我們稱這種切向量（一階導數）等於零的點為奇點。若我們把單位切向量函數的參數 t 對 0 作逼近，我們會發現其左極限和右極限是不

来源: marketreflections 于 2011-07-03 08:34:33 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (5306 bytes)

回答: 拉普拉斯：取弧长参数作为折线的坐标卡，就唯一的确定了一个微分结构，这和直线的情况没有任何区别由 marketreflections 于 2011-07-03 07:41:26

微分几何/切向量與正則曲線

维基教科书，自由的教学读本

跳转到：导航, 搜索

有了參數式後，我們就不可免除的要來微分一下，我們稱 $\boldsymbol{\alpha}(t)$ 的一階導數 $\boldsymbol{\alpha}^\prime (t)=(x^\prime (t),y^\prime (t),z^\prime (t))$ 為曲線 $\boldsymbol{\alpha}$ 於 $t$ 的切向量（或速度向量，以物理學的角度來看）。若切向量 $\boldsymbol{\alpha}^\prime (t)\neq 0$ ，則我們定義過 $\boldsymbol{\alpha}(t)$ 方向向 $\boldsymbol{\alpha}^\prime (t)$ 的直線為 $\boldsymbol{\alpha}$ 在 $\boldsymbol{\alpha}(t)$ 的切線，並且我們可定義單位切向量 $\boldsymbol{T}(t)=\frac{\boldsymbol{\alpha}^\prime (t)}{\vert \boldsymbol{\alpha}^\prime (t)\vert}$ 為與切向量同向而長度為1之向量。

有時我們會發現，光有可微性仍然無法保證曲線能長得很平滑，如以下這個例子：

例: $\boldsymbol{\alpha}:\mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}^2, \boldsymbol{\alpha}(t)=(t^3,t^2), t\in \mathbb{R}$ 。

編輯者的工作清單：

這個例子應該要放個圖片。--Tuxoko (留言) 2009年10月8日 (四) 16:12 (UTC)

這個例子中，我們可以看到曲線上會有一個轉折。探究原因，我們發現在 $\boldsymbol{\alpha}(0)=(0,0)$ 這點，切向量 $\boldsymbol{\alpha}^\prime (0)=(0,0)$ ，我們稱這種切向量（一階導數）等於零的點為奇點。若我們把單位切向量函數 $\boldsymbol{T}(t)$ 的參數 $t$ 對 $0$ 作逼近，我們會發現其左極限和右極限是不相等的，即是說奇點的存在容許了這種單位切向量的轉折，也因此奇點的切線是未定義的。為了確保切線能存在，我們便定義正則曲線：