由于非线性，规范场分成若干不相连接的拓扑类， 它们由一个称为拓扑荷的整数标志,物理上进行计算时是对各种场的构形求和的。 场分为不

为了得到量子场论，首先将经典的场论在拉格朗日作用量形式下表







述出来。对于没有物质场存在的情况，规范场的拉格朗日作用量是电磁
场情况的直接推广。由于非线性，规范场分成若干不相连接的拓扑类， 它们由一个称为拓扑荷的整数标志。在此之前，量子理论中的离散现象 来源于算子的本征值，由代表对称群表示的量子数标记。现在，上面的 讨论提供了另一种可能，即有些量子数或守恒定律本质上是由于场在结 构上有非平凡拓扑性质。物理上进行计算时是对各种场的构形求和的。 场分为不同的拓扑类反映出理论的真空结构是非平凡的。量子场论的许 多量来自费曼路径积分，积分是对所有的场构形进行的。事实上，因为 人们并不十分清楚所谓的对各种可能的场构形做积分究竟意味什么，所 以量子场论的一个基本问题就是如何赋于这个路径积分适当的意义。
一般地，对积分的主要贡献来自作用量的稳定点附近。鞍点法可以 用来确定稳定点并且进行近似计算。具体的办法是，将作用量写成场的 二次项和剩余项之和。二次项做为高斯型积分可以完全求解，剩余项的 贡献做为微扰修正。二次项的结果正是经典场的解，而场论的量子化效 应恰由高次剩余项给出，它们相应于有闭合圈的费曼图。规范场作用量 的鞍点由欧拉-拉格朗日方程定出，它与自动成立的卞奇(Bianchi)恒等 式一起就构成自由的麦克斯韦方程组。对于非阿贝尔规范场，这组方程 当然是非线性的。用鞍点法做微扰计算就应先找出作用量的稳定点。人 们在四维欧几里德空间找到了这组方程的特殊解，它们对应于一些局部 极小值点。这些解具有奇异性，称为瞬子解。通过适当的相因子变换， 奇异性可以被“规范”掉；变换后的矢势不再是奇异的了。但是，变换 前后的矢势在围绕原奇异点的三维球面上无法衔接。为消除断点，需要 在四维球(四维欧氏空间加无穷远点)上构造具有 SU(2)对称性的纤维 丛。通过规范变换使纤维绕过三维球面，这样可以在整个纤维丛上得到 没有奇异性的矢势。这些使作用量获得局部极小值的解统称为自对偶
解。