本书较详细地介绍了分数阶微积分方法在复杂力学行为建模及其数值模拟方面的研究成果。本书侧重于分数阶微积分在力学和物理建模方面的应用,强调分数阶微积分建模的物理和力学背景和概念,但避免介绍过多的数学知识,省略了大量的严密数学证明;力求把相关知识以最简单的形式展现给读者。在内容上,本书还包含分数阶微积分理论及其应用方面的一些最新研究成果,如正定分数阶导数、分形导数、变导数、分布式导数及其应用等。? 本书可作为高等学校工程力学、环境力学、岩土力学、生物力学、流变学、应用数学、计算数学、应用物理等专业的研究生教学用书以及科研院所研究人员的科研参考书。 ? |
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经典牛顿力学认为空间和时间处处连续,基本物理量(例如,速度、加速度和力等)均可由整数阶微分算子来定义,因而物理和力学演化过程可以用整数阶微分方程来精确描述,例如经典力学中的傅里叶热传导方程、哈密顿方程等。这种科学研究方法和模式在经典力学、声学、电磁学、热传输、扩散理论,甚至现代量子力学和相对论中取得了巨大的成功。然而,物理学家、力学家和工程师也发现了越来越多不能用这一观点解释或进行物理、力学和工程建模的所谓“反常”现象。例如,Richardson在1926年就指出湍流的速度场是不可微的,这也许是传统牛顿力学在湍流问题的解决上长期停滞不前的一个根本原因。又如,大量的实验表明,许多黏弹性材料(包括黏弹性体和流变物质)的应力松弛是非指数(非德拜)型的,有记忆性,传统的黏弹性整数阶微分本构模型不能精确地描述它们的力学行为。近年来引起广泛关注的“反常”扩散(anomalous diffusion)涉及物理和力学过程的记忆和遗传、路径依赖和全局相关性,经典的达西律、傅里叶热传导、牛顿黏性和Fick扩散不能准确描述这些“反常”物理和力学过程。? 从力学建模上看,标准的整数阶时间导数由局部极限定义,不适合描述历史依赖过程;分数阶时间导数(fractional time derivative)实际上是微分?积分卷积算子,其定义中的积分项充分地体现了系统函数发展的历史依赖性,是记忆性较强过程建模的有力数学工具。另外,分数阶拉普拉斯算子(fractional Laplacian)是典型的非局部空间分数阶导数,可以精确描述复杂分形空间结构中反常力学行为的路径依赖、长程相关的特征,跨越了建立在欧几里得几何和绝对时空观基础上的经典力学理论范畴。? 分数阶微积分是一个古老而又新鲜的概念。早在整数阶微积分创立的初期,就有一些数学家,如L’Hospital、Leibniz等开始考虑它的含义。然而,由于缺乏应用背景支撑等多方面的原因,它长期以来并没有得到较多的关注和研究。随着自然科学和社会科学的发展、复杂工程应用需求的增加,尤其是20世纪七八十年代以来对分形和各种复杂系统的深入研究,分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注。进入21世纪以来,分数阶微积分建模方法和理论在高能物理、反常扩散、复杂黏弹性材料力学本构关系、系统控制、流变学、地球物理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若干非常成功的应用,凸显了其独特优势和不可替代性,其理论和应用研究在国际上已成为一个热点。? 另外,分数阶微积分的非局域性质,导致分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方程快得多,一些计算整数阶方程十分有效的数值方法对分数阶方程也完全失效。而且,目前大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型,其内在的物理和力学机理还不是很清楚,有待进一步的深入研究。? 目前,国际上已经有了一些介绍分数阶微积分的英文专著。例如,Oldham和Spanier撰写的?The Fractional Calculus?(Academic Press, Inc?, San Diego, 1974)、Samko等所著的?Fractional Intergrals and Derivatives: Theory and Applications?(1987年俄文版,Naukai Tekhnika出版;1993年英文版出版)、Miller和Ross著的?An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations?(John Wiley & Sons, Inc?, New York, 1993)、Podlubny所著的?Fractional Differential Equations?(Academic Press, New York, 1999)以及Kilbas等所著的?Theory and Applications of Fractional Differential Equations?(Elsevier, Amsterdam, 2006)。但是,这些专著侧重于分数阶微积分的数学理论或它在某个特定领域的应用,没有充分考虑到目前分数阶微积分及其应用对多数研究者还是一个新生事物。特别是在国内,至今还没有一本全面介绍分数阶微积分理论及其应用的中文专著。大多数国内的研究者需要一本关于分数阶微积分理论及其应用的中文入门书。? 本书旨在提供一本适合作为研究生教材和关于分数阶微积分理论和应用的入门书籍。结合作者研究工作的内容,本书较详细地描述了分数阶微积分方法在复杂力学行为建模和数值模拟方面的研究成果,从分数阶微积分的数学基础、分形与分数阶微积分的关系、非常规统计与反常扩散、分数阶微积分的典型应用、分数阶微分方程数值解法等方面介绍了分数阶微积分理论及其应用,并探讨了分数阶微积分建模的发展前景。? 本书侧重分数阶微积分在力学和物理建模方面的应用,强调分数阶微积分建模的物理和力学背景和概念;但避免介绍过多的数学知识,省略了大量的严密数学证明,力求把相关知识以最简单的形式展现给读者。有关的详细数学分析和证明,读者可参阅上述所提的专著和本书所列的参考文献。在内容上,本书还包含了分数阶微积分理论及其应用方面的一些最新研究成果,如正定分数阶导数、分形导数、变导数、分布式导数及其应用,分数阶导数湍流多尺度连续介质力学模型等。? 为了加强读者对分数阶微积分定义和相关概念的掌握和理解,本书给出了大量不同类型的实例。每章也都讨论了相关方面存在的问题。最后一章还作了总结和发展展望,列出了2008年在土耳其举行的“第三届分数阶微积分及其应用”国际会议上一些学者提出的待解决的关键问题。我们希望这些内容能够给读者以启发,加深对分数阶微积分理论和应用的认识和理解。需要说明的是,现在关于分数阶微积分理论及应用的文献很多,并且数量增加得很快,本书不可能一一列举,感兴趣的读者可以把本书所列的参考文献为线索,查找自己所需资料,我们也十分欢迎读者的反馈意见。? 本书由陈文、孙洪广和李西成主持撰写。全书的编写大纲由陈文提出。全书的撰写工作由陈文负责统筹安排。其中陈文负责第一章的撰写;陈文、孙洪广、叶霖娟负责第二章的撰写;胡帅、张晓棣负责第三章的撰写;陈文、孙洪广负责第四章的撰写;张晓棣、陈文、孙洪广、和成亮负责第五章的撰写;陈文、孙洪广、张晓棣负责第六章的撰写;陈文、李西成负责第七章的撰写;孙洪广、叶霖娟负责附录的撰写;李西成负责全书的修改与排版工作。陈阳泉教授、朱克勤教授、李常品教授、殷德顺副教授、陈宁副教授、李岩副教授等在写作过程中给予了指导和帮助,并且认真审阅了全书,提出了不少宝贵意见,作者在此表示由衷的感谢。?? 本书的部分研究工作得到国家自然科学基金项目(No? 10774038)、科技部国家重点基础研究发展计划(“973”)项目(No? 2010CB832702)、水利部行业公益性项目(No? 201101014)和教育部新世纪优秀人才支持计划项目(No? NCET?06?0480)的支持,特此致谢。? 由于作者水平和时间所限,书中不妥之处在所难免,敬请广大读者批评指正。??
作 者 |
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前言? 主要符号说明? 第一章 概论?? 1?1 分数阶微积分的历史?? 1?2 分数阶导数方程的几何和物理解释?? 1?2?1 任意频率依赖的能量耗散过程?? 1?2?2 分形描述和幂律现象?? 1?2?3 反常扩散?? 1?2?4 复杂材料本构关系?? 1?2?5 分数阶薛定谔方程?? 1?3 科学和工程应用?? 参考文献?? 第二章 分数阶微积分数学基础?? 2?1 分数阶微积分的定义?? 2?1?1 Riemann?Liouville定义?? 2?1?2 Caputo定义?? 2?1?3 Grünwald?Letnikov定义?? 2?1?4 空间分数阶拉普拉斯算子的Riesz定义?? 2?2 分数阶微积分的性质?? 2?2?1 Riemann?Liouville算子的一些简单性质?? 2?2?2 常见函数的分数阶微积分?? 2?2?3 不同定义的关系?? 2?3 分数阶微积分的傅里叶与拉普拉斯变换?? 2?3?1 分数阶微积分的傅里叶变换?? 2?3?2 分数阶微积分的拉普拉斯变换?? 2?4 求解分数阶微分方程的解析方法?? 2?4?1 积分变换方法?? 2?4?2 格林函数法?? 2?4?3 Adomian分解法?? 2?4?4 同伦函数法?? 2?4?5 其他迭代方法?? 2?5 问题及讨论?? 2?5?1 分形导数、正定分数阶导数、变导数和随机导数?? 2?5?2 空间分数阶导数的讨论?? 2?5?3 分数阶微积分的几何和物理解释的讨论?? 参考文献??
第三章 分形几何与分数阶微积分?? 第四章 分数阶反常扩散模型、非常规统计分布和随机过程?? 4?8?1 统计分布的应用背景?? 第五章 分数阶微分方程的典型应用?? 5?8 其他应用领域?? |
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