Berry相位的本质是几何的——流形的联络系数和度规计算
i) 流形的概念是欧氏空间的推广。粗略地说,流形就是流变
着的形状,它在每一点的近旁和欧氏空间的一个开集是同胚的。因此在每一点的近旁可以引进局部坐标系。流形正是一块块“欧氏空间”粘起来的结果[11]。
以上做法的理论根据是H. Whitney定理[11]:
“任意一个 维光滑流形总能嵌入到 维欧氏空间
中作为子流形。”
这说明尽管流形的概念较为抽象,其实它正是欧氏空间的推广。并最终仍可作为欧氏空间的嵌入子流形来实现。也就是说,可以取较高维数的欧氏空间作为它的包容空间。这给了我们一个几何直观的方法来获得黎曼空间(引入了度量张量的可微流形)。特例是,三维欧氏空间内的曲面论就是这样一类例子。曲面可以看作二维黎曼空间。准确些说是,任一个二维黎曼空间可以局部地实现为三维欧氏空间中的某一曲面。这样所产生的几何称为曲面的内蕴几何。这种几何在曲面扭曲贴合(没有伸缩的扭曲变形重合)中是不变的[7、9]。上面对球面的讨论,正是给定了联络系数分布的二维黎曼空间的一种表现。公式(7、14)便包含了球面上的这些联络系数。
在 维流形M的任一点m( )近旁所引入的的同胚欧氏空间,可利用其局部坐标系( )作出M在其点m附近的切矢量,用以构造局部标架,就是说,在M的点m作出一个仿射空间 。 与流形M有一个共同点m,这样的空间 称为切仿射空间,此空间中的矢量 称为流形M在m点的切矢量,简称为m点的矢量 。这说明为何前面使用的是在球面各点切空间中的绝对(协变)微分。
纤维丛是流形向乘积的推广。常用的是矢量丛。简单地说,设E,M是两个光滑流形,映射 是光滑的, M上各点的切仿射空间 由n维矢量集合构成。称(E,M, )为流形M上的矢量丛。E为全空间,M称为底空间, 称为丛投影, 称作纤维。直观地说,矢量丛E是积流形和纤维 粘合的结果。粘合时要求纤维上的线性关系保持不变。 中的 维矢量 称为波截面。球面的内蕴几何可以看作是嵌入3维欧氏空间中的二维黎曼流形。用纤维丛的语言,此球面称为底空间,球面每点的切平面便是纤维,逆映射 (即球面每点向切平面中矢量的一种对应,也即,定义在球面上的两分量的矢量场 )便是波截面。平移矢量坐标微分变化的展开系数便是联络。