庞加莱01 在不求解的情况下，直接考察微分方程的系数和结构，分析和推断积分曲线可能具有的各种特性，如曲线的形状、结构和趋势等，从

庞加莱微分方程定性理论研究初探——兼纪念庞加莱诞辰150周年

陈明晖 邓明立

微分方程是微积分在数学物理研究领域最重要的应用之一，它在19世纪发展迅速，并诞生了一系列具有重大意义的研究理论。19世纪末，由庞加莱创立的常微分方程实域定性理论便是其中最重要的理论成果之一。 定性理论产生的背景 从微分方程产生到1820年，微分方程理论的唯一问题是：找到给定微分方程的解析解[1]。然而随着研究的扩展和深入，人们遗憾地发现可以解析求解的常微分方程类型甚少。 19世纪中期，瑞士-法国数学家施图姆（C.-F.Sturm）和法国数学家刘维尔（J.Liouville）由源于热传导和弦振动的数学物理问题，开辟出特征值问题初值问题的研究领域。1836年，施图姆的论文从新的定性角度研究二阶线性微分方程。随后，他与刘维尔合作开创了分析中一个新的分支施图姆-刘维尔理论，其特征是：当找不到解的任何可行表达时，直接从方程本身寻找答案，这时由方程决定的性质必然是定性的。这种思想与代数方程领域中阿贝尔、伽罗瓦由寻求根式解转到研究解的存在和性质的思想是平行发展的。施图姆-刘维尔理论可看作微分方程定性理论的早期萌芽。 1841年，刘维尔证明了最简单的非线性方程黎卡提方程一般没有初等解，从理论上结束了一般常微分方程求通解的努力。而出现在物理学、工程技术及其他实际问题中的常微分方程通常都是非线性的。这样，客观求解的需要与大多数解不能用初等函数及其积分表示的矛盾日益凸显。 庞加莱的定性理论 就在人们为非线性微分方程没有普遍解法和N体问题无法解决苦恼时，法国数学家庞加莱提示必须改变思考方式，因为试图写出表达式和积分的定量方法只能解决某些问题，即使不能找到精确解，仍可以利用定性的和几何的思考获得解的许多性质[2]。 庞加莱（1854—1912）被誉为19世纪末20世纪初数学界的领袖人物，是研究遍及数学各分支的最后一位通才，举世公认的相对论和混沌理论的先驱，也是很有影响的哲学家。微分方程及其在动力学上的应用显然处于其数学思想的中心地位。他利用全套分析工具从各种角度研究微分方程理论，几乎每年都就此发表论文[3]。 1870年代，美国数学家希尔（Ｇ.Ｗ.Hill）在研究行星和卫星轨道稳定性问题时，创立了周期系数的线性齐次微分方程的数学理论[4]。受希尔激发，庞加莱从1880年开始考察微分方程，以微分方程定义的积分曲线为中心，强调一般积分曲线的全局性态的重要性。这种新探索从某种意义上更接近牛顿创立微积分时的思想，因为本质上它也是几何的方法。 1881年到1886年，庞加莱发表了《关于由微分方程确定的曲线的报告》的一系列论文，开创了常微分方程实域定性理论。天文学、物理学、工程技术中的微分方程有时不必求出确定解，只要知道解的某些性质即可，而定性思想恰好成为精确性和模糊性辩证统一的契合点。庞加莱在微分方程定量研究的基础上引入定性理论，在理论和实际应用中都发挥了重要的作用。 创 新 思 想 在微分方程问题上，庞加莱的研究道路完全与众不同。他从三体问题出发，创造了无切环（不与任何满足微分方程的曲线相切的闭曲线）等新的数学方法。在研究过程中开辟出实域定性理论、组合拓扑学两个重要的数学分支。其创新之处主要可概括如下： 从定量研究转向定性研究 庞加莱认为，对一个函数完整的研究应包括定性和定量两部分：即函数定义下曲线的几何研究；函数值的数值计算。以前研究代数函数时总试图将其化简为根式，而现在大多数先用施图姆定理找到实根的个数，再计算根的数值。 庞加莱直接研究微分方程定义的函数，而不是将其简化形式[5]。他先构造出方程定义的曲线，确定出一定数量的点，以此作为定量研究的基础。其实，许多极为重要的分析和力学问题也由此可以转化为定性研究。三体问题是由9个二阶常微分方程组成的复杂问题，然而一旦定性地构造出三体运动的轨道，所有相关问题都迎刃而解了。 从分析方法转为几何方法 庞加莱的定性研究之所以能取得丰硕成果，很大程度上取决于他选择了几何直观的方法。这也是他在微分方程工作上最突出的特点之一。实质是：在不求解的情况下，直接考察微分方程的系数和结构，分析和推断积分曲线可能具有的各种特性，如曲线的形状、结构和趋势等，从而研究解的性质。 几何方法比分析方法更加全面直观，许多分析难以直接解决的问题往往利用几何进行整体的考虑获得解答。而且，几何已是一门较为成熟完善的学科，具有许多经典的性质和方法，是解决数学难题的利器。 在这种思路指引下，研究对象也逐渐由函数转向曲线。庞加莱认为，利用方程定义的曲线可以较完整、直观地描述出解的特性；而把微分方程的解表示成函数形式会对几何直观造成障碍。庞加莱选择微分方程定义的积分曲线作为研究对象，使其成为研究微分方程解的性质的有效手段。 庞加莱在研究微分方程解的性质时，为避免研究无穷分支，先将一个平面投影到一个球面上，然后用微分方程把每一个确定方向与球面上的每一点联系起来[6]，确定投影在整个球面的积分曲线形式。 从复域转回到实域 19世纪，复域成为分析学的重点。柯西在建立微分方程解的存在性定理时，把解析理论应用到复域中。几乎在整个19世纪，数学家主要在复域上进行微分方程解的研究。 庞加莱在行星运动方面要解答的问题是：轨道是否是稳定的。在这里，实数解的整体性质与复数解同样重要，而且，在复域上研究问题不利于几何想象与几何直观[7]。因此，他只在实域范围内讨论问题，探索满足方程的实曲线的一切可能形式。 希尔伯特著名的23个问题中的第16题便是常微分方程理论的著名难题，在求极限环的最大数问题上又将定性理论重新引回复域。因为许多研究表明，若干根本性的规律存在于复域中，例如，n次代数方程恰好有n个根。 常微分方程在这一阶段先后经历了复域到实域再到复域的研究过程，科学探索的规律由此可见一斑。 从局部研究（级数收敛区）转为全局研究（整体拓扑性质） 19世纪末，天文学研究太阳系运动的稳定性，需要知道微分方程积分曲线在整个空间的性质，在小范围内考虑问题已无济于事。 庞加莱突破局部分析的限制，着重研究大范围内积分曲线的分布情况，在整个平面上进行定性研究。他认为，采用全局观点并不是摒弃数值逼近的研究方法或对直接积分的全盘否定[7]，而是在局部分析的基础上研究积分曲线的整体拓扑性质。 在奇点附近，庞加莱对初等奇点的拓扑性质作了分类。在全局情况下，为描述奇点的性质，引入指数的概念，由拓扑论证法得出一些只由闭曲面本身的拓扑结构所决定的性质，即这些性质只与闭曲面本身有几个洞有关，与分割方式、微分方程的具体形式均无关[8]。 庞加莱的工作不仅成为定性理论的开端，而且奇点的分布情况直接引导他开创了组合拓扑学这一新的分支，定性理论因此成为拓扑学产生的源泉之一。 从用等式转到用不等式 数学家在微分方程求解过程中不懈努力，使许多特殊类型的一阶方程有较成熟的解法，对复杂的高阶方程则利用分离变量法化为低阶问题解决。在方程不能以封闭形式解出时，欧拉等人又采取级数展开法求近似解。但这些方法都没有根本摆脱求确定解的桎梏，使研究的道路越来越窄。 其实，在科学探索中求“是”存在困难时，可以转而通过求“否”去界定研究对象的性质和范围，从而达到求“是”的目的，这是科学思想中最重要的方法之一。庞加莱就将这种简单有效的思想方法广泛应用于微分方程定性理论中。 微分方程定义下的积分曲线与无切曲线的关系就类似于等式与不等式的关系。当解等式较难时，可以用不等式的解来界定等式的解。庞加莱没有直接确定积分曲线，而是利用无切环确定出极限环，从而获得微分方程解的基本性态。 法国科学院院士阿达玛（J.Hadamard）在《亨利·庞加莱的科学工作》一书中称无切环概念为“非积分”，以便与微分方程的“积分”相对比，正如不等式与等式的关系。“无切环” 与“无切弧”等概念是庞加莱对实域定性理论引入的主要工具，是将等式转为不等式的研究、将分析工具转为几何工具的体现。 庞加莱将定性理论应用到微分方程解的研究中，引发了一系列理论研究的新变革、新突破，同时也使人们对定性思想的认识提升到了新的高度。 与恩里克斯研究思想的比较 定性理论诞生初期并未受到广泛的重视。人们对庞加莱的工作存在两种看法。一派认为他是一个彻头彻尾的“革新者”，大量引入几何方法，用定性分析代替定量分析，完全摒弃经典决定论，动摇了经典理论的根基。另一派则认为，他在广泛使用几何方法的同时，仍坚持以分析为研究基础，并没有放弃解的传统定量分析，定性研究和几何方法只不过是传统方法的扩充。 当时盛行的定性分析观点是意大利数学家恩里克斯（F.Enriques）晚于庞加莱几年提出的，即定性分析应当彻底取代19世纪数学与数学物理中特有的分析/定量思想，体现综合化的几何观念[7]。 恩里克斯是意大利代数几何学派的主要代表人物，研究代数曲面理论，发展了代数几何方法，并发现了许多新的事实[9]。 20世纪初，以相对论为代表的物理研究取得重大突破，经典物理根深蒂固的观念被彻底修正[10]，自然科学研究进入了一个反思变革的新时期。在这一氛围下，恩里克斯的几何观念显得尤为新颖。他认为，几何应当从研究中分离出来，成为一个独立的系统，而且只有几何才能担当描述、解释力学和物理现象的角色，取代分析在数学中的传统地位，在当代科学综合化、定性化的过程中发挥主导作用。恩里克斯提出的几何与分析的和谐一致，实质仍是以几何为主导。这与庞加莱的分析为主、几何为辅的观点形成了鲜明的对立。 事实上，恩里克斯过分强调直觉思维在几何中的作用，抛弃分析基础，甚至在数学中引入心理研究，其理论具有很大的主观性，缺乏严谨的逻辑证明。这些致命弱点使恩里克斯及其后继者除了在代数几何学取得了一定成果外，在其他领域，特别是数学分析领域的研究几乎全部失败。 庞加莱强调定性方法是以有实值解为最终目的。他认为，在数学分析研究中几何与几何直觉应当发挥新作用，但这种创新应保证分析的中心地位不变，甚至应当被加强。几何-定性方法的引入只表明分析可行领域的扩大和它解释说明能力的增强，而不是分析让位给几何。庞加莱虽以定性理论成为一位创新者，但这种创新仍是在经典数学理论基础上的创新。 虽然在庞加莱生前定性分析的意义未受到重视，但是他引入的几何方法，恰如其分地处理了分析与几何的关系，使定性分析成为复兴和发展数学分析的最有力武器[7]。 庞加莱创立的定性理论是微分方程发展过程中的一次新突破，促成20世纪以来微分方程的进一步发展。在此基础上，人们针对各种具体问题进行了深入的研究，如俄国杰出数学家李雅普诺夫（A.M.Liapunov）的运动稳定性理论和美国数学家伯克霍夫（G.D.Birkhoff）的动力系统研究。随着定性理论的日趋成熟和完善，微分方程的研究也转入了新的定量分析时期。   （本文为国家自然科学基金资助项目（10071085）研究成果之一。）