黎曼曲面01 霍奇理论 流形上分析的另一重要分支，述及微分形式的积分周期，它完全反映了流形的同调特征

积分周期理论 　流形上分析的另一重要分支，述及微分形式的积分周期，它完全反映了流形的同调特征。

如果拓扑空间X上每个局部为常数的函数总是整体为常数的话，那么X 就是连通的。于是，若记h ⁰(X)为局部常数的实值函数构成的向量空间,则dim h⁰(X)就是X 的连通分支数了。这种现象的高维推广，在1930年由法国数学家 G.-W.德·拉姆给出。由于局部常数的函数特征为 d??=0，因此对于微分流形M，h¹(M)也将是M上的某些微分方程的解。考虑1形式 θ=Σα_idx_i，这里α_i是M上的C^∞函数。它沿着道路 у的积分成为道路у的函数可以仿照上面一样，要求当у固定端点作小的形变时这个积分恒为常数。此时由斯托克斯定理可知dθ=0，这里d为外微分，即另一方面，这里p，q为γ的端点，即对于形式d??，其积分自然地为局部常数。于是h¹(M)可考虑成由局部常数的线积分与局部常数函数空间取商构成的向量空间。一般地，若φ为k阶微分形式，dφ=0，则称φ为闭的微分形式。若存在k-1阶微分形式α 使φ＝dα，称φ为正合的微分形式。={闭的 k阶C^∞微分形式}/{正合的k阶C^∞微分形式}称为M 的第k个德·拉姆上同调群。令 φ为代表德·拉姆上同调类 {φ}的 k阶闭形式，σ 为代表实可微奇异同调类{σ}的一个k循环，那么与代表元φ、σ的选取无关，定义了从到实可微奇异同调群的对偶空间上的线性映射。德·拉姆定理肯定这个映射当M为紧微分流形时是同构，因此与实系数的r 阶可微奇异上同调群同构。由微分形式在一个可微循环上的积分确定的实数称作这个微分形式的周期。由斯托克斯公式可知正合微分形式的周期全为零。德·拉姆定理表明周期为零的闭形式一定正合,且若σ₁,σ₂,...,σ_t是流形M的可微k循环的任意一组基,α_i为t个任意实数，那么一定存在闭的k阶C^∞微分形式φ使得

英国数学家W.V.D.霍奇对德·拉姆理论作出了重要改进。在霍奇理论中，一般假定流形为紧的，并具有黎曼度量。利用这个度量，构造作用在微分形式上的拉普拉斯－贝尔特拉米算子 Δ＝dδ+δΔ,这里d为外微分算子，δ为d的形式共轭（按所给度量）。对于欧氏空间及其通常的平坦度量,Δ即为作用在微分形式的每个分量上的拉普拉斯算子。满足方程Δφ=0的 φ称为调和微分形式。霍奇理论肯定在每个德·拉姆上同调类中存在惟一的调和形式，也即总是存在惟一的调和形式具有预先给定的周期（见霍奇理论）。