庞加莱猜想100年
胡作玄[①]
摘要 本文介绍了3维流形拓扑学的核心问题——庞加莱猜想的研究历史及现状。自从1904年庞加莱提出这个猜想之后，数学家已通过多种途径求解这个问题，其中最重要的成就是瑟斯顿的3维流形的分类纲领——几何化猜想。最近，俄罗斯数学家彼列尔曼通过1982年由哈密顿引入的里奇流给这个猜想一个完整的证明，现在多组专家正在对此进行验证。
关键词 3维流形 庞加莱猜想 同调 同伦 基本群 里奇流 几何化猜想
正好100年前，1904年，当时被公认为两位最伟大的数学家之一的庞加莱（H. Poincaré，1854～1912）（另一位是希尔伯特）提出一个拓扑学的猜想，后人称为庞加莱猜想。用现在的术语来陈述，就是：
如果一个3维闭流形M的基本群 ，它是否同胚于3维球面？
更简单一点，
是否一个单连通的3维闭流形一定同胚于3维球面？
严格讲，我们这里假定流形是连通的，也就是它不是由几块互相分离的流形构成的。
可以说，这是推动21世纪数学上一个新台阶的三个最重要的数学猜想之一，另外两个是20世纪末得到证明的费马大定理，以及很快也将取得突破的黎曼假设。既然它那么重要，为什么很少人听说过呢？其实，这并不奇怪。数学的问题和猜想成千上万，其中绝大多数除了少数专家之外一般人连问题都弄不明白，更不用说体会它在数学或者科学领域中的重要性了。诚然，有少数问题，例如哥德巴赫猜想、奇完全数是否存在、孪生素数是否有无穷多对等等，的确为一般人“了解”（甚至许多人声称得到“证明”），可是，如果问题或猜想中的概念都不懂，那又如何谈得上了解呢？因此，你如果想知道什么是庞加莱猜想，那就得首先搞清楚一些主题词的含义：拓扑、流形、同调、同伦、基本群、纤维丛、同胚等等。除此之外，数学中的定义十分精确，日常用语的含混往往是理解的一大障碍。作为几何对象，我们要严格区分球面（sphere）和实心的球体（ball），而要像通常那样都当成“球”就麻烦大了。因此在专门的问题上，我们还是应该尊重专家的判断而不是媒体的宣传。正因为如此，数学上的成就也比较少见于报端。
有意思的是，庞加莱猜想最近忽然受到媒体的注意。起因是，俄国数学家彼列尔曼（Grigory Perelman）声称，他已证明了庞加莱猜想，他的3篇论文已在网上公开发表。由于这个问题极端重要，在数学界不啻投下一颗重磅炸弹。对于这类事情，两个问题是关键：一是这个问题是否重要，二是他的证明是否正确。后一问题显然要依靠专家，而且是本行的专家，而前一个问题恐怕要依靠有广博知识的大师和有历史修养的专家。数学的领域十分广阔，专门学科有一二百，每年发表论文近10万篇，要都凭媒体宣传以及个人吹牛，怎么得了！好在科学发展有史为鉴，是是非非自有公论。本文就是本着这个精神对庞加莱猜想的百年历史作一个回顾。
一 流 形
流形是曲线（包括直线及直线形）和曲面（包括平面及多面体）的高维推广。换言之，曲线是一维流形，曲面是二维流形。庞加莱猜想则讨论的是3维流形。只要明确维数的定义，自然还有4维流形、5维流形……乃至无穷维流形。
数学的原始对象是数与形。一直到19世纪末，数学研究的形局限于我们所在物理空间中的图形，也就是我们看得见、摸得着的曲线及曲面。由于图形看得见、摸得着，我们的直观在研究中起了重要作用，加上哲学家（特别是康德）的引导，使得我们产生出一个错误的观念：几何学是描述客观世界的科学，欧氏几何是惟一正确的几何学。这也许是，直至今日，还有许许多多人把数学归入自然科学的原因。
19世纪中期，这个观念发生革命性的变化，这来自非欧几何学的兴起。非欧几何学的建立告诉我们，除了欧氏几何外，还有两类非欧几何：一类是罗巴切夫斯基几何，也称为双曲几何，一类是黎曼式的非欧几何学（请勿与微分几何学的重要分支黎曼几何学相混淆！）也称椭圆几何。它们彼此排斥，但每一自身又是协调的即没有内在逻辑矛盾的几何。举例来说，在双曲“平”面上的三角形，三个内角之和小于180°；在欧氏平面上的三角形，三个内角之和等于180°；在椭圆“平”面上的三角形，三个内角和大于180°。你的现实平面究竟服从双曲几何、欧氏几何还是椭圆几何，就要看具体的测量了。高斯的确做过这种测量，但测量误差使他无法做出判断。但这种观念对数学的冲击非同小可：数学不再是现实世界的“自然”科学，而是可能世界的科学。至于现实世界服从什么几何，那不是数学家的事，而是物理学家的事，需要由观测和实验来确定。
非欧几何学对几何学乃至数学的冲击随即打破空间3维性的限制，把空间和图形由2维、3维推广到4维、5维乃至更高维了。值得注意的是，许多人都没有吃透非欧几何的革命，一提4维就是4维时空，仍然没有摆脱物理学的观点。数学中的各维都是一视同仁的，特别是在几何学中，这正如在数论中，数是不带单位的一样。当然，具体应用时，你会指出哪一维是时间维，哪一维是空间维，但数学家只关心逻辑的可能性。
维数的增高立即带来不方便，我们失去了直观的能力。我们的感知觉天生就是3维的，对4维以及4维以上的空间就只能藉助于类比、逻辑推理、代数工具等等。在4维空间中你可以不打破鸡蛋而把蛋黄取出来，也许还能够像CT一样用肉眼看到内脏每一角落。这种想象力在研究3维流形就要用到。
要研究3维流形，还得从1维和2维流形起步，它们是我们熟知的几何对象。最简单的几何图形是曲线，在历史上我们有两种方法描绘及处理它们。一是画出来，二是用方程来表示它。椭圆是距两定点距离之和为常数的轨迹，要是没有希腊人对椭圆及圆锥截线透彻的研究，简直无法想象行星的轨道。笛卡儿的解析几何更胜一筹。他大大跳出“作图”的框框，把现实的世界再一次引向可能的世界。你只需去研究代数方程就可以了。但是，解析几何虽然以一种机械化的方法研究曲线，却使我们失去了整体图形的直观，除非你根据方程一点一点把它描绘出来。在向高维推广时，这缺点更加突出，尤其是当只是“粗线条”地了解图形的时候。这样，我们有必要从结构的角度来理解它。这种想法导致流形观念的产生。
大体上说，流形是局部看起来相同而整体上千差万别的结构。换言之，它是由同一种元
件拼接而成的图形，这个基本元件可以看成n维欧氏空间 或n维球体的内部：
我们对高维情形没有直观形象，不妨看一看2维的情形。2维流形也就是曲面的典型例子是球面 和环面 （也就是自行车的内胎面）。过去骑自行车的人很多，如果内胎破了一个洞，就要去补个补钉，这个补钉实际上就是2维圆盘 。设想一下，如果一条内胎用得很旧，几乎每一处都由补钉覆盖，抽象来看，环面无非是补钉的集合。同样，球面也可以如此来看。推而广之，任何曲面都可以这么看。由于它们局部上看都是补钉，即2维圆盘 ，因此称为2维流形。因此，当每个局部的补钉是3维圆盘、4维圆盘等等时，也就得到了3维流形、4维流形的概念了。
n维流形，这是现代拓扑学和几何学的主要研究对象。
二 拓 扑
流形是曲线、曲面的推广，是一种几何图形，因此，我们仿照曲线和曲面的情形研究其几何性质。
几何性质很多，大致可分为两类：一类是度量性质，它与长度、面积、角度、体积等有关；在微分几何学中，最为重要的度量性质则是曲率，也就是曲面的弯曲程度，曲率的概念可以推广到高维的流形。另一类几何性质是非度量的定性性质，拓扑性质就是这种性质。与度量性质的精细程度相对比，它是一种十分粗糙的性质。在日常生活中，我们非常看重度量性质，例如一个球的大小和形状，是十分圆还是椭圆，但是，从拓扑上我们不加区别。对于两种几何图形，这样我们能够从拓扑上加以区别的性质就很少了。而拓扑学则是研究这些图形的拓扑性质。
拓扑性质是在连续变形之下不变的性质。一个气球，只要不破，也不粘在一起，则它可以放大、缩小、拉长、缩短、弯曲、变形，不管如何变，其拓扑性质不变。因此，我们常说，拓扑学是橡皮球上的几何学。
球面上什么性质是拓扑性质呢？主要的一个是单连通性，也就是球面上任何一个绳圈都可以在球面上连续地变形，最后收缩成一点。因此，我们说，球面是单连通流形。这个拓扑性质在许多流形上不成立，例如环面上的经圈与纬圈在环面上变来变去，永远也不能收缩成一点。因此，环面不是单连通流形。单连通性是最重要的拓扑性质之一。为了衡量一个流形的单连通性，1895年庞加莱开创拓扑学这个全新的数学领域时，就引入了基本群 这个拓扑不变量。其后百余年的历史证明，基本群对数学有重大推动，产生了组合群论这一分支以及数理逻辑中的判定问题，它们反过来又影响了拓扑学。与其他拓扑不变量不同，基本群不一定是交换群即阿贝尔群。如果一个流形M的基本群只有么元，写作 ，则称该流形M是单连通的。一般来讲，单连通流形是比较容易处理的，非单连通流形则远为困难，甚至根本无法讨论。
对于流形，一个最重要的拓扑性质是开还是紧，紧性是一个十分好的性质。从上面说的补钉的例子来看，覆盖一个流形的补钉可以有无穷多个。一个流形称为紧的，如果能从任何无穷覆盖中选出有限多个来覆盖它。非紧的流形称为开的，例如一个球面去掉北极和南极。它要复杂得多。
紧流形分为两类：一类是无边缘的，一类是有边缘的。球面和环面都是无边缘的，圆柱面是有边缘的，两端各有一圆为其边缘，边缘的维数比流形的维数少1。无边缘的紧流形称为闭流形，它是我们最关注的研究对象。
还有一种性质是拓扑学家的发现，这就是可定向性。对于2维曲面有一个直观的区别，即可定向曲面有正反（或内外）两面，而像莫比乌斯带与克莱因瓶则内外不分，它们是不可定向曲面的典型代表。在本文中，主要考虑可定向流形。
对于1维、2维、3维流形，我们可以选出开流形、有边缘流形和闭流形的代表：
1维开流形：开区间 ，
1维有边缘流形：闭区间 ，
1维闭流形：圆 ，
2维开流形：开圆盘 ， ，
2维有边缘流形：闭圆盘 ： ，
2维闭流形：球面 ，环面 ，
3维开流形：开圆盘D3： ，
3维有边缘流形：闭圆盘 ： ，
3维闭流形：球面 。
可见虽然3维开流形和有边缘流形有些还有直观形象，但3维闭流形就没有直观的形象了。不过我们虽然不能看到3维球面，但可以从2维流形的研究中获得启发。
这样，我们可以表述拓扑学的基本问题：
把n维流形按照拓扑等价（同胚）进行分类。
同胚是一种十分粗糙的等价关系，例如圆 、椭圆、三角形、四边形、纽结等都是彼此同胚的，也就是它们拓扑等价或者说属于同一拓扑型。
进行拓扑分类的主要方法是通过拓扑不变量。对于每个流形都有一系列拓扑不变量。按强弱程度划分为三类：
同调不变量：包括欧拉—庞加莱示性数、贝蒂数、挠系数、同调群、上同调群等等；
同伦不变量：包括基本群、同伦群等等以及所有的同调不变量，也称伦型不变量；
同胚不变量：除了同调不变量和同伦不变量之外，还有非同伦的同胚不变量，如维数、某些示性类、挠元等。同胚不变量也称拓扑不变量。
每个流形都可以定义这些不变量，有些是可以计算的，它们构成这个流形的身份证明。如果两个流形同胚，则其每个同胚不变量对应相等。只要有一个拓扑不变量不同，则可以断定两个流形不同胚。反之，少数弱的拓扑不变量相等，例如欧拉—庞加莱示性数相同，往往不能够断定两者同胚，这时就需要加入更强的不变量，直到足以区分不同胚的流形，这一套拓扑不变量称为不变量完全组，它们足以刻画拓扑流形。幸运的是，对于定向2维闭流形，不变量完全组只有一个整数，即欧拉—庞加莱示性数 ， ，其中g代表曲面的亏格，即孔洞数。球面没有孔洞，环面有一个孔洞（g＝1），同样g可以等于2、3……任一正整数。正整数不同，曲面互不同胚；g相同，则相互同胚。这样通过g就完成了二维流形的分类。
三 3维流形的曲折道路
19世纪末庞加莱开创拓扑学时，对1维、2维流形已经了解得比较清楚，下面则是顺理成章去研究3维流形。100多年来，3维流形研究并不顺利，而且历史上不多的重要结果大都有出错的记录。实际上，庞加莱提出的最早的猜想已经被自己否定了。
庞加莱不愧为数学大师，在拓扑学初建时，他已经找到一些最基本的不变量：欧拉－庞加莱示性数、贝蒂数、挠系数和基本群，还证明了庞加莱对偶定理。贝蒂数和挠系数后来归为同调群。1900年，他猜想：
每个闭n维流形，如果与n维球面 具有相同的同调群（后来这种球面称为同调球面），则同胚于 。
换言之，当时他认为，同调不变量已足以刻画球面。然而1904年，他发现一个反例：有些同调球面的基本群不是平凡的，因而不可能是球面。这样一来，同调不变量太弱，需要加强，于是，他把这个猜想改为“广义庞加莱猜想”：
每个闭n维流形，如果与n维球面 具有相同的同伦型，则同胚于 。
这种球面称为同伦球面，当n＝3时就是本文的主题——庞加莱猜想。我们想当然，以为3维的情形应该最容易，没有想到，历史完全走的是另一条道路。经过100年的发展，3维庞加莱猜想还不能说已获证，但4维及4维以上的广义庞加莱猜想均完全获得证明。这完全显示出低维（3、4维）的难度要大于高维的。1960年斯梅尔（S. Smale）以及其后一些数学家证明了5维及5维以上的广义庞加莱猜想，这成为当时最为重要的成果，斯梅尔因此也荣获1966年菲尔兹奖。顺便说一句，斯梅尔的论文中用到吴文俊关于示嵌类的成果。4维的情形要难得多。因为3维流形的研究虽少，毕竟还每年有几篇论文，4维流形的结果在1980年前真可谓寥寥无几。没想到，1982年，美国数学家弗里德曼（M. Friedman）与英国数学家唐纳森（S. K. Donaldson）证明了4维庞加莱猜想。尤其是，唐纳森的工作使用了杨振宁－米尔斯的规范场理论，一下子使拓扑学与数学物理这两个本来没什么关系的领域拉近了，对其后20年的数学和物理冲击很大。这些才是真正的创新，当然也理所当然得到承认，这两位在1986年也荣获菲尔兹奖。庞加莱猜想只剩下3维情形悬而未决。
面对难题，大师与普通人毕竟不同。一般的数学家零敲碎打、逐步逼近，困难的问题解决不了，就去解较为容易的，容易的解决不了，就去解更容易的。大师则不一样，它们寻求新关系，发现强猜想，一旦强猜想取得突破，所要证的弱猜想自然就顺手得出。显然，强猜想看来更难，非有大智大勇不足以想到这种路子。在3维流形的情形下，这就是瑟斯顿（W. Thurston）的道路。1977年，他提出一个3维流形的分类方案，一旦这个方案完成，庞加莱猜想只不过是其中一个小小推论而已。
瑟斯顿的方案的要点是：
1） 素因子分群 首先把3维闭流形分解为素流形的连通和。这种分解对定向流形不仅是存在的，而且是唯一的。它正像正整数的素因子分群，1是不考虑在内。 就是流形分解中的1，素流形则是除了含 的分解之外，不能再分解的流形。
2） 素流形上的几何结构 每个素流形上或者素流形进一步通过其他方式分解成的开流形块上都具有一种几何结构。这里的几何机构是指一个完备的黎曼度量，它与8种标准的结构局部等度量。这个命题常称为瑟斯顿的几何化猜想。
3）8种允许的几何结构
（1）标准球面 ，具有常曲率＋1
（2）欧氏空间 ，具有常曲率0
（3）双曲空间 ，具有常曲率－1
（4）
（5）
（6）特殊线性群 上左不变黎曼度量
（7）幂零几何
（8）可解几何
4）遗留问题 除了正常曲率情形1）以及负常曲率情形3）之外，其余6种几何已完全了解。对于负常曲率情形，近年来有很大进展，对一大类流形证明了下述强猜想：
双曲化猜想 闭流形 是双曲流形当且仅当 是素流形， 是无限群且不含 子群。
最困难的也是同庞加莱猜想有关的是正常的曲率情形。对此，有一个强猜想：
椭圆化猜想 3维闭流形具有有限基本群当且仅当它具有常正曲率。
庞加莱猜想显然是其自然推论。这样，经过瑟斯顿的整理，我们已经目标十分明确了。为此，瑟斯顿荣获1982年菲尔兹奖。
四 拓扑到几何再到分析
在我们这个专门化日益狭窄的时代，往往产生一种错觉，以为自己就能解决自己的问题。数论问题用数论方法，拓扑问题用拓扑方法。对于大问题，事实证明这往往不能成功。庞加莱猜想也是如此。低维流形的拓扑的最大困难在于可供使用的拓扑工具，特别是拓扑不变量少得可怜，因此，就不得不求救于兄弟学科，特别是微分几何学，还有群论。刻画曲面几何性质最重要的量是曲率，也就是曲面在一点附近弯曲的程度。这个概念可推广到任意维，它由黎曼度量决定。把黎曼度量和曲率引到流形上面就使得拓扑问题大大复杂化：一个球面如果很圆，曲率处处相等，它是个常曲率为正的流形，如果拉成椭球，虽然处处曲率仍为正，但不是常曲率曲面了。如果踢上一脚，只要不踢破，踢瘪了，那就出现曲率非正的情形。这说明流形上可以容许许许多多不同类型的黎曼度量以及相应的曲率分布特征。但是早在19世纪人们已经知道，流形的拓扑性质与曲率有密切关系，这就是著名的高斯一邦内公式：
其中M是闭定向曲面，K是高斯曲率，dA是曲面的面积元， 是欧拉－庞加莱示性数。这说明尽管K逐点可以变化，加起来（积分）之后却不变，可以表现为典型的拓扑不变量。
黎曼把高斯的微分几何学推广到高维，高斯一邦内公式也由韦伊（A. Weil）、陈省身等推广到高维。因此，很自然想到低维拓扑可以借助微分几何有所突破。这里的困难在于：随着维数的增加，曲率张量的分量快速增加。2维曲率是高斯曲率，3维有6个分量，4维就有20个分量。由曲率决定黎曼度量的方程都是非线形偏微分方程，是数学家难以对付的硬分析问题。而最基本的问题则是在所有可能的黎曼度量（的空间）中，寻找最好的度量。如果这个问题解决了，则可以通过曲率与拓扑的关系得出流形的拓扑型的结论。
什么是好的度量呢？最好的当然是常曲率，其次也可以考虑恒正曲率，也就是处处曲率都大于一个正常数 。对此，已经有一些重要定理。当M满足上述条件，且M紧时，则是球面。但是，黎曼曲率（截面曲率）分量过多，于是数学家将它缩约为里奇曲率，这件事恰好是爱因斯坦建立广义相对论时所作的。里奇曲率还可以缩约，就是标量曲率。对里奇曲率也有上述的定理。但还没有办法把 同曲率直接挂钩。于是问题就变成如何在无穷维的黎曼度量的空间中找到一个最佳的度量。在这个方面，第一个重要突破是哈密顿（Robert Hamilton）在1982年做出的。他的想法很别致，从一个一般的度量出发，设计一条通道（曲线），使得这个通道的极限点就是具有常曲率的黎曼度量。这条通道称为里奇流，因为它满足微分方程：
这里我们用时间t作为黎曼度量 的参数， 是流形的里奇曲率，r为平均标量曲率。这样几何问题转化成一个求解微分方程的分析问题，而分析问题则是要求十分精致的专门技巧的。藉助于这个创新，哈密顿证明了几何化猜想的一个特殊的情形：
空间形式定理 如果 是闭3维黎曼流形且具有正里奇曲率，则对任何 都有里奇流的惟一解存在，且 微分同胚于球面空间形式（即 ， 为自由作用在 上的有限转动群）。
显然，如果能证明3维同伦群具有一个黎曼度量使里奇曲率大于0，则庞加莱猜想自然得证；要是能证明具有有限基本群的3维流形也有黎曼度量使里奇曲率大于0，则连椭圆化猜想也能证明了。这事看来有困难，因为没有自然的路由拓扑通向曲率。
1995年以后，彼列尔曼就没再发表论文了。他独自走另一条更困难的路，也就是不局限考虑正曲率流形，而考虑一般的闭流形。这样他的目标就是瑟斯顿全部的几何化猜想，而不是只给瑟斯顿补剩下的东西。他仍用里奇流，但这时，里奇流就不能一帆风顺地由0走向 ，而是中间不断地出现奇点。奇点是数学上最讨厌的东西，彼列尔曼则是直接面对它。他创造性地解决了三大问题：一是证明曲率尺度下不坍缩性从而得到奇点模型，这个过程他使用了熵泛函；二是分类奇点模型，它非常专门，但大大改进我们对里奇流的了解；三是把奇点模型与拓扑联系在一起，最后得出几何化猜想。庞加莱猜想只是其中一个特殊情形。
五 一些评述
对于外行及隔行的人来讲，一个最困难的问题是判断一位数学家或者他的数学成果到底有多重要。老实说，一般根本无法判断。如果一定要知道的话，请相信负责任的专家和有声望的荣誉和奖项。这些至少可以引导人们正确认识问题的重要性以及方法的原创性。一般来讲，问题的重要性在于问题的解决过程密切与其他领域有关，越重要的问题越能带动其他领域的发展。荣誉及奖项是不会骗人的。在迄今44位菲尔兹奖获得者中，大约1/3即与拓扑学直接有关，其中不少直接与庞加莱猜想有关。从学科上看，拓扑学与代数、几何、分析、组合学、数论甚至逻辑都有关系，影响面之大可见一斑。例如3维流形的拓扑分类可以解决，但4维及4维以上流形的同样问题就是逻辑上的不可判定问题。这也就是为什么拓扑学在20世纪被称为数学女王的缘故。
要解决经典难题一般要与其他领域挂钩，他山之石可以攻玉吗！进攻庞加莱猜想的思路很多，20世纪60年代有人把它化为一个群论问题，日本数学家山边英彦（H. Yamabe）提出山边问题目的也是通过分析方法去解决庞加莱猜想，20世纪90年代也有人沿此道路去做，如安德森（M.T. Anderson，即我们所引文献的作者，在这篇文献中，他主要介绍彼列尔曼的工作）。90年代一位在法国高等科学院工作的罗马尼亚裔数学家彼恩纳鲁（V. Poenaru）也发表了他的研究纲领，三步只剩最后一步未曾解决，他用的是几何拓扑方法。在20世纪80年代和90年代，规范场理论以及物理对3维拓扑学有很大冲击，发现许多新的不变量，特别是对3维拓扑学最大分支——纽结及链结理论有重大影响，反过来纽结理论对物理学也产生影响，正如19世纪凯尔文勋爵想象的物理模型使纽结理论得以发展一样。
最后，我们面临一个预测问题，你是看好他呢，还是怀疑他有问题，抑或不置可否？我明确表态，我看好彼列尔曼。这使我想起在1993年夏怀尔斯（A. Wiles）宣布他证明费马大定理时的情形，当时我明确认为怀尔斯没问题，而一些专家表示置疑。很快他们就对了，但最终还是我赢了。证明大定理难免有这样那样的漏洞，历史已多次证明这一点，但我关注两点：一是此人是不是一个认真的数学家，二是此人是否曾显示出创新的实力。专靠媒体，尤其是不负责任的媒体，你根本得不到任何正确的信息。（只需回忆一下，10年前，中国媒体上从来没有登过怀尔斯解决费马大定理的消息，即使许多国外杂志把它（错误地）列为1993年十大新闻。而当怀尔斯的证明发现漏洞时，却大肆宣传，幸灾乐祸之情溢于言表。当最终完成时，又只字不提了。两三年后，看样子已成定局，又抬出中国某位著名人物，声称他早就证明费马大定理了。）我的根据很简单：怀尔斯从拿了博士学位后，就发表了几篇有份量的论文，证明了一些大定理，而且当时的关键方向已定。显然，国内对此一无所知。
对于彼列尔曼，情况又在重演。他2003年4月去美国，不接受媒体采访，不搞宣传，花了几年时间认认真真在那里做数学，这才是真正的数学家。实力呢？他20多岁就在1994年国际数学家大会上作分组报告（对比一下，之前只有6位大陆数学家曾被邀请做分组报告，他们是华罗庚、吴文俊、冯康、陈景润、张恭庆、马志明）。还有，更重要的是，从1992年起，欧洲数学会每4年召开一次欧洲数学家大会，它与国际数学家大会交替进行，正如世界杯足球赛与欧洲杯足球赛交替进行一样。国际数学家大会为40岁以下的数学家颁发菲尔兹奖，欧洲数学家大会为30岁（后改为32岁）以下的杰出青年才俊颁发数学奖。这项奖如此重要，以至于在它之后召开的国际数学家大会（1994年、1998年、2002年）都有一两位菲尔兹奖获得者事先得了这个奖。彼列尔曼在1996年就荣获这项殊荣。还有……还有就是俄罗斯的数学传统没有遭到苏联头面人物以及诸如李森科之流的破坏。官方的数学家如索伯列夫（Sobolev）、庞特里亚金（Pontrjagin）、维诺格拉陀夫（Vinogradov）等人到底是国际一流的数学家。彼列尔曼在思想上的前辈格罗莫夫（M. Gromov）是世界级的数学大师，我想他早晚就会得阿贝尔奖。彼列尔曼生活在俄国困难的转型时期，说明俄罗斯伟大传统后继有人！
许多人讨厌高维，特别是物理学家，但是他们不必厌恶3维流形的拓扑，因为毕竟我们所在的物理空间是3维的。当然，如果他们没有整体的拓扑观点，他们就会犯过去“天圆地方”的错误，也许我们可以称之为局部的经验主义。即使不关心物理空间的拓扑学，广义相对论中的数学问题也是很有意思的。在里奇流的方程中，出现了使爱因斯坦困惑的宇宙常数类似的东西。彼列尔曼在这些问题上可是进了一大步！
参考文献
Anderson, M. T. (2004). Geometrization of 3-manifolds via the Ricci flow. Notices Amer. Math. Soc. 51(2): 184—193.
Hamilton, R. S. (1982). Three-manifolds with Positive Ricci Curvature. J. Diff. Geom. 17: 255—306.
胡作玄 (1996). 拓扑学100年(1935年以前).《科学》. 48 (1): 45—48.
胡作玄 (1996). 拓扑学100年(1935年以后).《科学》. 48 (2): 41—44.
胡作玄 (1999).《20世纪数学思想》. 济南: 山东教育出版社.
Milnor, J. (2002) Towards the Poincaré Conjecture and the Classification of 3-manifolds. Notices Amer. Math. Soc. 50(10): 1226—1223.
Perelman, G (2002). The Entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv: math DG/0303109 vl, 11 Nov. 2002.
Perelman, G (2003). Ricci Flow with Surgery on Three-manifolds. arXiv: math. DG/0303109 vl, 10 Mar 2003.
Perelman, G. (2003). Finite Extinction Time for the Solutions to the Ricci Flow on Certain Three-manifolds. arXiv: math DG/0307245, 17 July 2003.
Thurston, W (1997). Three-Dimensional Geometry and Topology. Vol 1. Princeton: Princeton Univ. Press.
