金融信息的非线性动力学演化机制研究- MBA智库文档
2010年10月6日 – 在一[21,26]系列N个独立同分布随机变量中，最大事件的大小量级Λ由下式给出： .... 标准差为1的正态分布的随机变量． t(2) 随机变量ε是序列不相关的． ...
物理学中三种非确定性现象综述--大学生毕业论文 - 毕业设计 - 道客巴巴
【标题】物理学中三种非确定性现象综述 【作者】杨 琴 【关键词】 概率 波粒二象形 混沌 【指导老师】王骁勇 【专业】物理学 【正文】 1．分子的热运动——对它的研究形成统计物理学 1.1 统计物理学的深刻意义 统计物理研究的对象是物体内部热运动的规律以及热运动对物体性质的影响。 在研究方法上， 统计物理要从物质的微观结构来研究物体的热运动。统计物理认为 一切物体是由大量数目的微粒 （分子或原子）构成，一切微粒作不停息的杂乱运动， 于是引进统计学的办法， 不一一考虑个别微粒的运动，而直接推求极大数目的微粒 的运动的一些统计平均数量， 用来解释从实验中直接观测到的物体性质（即宏观性 质，如温度、压强等）。就基本方法说，统计物理是微观的理论，就理论基础说， 统计物理是建立在统计原理的基础之上，本质上与力学理论是有区别的。 统计物理学也有它的局限性。 由于统计物理学对物质的微观结构所做的往往只是简 化的模型假设，所得的理论结果也就往往是近似的，当然，随着对物质结构认识的 深入和理论方法的发展，统计物理学的理论结果也更加接近于实际1。 1.2 早期对分子热运动的研究 17 世纪，随着近代自然科学的诞生，物质原子论的思想得到复兴，热与物体内部 粒子的运动有关的思想，也被不少学者以不同形式提了出来。 1638 年，法国学者伽桑狄（Pierre Gassendi）以极大的热情重新发掘和宣传 了古代的原子论思想。他假设各种物质都是由大量在各个方向的坚硬粒子所组成， 各种不同物质粒子的不同形状，使他们以不同的形式进行结合并表现出不同的特 性。上述思想虽然还很粗糙，但却为物理学的研究从宏观走向微观指出了一个方向。 1738 年，瑞士物理学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernouli）在他出版的《流体动 力学》中继承了胡克的思想，对波义耳定律作出了定量解释，指出气体的压强是气 体的粒子与器壁碰撞的结果。D．伯努利的气体模型，无疑是走向分子运动论的重 要一步，它的工作显示了分子运动论的优越性。 18 世纪初，随着化学原子论的确立，分子概念也被提了出来。 阿伏伽德罗（Amedeo Avogadro）在他 1811 年引入了“分子”概念，并把它与原子 概念相区别。 19 世纪 50 年代对于复活分子运动论作出最有影响的工作的是德国物理学家克伦尼 希（August Karlkonig），1856 年，他发表了《气体理论原理》，确认热是运动 的一种形式1。 1.3 综述分子热运动的研究 1859 年，英国物理学家麦克斯韦在论文《气体动力论的说明》中指出，气体中大 量分子的频繁碰撞， 并非使它们的速度趋于一致，气体中各个分子的速度大小和方 向是千差万别并时时变化的，分子的速度分布在一切可能值上，不过，在一定的宏 观平衡条件下， 处于各种不同速度范围内的分子数在总分子数中所占的比率却是一 定的，即呈现出某种规律性的分布。如果知道了任意时刻分子速度的分布规律，则 气体的大部分可观测的宏观性质， 都可以严格地运用统计方法精确地计算出来1。 1.3.1 近独立粒子的最概然分布 1.3.1.1 粒子运动状态和系统微观运动状态的经典描述 首先介绍如何描述粒子的运动状态，这里说的粒子是指组成宏观物质的基本单元， 例如气体的分子， 金属的离子或电子等等，粒子的运动状态是指它的力学运动状态。 现就粒子遵从经典力学的运动规律为基础，对粒子的运动状态作经典描述。 经典描述： 设粒子的自由度为 r，经典力学告诉我们，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子 的 r 个广义坐标 和与之共轭的 r 个广义动量 在该时刻的数值确定，粒子的能量是 其广义坐标和广义动量的函数， 为了形象地描述粒子的力学运动状态，用 ； 共 2r 个变量为直角坐标，构成一个 2r 维空间，称为 u 空间。粒子在某一时刻的力学运动状态（ ； ）可以用 u 空间 中的一点表示， 称为粒子力学运动状态的代表点。 当粒子的运动状态随时间改变时， 代表点相应地在 u 空间中移动，描画出一条轨道。 所谓系统的微观运动状态就是它的力学运动状态， 现仅限于讨论由全同和近独 立粒子组成的系统。 经典力学中如何描述系统的微观运动状态？ 确定系统的微观运动状态需要 2Nr 个变量，这 2Nr 个变量就是 （i12...N） 在经典物理中全同粒子是可以分辨的， 如果在含有多个全同粒子的系统中， 将两个 粒子的运动状态加以交换，在交换前后，系统的力学运动状态是不同的。 在经典力学基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学2。 1.3.1.2 等概率原理 在确定的宏观状态下， 系统可能的微观状态是大量的， 而且微观状态不断地发生着 极其复杂的变化。因此确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题 。等概 率原理认为， 对于处在平衡状态的孤立系统， 系统各个可能的微观状态出现的概率 是相等的2。 1.3.1.3 分布和微观状态 经典统计中的分布和微观状态数： 粒子在某一时刻的运动状态由它的广义坐标 和广义动量 确定， 相应于 u 空间中的 一个代表点。为了计算微观状态数，将 和 分为大小相等的小间隔，使 ，对于具 有 r 个自由度的粒子， 相应于 u 空间中的一个相格。处在同一相格的代表点，代 表相同的运动状态，将 u 空间划分为许多体积元 ，以 表示运动状态处在 内的粒 子所具有的能量。N 个粒子处在各 的分布： 体积元 ……… ……… 简并度 ……… ……… 能量 ……… ……… 粒子数 ……… ……… 在经典物理中，粒子可以分辨，对粒子加以编号，由于一个量子态可以允许的粒子 数不受限制，交换粒子将给出系统的不同状态，将 N 个粒子加以交换，对于经典统 计，与分布 对应的微观状态数 2 1.3.2 系综理论 最概然分布方法只能处理由近独立粒子组成的系统， 如果在所研究的问题中必须计 及粒子间的相互作用， 系统的能量表达式包含粒子间的相互作用的势能， 就不能用 前面讲述的最概然分布的方法处理，在此基础上提出了系综理论。 系综统计法的要点： 宏观量是对处在一定的客观条件下的系综的平均， 即把整个体 系作为统计的个体，研究体系在相空间中的大量分布2。 1.3.2.1 统计系综 系统通过其表面分子不可避免地与外界发生作用， 使孤立系统的能量不具有确 定的数值 E 而是在 E 附近的一个狭窄的范围内。 在给定的宏观条件下，我们不可能 肯定系统在某一时刻一定处在或一定不处在某个微观状态， 而只能确定系统在某一 时刻处在各个微观状态的概率。 宏观量是相应微观量在一定可能的满足给定宏观条 件的微观状态上的平均值。 在经典理论中，可能的微观运动状态在相空间构成一个连续分布，以 表示相空间 的一个体积元。在时刻 t，系统的微观状态处在 内的概率表为 满足归一化条件： 1 表示微观状态处在相空间各区域的概率总和为 1。当微观状态处在 范围内，微观 量 B 的数值为 B（qp）。微观量 B 在一切可能的微观状态的平均值为 就是与微观量 B 相应的宏观物理量。 上式给出了宏观量与微观量的关系， 要具体地求宏观量， 必须知道系统分布函数 ， 确定分布函数 是系综理论的根本问题3。 1.3.2.2 微正则分布 正则分布 巨正则分布 微正则分布 平衡状态下系统的宏观量不随时间改变，即 。刘维尔定理 显示，系统从初态出发 沿正则方程确定的轨道运动，概率密度 是不随时间改变的常数。受外界作用发生 跃迁后系统沿 E 到 E△E 内的另一轨道运动，概率密度 也是不随时间改变的常数， 但是不同轨道的常数概率密度是否相同是刘维尔定理不能回答的，需要统计的考 虑。 如果假设 E 到 E△E 内一切轨道的常数概率密度相等，则在 E 到 E△E 能量范围的 所有可能的微观状态上概率密度就都相等， 是不随时间改变的常数， 这就是等概率 原理，也就是微正则分布。 等概率原理的经典表达式： 正则分布 具有确定的 N，V，T 值的系统的分布函数，这个分布称为正则分布。 具有确定的 N，V，T 值的系统可设想为与大热源接触而达到平衡的系统，由于热源 很大，交换能量不会改变热源的温度，在两者建立平衡后，系统将与热源具有相同 的温度。系统与热源合起来构成一个复合系统， 复合系统的总能量可表为系统的能 量和热源的能量 之和： 正则分布的经典表达式： 巨正则分布 在实际问题中系统的粒子数 N 不具有确定值， 由于源很大，交换能量和粒子不会改 变源的温度和化学势，达到平衡后系统将与源具有相同的温度和化学势。 具有确定的体积 V，温度 T 和化学势 u 的系统的分布函数——巨正则分布。 系统和源合起来构成一个复合孤立系统，具有确定的粒子数 和能量 ，以 E 和 表 系统和源的能量，N 和 表系统和源的粒子数，假设系统和源的相互作用很弱，有 既然源很大，必有 当系统具有粒子数 N，处在微观状态 s 时，复合系统的微观状态数为 经 典表达式： 2 1.3.3 涨落理论 一个物理系统达到了平衡状态，他的状态函数（宏观量）就有稳定的平均值存在， 但是任一瞬间，这个系统的状态函数所取的值并不一定恰好等于平均值，而是或多 或少，称这种现象为围绕平均值的涨落（起伏），在通常情形下宏观量的相对涨落 极微小不会被观测到，只有在一定的物理条件下才会被人们观察到，例如光的散射 和乳光现象。 另一方面，由于气体或液体的分子的杂乱运动，悬置在气体或液体中的微粒受到分 子碰撞的综合作用有涨落，因而促使微粒发生不规则的运动，即有所谓布朗运动 3。 2. 电子在原子核作用下的运动——对它的研究形成了量子力学 2.1 历史概述 玻尔的量子理论尽管取得了不少令人惊奇的成果，但也遇到严重困难.困难之一是 它面临着一系列解决不了的问题，例如：它无法解释氦原子光谱，也无法对诸如反 塞曼效应一类新现象作出令人满意的说明；困难之二是内在的不协调。例如：对应 原理的应用往往因人因事而异，没有统一规则。有人曾经这样形容当时物理学界的 处境：星期一三五用辐射的经典理论，而在星期二四六则应用辐射的量子理论。这 确实反映了当时物理学的混乱情况，需要重新认识电子的行为，建立新的概念，对 玻尔理论作进一步的改造1。 2.2 量子力学初步 2.2.1 物质的二象形 2.2.1.1 光的二象形 爱因斯坦利用他的光量子假设很容易地对 1887 年赫兹发现的光电效应作出了清晰 的说明，指出，射向金属表面的光，实质上就是具有能量为 的光子流，如果照射 光的频率过低，即光子流中每个光子的能量较小，当它照射到金属表面时，电子吸 收了这一光子，它所增加的 的能量仍小于电子脱离金属表面所需要的逸出功，电 子就不能脱离金属表面，因而不能产生光电效应。如果照射光的频率高到能使电子 吸收后其能量足以克服逸出功而脱离金属表面，就会产生光电效应1。 爱因斯坦就第一次提出了光的波粒二象形的概念，它揭示了微观客体的波动性和粒 子性的统一。 2.2.1.2 微粒的波动性 德布罗意在 1923 年 9 月 10 日的《光和量子》的文章中，考虑了一个静止质量为 的 粒子的相对论效应，显然它具有能量 ，他把这一能量与量子现象联系起来得到 ， 于是他提出一个大胆的设想：“一般的”物质也具有波粒二象性。 那么，同实物粒子联系着的波应具有波长： 人们称同实物粒子联系着的波为德布罗意波。 一切物质（包括光，电子，各实物粒子）都具有波粒二象形，这一概念的确立，揭 示了物质世界所具有的普遍属性， 启示人们在对微观粒子进行研究时， 不能再局限 在经典物理学的框架。 这就为建立一门研究具有波粒二象形的微观粒子运动规律的 新理论扫清了思想障碍，使得新理论在短期内得以建立起来4。 2.2.2 测不准原理 由物质具有微粒和波动的二象形出发， 得出了测不准原理：测量一个微粒的位置时， 如果不确定范围是 ，那么同时测得其动量也有一个不确定范围 和 的乘积总不 大于一定的数值，即： 测不准原理来源于物质的二象形，既是微粒，又是波。这是微观物质表现出来的性 质，所以测不准原理是物质的客观规律，不是测量技术和主观能力的问题，因此对 微观物体位置的恰当描述是说它处于某一个位置的几率， 而在它可能出现的空间中 有一个位置几率的分布4。 2.2.3 波函数及薛定谔波动方程 电子具有波动性，波的前进方向就是电子的前进方向，那么究竟这是什么一种波 呢？用 表示波函数。 现考虑一个自由粒子的波，自由粒子不受力，动量不变，所以同它联系的波长也不 变，是单色波，代表单色波的公式可写成： 是角频， 是波速， 是时间， 是从原点到考虑中的波面的垂直距离， 是原点到 这波面任何一点距离， 是 和 的夹角。 量子力学中的表达形式： 玻恩提出了德布罗意的统计意义， 认为波函数代表发现粒子的几率，发现粒子的几 率正比于波函数 的平方。 函数必须满足一些条件：连续的，单值的，有限的。 自波函数 的概念引入后， 薛定谔利用变分原理，得到不含时间的氢原子波动方程： 或 量子化就成了薛定谔方程的自然结果4。 2.3 爱因斯坦与玻尔的论战 玻恩，海森伯，玻尔等人提出了量子力学的诠释以后，不久就遭到爱因斯坦和薛定 谔等人的批评，他们不同意对方提出的波函数的几率解释、测不准原理和互补原理。 双方展开了一场长达半个世纪的大论战，许多理论物理学家、 实验物理学家和哲学 家卷入了这场论战，这一论战至今还未结束。 以爱因斯坦为代表的 EPR 一派和以玻尔为代表的哥本哈根学派的争论， 促使量子力 学完备性的问题得到了系统的研究。 1948 年爱因斯坦对这个问题又一次发表意见， 进一步论证量子力学表述的不完备性。1949 年，玻尔发表了长篇论文，题为《就 原子物理学的认识问题和爱因斯坦商 》，文中对长期论战进行了总结，系统阐明 了自己的观点。而爱因斯坦也在这一年写了《对批评者的回答》，批评了哥本哈根 学派的实证主义倾向。双方各不相让，论战持续进行，直到爱因斯坦去世后玻尔仍 旧没有放下他和爱因斯坦的争论，甚至在他去世的前一天，还在思考这个问题。 一代科学伟人， 他们既是严肃论战的对手，又是追求真理的战友， 争论时不留情面， 生活中友谊真诚，这样的事例在科学史实在难得1。 2.4 量子力学对分子热运动的描述 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。 量子描述： 微观粒子普遍地具有粒子和波动的二象形。 德布罗意提出，能量为 动量为 的自由 粒子联系着圆频率为 ，波矢为 k 的平面波，称为德布罗意波。能量 与圆频率 ， 动量 与波矢 k 的关系为 称为德布罗意关系，适用于一切微观粒子。 称为普朗克常量。 粒子和波动二象形的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。 量子力学中如何描述系统的微观运动状态？ 量子物理的一个基本原理——微观粒子全同性原理： 全同粒子是不可分辨的，在含 有多个全同粒子的系统中， 将任何两个全同粒子加以交换， 不改变整个系统的微观 运动状态。 在讨论量子粒子怎样占据各个个体量子态时， 有一个原则：自旋量子数为半整数是 费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡 利不相容原理。由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束。 由可分辨的全同近独立粒子组成， 且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系 统称为玻耳兹曼系统。 在量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学2。 3. 宏观物体因初条件不同而引起的“无规则”运动——“混沌” 3.1 非线性现象的发现 20 世纪 60 年代，由于电子计算机的广泛应用和由此发展起来的“计算物理”和 “实验数学”方法的利用。 人们从一些看起来不甚复杂的不可积系统的研究中，发 现了确定性动力系统中存在着对初值极为敏感的混沌运动。 人们越来越明白地认识 到：“大自然无情地是非线性的。”在现实世界中，能解的、有序的线性系统只是 少见的例外， 非线性才是大自然的普遍特性， 线性系统其实只是对少数简单非线性 系统的一种理论近似，非线性才是世界的魂魄。 “一只脚站在 19 世纪，一只脚站在 20 世纪”的跨世纪天才学者庞加莱在确定论思 想浓重笼罩着全部科学界的时候， 却把智慧的眼光投向早被驱赶出科学园地的混沌 深渊。他是在研究天体力学，特别是“三体问题”时发现混沌的，庞加莱把庞加莱 截面方法应用于“希尔约化模型”的研究， 从截面上一点出发的系统，经过一个过 程后，当它再穿过截面时，却在另一点交于庞加莱截面。实际上系统是以无规则点 的序列频频穿过庞加莱截面的， 这就是混沌，庞加莱在“三体问题”中发现了混沌 1。 3.2 混沌研究的突破 3.2.1 洛沦兹的气象预报研究 20 世纪 50 年代，在牛顿力学确定论思想的影响下，当时科学家们对天气预报 普遍持有这样乐观的看法： 气象系统虽然复杂异常，但仍然是遵循牛顿定律的确定 性过程。 美国气象学家、麻省理工学院的洛沦兹最初也接受了这种观点。1960 年前后，他 开始用计算机模拟天气变化。 洛沦兹把气候问题简化又简化， 提炼出影响气候变化 的少而有少的一些主要因素，然后运用牛顿的运动定律，列出了 12 个方程。他相 信，12 个联立方程可以用数值计算方法对气象的变化作出模拟。 1961 年冬季的一天，洛沦兹用他的计算机算出了一长段数据，并得到了一个天气 变化的系列，为了对计算结果进行核对，又为了节省点时间，他把前一次计算的一 半处得到的数据作为新的初始值输入计算机， 一个小时后当他又回到计算机旁的时 候， 一个意想不到的事情使他目瞪口呆了， 新一轮计算数据与上一轮的数据相差如 此之大。 仅仅表示几个月的两组气候数据逐渐分道扬镳， 最后竟变得毫无相近之处， 简直就是两种类型的气候了。开始时洛沦兹曾经想到可能是他的计算机出了故障， 但很快他就悟出了真相：机器没有毛病，问题出在他输入的数字中，他的计算机的 存储器里存有 6 位小数，0.506127。 他为了在打印时省些地方只打出了 3 位 0.506。 洛沦兹原本认为舍弃这只有千分之一大小的后几位无关紧要， 但结果却表明，小小 的误差却带来了巨大的“灾难”。两次输出的变化曲线： 可以清楚地看出来， 开始时的两个隆峰还很好地相重叠， 但到第三个和第四个隆峰 时，就完全乱套了。这个结果从传统观点看来是不可理解的。因为按照经典决定性 原则， 初始数据中的小小差异只能导致结果的微小变化， 一阵微风不会造成大范围 的气象变化。 但是洛沦兹是从事天气预报的， 他对长期天气预报的失败是有深切感 受的， 这个离奇古怪的计算结果与他的经验和直觉是完全相符的， 所以他深信他的 这些方程组和计算结果揭露了气象变化的真实性质。 他终于做出断言：长期天气预 报是根本不可能的5！ 3.2.2 现代科学意义的“混沌”概念 1986 年在伦敦召开的一个关于混沌问题的国际会议上，提出了下述的定义：“数 学上指在确定性系统中出现的随机性态。 ”传统观点认为， 确定性系统的性态受精 确的规则支配，其行为是确定的，可以预言的；随机系统的性态是不规则的，由偶 然性支配，“随机”就是“无规”。这样看来，“混沌”就是“完全由定律支配的 无规律性态”。 经典力学断言， 系统的行为或运动轨道对初值的依赖是不敏感的， 知道了一个系统 近似的初始条件， 系统的行为就能够近似地计算出来， 从两组相接近的初值描绘出 的两条轨道，会始终相互接近地在相空间里偕游并行，永远不会分道扬镳。混沌研 究却粉碎了传统科学中这种对近似性和运动的收敛性的信仰。处于混沌状态的系 统，或者更一般地说对于一个非线形系统，运动轨道将敏感地依赖于初始条件。“运 动敏感依赖初值”意味着初值有微小的测量不出的偏差， 随着时间演化，两次运动 间的偏离却可以观测得到，并且还变化不定，也就是说对于敏感依赖初值的运动， 即使在实验给予“相同的”初值 （请注意， 此处“相同的”表示两次初值相差如此 之小，以致测量不出两次初值的不同），两次运动也并不重复，即敏感依赖初值的 运动是不可重现，不可预报的。 洛沦兹从他关于长期天气预报的研究中悟出的正是这个道理。 对于任何小块地区气 候变化的误测，都会导致全球天气预报的迅速失真。洛沦兹非常形象的比喻说：巴 西亚马孙河丛林里一只蝴蝶扇动了几下翅膀， 三个月后在美国的得克萨斯洲引起了 一场龙卷风。人.
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