无门关和歌德尔 （2）

我终于明白了为什么老荷（D R Hofstadter) 在G E B中要把无门关和小歌放一起了。

这个公式（简称 G），是老荷用来说明Gödel 证明的科普版。

这里T N T 是一个跟老罗（素）＂数学原理＂类似的公理系统。

 

前面我们提到过，小歌天才地把推理数字化，

这样公式就有了两层意思，一个是在数字层面，一个在推理层面。

TNT Proof Pair 是指 a和a‘是两个公式的推理操作

在数字层面，它表达公式的数字的这个基本性质：

给定a和a‘两个公式数字表达（Gödel 数），我们可以在有限步内，

根据已有的数字函数（定理）回答出能不能从a倒推回a’。

回答N o，推理不正确。

回答Yes,  从a' Gödel 数 能推出 a Gödel 数。

注意所有推理公式都是＂简单＂函数，这些操作只跟自然数操作计算有关。

 

因为公式的 数字 是不是 Gödel数 和 公式 有一一对应关系，

所以在推理层面,我们可以说 T N T Proof Pair 就是在说：

a 公式是不是a‘ 公式推导出来的。

 

ArithmoQuine 是自指操作：

这里a” 是有一个自由变量的公式的数字，

a‘ 是把上面公式的自由变量用a” 带入后得到的公式的数字，

比如 b=0 ，或者 彐b’：b’=b，它们的自由变量是b，

它们都有一个a” 数字，把b置换成a” ，就可算出a’ 代表的数。

 

在数字层面，它是说 a’ 就是 ：the arithmoquinification of a” 。

 

这个反推操作在数字层面也是＂简单＂数字操作，

可以在有限步内获得明确答案。

在推理层面，它就是在说，a‘ 就是"Quine" a” ：）

（参见 Quine Paradox)

 

我理解，这个操作就是＂自指＂的 数字表达。

因为这里把自由变量换成自己的公式的数字实际上就是＂自指＂：）

 

根据老荷的推导，这个公式会导出＂两头堵＂：）

＊感谢 youdecide 网友指出 下列描述的错误*

*G的数字有两种可能，是不是Gödel 数。

*G的公式也有两种可能，是不是定理。

*根据小歌的构造，定理一定对应Gödel 数。

*假设G的数字是 Gödel 数，那么就会导出 G不是定理: 矛盾

*这对应：G is not theorem of TNT。

 

如果G是定理，那么上述G就必然产生＂真＂的结果，

但是根据分析，上述G的＂还原＂结果是 ＂G不是定理＂

如果结果是真，正好矛盾：）

如果你认为G不是定理O K，这本身不是问题，也不会导致矛盾。

但因为G描述了一个真实，你就必须承认公理系统

有局限性，不能推出所有真实公式。

 

那你可能会想用～G代替G，恭喜你，在这种情况下，～G的Gödel 数为真，

～G公式就变成了＂无用的＂的真理（思考题：Why:）

 

这是老荷关于无门关的第一关 ＂赵州狗子佛性＂的感悟：

它精确地概括了什么叫＂Undecidable “，

它和G是不是定理有异曲同工之妙：）

Escher 的 左右互博也很好表现了G http://M.C. Escher (Drawing Hands) Art Poster Print - 26x22 Art Poster Print by M. C. Escher, 26x22 Art Poster Print by M. C. Escher, 26x22

作者 具体的步骤照下来供大家参考。