几年前旧贴。看到大家打点数数，圣诞节了，给大家拜个节，添个乐。

来源: 清溢于 2023-12-24 18:01:07 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读：次 (6700 bytes)

从《巴塞尔问题》的一种解法看数学之美

(2021-01-02 01:30:16)下一个

从《巴塞尔问题》的一种解法看数学之美

什么是倒数勾股定理？直线型的数轴和曲线型的圆有什么关系？

2021年元旦，在油管上看到了《巴塞尔问题》的另类解法，大呼好酒。以下是视频链接，建议有兴趣的读者花20分钟看一看（可惜，国内朋友也许看不到，因为是油管，还是英文版的）https://youtu.be/d-o3eB9sfls

（又，今天居然在bilibili上找到了原视频的中文文字翻译版）---

https://m.bilibili.com/video/av20400157

巴塞尔问题（Basel Problem）由意大利数学家门戈利（Pietro Mengoli）于1644年（也有一说是1650年）提出，由大名鼎鼎的瑞士数学家欧拉在1735年解决（= pi^2/6）。问题很简单：求所有自然数倒数的平方和，即：

S = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... + 1/n^2 + ...

看完视频后，不由得击掌为快。曾经的五讲四美年代，哪四美记不清了。但数学之美，至少是3D型的。哪3D呢？面容、身材和心灵？读者的眼睛是雪亮的，自会见仁见智。这里以《巴塞尔问题》为例，谈谈个人感知。

先看一看数学的结构之美。

平方一下，还平方一下，再平方一下……

加一点，接着少加一点，继续少加一点……

规律吧。就这么规律得像辉煌的太阳，每天早上八九点钟，准时流连在青春的你的发梢。漂亮吧。就这么漂亮得像灿烂的银河，每天晚上八九点钟，按点飘逸在年青的你的头顶。简单（简洁）吧。就这么1、2、3地数下去，就那样4、5、6地加下去，简单得连小学生都看得懂。然而，就这么简单，就这么眉清目秀，就这么具有挑战性---端坐在那里，连续九十年、三代人，无解。

再看看数学的思维之美---看看他如何天马行空，却又长缨在握，抽象和具象相结合，几乎完美地解决了这个问题。

1）先是合乎逻辑，由pi（抱歉，不会打那个希腊字母pai）走向圆；

2）继而联手其物理兄弟，立了一回五瓣梅花桩（五个定理/律）：

a) 平方反比定律（光强和距离的平方成反比）

b) 初中平面几何四个定理（倒数勾股定理、四点共圆定理、直径所对圆周角为90度、圆周角等于同弧圆心角的一半)

3）接着，突发奇想，开始用金箍棒画圆圈、建灯塔---画第一个圈，点一盏小灯；画第二个（直径大一倍的）圈，点两盏（等价平分的）小灯；画第三个（直径比第二个大一倍的）圈，点四盏（等价平分的）小灯……以此归纳类推；

4）然后，念一句刘谦兄弟的口头禅---验证奇迹的时刻到了---于是，化圆为方，变有限为无穷（数轴就是一半径无限大的圆）；

5）最后，用部分（个数）对等总体（个数）原理（这是一似非而是的原理，作者用其四两拨千斤，略施轻功，就运展了一回乾坤大挪移）将问题一举解决。

整个解题过程，活脱脱燕人张翼德一个，于百万数中取上将pi值，探囊取物耳。

多说几句，这个证明太漂亮了。面对一个复杂的高数问题（也是一个具有敲门砖性质的问题，因为它是至今都没能被证明的黎曼猜想的孪生兄弟---黎曼函数的特例。有兴趣的读者可由此入手，作进一步探研），用简单的初中知识，庖丁解牛般拿下。借用刁参谋长的名言：阿三哥（Sanderson，3Blue1Brown的创始人）不愧是开学馆的，证起题来滴水不漏，佩服，佩服！反过来看一看，现今又有多少“大咖”，把简单明瞭的问题，包装成不知所云的学术论文。以此对比，谁是大师，谁是大神，高下立判。

数学，还富含哲理之美。

数字和符号，看起来枯燥，其实是有生命、有灵性的。那一串串单调的字符，何止包藏着灯塔？谁能说，它们不是照亮你在黑夜里前行的火炬、不是陪伴你风雨窗前的蜡烛？他们是你，是我，是人类的心灵之光。虽然微弱，却数不胜数，从无穷远走来，又向无穷远走去。最后，竟超越无穷，回归成一个有限的、小小的，和谐的圆。

“完了？”（真尤）美女轻轻一问。“哪有个完啦。”（高仓）健君浅浅一答。据说，后面还有一段话，解释了没完的原因，但由于当年审查没过，被剪掉了。让小可试着续个貂---

“美女，我所欲也。美图（鄙人给数学取的别名），亦我所欲也。二者可否得兼？To be, or not to be? That is the question.”

列位看官作何解？我的答案是，肯定有解，而且有多组解（偷着笑，这个你懂的）。不过，如果有无穷多组解呢？那……那就吃不完，兜着走了。再扩展一下，如果把美酒也拽进来（原来，3D之美，是这三美？--- 偷着乐，这个可以有），那又如何走呢？三角恋啊，也许可借着酒劲，飞走……？