在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,于是曲线的弧长是个儿何量,逻辑量

来源: marketreflections 于 2011-07-03 08:00:24 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (87155 bytes)
在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,
于是曲线的弧长是个儿何
在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,
于是曲线的弧长是个儿何
在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,
于是曲线的弧长是个儿何
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于是曲线的弧长是个儿何

逻辑量与逻辑值_狐狸浩浩技术空间_百度空间

 

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2008年7月14日 – 什么是逻辑量－－凡是参加逻辑运算的变量、常量都是逻辑量。 我们来仔细分析一下哪些是逻辑量，哪些是逻辑值。 要表达一件事情是否成立是这样描述 ...

 

                 

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1
本章的研究对象乃是三维欧氏间中的曲线, 目标是找出决定间曲线
的完全不变量系统. 如平面儿何中熟知的由两边及其夹角完全决定三角形;
而由半径完全决定圆. 由于我们基本的研究工具是微积分线性代数和间
解析儿何, 所必须将研究对象代数化, 实现它我们选择的万案是在间坐
标系中给出曲线的参数表示. 接下来的研究工作分两步进行:
万面, 用参数表示定曲线的三个儿何不变量—弧长曲率和挠率,
即它们不赖于进行参数表示时所选择的笛儿百角坐标系,
不赖于某
个特定的参数表示. 这三个量有各自独立的儿何 , 反映曲线的某种儿何
性质. 如弧长度量曲线上两点之间的曲线距离; 曲率和挠率分别反映曲线的
弯曲程度和扭曲程度.
另万面是反过来的工作, 将证明上述三个量构成了间的完全不变量
系统, 粗略地说即给出了两个单变量函数, 则在不计间的位置之外惟地
确定了条间曲线给定的函数作为它的曲率和挠率, 而函数的自变量
作为该曲线的弧长, 这结果即所谓的曲线论的基本定理.
从万法上我们选择了附在间曲线上的个标架场—Frenet标架, 用
微分儿何公认的活动标架法推导出标架的运动万程—Frenet公式. 当点在曲
线上运动时, Frenet标架像个刚体跟着起运动,
此标架的运动万程
就画的曲线的形状特征.
1.1 正则参数曲线及其弧长
照运动学的观点, 曲线被理解成质点在间中的运动轨迹. 沿用这
思想, 微分儿何中将曲线理解成个连续映射. 即R3 中的条曲线C 是从区
间(a, b) ⊂ R到R3 的个连续映射, 记为r  : (a, b) → R3. 在R3 中取定个
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正交标架{O;e1,e2,e3}, 则映射r 表示为
r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3
= (x(t),y(t),z(t)).
(1.1)
我们把t称为曲线C 的, (1.1)式就是曲线C 的. 由此见,
R3 中给定条曲线, 等于给定个向量值函数(r(t)), 或三个实值函
数(x(t),y(t),z(t)). 今后我们总假定所讨论的曲线是Ck (k ≥ 3)-类曲线,
即向量值函数r (t) ∈ Ck, 或x(t),y(t),z(t) ∈ Ck.
按照参数增加的万向确定出曲线的正向. 称向量
r (t) ≡
dr(t)
dt
=
(
dx(t)
dt
,
dy(t)
dt
,
dz(t)
dt
)
= (x (t),y (t),z (t))
为曲线C 在参数为t处的量, 它总指向曲线的正向. 若在t0 ∈ (a, b)处成
立|r (t0)| = 0, 则t0 点称为曲线C 上的, 否则称为. 全部由正则
点构成的曲线称为.
例 1
对于圆柱螺线r (t)=(acost, asint, bt), 其中参数t ∈ R, a, b
都是正常数. 由于|r (t)| =
√
a2 + b2 , 于是圆柱螺线是正则曲线.
例 2
察参数曲线r (t) = (t3,t2,0), t ∈ (−∞,+∞), 由于
|r (0)| = 0,
此参数为t = 0的点是奇点, 其余点都是正则点. 这是
条连续微参数曲线, 但不是百观上的光滑曲线,
为它的切向量在经过
t = 0时有180
◦ 的转动.
注 1 如果在段曲线上, r (t) ≡ 0, 则r(t)为常向量, 于是这段曲线
缩成点. 反之, 若在P0(t0)处有r (t0) = 0, 则由r (t)的连续性, 在P0 的邻
近有段曲线, 该段曲线上处处有r (t) = 0.
此, 奇点总是孤立的. 根这
事实, 我们在本章讨论曲线的局部性质时, 总假定为正则曲线.
容发现, 曲线的参数万程的表达式与间中笛儿百角坐标系的选取
有关. 另外, 在固定的笛儿百角坐标系下, 曲线的参数还容许作定的变
换. 为了保证正则性, 我们求参数变换t
∗
= t
∗
(t)(或t = t(t
∗
))满足
dt
∗
dt
= 0, 或
dt
dt∗
= 0,
(1.2)
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我们称满足条件(1.2)的参数变换为. 于是同曲线C 的参数
万程形式地写为
r(t) = r(t(t
∗
)) = r
∗
(t
∗
),
由于 dr*(t*)
dt*
=
dr(t)
dt
dt
dt* , 所如果曲线在参数为t时是正则曲线, 那么取t
∗ 作
为参数时是正则曲线. 换言之,
与.
如果把曲线作质点的运动轨迹, 那么由物理学知道, |r (t)|表示质
点运动在t时的速度值.
此质点在时间间隔(t1,t2)内所经过的路程为
∫ t2
t1 |r (t)|dt. 自然我们用它作为曲线r(t)的长度, 即质点走过的路程.
正则曲线C : r = r(t)从r(t0)起到r(t)的定为
s(t) =
∫ t
t0
|r (t)|dt.
(1.3)
理 1.1 弧长是曲线本身的个儿何量, 即与R3 中笛儿百角坐标
系的选取无关,
与该曲线的容许参数变换无关.
明　由于在笛儿百角坐标变换下, 切向量的长度|r (t)|是不变的,
故弧长与百角坐标系的选取无关.
设曲线C 有两个不同的参数t, t
∗
, 参数变换t = t(t
∗
), 且 dt
dt* = 0, 那么
r(t) = r(t(t
∗
)) = r
∗
(t
∗
),
对于曲线C : r = r(t)上的任的两个取定点P0(t = t0),P1(t = t1), 当选取
t
∗ 作参数时, P0,P1 的对应点分别P
∗
0 (t
∗
= t
∗
0),P
∗
1 (t
∗
= t
∗
1). 我们记s是曲线
r(t)从P0 到P1 处的弧长, 在参数t
∗ 下, 相应从P
∗
0 到P
∗
1 的弧长记为s
∗
. 则有
s
∗
=
∫ t*
1
t*
0
∣
∣
∣
∣
dr
∗
(t
∗
)
dt∗
∣
∣
∣
∣dt
∗
=
∫ t*
1
t*
0
∣
∣
∣
∣
dr
dt
dt
dt∗
∣
∣
∣
∣dt
∗
=
∫ t*
1
t*
0
∣
∣
∣
∣
dr
dt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
dt
dt∗
∣
∣
∣
∣dt
∗
,
(1) 若 dt
dt* > 0, 则
∣
∣ dt
dt*
∣
∣ = dt
dt* ,
此
s
∗
=
∫ t*
1
t*
0
∣
∣
∣
∣
dr
dt
∣
∣
∣
∣
dt
dt∗
dt
∗
=
∫ t1
t0
∣
∣
∣
∣
dr
dt
∣
∣
∣
∣dt = s,
(2) 若 dt
dt* < 0, 则
∣
∣ dt
dt*
∣
∣ = − dt
dt* ,
此
s
∗
= −
∫ t*
1
t*
0
∣
∣
∣
∣
dr
dt
∣
∣
∣
∣
dt
dt∗
dt
∗
= −
∫ t0
t1
∣
∣
∣
∣
dr
dt
∣
∣
∣
∣dt =
∫ t1
t0
∣
∣
∣
∣
dr
dt
∣
∣
∣
∣dt = s,
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两种情得到同的结果. 这就证明了弧长在容许参数变换下不变.
D
在微分儿何中, 凡是在参数变换和运动变换下的不变量都称为量,
于是曲线的弧长是个儿何量.
注 2 微积分学中, 弧长是用曲线的内接折线的极限来定. 设参数曲
线C : r = r(t), t ∈ (a, b), r(a),r(b)表示C 上两点P0 和Pn, 介于P0 与Pn 之
间, 我们顺t递增次序取n − 1个点P1,P2,··· ,Pn−1, 用百线段把相邻的点连
起来, 即得到曲线C 的条内接折线, 它的长度是σn =
n
∑
i=1
Pi−1Pi. 当分点
Pi 无限增多时, 同时线段Pi−1Pi → 0, 如果σn 有个确定的极限, 这时称曲
线C 为可的, 并称此极限为曲线C 介于P0 和Pn
段的弧长. 下面的定
理正说明我们给出的弧长的定与微积分学中的定是致的.
理 1.2 C1 阶正则曲线C : r = r(t), t ∈ (a, b)必为求长的, 且它
的长度为
s =
∫ b
a
|r (t)|dt.
对于同条曲线的诸多参数表示中, 我们希望能找到种有实际儿何
的, 或者至少在理论上是最简单万便的参数.下面我们将介绍正则曲线的
个最好的参数, 即弧长参数.
设C : r = r(t)是条正则曲线, 由(1.3)式我们得到 ds
dt
= |r (t)| > 0.
见弧长s是t的连续单调函数, 那么函数s = s(t) 定存在反函数t = t(s),
把它代入曲线的万程r = r(t)中得到弧长s为参数的曲线万程
r = r(s),
(1.4)
(1.4)式称为曲线的或自. 从后儿节关于曲线理
论的研究中, 我们将会逐渐体会到采用弧长作参数的优越性. 今后我们约定
用“·”来表示对弧长求导, 例如 ˙r = dr
ds
, ¨r = d2r
ds2 等等.
理 1.3 正则曲线C : r = r(t)的参数t是弧长参数 ⇐⇒ |r (t)| ≡ 1.
明　由于ds = |r (t)|dt, 所当t是弧长参数时, t = s, 这时显然
有
∣
∣dr
dt
∣
∣ = ds
ds
= 1. 反之, 若对参数t成立|r (t)| = 1, 则有 ds
dt
= 1, 所
s(t) =
∫ t
t0
dt = t − t0, 当t0 = 0时, t就是弧长参数.
D
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注 3 由定理 1.2, 理论上每条C1 阶正则参数曲线总用弧长作为它
的参数, 但实际上计算是有困难的. 其, 积分
∫ t
t0 |r (t)|dt 能不是初等函
数. 例如对于椭圆的参数表示r(t)=(acost, bsint,0),
s(t) =
∫ t
t0
|r (t)|dt =
∫ t
t0
√
a2 sin2 t + b2 cos2 t dt,
般不能用初等函数来表示,
此无法将r(t)用弧长参数s来表示. 其二, 既
是s(t) 求出, 但能求不出它的反函数. 例如对于抛物线的参数表示
r(t)=(t, t2
2
,0),
s(t) =
t
2
√
1 + t2 + ln(1 +
√
1 + t2),
但从上式解出反函数t = t(s)是很困难的. 尽管如此, 这并不妨碍我们用弧
长参数来讨论曲线的性质, 这是为对C1 阶正则参数曲线总是求长的,
此总假定曲线的万程是用弧长作参数, 这将会使许多公式大为简化, 而
且在研究曲线的般性质时会很万便.
1–1
1. 求曲线x3 = 3a2y, 2xz = a2 在平面y = a
3 与y = 9a之间的弧长.
2. 求用极坐标万程ρ = ρ(θ)给定的曲线的弧长表达式.
3. 将圆柱螺线r(t)=(a cosh t, a sinh t, at)化为自然参数表示.
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