给小学2-3年级的趣味数学

来源: soldanella 于 2018-08-26 18:47:15 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (21863 bytes)

（ZT）

三年级仁华导引的一道题：妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？

第一个层次：用枚举法把答案做出来完事
7=2+2+3=2+3+2=3+2+2=2+5=5+2=3+4=4+3=7（最后一个7是一天就把7个鸡蛋吃完的意思），所以很容易数出来是8种吃法。
相信很多孩子的学习过程停留在这个层次上，其实也很不错了，能够按照一定的次序不重不漏的把所有情况枚举出来本身就是一种能力，而且在这个过程里也需要一定的条理性做好分类。分类讨论能力是中学数学学习一个非常重要的技能，也是很多孩子的薄弱环节。
  可是如果仅仅做到这里，这个题的价值还远远没有挖掘出来，这也是以“刷题”方式学习最大的问题，孩子认为做出答案来就足够了，赶紧去做下一题，因为父母或者老师的评价标准是“你今天做了几道题”，而不是“你今天有多少收获”。这件事情不难理解，因为前者更容易量化，后者就不容易了。



第二个层次：如果鸡蛋不是7个，而是更多会怎样？
例如：改成12个鸡蛋的话答案是多少？刚才的方法还可不可行呢？
当然是可行的，只是比7个鸡蛋要复杂不少，大家不妨用枚举法试一下，配合排列组合能数对的孩子应该就可以说计数的基本功很扎实了。这里就不赘述了。
这时候我们就会想起华罗庚的一句名言，也是我给我教过的每一个孩子都讲过的：“退，足够的退，退到最原始而又不失去重要性的地方，这是学好数学的诀窍。”当初是我的高中数学老师上课的时候介绍的这句话，当时我还很不以为意：“这不就是找规律的意思么？”可是越到后来我对这句话就有更不一样的理解了，研究一个复杂问题，没有什么头绪的时候，不妨先从简单情况入手。
说起来是特别平常的一件事情，但是真不是每个人都有这个意识。
    我们先考虑2个鸡蛋，很明显只能一天吃完，只有1种吃法；
3个鸡蛋的时候答案也是1；
4个鸡蛋的时候我们列举一下：4=2+2=4,答案是2；
5个鸡蛋的时候：5=2+3=3+2=5,答案是3；
6个鸡蛋的时候：6=2+4=4+2=3+3=2+2+2=6，答案是5.
7个鸡蛋我们刚才做过了，答案是8.
好了，让我们把这几个答案写成一行看一下：1，1，2，3，5，8，
大家看出来了么，每一个数是它前面两个数的和，这不就是斐波那契数列么（又叫兔子数列），规律找到了！
继续按这个规律写下去:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,所以12个鸡蛋有89种吃法。
     这样的话我们就解决了鸡蛋个数变多的问题，不管多少个鸡蛋都可以比较容易的把答案算出来了。是不是比第一个层次要高一点了呢？这也是一个很容易让孩子们“满足”的节点。反正规律已经找到了。“可是为什么会是这样的规律呢？”能提出这个问题的孩子我觉得是一定能把数学学好的。



第三个层次：为什么有这样的规律？
为了方便理解，我们就不用字母表示去讨论一般性了，我们来思考一下如果是13个鸡蛋的话，为什么会有55+89=144种吃法？
刚才提到了分类讨论的想法，我们吃13个鸡蛋的方法数怎么转化成前面的那些数呢？
我们不妨考虑第一天吃了几个鸡蛋，
如果第一天吃了2个鸡蛋，还剩11个，我们已经知道吃11个鸡蛋有55种方法；
如果第一天吃了3个鸡蛋，还剩10个，我们已经知道吃10个鸡蛋有34种方法；
......
如果第一天吃了10个鸡蛋，还剩3个鸡蛋，我们已经知道吃3个鸡蛋有1种方法；
如果第一天吃了11个鸡蛋，还剩2个鸡蛋，我们已经知道吃2个鸡蛋有1种方法。这时候注意，第一天是不能吃12个鸡蛋的，否则剩一个就违反“吃鸡蛋的规则”了。
于是最后一种情况就是第一天就把13个鸡蛋吃光。上面写的字很多，但是核心就是“分类”，“转化”，“递推”
于是我们就知道13个鸡蛋一共有1+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55种吃法了。
咦？为什么不是55+89呢？我们找到的规律不是它应该等于55+89么？
别着急，我们把这一长串式子依次加一下，就会发现一件很神奇的事情:
1+1+1+2+3+5+8+13+21+34+55
=2+1+2+3+5+8+13+21+34+55
=3+2+3+5+8+13+21+34+55
=5+3+5+8+13+21+34+55
=8+5+8+13+21+34+55
=13+8+13+21+34+55
=21+13+21+34+55
=34+21+34+55
=55+34+55
=89+55
虽然也有点象找规律，但是这里也没有必要给孩子用数学归纳法去严格证明，因为道理其实已经搞明白了，能让孩子体会到一点点乐趣，能感受到一点数学的奇妙，也许就很足够了。