基本粒子有两种旋，一种是自旋，一种是同位旋

http://www.lw23.com/pdf_02399097-0f3d-4bb1-af19-03bd1a52c93a/lunwen.pdf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第27卷第1期

 

 

2002年2月

 

 

昆明理工大学学报

 

 

—

 

 

Journ

 

 

—

 

 

al of Kunmir~ University of Science and

 

VO1．27 No．1

 

Feb．2002

 

 

包含两个内禀自旋的狄拉克方程。

 

 

张侠辅

 

 

(昆明理工大学理学院，云南昆明650093)

 

 

摘要作者找到了一个狄拉克方程的新表象．在这个表象中，除含普通空间的自旋，还把第二内

 

 

禀自旋自然地包含于方程之中，这个第二内禀自旋应该就是同位旋．并且，这个方程包含了更多

 

的对称性，可能为解决强相互作用问题找到一条新的途径．

 

 

关键词：相对论量子力学；波动方程；自旋

 

 

中图分类号：0453 文献标识码：A 文章编号：1007—855X(2002)01—141—06

 

 

O 引 言

 

 

狄拉克方程是量子力学和量子场论的基本方程．但在过去，人们未曾去审视其表象的优劣．经过长期

 

研究，作者找到了一个狄拉克方程的新表象，在这个表象中，除开普通空间的自旋，还把第二内禀自旋自然

 

 

地包含于方程之中．我们知道基本粒子有两种旋，一种是自旋，一种是同位旋．这样就把同位旋作为第二内

 

禀自旋自然地设置于方程之中，不需要在后来单独加入．并且，这个方程包含了更多的对称性，可能为解决

 

 

强相互作用问题找到一条新的途径．从这个方程我们看出，所有的自旋为1／2的粒子都既包含有自旋，又

 

 

包含有同位旋．这个方程的解的数目多于原来的方程，因此，也许原先不同的几种粒子，在此方程中只须用

 

 

不同的状态来加以区别．

 

 

1 狄拉克方程的新表象

 

我们已经很熟悉泡利自旋矩阵，它们是二阶矩阵．我们指出，除开这3个2×2泡利自旋矩阵，我们还

 

 

能够找出一对四阶矩阵组，每组包含3个4×4矩阵，每组中3个4×4矩阵的性质，恰巧与2×2泡利自旋

 

 

矩阵的性质完全相同．

 

由3个4×4矩阵组成的第一矩阵组为：

 

 

0 i

 

 

— —

 

i 0

0 0

 

0 0

 

0 07

 

f

 

0 0 1

 

0 i I

 

—

 

0 0

 

0 0

 

— —

 

i 0

0 i

 

i 0

 

0 ——i

 

0 0

 

0 0

 

由三个4×4矩阵组成的第二矩阵组为：

 

0 i

 

— —

 

i 0

0 0

 

0 0

 

0 0

 

0 0

 

0 ——i

 

i 0

 

0 0 i 0

 

0 0 0 i

 

— ．

 

i 0 0 0

0 一i 0 0

 

0 ——i 0 ——i

 

0 0 一i 0

 

0 i 0 0

 

．

 

i 0 0 0

0 0

 

0 0

 

0 i

 

— —

 

i 0

(1．1)

 

所有这些矩阵是厄米特矩阵．我们记第一矩阵组用算符 l， 2， 3，记第二矩阵组用算符rl，r2，r3，并将它

 

们表示为矢量算符仃和f．亦即仃=[ l， 2， 3]，f=[rl，r2，r3]．这对算符仃和f的运算法则能够从(1．

 

1)和(1．2)得出：

 

-

 

收稿日期：2001—03—08；

第一作者简介：张侠辅，男，1943年生，副教授；主要研究方向：物理学

 

142 昆 明 理 工 大 学 学 报 第27卷

 

O"i= O"i + = 2

 

1 G2 ia3 G2G3 = 1 G3G1 ia2

 

l"i= l"i l"irj+riri：2 (1．3)

 

1 t-2= it3 t-2t"3= it1 t-3 t-1 it2

 

算符 和f的性质，恰巧与2×2泡利自旋矩阵的性质相同．此外还有一个特别重要的性质，即第一矩阵组

 

的每个矩阵和第二矩阵组的每个矩阵对易：

 

O"irj—r =0 (1．4)

 

利用算符的上述性质，可对狄拉克方程加以改造．一般的狄拉克方程能够写为：

 

( +m) =0 (1．5)

 

这里并未给出方程的表象．即没有具体给出算符7 用怎样的矩阵来表示．没有给出具体表象之前的方程，

 

可称为一般的狄拉克方程．但是这里的算符 必须满足反对易关系：

 

+7 =2 (1．6)

 

我们提出的表象是要用算符 和r按如下的规定替换算符 ：

 

71= t"1 G1 72= t-1 G2 73= t-1 G3 74= t-2 (1．7)

 

由运算规则(1．3)和(1．4)，我们能够证明这样的规定(1．7)遵守反对易关系(1．6)：

 

+ = (t-1 )(t-1 )+(t-1 )(t-1 O"i)= aiaj．+ =2 d

 

7i74+ 7i=(r1 )r2+r2(r1 )= Gi(r1 r2+r2 r1)=0 (1．8)

 

这样规定以后，把(1．7)代人方程(1．5)，一个新表象即被建立起来

 

(r1 1 a1+r1 2a2+r1 a 3+t-2 a4+m) =0 (1．9)

 

方程(1．9)即是作者找到的新的狄拉克方程．在此方程中，并不存在时间坐标与空间某一方向的座标之间

 

的对称性．要讲对称性的话，仅当我们把整个空间作为一个统一的整体，才谈得上空间和时间之间的对称

 

性．因此，我们在相对论中形成的时空概念，在此方程中要作些微改变．

 

在洛伦兹变换下，时空座标作如下变换：

 

X = a (1．10)

 

方程(1．5)的相对论不变性要求算符7 满足变换关系

 

7 = a = A A (1．11)

 

对于无限小变换，我们已经熟知如下的关系

 

a = + ￡ ￡ v = 一￡

 

A= 1+￡ ／2 A =1一￡ s ／2

 

=

 

( 一 )／4=一S (1．12)

利用算符 和r的性质(1．3)和(1．4)，在(1．12)中将规定(1．7)代人，便可算出S 在新表象中的表达式

 

S12： ／a3／2 $23= ia1／2 $31= i,~2／2

 

S14= 1 r3／2 S24= 2r3／2 $34= 3r3／2 (1．13)

 

注意到￡ =￡ 和￡i4=一￡ ，我们得到r1 A r1=A-1 t-2A r2=A-1 (1．14)

 

可见变换算符S 和A已经不同于原来的表示，并且比原来的表示更完美．在洛伦兹变换下，方程(1．5)的

 

相对论协变性可以用算符S 的表达式(1．13)加以验证．

 

2 在新表象中的狄拉克方程的解

 

我们用算符r1左乘新的狄拉克方程(1．9)．此方程变成一个更加对称的形式

 

●

 

第1期 张侠辅：包含两个内禀自旋的狄拉克方程 143

 

(O"1 a1+0"2 a2+0"3 a3+it3 a4+rl 7n) =0 (2．1)

 

我们用分离变量法寻找方程(2．1)的一个特解 ，它能够分解成三个一元函数的乘积

 

=

 

(盯) (r) (z)： k (2．2)

一

 

个一般的解能够写成有限或无限个这样的特解之和．这儿 和 分别属于盯和f的函数，而

： C1exp( ) (2．3)

 

将(2．3)代进(2．2)，再将(2．2)代进(2．1)，方程(2．1)化成

 

(i 1 P1+ 2P2+ 3P3一r3P4+r1 7n) =0 (2．4)

 

这个方程能够被重写为较为简洁的形式

 

i盯·P =(r3P4一r1 7n) (2．5)

 

这里动量矢量P=[P1，P2，P3]．用(2．2)式同除上式两边，我们得到

 

业： 二 (2

 

． 6)

r

 

既然方程(2。6)的左边仅仅与 有关，右边仅仅与f有关，两边必定是等于同一个常数．我们把这个常数记

 

为i2PS，最后(2．6)式分离成两个方程：

 

·

 

P = i2PS~b, (2．7)

(r3P4一r1 m)以= i2PSqa (2．8)

 

我们首先寻找方程(2．7)的解，与此方程相对应的久期方程是

 

Det(i2PS—i口1P1一i口2P2一i 3P3)=0 (2．9)

 

经过简单计算，由(2．9)解得

 

[(2PS) 一(P{+Pi+e2)12=0

 

2PS=±√P}+Pi+P； (2．10)

 

可见．此方程的本征值是简并的．方程(2．7)是动量和自旋二者的本征值方程．我们求解此方程时，既得到

 

了S的值，又得到了P的值．本征值S是自旋S=a／2在动量P的方向的投影．本征值P是我们熟知的

 

动量矢量P的模，因此我们得到

 

P=√P{+Pi+P； S=±1／2 (2．11)

 

将上面的解(2．11)代回方程(2．7)我们得到四个相互正交的波函数：

 

，

 

1 1

P1

 

P2

 

P3

 

iP

 

(s=1／2) = 1

 

1

 

i(P 一e2)

 

一

 

P3P — iP1 P2

P2P — iP1 P3

 

0

 

一

 

i(P 一e2)

一

 

P3P+iPa P2

P2P + iP1 P3

 

0

 

P1

 

P，

 

P3

 

一

 

(S=1／2)

 

(S=一1／2)

 

(S=～1／2)

 

(2．12)

 

JY~(2．7)的解不是唯一的，我们能够找到一些其它的相互正交的四个波函数 ，它们都能满足方程(2．

 

昆 明 理 工 大 学 学 报 第27卷

 

7)．

 

我们现在寻找方程(2．8)的解．用r3乘(2．8)的两边，移项后得：

 

(ir32PS+it2m) = P4 (2．13)

 

上面的方程是P4的本征值方程．与方程(2．7)类似，此处的P4不仅表示能量的本征值，而且也包含算符f

 

在时间座标上的投影的本征值，因此我们将它记为P = i2ET，于是方程(2．8)最后被写成

 

(ir32PS+it2m) = i2ET~ (2．14)

 

相应于方程(2．14)的久期方程是

 

Det(i2ET—ir32PS—it2 m)=0 (2．15)

 

将算符f的矩阵表示(1 2)代入上式，当S=1／2时，求解此行列式得到

 

[(2ET) 一(P 十m )] =0

 

2ET=±√P +m (2．16)

 

这组解也是简并的．方程(2．14)是能量和第二内禀自旋算符f的本征值方程．此处本征值T代表第二内

 

禀自旋T=f／2沿空间时间座标系统第四轴的投影，而本征值E则是我们熟知的能量．由此可见，这里不

 

存在所谓的“负能解困难”[ ， ．如下的解是合理的：

 

E=√P +m T=±1／2 (2．17)

 

把结果(2．17)代回方程(2．8)，我们得到四个相互正交的波函数：

 

，1 1

 

r

 

．

 

3 1

 

r

 

m J

 

0 _J

 

m

 

0]

P I

 

— —

 

iEJ

(T=1／2) = 1

 

(T=1／2) = 1

 

(T=一1／2)

 

(T=一1／2) (2．18)

 

和方程(2．7)一样，方程(2．8)的解也不是唯一的，我们能够找到一些其它的相互正交的四个波函数 ．当

 

S=一1／2，只需把解(2．18)中的P用一P代换，其余保持不变．如果我们用

 

=

 

C2exp(一 ) (2．19)

代替式(2．3)，只需把解(2．18)中的m用一m代换，其余保持不变即可．既然每组解 和 包含四个相

 

互独立的波函数，作为方程(2．1)的解的波函数 ，它是 和 的乘积，将包含16个状态波函数，所以方

 

程(1．9)的解应该是描述我们原来称之为粒子体系的东西．也就是说，在此方程中，我们可以把一些不同

 

的粒子，看成是同一粒子的一些不同的状态．

 

3 守恒流

 

从算符盯和f的性质我们看出，不存在由 和rj构成的张量，也就是说它们根本构造不出张量，这是

 

与实验事实相符合的[ ， ．根据式(1．14)，我们能够假设

 

=

 

矿r2

如果 是方程(2．8)的解，那么 ：r2也是方程(2．8)的解：

 

：r2(r3P4一rlm)= 2Ps ：r2

 

由(3．1)，我们能够定义四维空间的流密度矢量

 

(3．1)

 

(3．2)

 

◆

 

◆

 

P E征 o m lm 0 r’ P

 

一r●●● L

 

第1期 张侠辅：包含两个内禀自旋的狄拉克方程 145

 

J = y = r1 = t"3 J4= i y4 = i0r2 = i (3．3)

 

注意到 = ( ) (r) (z)= 和 ： =l(or~)，既然这些解 ， 以及 都是从分离变量法得

 

来的，它们应该相互对易，因此我们有

 

ri =( ri )( d， ) (3．4)

 

我们可以找出J 的 个特解，这只要把我们已经找到的 和 ，亦即上面已经给出的特解(2．12)和(2．

 

18)代人(3．3)中．我们首先计算(3．4)的每个因子，得到

 

=

 

P ／P when S=1／2 =一Pi／P when S=一1／2

r3 =P／E when s=1／2 and T=1／2 or S：1／2 and T=1／2

 

r3 =一P／E when S=1／2 and T=一1／2 or S=一1／2 and T=1／2 (3．5)

 

将(3．5)代人(3．3)，便得到四维空间的流密度矢量

 

】i= Pi／E when T=1／2

 

Ji=一P{／E when T=一1／2

 

J = i (3．6)

 

如将J 的每一分量乘2TE，便得到能量动量四度矢量．我们可以看出，对于给定的P，这种流还可正可负，

 

此性质与电流性质相同．从表示流的这些式子我们看到，流的正负不仅与S有关，而且与T有关．因而T

 

应当是与电荷相关的一个算符，才会影响到流的符号．我们能够从13"和f的运算规则推导出y5在新表象下

 

的形式：

 

75=y172y3y4= r1盯1 r1盯2r1盯3t-2=一t-3 (3．7)

 

四维空间的流密度膺矢量可以表示为

 

j =每y5 y =一 r3 r1 = df j4=i y5 74 =一i r3t-2 =i r3 (3．8)

 

把解(2．12)和(2．18)代入(3．8)，可以得到j 的一个特解

 

j = Pi／P when S=1／2 jf=一只／P when S=一1／2

 

j4= ／E when S= 1／2 and T = 1／2 or S=一1／2 and T =一1／2 j4=一

 

ip／E when S=1／2 and T=一1／2 or S=一1／2 and T=1／2 (3．9)

 

(3．3)是纯费米作用流，(3．8)是纯伽莫夫泰勒流，弱相互作用流是二者之和：

 

J =J +j (3．10)

 

或者把它重新表示为

 

J = ：(1+r3) ( ) J2= (1+r3) (3．11)

 

注意到流矢量J巴的每一分量都有因子 (1+r3) ，因此，对于电磁相互作用，我们可以认为这个因子为

 

零，从而使jo=0．对于弱相互作用，这个因子不为零，而且这个因子是第二内禀自旋的提升和下降算符，

 

亦即对应于△T=1／2的算符．在弱相互作用中有个同位旋AI=1／2选择定则．这是第二内禀自旋对应于

 

同位旋的又一个例证．显然，这个因子使一个带电粒子转变为不带电的粒子，或者相反，使一个不带电粒子

 

转变为带电粒子．

 

4 自旋盯和第二内禀自旋f的电磁势

 

当存在电磁场时，狄拉克方程中的算子e 应由 代替，且 = 一i ．狄拉克方程被表示为

 

( +m) =0 (4．1)

 

用算符( 一m)左乘(4．1)式，给出

 

( p D —m ) =0 (4·2)

 

昆 明 理 工 大 学 学 报 第27卷

 

显然

 

= +(y^ 一rja)／2= 一2 Sa

 

交换哑指标字母，并注意S 的反对称性，我们得到

 

s p =一Sat = s (D —D~Dx)／2

 

进一步的运算给出

 

(4．3)

 

(4．4)

 

—

 

p =ie(a 一a )=论 (4．5)

因此方程(4．2)最后能够被表示为[3]

 

(puj 十论s F 一m ) =0 (4．6)

 

方程(4．6)比克莱茵一高登方程多了一项论s^ ．用s 的表达式(1．12)代人这项，并将电磁场张量的各

 

分量 换成用电场E和磁场B的分量表出，我们最后得到

 

F = 一a仃·B + ier3仃·E

 

这项称为电磁势，其作用是使粒子极化．即这项的作用是使得粒子自旋转向与外场方向平行或反平行的方

 

向．从这项我们可以看出，不仅磁场能够极化粒子，而且电场也能够极化粒子．

 

参考文献：

 

[1] L．I．Schiff．QuantumMechanics，Tokyo[M]． InsatsuPrintingCo．1948．318-331

 

[2] P．A．M．Dirac．The Principles of Quantum Mechanics[M]．Oxford．1957．157 158

 

[3] A．Messiah．Quantum Mechanics[M]．New York，1958．922~924

 

[4] 周世勋．量子力学[M]．上海：上海科学技术出版社，1961．374 382

 

Dirac’S Equation Containing Two Intrinsic Spins

 

ZHANG Xia—fu

 

(Faculty of Science，Kunming University of Science and Technology,Ktmming 650093，Ch妇)

 

Abstract A new expression of the Dirac equation was found．Besides ordinary spatial spin，the second intrin·

 

sic spin is contained in the equation．The second intrinsic spin should be corresponding to the isotopic spin．

 

The equation involves more symmetries，perhaps we can find a new way to resolve the strong interaction by

 

means of the equation．

 

Key words：relativistic quantum；wave equations；spin．