美国有哈佛这样的世界一流学校，也培养出了不计其数的世界一流人才，可是我们常常听到海外家长们抱怨：“美国(或是加拿大)人的数学糟透了！”，不少国内家长也这么认为。真是这样吗？
先来弄清几个概念：
我们所说的数学是什么意思？“数学”本来是个外来词汇，中国人其实没有把数字作为科学来研究，“0”也不是中国人发明的。所以普通中国人的“数学”概念基本上停留在原始的“计数”也就是“算术”上。“算术”者，计算之“术”也。
英文中，与“数学”有关的至少有三个词汇：‘arithmetic’，‘mathematics’和‘numeracy’。‘arithmetic’来源于古希腊文，意为‘数字’，中文译为‘算术’较为恰当。随着现代计算工具的日益发展，西方的学校里已不用‘arithmetic’这个概念，取而代之的是‘mathematics’或‘numeracy’。
‘Numeracy’是一个比较新颖的概念，英国教育部将其定义为：一种对数字系统的理解，对广泛的数学技能的掌握，以及解决量化与空间问题的能力。它还包括各种数据的收集方法和运用图表呈现这些数据的能力。
数学研究的是数量、结构、变化以及空间模型等概念，学习‘数学’其实就是训练抽象化思维和逻辑推理。数学家们从选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理，所以数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
由此可见，我们时常听到的“美国人不会找零钱”啦，“简单的加减乘除都要依赖计算器”啦，这些其实都是指算术，并不说明美国人的数字与空间概念或是抽象逻辑思维比别人差，否则很难想象航天飞机能傲游太空，电脑科技会称霸全球。
再者，数学追求的是清晰、准确、严密，不允许有任何杂乱，不允许有任何含糊，数学的三大基本特征就是：抽象性、严谨性和广泛应用性。正由于这些特征，中国文化的笼统、模糊性在一定程度上阻碍了中国人的数学思维。纵观人类历史，对数学的研究有四个高峰，均诞生于欧美各国：第一个是数学作为科学形态出现的古希腊演绎数学时期；第二个是推动工业革命的牛顿-莱布尼兹的微积分时期；第三个是以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；第四个则是当今以电脑技术为标志的新数学时期，美国人独领风骚。
数学是一门科学，一个国家的科技水平不但要看其民众的普遍科学素养，还要看这个国家在该领域的尖端研究水平。美国的确有好多普通人连四则运算都搞不清，可是这个国家的科技水平是有目共睹的，在数学诺贝尔奖——菲尔兹奖的获奖者中，美国籍的获奖者人数是最多的。就中小学教育来看，美国的数学教学强调的是逻辑思维和抽象概念的形成，在这方面，人与人之间的差异太大了，所以天生缺乏数学细胞的人在尊重个性发展的美国大可不必花费那个脑力，这些人也许会在文学艺术或工匠手艺方面发挥特长，真正有数学头脑的美国人，钻进去了，也就不乏走进数学王国摘取那璀璨明珠的数学大师。美国教育重视个性的发展，尊重知识与真理，普林斯顿大学能把John Nash这样的数学“疯子”养起来，换了中国，他早就在精神病院里结束一生了。注意观察一下，国外大学中数学系，包括其他理科专业，中国来的优秀学生不少，可是真正顶尖的，往往还是白人居多。世界科技领域里，当然不乏优秀华人，可是华人往往是为他人服务的“计算员”，“程序员”，能正真独立解决问题，具有挑战精神有所创新的华人比例还远远不够。
中国人喜欢用考试成绩来判断好坏，如果仅以标准化测验为标尺，美国中学生的数学平均成绩的确不好。国际上具有权威的TIMSS和PISA最新测验结果显示，美国中学生的数学排名分别是第35名（15岁儿童PISA）、第11名（四年级TIMSS）和第9名（八年级TIMSS），而这三项测验的前五名分别是台湾、芬兰、香港、南韩、荷兰；香港、新加坡、台湾、日本、卡扎克斯坦；台湾、南韩、新加坡、香港、日本。经本人向国家教育部考试中心戴家干主任了解，中国大陆目前尚在试验阶段，不久也将参加这一系列的国际测试，可以想象，中国孩子的成绩一定不俗。如果中国孩子的数学考试成绩超过了美国，能不能说中国孩子的数学思维（逻辑、抽象、严密）就比美国孩子好呢？那么难道台湾、香港、南韩、日本等地区的人是世界上数学最好的吗？
显然不是。数学好不好，不能只看考试成绩，一个人数学好的真正含义是具有清晰准确的逻辑思维和严密的推理能力，考试中表现出来的复杂的计算技巧甚至高超的解题能力往往和真正的数学思维并没有太大关系，贸然下结论说某一国家的人数学好或是不好也是非常武断而且没有意义的。
比较有意义的观察是，看一个国家的数学教育手段（引伸到整个教育体系）是否先进，是否能培养出顶尖的数学人才并主导世界领先的科学研究？无疑，美国的数学教育和现代数学研究都走在世界前列，笼统的说美国人数学不好是缺乏根据的。正好比说中国人的外语水平世界第一，因为在全民学英语的背景下，不管是出租司机还是胡同口的老太太都会几句“三克油”之类的洋腔，而大多数美国人除了母语，很少去学外语的，可是中国的街头到处能看到令人啼笑皆非的英语翻译，而我们不管在外语教学的理论研究和实践上，或是现代应用语言学领域里，与世界先进水平还相差很远。
同样，也有人认为美国人的历史知识很差，可是美国人对历史的研究方法和探索的深度，让我们这个具有几千年历史的大国都是刮目相看的，我们对自己国家的历史的认识（如文革史），可能还要借鉴美国人的研究成果吧。
现代社会的进步不是靠全民都掌握尖端的科学知识和技能，只要能培养出一小批立足科技前沿的精英就行，普通民众需要的是科普，是科学的思维方法，专业领域的研究，有几个精英就足够了。
中国教育不管三七二十一，都要把学生培养成超高速的计算机，家长们也趋之若鹜地争相把孩子送进什么“奥数”训练班，好像每个孩子都能成为数学大师似的。据最近媒体报道，中国小学生的奥数题（1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……前500个数的和是多少？），难倒了世界著名数学家、菲尔茨奖得主安德烈?奥昆科夫。这位数学大师说，他从来没上过奥数，也不理解中国小学生拼命学奥数的做法，他认为那些太难、太刁钻的题目，很可能伤害了孩子们学习数学的兴趣。
兴趣和动机是激励人、推动人去行动的一种力量。为了某种功利目的逼迫孩子学习，到头来往往是毁了孩子。曾听到国内一位辅导奥数的特级教师介绍培训学生参加国际比赛多么艰辛，有一位学生获奖后回来对老师说：“总算解放了，我这辈子都不再碰数学了！”我听了之后，心里阵阵酸楚。这样“数学好”的只会考试的学生有什么用呢？
另一部分学生虽然数学学不好，可是也许他们有不凡的形象思维能力和文学艺术潜力。被学术界称为“民国第一才子，二十世纪人类最智慧的头颅”的钱钟书入清华时理科极差，数学只考了15分，幸亏清华没有把他拒之门外，我们现在才有幸看到《围城》、《管锥编》等等思想巨著。而我们今天是硬叫“王钟书”、“李钟书”去学数学，结果既出不了数学家，更没了钱钟书。当今我们的基础教育表面上是“硕果累累”，可高等教育和科研远远落后于世界先进水平。当年钱钟书说，“整个清华，没有一个教授有资格充当钱某人的导师!”在梁启超、陈寅恪、王国维、赵元任等名师聚集的清华这样说未免是太张狂了，可是现在别说是清华，即使说“整个中国的大学，没有一个教授有资格充当钱某人的导师!”，这一点都不为过吧？
扯远了。
“赶鸭上架”其实是亚洲人的通病，在国际教育成就评估协会（ International Association for the Evaluation of Educational Achievement）所作的数学与科学教育成就趋势调查中，日本中学生获得总分第一名，可同时问卷发现日本学生不喜欢数学的比例也是第一。中国尚无全面的报道，但有关部门对河南省新乡市四所中学的高中生学习数学情况的调查发现：“我不喜欢数学，但为了高考，我必须学好数学”的学生占被调查者的比例高达62.21%，而对数学“很感兴趣”的只有23.12%。
数学本身并非无趣，是我们的教学把数学的真髓弄得平庸且令人痛恨了，难怪北京理工大学教授杨东平说要“打倒万恶的奥数教育”，称奥数教育对少年的毒害比“黄赌毒”还厉害。数学大师陈省身在第24届国际数学家大会期间，送给“少年数学论坛”的孩子们一幅题词，叫做“数学好玩”。陈大师喜欢数学，他的成就都是“玩”出来的。
小结一下，数学好不是指四则运算的水平高不高，更不是指考试的成绩好不好，而是看一个人的数学思维好不好，以及培养这种思维的方法和制度好不好。
那么美国或加拿大人是怎么训练孩子的数学思维的呢？
数学不是一个脱离生活的枯燥学科。我儿子9年级了还在学代数（分式运算），不过我注意到他的许多习题都和生活中的实际问题有关，每解答一题，就明白了一个道理，真正学到了知识，甚至了解了常人无从知晓的科学理论。
某日他问我一道习题，我仔细一看，吓一跳。这不是牛顿的万有引力和爱因斯坦的相对论公式吗？原来老师只是把这个公式介绍给学生，同时讲解了万有引力和相对论的原理，再把和公式上相对应的参数告诉学生让他们对号入座，求出两个星球之间的引力和飞船的速度罢了。
同样是套公式计算，中国学校是枯燥的题海，这里是计算结合科普，学习知识和计算联系相辅相成，学生能很好的领会数学在现实生活中的作用。
另外，学习数学的意义不在于告诉学生已知的所有条件和公式，让学生做‘计算员’，更重要的是培养学生独立解决问题的能力和创造性。比如这样一道典型的应用题：已知游泳池的长、宽、深。另知一台抽水的抽水速度，求抽完游泳池的水需要多长时间。
国内的孩子会根据公式迅速计算出各种不同游泳池的抽水速度，或是其它由同类原理演变的试题，但是必须要有现成的数据。不过这样一来，学生的作用也就是一台计算器了。国外的学校，老师往往拿一个小小的问题来让学生做个长篇project。比如这个游泳池问题吧，老师会提问：怎样知道一台抽水机用多长时间抽完游泳池的水？哪些是最基本的必备条件？如何得到这些数据？做一个报告上来，这么一个“简单”的问题，可能会花费一个星期的时间。
但是，让学生独立找到解决问题的必备条件和方法，才是正真培养数学能力。游泳池的水、池子的长、宽、深、容积以及抽水机的抽水速度等，这些变量之间的联系和逻辑关系应该让学生自己去整理出来。池子的深度用尺量？潜水下去？用竹竿？用细绳吊重物？游泳池的形状如果不是长方体而是拟柱体，或是圆柱体怎么办？如何知道抽水机抽水的速度？说明书上找？做个试验？根据机器的功率换算？所有这些问题在课堂上讨论，甚至到实地勘察，对学生创造性思维的启迪和解决问题的能力都是极大的促进。花一个星期的时间，写出一个像模像样的研究报告，从实验问题到方案设计和数据收集、计算方法和结论，就是一篇像样的专业论文了。哪怕是最后计算错误，也比在课堂上做一百道计算题的意义不知大多少倍。
下面是另一个更具有典型意义的例子：
国内好像是初二就教三角函数、相似三角形了。老师大概花半节课讲解正弦、余弦、正切、余切定理，然后就让学生大量的做习题，求边，求角，直到公式背得滚瓜烂熟、应用题解得炉火纯青，到高中就可以向微积分迈进了。
有一道比较经典的应用题是这样的： 学校的旗杆在地上的投影长x米，投影末端与旗杆顶端的仰角为xx度，求旗杆的高度。利用正切原理，不用一分钟，这道题就有解了。可是，这道应用题是否真正有应用价值呢？没有，应为那个至关重要的仰角是很难测到的，而学生要等老师把这些必备条件逐一告诉他，才能动手解题。那么，在实际生活中求旗杆的高度是不是有更好的办法呢？别人把解决问题的方法和必要的条件都告诉了你，你才能解决，你最多只能算是个工匠；自己去发现问题，解决问题，才是真正的有用之才。
加拿大的学校要到十年级（高一）才教三角函数。同样的问题，有一个老师是这么教的。
老师把全班学生带到操场上，指着旗杆说：今天我们要精确地测量出这个旗杆的高度。大家分成三组讨论，我们选出最好的解决办法！
于是，学生们开始Brainstorming (不知道用中文怎么表达这个词)。
有人说，我爬上去！带一根绳子……。“很勇敢！但是有危险，暂不采纳。”
有人说，我在升旗的绳子上做一个记号，拉上去，再拉下来，就可以量出高度了。
“好主意！可是绳子并不到旗杆的顶端，还不能达到精确的目的。”
有人说，对了，用刚学过的三角函数，只要量出仰角，就能得出旗杆高度了！
“很好！我们看到探寻真理的目标了，可是怎样才能测得这个仰角呢？”
Brainstorming 又开始了……
又有人说，我去找一根棍子，垂直插在地上，用一根绳子把棍子的顶端和它投影的末端连起来，不就可以量出仰角了吗？
“太好了！我们向真理迈出了一大步！动手吧！”
三组学生都分别动手找工具，测仰角……
最后，三组学生得出了三组不同的数据，毕竟用这种简单的工具得不到精确的数据。怎么办？
再开动脑筋！可不可以把三组数据平均一下？或者……？
突然，有一位同学看着地上插着的棍子，来了灵感！
让我们先量出棍子的高度，再量出它投影的长度，用相似三角形的原理，不就能得到旗杆的高度了吗？（旗杆与棍子投影的比值等于旗杆与棍子的高度之比）
“Bingo!”所有的同学欢呼起来，老师更是兴奋，看着他的学生，他好像看见了一颗颗智慧之星，看见了他的学生们都成了伟大的科学家……
这一堂课，学生们恐怕是终生难忘的。解决了旗杆的高度，还有必要反反复复地做一大堆练习吗？以后只要有一根棍子，一卷尺，要测量电视塔的高度也不是什么难题了。
一道题用了一堂课去解，值吗？值！这一堂课，或许抵得上一辈子的感悟。我敢说，那些得了奥林匹克数学竞赛金牌的学生也未必会用一根棍子测出旗杆的高度，他/她也许会等着你告诉他/她那个重要的仰角。
同样的问题也表现在考试上。中国的学校，尤其是小学的数学考试看起来很难，但都是复杂的计算，教师往往脱离现实，把本来简单的问题故意弄复杂了，试题难倒了学生，学生即使会做，但不会解决现实中的问题。学生对数字的敏感、对数字和空间概念的研究和观察在这些考试里也反映不出来 请看一下几个国内小学四年级的真实试题：
1. 小红看一本126页的故事书, 已看了一些还剩38页, 小红看了多少页? （评：此题意义何在？看了多少页一目了然，怎么会先知道剩下的页数而要求看了多少页呢？不就是把简单的问题弄复杂了，让学生在数字游戏里转悠？）
2. 家具店运来45把木椅, 运来的折椅比木椅的3倍还多10把, 家具店共运来多少把椅子? （评：怎么会不知道共运来多少椅子？挨个数一下不比先知道折椅比木椅多多少倍更容易？）
3. 王庄乡有水田507公顷, 比旱田的3倍还少3公顷, 王庄乡有旱田多少公顷？（评：同样是一个脱离实际编造的问题，学生只是套公式摆弄数字，对解决现实问题几乎没有帮助）
这些试题的共同点是，把简单的问题复杂化，明明都是一目了然的问题，偏要转一个圈子，让学生拐弯抹角地找答案，严重脱离了现实生活，还有这农田、家具店和眼下孩子的生活有多大关系？
请看加拿大BC省四年级Numeracy部分试题：
学校要举办一次游园会，学生们四处张贴广告。星期一他们贴了25张，第二天比前一天多贴7张，按照这个规律，星期五学生们需要贴多少张广告？
• 32
• 53
• 149
• 195
山姆用一卷4.2米长的纸做了一个2.5米长的横幅，
他还有多少纸剩下来？
• 1.7cm
• 17cm
• 170cm
• 1700cm
游园会的门票连续出售了8天，按照图中规律，
第八天结束时会售出多少门票？
• 875
• 1000
• 1100
• 1175
莎莉为丢沙包的游戏堆积木，如图所示，她堆到第六组时需要多少块积木？
• 21
• 28
• 36
• 45
莉萨做了一个问卷调查，并制作了一张图表。
按图所示，她的问题是什么？
• 游园会共盈利了多少钱？
• 男孩更喜欢钓鱼游戏（fish pond）吗？
• 每项活动参加的人数是多少？
• 为什么有近60人去了书展（book stand）？
吉米买了一本关于养猫的书，此书共有223页，
他第一天就看了76页，第二天又看了48页，
还有多少页吉米就把书看完了？
• 199
• 124
• 101
• 99
游园会结束的时候，一共义买出38块小蛋糕，每块蛋糕售价$1.95。以下哪项计算能最精确估计所筹得的款数？
• 30 X $1.00
• 30 X $2.00
• 40 X $1.00
• 40 X $2.00
这些题目的特点是，围绕同一个主题，学生用所学的技能解决实际生活中碰到的问题，大多数题目都不需要生硬的套公式，也不必机械的计算，而是通过对数字间的规律和逻辑关系的推理找到答案，同时，对于图表的运用和空间物体的想象能力的考察也十分到位。对于计算，最后一道关于蛋糕的问题并没有让学生计算出准确的数字，而是考察学生解决问题的方法以及对各个数字大小之间的关联和逻辑推理。这种方法在生活中具有更大的实际意义。
顺便提一下，加拿大的中学数学分三个不同层次，学生可以根据自己的能力和兴趣爱好选择不同的课程，教师也可“因材施教”。当然，这不是说要学习中国的文理分科。文理知识、逻辑思维和艺术想像同样重要，教师可以给“文科生”讲解“鸡兔同笼”的计算原理，训练他们解决诸如巧拿火柴棒、幻方、商人过河等问题，甚至可以讲解哥德巴赫猜想的命题，让形象思维强的学生也插上逻辑思辨的翅膀。
数学好，就必须具备起码的逻辑思维。可是国内许多所谓作家、名记者的文章，通篇是主观臆断，缺乏严谨的考证推理。这些人可能算术不错，也能写诗吟词，可是往往连一个简单的观点也表达不清，要么就是绕一大圈，故弄玄虚，要么引用一大堆科技术语和专业名词，读者糊涂，作者自己也未必明白。（国外类似的报道，都是从最基本的原理谈起，一步步地用逻辑论述让读者明白）。至今，不少国内“数学好”的学者还认为哥德巴赫猜想就是要证明1+1=2。
数学，不仅仅是1+1=2那么简单啊。
