ! !
纤维丛
正是这一标准物理路线的套用，使人们认为这 一模型太过于“物理化”了，有以物理方法解决经济 问题的印象
-
（
"）5/03670 采用的亚贝尔规范群，不含非线性作
用，也许金融市场具有的非线性性质需要的是非线 性的非亚贝尔规范场
-
<!
纤维丛空间的几何操作———矢量平
行移动 从上节看到我们已经建立起初步的结构概念， 在纤维丛、范场和金融市场三个方面有了对应的联 系
- 我们以曲面上的矢量平行移动为例，说明纤维丛
有曲率的空间中矢量的平行移动的几何性质，用它 代表金融市场的相应的运作
-
矢量在一曲面上沿曲面上一条曲线移动（ 如图 &
），在移动过程中，矢量相对于曲面的法线没有转
动
- 矢量的根端沿曲线上一点，这称为矢量无局域转
动
- 但如曲线是一闭合路线，矢量回到原来起始位置
时，它的方向相对于起点处法线有了一转角，这称为 整体的改变
- 无局域改变而有整体改变，矢量的移动
为平行移动
- 为了比较空间两点上两根矢量，需要把
它们移到同一点上比较，这就需要平行移动
- 为比较
相邻两点矢量需要联结两点的联络，这联络决定于 空间的曲率
-
图
&! （1）矢量沿曲面上曲线的平行移动；（=）矢量在球
面上的平行移动 ·
#"!·
评述 !""#
：$$%%%& %’)& *+& +,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 物理
金融市场规范建模中应用几何概念平行移动的 例子如下
&
（
.）计算资产净现值（/01）方法
由于不同时间资产值不同，需要比较不同时间的 价值而求得资产的净现时价值，不同时间价值通过贴 现（
2)3+4’"),5）过程出现，这比较就应用矢量平行移
动
& 为此，用曲面上的连络时间分量表示贴现率&
（
6）外汇市场的套利（*78)"7*59）
套利———利润从无中生有，一顿免费午餐，无风 险超额获利大于银行无风险存款利息，为比较这两 者收益，以平行移动过程中曲面的曲率，张量表达这 收益差额
&
:-
简单金融市场的规范模型例子
.;;<
年，俄罗斯理论物理学=((),3>) 和?*(),),
作出了金融市场的规范场模型，
?& @4’5（ 杨纲
凯）
［;］作出一简单的外汇市场模型& 取美元、日元和
马克三种货币外汇市场为例：设以二维平面格点阵 底空间，这是一分立的点的空间
& 令! A 空间格点上
的格点位置，世界的货币为若干个区，每一区占据一 个格点
!；!!
是某种世界通用商品在货币区
! 的价
格，以该区货币为单位；
"!#
是货币
!，# 之间的汇率，
货币
! 一个单位可兑换# 货币单位，如! 为美元BC
!
，# 为日元（@9,），当时市价. 美元可兑换.6: 日
元，则
"!# A .6:& 略去兑换买卖差额："!# $（"!#
）
% .，
定义
"!# A 9&’!#，& 为常数，注意此处无!D .因子，& 在
某货币区内的货币单位是一种习惯的约定，改变单 位对经济金融没有实际影响，不同货币的单位可以 各自独立改变习惯约定
& 这种改变表现为：!!(!(!
A 9
"!!!
，注意此处也没有
!D . 因子& 此种变换成群
EF
G（.，)）一维实广义线性群（4,9 2)H9,3)4,*( 79*(
59,97*( (),9*7 574’ %)"! #43)")I9 29"97H),*,"3
）&
由此可见一个简单的外汇市场存在以下几个因素： （
.）存在有一种约定习惯———各种货币可以改
变的单位———规范变换； （
6）这单位可以在不同地点各自独立地改变
———定域化变换； （
J）真正的价值对这些改变是不会改变的———
规范不变性（规范对称性）
&
设想全球经济分成三种货币区，美元，马克，日 元，每个货币区有它自己规定的货币单位和兑换率， 令
!!
代表某一种通用的货物在货币区
! 的价格，以
该区的货币单位表达，兑换率
"!#
是指一个
! 种货币
单位兑换
"!#
个单位的
# 种货币，把"!#
个单位的
# 货
币，把
"!#
写出
"!# A 9&’!# * & 为常数，如果把货币! 的单
位改变，
!!
的表面值也改变 !
! ( !(! $ 9"!!! *
这表示单位的涨缩，这一组变换构成一个群———一 维广义线性变换群，行列式为正
& 货币单位的改变使
汇率改变 "
!# ( "(!# $ 9（"#%"!）"!# *
这些改变都只是名义上的改变，并不引起货物价值 的改变： 依赖约定习惯———依赖规范 不依习惯改变———规范不变
&
套利过程表示为
+（#），+ A"#
"
! ! ! , - .
，
# 为一闭
合的回路；当
+ $ . 时无套利机会；+*. 有套利机
会
& 这是最简单的外汇市场规范模型&
=(),3>)
，?*(),), 假设，没有资金流的金融市场规
范理论模型是纯规范场，从这一理论应用本文第
K
节和附录的方法在经典近似下导出鞍点方程 从连续时间下的作用量（
*+")4,）给出的方程，
可导出
L(*+> D C+!4(93 方程
#
.
#
/ - $
6
06 #6.
#
06 - 10 #$
#
0 % 1. $ M，
这是著名的关于股票期权价格的
L(*+> D C+!4(93 偏
微方程，这公式的导出被认为是金融理论的重大突 破
& 这方程式在统计物理中是N4>>97 D 0(*,+> 方程&
式中的金融变量意义如下：
.（ 0，/）———某股票期权
价格；
0/
———股票在时间
/ 时的价格&
L D C
方程的解要根据不同类型股票制订不同
的边界条件
& 由此又可导出金融资产价格的公式：
L(*+> D C+!4(93
公式
0
% $ 0M9O#［&2% -（’%（&6）3 6）(］，
其中，
0 $ 股票价格，% $ 到期时间，$ $ 股息波动率（常
数），
( $ 股息漂移率（常数），’$ 无风险利率（常数），2
$
布朗运动的价格变化分布* 投资组合& 股价格为0%
之股票，现金
4 美元，投资额5 $ &0M - 4& L D C 方程在
世界金融理论中通行三十年，
.;;< 年C+!4(93，P97"4,
获得诺贝尔经济奖
& 导出这些公式是规范建模理论被
视为有吸引力可能成功的原因
&
金融市场的规范建模的目的还在于建立非均衡 非完全有效的市场模型，有资本流情况下的市场是 非均衡状态，如上面简单外汇市场的例子所示
& 由于
市场运作中某个环节偏离均衡，导致市场产生了有 序的变化，资金有一定流向，规范建模中（ 表
. 所
·
#"!·
评述 ! "#
卷（$%%& 年）’期! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ())*：++,,,- ,./0- 12- 23
示）把市场模型比作为电动力学，将资金流认同作 为电子流，现金与债务作为符号相反的电荷
- 由于汇
率失衡，发生突然的变化，引起投资者向有利的市场 交换聚集，资金向有利兑换率货币投资，资金流发出 的信息媒介称为套利场，也就被认作为规范场
- 这引
起总兑换率的继续变化，直至无利可图，市场再度达 到均衡
- 这好像电子从高电位向低电位流动，直到电
势平衡
- 由于有电子流的电动力学的规范场理论，一
开始就引入电子波函数，它是因为量子力学中力学 量有本身内禀的不确定性，即量子起伏，而
4/03560 的
金融市场的规范场模型只是经典非量子的实数操 作，没有不确定量和测不准关系
- 为了计及市场的起
伏，
4/03560 引入了随机量去描述非均衡状态下的兑
换率起伏，另一方面
4/03560 又像模仿量子电动力学
的虚过程（
708).1/ *892:55）的概念，引入虚套利场的
概念，电动力学在极短时间过程中虚光子引起电子 部分的互相作用，电子电荷质量的重整效应，类似的 观念下，虚套利场引起市场量的一些“量子修正”效 应
- 4/03560 及其合作者从无资金流的纯规范场模型，
演算推导出资金价格定价的
;/126 < =2(9/: 公式，在
有资金流的市场的“ 类电动力学”（
:/:2)89>?31@025
< /06:
）模型推演出对于;/126 < =2(9/: 公式的修正，
对股价变化概率函数的正态分布的修正（ 肥尾效 应）等等
-
模型的建造有四个部分：一是建立市场与规范 场纤维丛的对应，由此取得可以运用的数学概念和 关系作为模型的构件和工具；二是从物理学的对称 性原则出发以处理力学系统的标准方式，先构筑代 表市场作用量（
12)093），然后按照最小作用原理，推
导运动方程；三是由于市场不完全相同于物理的力 学系统，只是对称原则不足以确定市场演化运作，因 而需要根据市场的经济金融等要求加入若干假设， 4/03560
称之为“ 第一原理”（ A(: B085) *80320*/:5），才
能给出一定情况市场的解答；四是根据各种具体市 场的特点，设定若干边界条件、初始条件以选出特定 的解
-
要构造代表市场系统的作用量，除要遵从规范 对称原理外，纤维丛数学模型只能用尝试的方法，构 建的构件自然取自纤维丛的数学工具
- 例如：曲率联
络等等和与以相应的规范场各种量，如源场函数、源 流、规范势等等，构成标度不变的作用量
-
4/03560
及其合作者进一步对有资金流的动态市
场作规范建模，他们称为金融市场的量子电动力学 模型
- 本文不可能详述这个模型，因为它比较复杂，
需要很多的证明，并且，我们已经在前面说到，它不 是真正的“量子”模型，也不是电动力学的规范不变 性，仅仅是形式上的类比，不过它毕竟是一项有创意 的尝试
-
’
对规范建模的评议
对于
4//03560 金融市场的规范建模理论的评价，
目前公开的文献资料和网上的评论并不多，特别是 最近三年以来，见到资料甚少，我们无从评述国际范 围内对这个方向的毁誉成败
- 这类以物理，特别是量
子物理方法去讨论金融市场的论述专著却出版了好 几本，它们有路径积分方法的，有混沌机理的，当然 有规范场论的，总的趋势是理论物理思想与方法渗 入到金融经济领域，在这一个趋势来说，我们认为不 可忽视，就这些形形色色的具体方法理论来说，我们 不妨走着瞧
- 就4/03560 的规范建模来说，到目前它的
最主要的成就是从它的思想和方法导出金融衍生工 具，期权定价的
;/126 < =2(9/:5 < C:8)93 公式和宣称
得到了不完全有效市场对
;=C 公式的修正，解释了
实际数据表现价格起伏对高斯（正态）分布的偏离， 比原来的公式有了一大进展
- 这个结果是令人鼓舞
的，但是有严肃的评论指出
［D%］，4//03560 这个结果并
不能表示证明了他的理论的正确性，因为还有其他 的方法也可以同样得到相同的结果
- 4//03560 理论并
未能说明规范原则为何能挑选出某种处理的运作作 为正确的选择
-
在物理学，用纤维丛数学描述的物理是非亚贝 尔规范场，即杨
< 米尔斯（E13F < C0//5）场，它的代
表是非平庸的纤维丛它的底空间结构需是流形，本 身具有叠置的局部结构，它给出了新的物理的描述， 例如磁单极，
4/03560 用于构建金融市场模型的是电
动力学的规范场即亚贝尔规范场，纤维丛理论用于 这类型规范场没有给出新的物理描述
- 包含磁单极
的系统才需要真正纤维丛的描述，因此我们没有看 到金融市场非要有纤维丛结构的必要
- 我们不能排
除这种可能性：用纤维丛去表述金融市场结构纯属 牵强附会，也许近年人们说及金融市场的非线性性 质，会需要非亚贝尔规范场的非线性描述
- 不过，这
只是个人的纯属猜想，并未有根据
-
我们在本文第
& 节曾经指出，4//03560 理论采用
的标度变换是全实数的广义线性变换，它不是我们 通常意义下的规范变换（相位复数变换）
- 它不是我
们所说的量子物理，他运用的对称性支配互作用的 ·
!"!·
评述 !""#
：$$%%%& %’)& *+& +,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 物理
规范原理也是不完整的物理原理，他还必须加入许 多来自市场的他称之为的“第一原理”
& 虽然存在着
疑问和缺漏，但毕竟这个理论开创了以几何的形式 和构造去描述复杂的金融市场，包括不只一个的并 行的市场，把对称性原则提到金融市场面前，所以或 许它的发展会给我们开辟一个新的领域
&
从本文的叙说看到金融市场规范建模研究实质 上是启发探索了一些可能性： （
.）对称性支配的原理在金融经济领域的运用
的可能性； （
/）纤维丛的复杂的几何结构用于描述金融经
济市场复杂系统的可能性； （
0）超出了量化经济学的范畴，探索市场形态
结构的几何化表述的可能性
&
本文作者并不认为目前的“ 规范建模”一定是 正确或成功的，它存在很多基本的问题，不论观念上 和演算上都有不少的漏洞，但它至少向我们提供了 探索上述的一些具有根本意义的问题，还是一句老 话：它未必成功，但不可忽视潜在的势能
&
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人士网”
!""#：Q Q %%%& ,@"%BH9& +!),@8@& +BA，/110，3）
附录 !"
定域规范不变和相对论洛伦兹不变决定电子电磁作用
我们将以电子电磁作用为例演示对称性决定互作用这 一原理，同时显示定域规范对称要求需要有规范场的出现， 规范场在电子之间传递信息（ 互作用），物理学中处理力学 系统动力问题的普适规则是根据物理系统的动力学原理 ———最小作用量原理
& 系统的动力学行为由拉格朗日函数
（
]*?H*,?)*, X’+")B,）所支配，力学系统在!.
时刻的广义坐 标：
"# （ !.
），
# $ .，/，0⋯%，!/
时刻的广义坐标：
"# （ !/
）
]*?H*,?)*,
记为
]（"，"· ；!），" $｛"#
｝
&
定义作用量（
*+")B,）：
’$
$!/
!
.
(
（"，"· ；!）C!，
此式表示从时间
!.
到
!/
，坐标
"# （ !.
）到
"# （ !/
）之间可以有很 多可能的路径，真实发生的运动所沿的路径
"#)* （ !）使作用量
’
最值最小———哈密顿最小作用原理：
!
’［"#
］
+"# （ !）$ ")*#（* !）$ 1&
从物理系统的对称性给予制约
( 相应的对称限制条件，对称
变换下的不变性规定了
( 所可能的函数形式& 最小作用原理
使给定了
( 后，可导出系统的运动方程（拉格朗日方程，哈密
顿方程以至牛顿方程）
& 再根据WB@"!@H 定理从( 的对称性导
出系统的守恒量，守恒律
&
理论物理常用到拉格朗日密度
!（ "·，!），定义为
( $
$!C"&
最小作用原理给出拉格朗日方程 "
!
"
"#
+
"
"
"#
"
!
"
"· ( ) #
$
1，
因此力学系统的问题，归结为先找出拉氏密度，现在以单个 自由电子为例，说明构造拉氏密度，导出运动方程
&
设想只有一个自由电子的系统，首先构造自由电子的拉 格朗日密度，
!& 自由电子质量为,，动量为-!
，波函数记为
"
（
.）& 在洛伦兹不变的要求下，可以运用的量是"—
（
.），"
（
.），#!
，
,，-! & 由他们构成的相对论不变量为
!
（.）$ +"—
（
.）（#!$! / ,）"（.），
其中
#!
是
3 ‘3 常数矩阵，-! a D )% "
"
.!
，
$!
是
"
"
.!
的记号，
!
·
%$#·
评述 ! "#
卷（$%%& 年）’期! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ())*：++,,,- ,./0- 12- 23
4 %
，5，$，"- 假定这是自由电子的拉格朗日密度，由拉格朗日
方程 !
!
!
!"
!
!
!
"#
!
!
! !
!"
!
" ( )
æççè ö÷÷ø # #
%
得
! ! ! ! （$#%% $ %）!（"）# % ，
这就是
60712 自由电子相对论运动方程- 这个方程对于
下列变换不变 !
（"）( !& （"）# 80&!（"），
&
为一常数，这个变换叫做第一类规范变换，是5’’年98:/
提出的，又叫做一体的规范变换（
;/<=1/ ;1.;8 )713>?<7@1A
)0<3
），& 是对全时空一样的常数- 在这种规范变换下，!B 4 !
由于这种不变性，可由
C<8)(87 定理导出
%
# ’# （ "）# %
’
# （ "）# ! 0&!—
$
#!，
其中
( # ! 0$’D
（
"）E" "，取& # )，则( 为电荷，’# （ "），# # 5，$，
"
为电流强度，%# ’# （ "）# % 为电荷F 电流守恒，即一体规范
不变性导致电荷守恒
-
现在将变换
!& （"）4 80& !（ "）定域化（ /<21/0G8），即& 不
是常数而是按不同
" 而不同，&(&（"），定域规范变换!& （"）
4 8
0&（"）!（"）-
可以验证，这时
!（H）对于定域规范变换不是不变了，在
定域规范变换下 !
4 !& # "& （"）［$# （ %# ! 0%#&（"））$ %］!&*
如果要求拉氏密度在定域规范变换下不变，就必须在
! 中多
加一项以抵消
&（"）的贡献，即
!
# ! !（"）［$# （ %# ! 0)+# （ "））$ %］!（"）*
这
! 对于下列变换不变———定域规范变换：
!
（"）( !& （"）# !80&（"），
+
# （ "）( +&# （ "）# +# （ "）$ 5)
%
#&（"），
使
! ! ! ! (!B 4 !-
所以定域规范不变要求存在有
+# （ "）这种量，这+# （ "）
正是电磁矢量势
+# （ "）———又称规范势，规范场-
定域规范不变性给定了电子和电磁场的互作用，为 ! ! ! !
! 0)（!$#!）+# # ’’+#
， , , , , , ’
# # ! 0)!—
（
"）$#!（"），
这是电子流（电流）与规范势（电磁势）作用
-
令电磁场强张量
-#’# %#+’! %.+#
， 则纯电磁场的拉氏密度为 !
# # ! 5D
-
#’-#’（电子I 电磁场）系统的总拉氏密度为
!
#! 5D
-
#’-#’!!—
（
"）$# （ %#$ %）!（"）$
0
)!—
（
"）$#!（"）+# （ "）
#
电磁场$ 自由电子$ 电流与电磁场互作用*
!
对于定域规范变换不变，完全描述了电子电磁场系统- 定
域规范变换
!& （"）# 80&（"）!（"），看成是J（5）群的元素，规
范变换构成
J（5）变换群，称为定域规范群-
从以上例子看到相对论对称原理作为构造拉氏密度的 出发点，最小作用原理是导出系统的动力方程的出发点，定 域规范对称性原理是构造完美的电子电磁作用的出发点，它 导致规范场的自动自然的出现，成为电子互作用的媒介，信 息使者
-
$!
国外近年关于规范场理论的一些评述
［
5］K(83 L M（ 郑大培），N0 NO（ 李灵峰）- P@- Q- M(:>- ，
5’R
，#&（S）
［
$］TE- L1:/<7 Q K- U1.;8 L(8<708> 03 )(8 L,83)08)( K83).7:-
V@*8701/ K<//8;8 M78>>
，$%%5
［
"］WBX10?817)10;( N，Y)71.@133 C- X8Z- [<E- M(:>- ，$%%%，
S$
：5
［
D］WBX10?817)10;( N- PPMMY \.//803，5’’，&（$）
［
#］Q12]><3 Q 6，W].3 N- X8Z- [<E- M(:>- ，$%%5，S"：&&"
［
&］9. P K L（吴期泰），^13; K C- TZ</.)0<3 <? )(8 K<328*)
<? )(8 _82)<7 M<)83)01/ 03 )(8 68>270*)0<3 <? O.3E1@83)1/ 03)87A 12)0<3>
，（)< =8 *.=/0>(8E 03 X8Z- [<E- M(:>）
［
S］WBX10?817)10;( N- L(8 61,303; <? U1.;8 L(8<7:- M70328)<3
J30Z87>0): M78>>
，5’’
"!
一组以国内大学教师和研究生为对象的，关于规范场基
本概念的文章 ［
5］李华钟- 物理，$%%5，"%：&&R
［
$］N0 ‘a- [<E873 M(:>- N8))- P，$%%$，5S：5’’
［
"］李华钟- 物理，$%%D，""：R&5
［
D］李华钟- 物理，$%%"，"$：5’
［
#］李华钟- 杨振宁学术成就F F 三大贡献之外- 庆祝杨振
宁教授八十华诞学术论坛学术报告
b 三会文集b ，全国高校
量子力学研讨会，
$%%"- 5S
［
&］李华钟- 物理学进展，$%%D，$D：D#R
［
S］李华钟- 物理，$%%&，"#："D%
［
R］N0 ‘a- U1.;8 )713>?<7@1)0<3 13E 3<3A03)8;71=/8 *(1>8 ?12A
)<7>- V3
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评述
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