关于量子力学中总角动量L的定义问题
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今天写了一篇《对不起，我练的是拳击》，不正面的回应了一位网友向我提出的挑战：“用不超过10个字说出柯西极限定义的本质，看看我的基础知识如何。”
刚才这位网友在我博客留言，公布了他的答案：柯西极限定义解决的是，"存在如何被感知的问题"。
与此同时他还要求我先闭上口，回家问我哥去再说！
我必需得承认这个答案非常牛逼，它超出了我的认知范围。我没哥，没法问，不过我觉得这个问题可能上帝他哥会多少懂点，所以建议这位朋友找数学专业的曹广福老师聊聊，听听他的想法。
下面公布我之前那个问题的答案：
其实关于量子力学中L的定义问题，科学网的一些博主前年讨论过。见刘全慧老师发的这个帖子：
为什么量子力学一般不定义标量总角动量L?
关于这个问题，我的答案是：
1、量子力学中所说的“物理量”、“力学量”、“可观测量”，讲的是同一个东西，只是叫法不同而已。
其中可观测量是量子力学最基础的概念，因为，顾名思义，只有这个东西是实验上能够测量的，因而也只有这个东西才是真正有物理意义的。
如果要讨论一个量是不是力学量，或者说是不是可观测量，先要明白什么叫可观测量。关于可观测量的定义，比较权威的解释来自于Dirac的《量子力学原理》。好像是第一章的第几小节里面有一段话提到过，具体位置我记不太清楚，谁手头有这本书可以自己翻一下，大意是：
可观测量必定满足两个条件：（1）本征值是一个实数。（2）本征值构成完备组。
在数学上这要求这个量对应的算符是厄米的，物理上要求对这个量进行测量后得出的结果与这个量的本征值一一对应。
2、根据可观测量的定义，我们知道可观测量，或者说力学量，必定是一个标量，对应的算符必定是一个标量算符。因为矢量算符对应的本征值是一组数，比如矢量算符X（X1，X2，X3）对应的本征值是（x1,x2,x3），这是一个三维数组，不是“一个实数”。
3、对于某些矢量，我们可以通过构造度规来定义这个矢量算符对应的标量力学量，比如，还举X的例子，我们可以根据日常所用的度规定义矢量算符X对应的标量：
x=Sqrt（X1^2+X2^2+X3^2），相应的本征值是Sqrt（x1^2+x2^2+x3^2）。
由于[Xi，Xj]=0，i，j=1,2,3，也就是说X1，X2，X3互易，所以Sqrt（x1^2+x2^2+x3^2）是一个实数，再考虑到它的本征值构成完备组，所以这完全符合量子力学关于可观测量的定义。
4、但是，对于矢量算符L，无论采用何种度规，无论构造何种的数学形式，我们都没办法通过相同的方法来定义与之相对应的标量力学量l。
为什么？因为Lx，Ly，Lz不对易，尽管它们有共同的本征值0，但是除0之外再没有任何确定的实数作为其共同本征值了。
换句话说，如果我们按照相同的方式来定义l=Sqrt（Lx^2+Ly^2+Lz^2），那么它对应的本征值只有0，除了0之外，它找不到任何一个“确定的实数”来做自己的本征值。
这不满足可观测量的定义，所以l不可能是一个可观测量，或者说不可能是一个力学量。
什么，你没听懂？通俗的理解，我们知道任何物理系统的角动量，如果存在，都不可能只是一个普适的常数0，必定还存在其它数值，可是现在我们定义的l只有实数0这一个本征值，这也就意味着l的本征值不构成完备组，所以它不满足可观测量的定义。
5、一个量不是可观测量，意味着这个量在实验上是不可测量的，也是无法检验的，它的定义也就失去了必要性。
注：这句话有且只有1个特例，那就是时间t，在非相对论性量子力学里时间t只是一个参数，但是它的定义和引入却是十分必要的。
6、不过，话不能说死，科学总是发展的，尽管不可观测的量对于今天的物理学而言没有意义，但也许将来会有哪个天才发现某些不可观测量的真正用途，这都是未知之数，还是让我们怀着一颗敬畏的心拭目以待吧。
注：不许说你就是那个天才，谁号称天才我打谁PP。
这篇就扯到这里。
最后公开点名表扬soifaint同学，我不知道你年纪多大，什么身份，但是你的物理底子不错，祝好好学习天天向上，早日成婚早得贵子。是吧，你懂的。
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发表评论 评论 (33 个评论)
- [23]soifaint
- 不是展开这个函数。这个函数展开式要求|X|<=1. L^2-1不满足这个要求。 我们可以在 X=1 处直接展开 y =SQRT(X) 成泰勒级数 \sum_n y^{(n)}(x=1) /n! (x-1)^n 。这个展开式没有奇点，只是收敛性还不明确。
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具体到x=0这一点收敛与否不好说，反正收敛半径是x=1没错。这样改变不了x=0这个点是奇点的性质。当然这个到底会不会搞烂量子力学里面那堆完备性我不确定，哈哈。
- [22]wliming
- 21]soifaint 2011-6-13 20:35
刚才敲错了，l=0相当于Sqrt[1+x]的x=-1点。
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不是展开这个函数。这个函数展开式要求|X|<=1. L^2-1不满足这个要求。 我们可以在 X=1 处直接展开 y =SQRT(X) 成泰勒级数 \sum_n y^{(n)}(x=1) /n! (x-1)^n 。这个展开式没有奇点，只是收敛性还不明确。
- [21]soifaint
- 刚才敲错了，l=0相当于Sqrt[1+x]的x=-1点。
- [20]soifaint
- 在1附近确实可以展开，但是l(l+1)是可以等于0的，而l=0在级数展开里面相当于Sqrt[x]的x=-1点，这个点是奇性的。而且你不能把l=0挖掉，否则结果会不完备。
我那个直接本征函数展开就不会有这个问题了。而且如果你从物理上说，这两者也是有点不一样的，级数展开是等于从数学完备性上定义这东西，而本征函数展开是相当于斯特恩-盖拉赫实验的性质：按照角动量大小把射流分成若干束理论上是可行的，也可以用这个办法来定义Sqrt[L^2]的测量。
- [19] 匿名
- 你长的没照片上的帅啊，找个真实点的吧。
- [18]wliming
- 那么我把Sqrt[L^2]算符定义成 \sum Sqrt[l(l+1)]|l><l|就可以了，
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这个定义跟我的级数展开的结果完全一样。本征值就是L(L+1)开根号，本征函数跟L^2的本征函数相同。这个级数展开理解为AQRT(X)在任何不=0 的a 点展开，只是收敛性还没考查清楚。
- [17]wliming
- 全慧提出在1附近展开sqrt（X），这样还是可以有无穷级数。用这个级数可以定义这个根号算符。
- 博主回复(2011-6-13 19:56)：我现在觉得这个问题不是一个数学问题
- [16]wliming
- 15，谢谢，我刚刚查了一下数学用表，也发现根号X不能级数展开。所以，我这个说法的确错了。谢谢，谢谢。
- [15]soifaint
- 居然有人故弄玄虚。。。。。我得说我还真没想到自己也有这么一天，平时都是大家批判我把问题搞的太庸俗，哈哈。
刘老大（带头大哥，哈哈）对那个开方有看法是有道理的，虽然我不喜欢这种看法，但是追求严格性的人讨厌那个开方确实有道理，老大的理由也是对的，那破玩意是个多值函数，所以如果你想用无穷级数定义这个开方你基本上死啦死啦地：Sqrt[x]那东西的奇点是在x=0，问题是角动量平方L^2必然有个0本征值，所以你级数展开永远搞不出一个连续的展开域，你必须至少砍掉一点和挖掉一根线，这就够让强调严格性的人死菜了(不挖掉？那你连Sqrt[L^2]和L^2对易这么个要求都可能满足不了）。
至于我觉得可以开方，理由也很简单：谁规定我非要用级数展开定义一个函数呢？L^2有本征值且一定是正的，那么我把Sqrt[L^2]算符定义成
\sum Sqrt[l(l+1)]|l><l|就可以了，这玩意扔到波函数上的结果是行为良好的，所以我一定可以在L^2表象里面定义Sqrt[L^2]，至于其他表象我可以变换过去不是么？这事的关键是物理上L^2的本征函数必然是完备的，所以我这么干一定能自圆其说。
实际上在量子力学里面本来我们就很难说f(A)是到底用A的级数展开定义好还是用A的表象里面的对角矩阵定义好，我个人比较偏好A自身表象定义，因为简单。不过确实A自身表象定义有时候会出现一些奇怪的结果，包括对某些特殊问题下的角动量，但是我们似乎没必要非要去纠缠这种怪玩意对不对？级数展开定义自有其优点，比如级数展开定义自动的把A的本征函数张成的空间给完备化了，不过你也不能因为这个就非要要求神马函数都能用级数定义。
话说我记得有教授抱怨过量子力学里面的各种概念往往随时改变定义，而且大家没有统一的结论，不过我觉得啊，人不能被定义憋死是不是？反正说到底这东西的关键是算出正确结果，不是搞个完备的定义。
- [14]Zhanglincn
- 呵呵，各位，这里怎么成了量子力学网络课程的答疑课了....
