第23卷第5期 2005年10月 江 西 科 学 JIANGXI SCIENCE Vo1．23 No．5 Oct，2005 文章编号：1001—3679(2005)05—0602—03 玻尔兹曼熵和克劳修斯熵的关系 张玉梅，王学水 (山东科技大学理学院，山东青岛266510) 摘要：由玻尔兹曼熵关系推导出了克劳修斯熵的表达式，论述了玻尔兹曼熵和克劳修斯熵的关系。 关键词：玻尔兹曼熵；克劳修斯熵；广泛。 中图分类号：O414．2 文献标识码：A The Relation Between Boltzmann Entropy and Clauius Entropy ZANG Yu—mei．W ANG Xue—shui (Science Colege of Shandong University of Science＆Technology，Shandong Qingdao 2665 1 0 PRC) Abstract：The Clausius entropy expression is deduced from the Boltmann entropy，the relation be— tween Boltmann entropy and Clausius entropy is discussed． Key words：Boltzmann entropy，Clausius entropy，Extensive 0 引言 玻尔兹曼熵和克劳修斯熵，多数热学教材没 有指出这两种熵的区别¨,21，默认为两种熵是等 价的；有些热学教材提到两种熵的概念有些区 别 ]，但没有做充分的论述。本文由玻尔兹曼熵 关系推导出了克劳修斯熵的表达式，论述了玻尔 兹曼熵的含义和应用范围比克劳修斯熵更广泛。 1 两种熵及其意义 1．1 克劳修斯熵 德国物理学家克劳修斯给出了可逆循环过程 中热力学第二定律的数学表达式：(5 ：0，引人 了状态函数熵s即：dS= ，或s 一S。=r 。 对于一般循环过程，热力学第二定律的数学表达 式为： ≤0，熵写成 dS≥ (1) 』 或S 一S。≥ (2) 其中等号对应于可逆过程，大于号对应不可 逆过程，式(2)中的0、b表示始末两个状态，S S 为始末两个状态的熵，dQ为系统吸收的热量， 为热源的温度，其中等号对应于可逆过程，大于号 对应不可逆过程，式(2)中的o，6表示始末两个 状态，S S 为始末两个状态的熵，dQ为系统吸收 的热量， 为热源的温度，当系统经历热过程或系 统是孤立的时候，dQ=0，此时有：dS≥0，或S6一 S。≥O。这就是熵增加原理：孤立系统或绝热过程 熵总是增加的。由此定义的熵称克劳修斯熵或热 力学熵。熵是一个态函数，是热力学宏观量。 1．2 玻尔兹曼熵 奥地利物理学家玻尔兹曼建立了熵和热力学 概率的Q关系： S= klnQ (3) 收稿日期：2005一O5—08；修订日期：2005一O6—29 作者简介：张玉梅(1963一)，女，山东潍坊人，副教授，学士，主要从事大学物理的教学与研究。 第5期 张玉梅等：玻尔兹曼熵和克劳修斯熵的关系 ·603· k是玻尔兹曼常数，热力学概率是指任意宏 观态所包含的微观状态数。式(3)所定义的熵称 为玻尔兹曼熵，或统计熵。玻尔兹曼熵表明了熵是 同热力学概率相联系的，指出了热力学第二定律 的统计本质：熵增加原理所表示的孤立系统中自 发过程总是由概率小的宏观状态向热力学概率大 的宏观状态转化，平衡态的热力学概率最大，对应 于s取最大值的状态。 2 由玻尔兹曼熵推出克劳修斯熵 2．1 单原子理想气体系统 以vmol的单原子理想气体为例，它的平衡态 可用两个宏观量，例 完 全确定。对于温度和体 积一定的理想气体，他的微观状态数n是以分子 的位置和速度来确定的。由于分子按位置和按速 度分布是相互独立的，所以气体的可能微观状态 数n应是分子按位置分布的可能微观状态数n 和按速度分布的可能微观状态数n 的乘积，即 n =n Q (4) 先求n ，设气体在一定方盒内处于平衡态， 盒子的体积为 。平衡态时，一个气体分子到达盒 内各处的概率相等。为了计算微观状态数，将盒子 分成许多相同的小体积元 。，可以认为分子处于 不同的体积元内，它的位置分布的状态不同。体积 元越小，这种描述越准确，根据经典力学， 。可以 取任意小的值。一个分子在体积 内按位置分布 的可能微观状态数W 就等于体积元的个数：W = T， 。c V。对于vNA个分子，由于各个分子的位置是 O 相互独立的，所以这些分子在体积 内按位置分 布的可能微观状态总数为： n = 。c (5) 为了求出n ，考虑速度空间，即以 ， ， 三 个轴确定的空间，一个分子的某一速度 ( ， ， )就以这个空问的一个点表示。由于气体在平衡 态，速度分布遵守麦克斯韦分布律，分子具有非常 大的速度的概率是非常小的。这样就可以不失准 确地忽略非常大的速度，而认为分子分布在一个 以原点为中心的立方“速度盒内”，由于速度的分 布和温度有关，因此不能以某一确定的速度数值 来限定盒子的长度。为了显示温度的影响，可以 取，例如lOOv ( 为最概然速率)作为这个速度 盒子的边长。由于分子的速度分布可以由盒子内 任一点表示，因此仿照前面分子按位置分布的推 理，可以将“速度盒子”分成许多体积元，分子处 于不同的体积元内，它的速度分布的状态不同。一 个分子按速度分布的可能微观状态数W 应和速 度盒子的体积，即(1OOv ) 成正比。考虑到 。c √ ，所以有：W 。c 。由于分子的总数为 ，这 些分子按速度分布的可能微观状态总数是： n = ： 。C 7中 (6) 由式(4)、(5)、(6)得 n 。c( )vNA，即n =C( )w~A (7) C是一个比例常量，将式(7)代人(3)得 S=vNAklnV+~vNAklnT+So 式中So=klnC，由于NAk=R，÷ k=÷R= C ． ，
所以上式可以写成
S = vRlnV +vCy ． lnT + So 对上式取微商，得 ds= 肌争d 上式两边同乘以 ，对于理想气体，vRT／V= P，所以 TdS = pdV + Cy ． d 对于理想气体的可逆过程，pdV = dA， Cy ．
dT=dE，于是有
S = dA +dE 由热力学第一定律，dA+dE =aQ，最后可得 TdS=aQ，即 dS： (8) 或S 一S。： 这正是可逆过程克劳修斯熵的表达式。 2．2 任意热力学系统 假设一任意的热力学系统Σ 和上述单原 子理想气体Σ，组成一个孤立的复合系统Σ。使 Σ 。和Σ 接触而达到平衡态，温度为T。由于熵 的可加性，可得复合系统的熵为 S=S。+S (9) 其中S。和S 分别表示Σ 。和Σ 在统一状 态下的熵。设想和的状态发生一微小涨落，以致在 它们之间发生一微小的热量传递，Σ 吸收热量 dQ。，Σ 放出热量aQ 。由能量守恒可知aQ。=一 ·
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dQ 。由于此热量非常小，所以可以认为两系统的 的温度均无变化而过程是可逆的。这样由(8)式 可得： ： 代人(9)式，得 ds ： + 由于孤立系统进行可逆过程时系统的微观状 态数不变，熵变dS=0，所以有 =
半=
去掉下标n，就得到任意系统的熵变公式 ds： (10) 对于有限过程 s =J=6 T 这正是任意系统可逆过程克劳修斯熵的表达 式。 3 玻尔兹曼熵和克劳修斯熵的关系 前面由玻尔兹曼熵推导出了克劳修斯熵的表 达式，推导中应用了平衡条件，也就是说在平衡态 时，克劳修斯熵必能由玻尔兹曼熵推导出来，即玻 尔兹曼熵等于克劳修斯熵，这时两者是统一的。 由玻尔兹曼熵可以推导出了克劳修斯熵，但 却不能由克劳修斯熵推导出玻尔兹曼熵，因为克 劳修斯熵是宏观物理量，而玻尔兹曼熵是统计熵， 是与微观状态数直接相联系的，所以是微观熵，因 此不可能从宏观热力学熵推出微观的热力学熵。 克劳修斯熵只对热力学系统的平衡态才有意 义，它是系统平衡态的函数。而在远离平衡态的 非平衡态的区域，克劳修斯熵是不能应用的。玻 尔兹曼熵关系不仅适用于平衡态，对任何非平衡 态都成立，即玻尔兹曼熵可以推广到任何非平衡 区域。由于平衡态对应于热力学概率最大的状 态，所以说，克劳修斯熵是玻尔兹曼熵的最大植。 同时，克劳修斯熵的概念局限于粒子热运动这种 特定的物质运动方式，只能应用于热力学过程，对 于不涉及热量，能量转换的非热力学过程，克劳修 斯熵是不适用的。而玻尔兹曼熵关系中的热力学 概率还可以推广到非热力学系统。因此玻尔兹曼 熵具有克劳修斯熵的所有特征，比克劳修斯熵应 用的范围更广，包含的涵义更广泛，克劳修斯熵是 玻尔兹曼熵的特例。 参考文献： [1] 秦允豪．热学[M]．北京：高等教育出版社，2000． [2] 赵凯华，罗蔚茵．热学[M]．北京：高等教育出版社， 2o00． [2] 张三慧．大学物理学(第二册热学)[M]．北京：清 华大学出版社，2003． (上接第601页) ： 26 ×0．1 ．
02 。
+ 1．001×0．05=0．8 cal／g =
(79．4-t-O．8)cal／g
3 结束语 ’ AD590L温度传感器不但实现了温度转化为 线性化电量测量而且与水银温度计、热电偶及半 导体热敏电阻温度计相比，具有线性好，不必进行 非线性补偿；重复性好，操作简单，使用方便；能消 除电源波动等优点。同时温度传感器反应速度 快，能够自动、连续地进行测量，可和具有卓越数 据处理功能的计算机相连实现多功能以及智能化 测量。 在普通物理实验中引进传感器这个现代实用 技术，改进传统物理实验，即可增加实验的新颖 性、直观性，减小直接测量误差，促进传统物理实 验教学转向现代化实验教学和创新实验教学。在 传感器实验的基础上可开设一系列设计性、研究 型的实验，如空气比热容比的测量，金属比热容比 的测量等，大大的丰富教学内容、拓展仪器功能， 弥补学生在高科技领域的不足以及对类似参数的 动态实时检测具有深远意义。 参考文献： [1] 丁镇生．传感器及传感器技术应用[M]．北京：电子 工业出版社，1998． [2] 刘迎春，叶湘滨．现代新型传感器原理与应用[M]． 北京：国防工业出版社，2002． [3] 黄应川．非电量检测[M]．北京：中国计量出版社， 1990． [4] 贾玉润，王公治，凌佩玲．大学物理实验[M]．上海： 复旦大学出版社，1987．
