请教大家壮士的转圈题

ＬＧ要我接管儿子的数学，我周末就让儿子做了壮士的出奥数题，即：

n个人围成一圈1，2，1，2••••••报数，报1的淘汰出局，再开始1，2，1，2••••••的报，报1再淘汰出局，依次类推，最后只剩下一人，问剩下的这个人在最初n人中的排序m是几？

从壮士给的答案和ｔｒｉｖｉａｌ归纳的结果我学来，如果2^(k-1)<n<=2^k,n=2^k-x 那么 m = 2^k-2x = n-x

我让儿子试了<=1000的若干数，并让他想为什么，他倒腾不出来为什么有这个规律。我也想不清楚为什么啊。

请问各位：为什么有这个规律？从数学或物理的角度解释都可以。

多谢！

所有跟帖： 

• 是不是2的最高次方的那个，比如16，32，64？ -七星剑- ♂ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 14:51:01

• 如果n是2的次方，那最后留下来就是最后一个，这种情况还好理解。不是2的次方情况，我折腾不明白为什么。 -DTMom- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 14:57:16

• 不是，比如说有70个人，留下的不是第70人，是第64人，如果是132人，留下的是第128人 -七星剑- ♂ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:00:01

• 有70个人，留下的不是第６４人，好像是第１２人。如果是132人，留下的是第8人。 -DTMom- ♀ (40 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:09:29

• 我是凭直觉，没去细琢磨。 -七星剑- ♂ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:11:53

• 有空帮我琢磨一下吧。多谢！ -DTMom- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:16:52

• 是最大的2的n次方，即16，32，64 或128。 -lisi- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 16:40:18

• 这题很简单，不要想太复杂了。 -lisi- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 16:41:45

• 我也觉得是, 但有人说不 . 所以也不敢确定. 回复：是最大的2的n次方，即16，32，64 或128。 -CarriePanda- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 18:29:50

• 转圈排不是２^n，当剩下奇数个数时，下一轮就是２，１，２，１，．．．．． -DTMom- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 20:09:35

• 原题是怎么讲的, 难道我理解错了. 你能不能发题目到我QQH? 谢谢. 回复：转圈排不是２^n，当剩下奇数个数时，下一轮就是２， -CarriePanda- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 20:20:43

• 我也把自己绕糊涂了。 -soundofsilence- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:04:27

• 我刚想去楼下喊你呢。再帮我想想吧。 -DTMom- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:10:41

• 一条线还好办些。一转圈，奇偶就乱了，我还真不知道有没有通解。 -soundofsilence- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:12:48

• 这个通解是归纳出来，我也没证明。 -DTMom- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:17:53

• 奇数的时候对吗？ -soundofsilence- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:28:34

• 试过１０以下的奇数，对。 -DTMom- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 15:51:14

• 试了几个数，发现奇偶无所谓，奇数一轮淘汰，所以还是2 的高次方。 -soundofsilence- ♀ (0 bytes) () 12/10/2013 postreply 17:08:06