费米系统，由于泡利不相容原理的限制，:波散射不可能在两个自旋相同的费米子之间产生，所以粒子间的相互作用一般比玻色系统弱得多，对系

费米系统，由于泡利不

相容原理的限制，:波散射不可能在两个自旋相

同的费米子之间产生，所以粒子间的相互作用一

般比玻色系统弱得多，对系统性质的影响较小

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第22卷增刊

2003年6月

山 东 科 技 大 学 学 报 ( 自然科学版) Vol.22 S up

Jounralo fS handongU niversityo fS ciencea ndT echnology( NaturalS cience) Jun. 20 03

文章编号:1672一3767(2003)Sup.一0008一03

非理想费米气体的低温性质

苏国珍，陈丽漩

(度 0 大 荤 物 理 学 系 福 建 度 1 7 3 61 00 5 )

摘 要 :根据质势法求出的非理想费米系统的能语，导出粗子间存在弱相互作用的费米气体的自由能、化

学势.压强、摘、内能和定容热容等物理量的解析表达式，探讨粒子间的相互作用对系统低温性质的影响。

关键词:费米气体;相互作用;

中图分类号:0 414.2:0 562.2

质VL

卿 文献标识码:A

Low一temperature Properties of an Imperfect Fermi Gas

SU Guo一zhen, CHEN Li一xuan

(D ept .of P hys .. Xia m m Un iet. ,X iam m ,F ul ian 3 6 10 05 ,C h in a)

Abstract: Based on the energy spectrum of an imperfect Fermi system deduced from the concept of "pseudopotentials",

a series of physical quantities, such as the free energy, chemical potential, pressure, entropy,

internal energy and heat capacity at constant volume, of a weakly interacting Fermi gas are derived

analytically. The influences of interaction on the low一temperature properties of the system are studied.

Key words:Fermi gas; interaction; pseudopotential

实 际 量 子气体粒子间都存在弱相互作用，这

种相互作用对系统的性质产生重要的影响。研究

非理想系统的性质大多采用数值计算的方

法[1-31。二十世纪五、六十年代，著名的美籍华

人物理学家黄克逊、杨振宁和李政道等首次将

1936年费米提出的“鹰势法”应用于研究弱相互

作用玻色气体，解析地求解了非理想玻色气体的

热力学性质〔卜’]。他们的研究成果对其后非理

想玻色气体的理论研究产生重要的影响〔s-161

然而，有关粒子间相互作用对费米气体性质的影

响，研究还相对较少。对于费米系统，由于泡利不

相容原理的限制，:波散射不可能在两个自旋相

同的费米子之间产生，所以粒子间的相互作用一

般比玻色系统弱得多，对系统性质的影响较小。

对于那些具有超精细能态结构的费米子系统，处

在同一:态的两个超精细能态上的费米子，由于

、波散射，将产生较强的相互作用。例如6L i原子

有6个超精细能态，原子间由于存在:波散射而

产生吸引相互作用，其:波散射长度a、一

2160.6[".121(其中。。为玻尔半径)。对于这类费

米系统，由:波散射产生的相互作用显然不能忽

略，从而研究系统性质时进一步考虑粒子相互作

用的影响是有必要的。

本 文 由 鹰势法求出的非理想费米系统能谱的

基础上，通过解析运算导出系统的自由能、化学

势，压强、嫡、内能和定容热容等热力学量的表达

式，研究给定比容条件下各物理量随温度的变化

规律，并讨论粒子间的相互作用对系统低温性质

的影响。

1 原理与计算

考 虑 一 限定在体积V中的N个自旋1/2,粒

子问存在弱相互作用的费米子组成的系统。通过

lf势的方法可导出系统的能谱为[131

:一:(二;+n，,;)72十4nat2N十、一(1)

p 一 ‘ Z rre nn v

式中 n声 (n-p)表示处于动量为P的量子态

且自旋向上(下)的粒子数，N十(N一)表示自旋向

上(下)的总粒子数，。为单粒子质量,V为系统

增刊苏国珍等:非理想费米气体的低温性质

体积，k=h/(2司,h为普朗克常量，a为粒子间

二体相互作用的、波散射长度，满足弱相互作用

条件

Ia {/ A< 1，{aI /v "+1 ( 2)

其 中 l= 丫2rA '/(,nkBT)(k。为玻尔兹曼常

数，T为温度)为热波长，，二VIN为比容。

根 据 式 (1)可得系统的配分函数

f52(ZO)。.、Zak'

-二一戒尸下1， 生、—

1321乙。)一my

(8)

式中:

fl(二)一1

1 k . 少

一t1一’dt三 a1

。r一1 e`+1

 

凰‘一‘，‘一‘=r

Q= 艺

I ^a.几 p

_ ， _ 、尸z

expI一(JL2lnp十np ),- 十

尸 ‘ ‘ 了 ， 乙

4tcat2

M V

N+

(9 )

为费米积分，ZoexpL! 1 o(N / 2)1为 N/2为个无相

互作用，自旋均向上(或向下)的费米子组成的

“虚构系统，，的逸度，满足[13]

N

N一〕}= 艺

 

exp一a[Fo(N')+F, (N- 一爵f32(ZO)

(10)

N'卜 43ncarV h2N N一N·)〕} (3)

式中 Q一1/(k.T),黝GD,np为对所有满足孙

(n声+nf,)=N的分布{。声,nr}的求和，Fo(E)

一(1/(3)l nMl e,Ie x p ( 一，笋聂)表示限定在体

积V中的e个无相互作用，自旋均向上(或向下)

的费米子组成的一个“虚构系统”的自由能llFpl

为对所有满足mt}p = e的分布{}P}求和。

由式 (3 )得系统的自由能

F一告I‘n气rv'1N-0。 exp，一，[Fo(N+，+Fo(N一N+，

从式(10)可以看出,Z。也等于由N个自旋1/2

(K=2)的费米子组成的理想费米系统的逸度。

根 据 式 (8)和(10)可求出系统的化学势、压

强、嫡、内能和定容热容分别为

k= k HTI nZo+

 

2s;atvA2

__kBTf 5n (Zo)

通J = — 二二-- 了下丁-干

v J an t乙01

 

+}mavA22

(11)

(12)

5=NkB

 

:5 f5n(Zo)-

‘2 fan(Zo)

InZo]

+44.1w .(N一N')。}

刀 , 丫

(4)

对 于 含 有大量粒子数的宏观系统，以上和式

的对数可用和式最大项的对数代替[131，即

F= P 凡 十) (5)

式 中 :

0( N十 )= Fo(N十)+Fo(N一N')+

U二F+TS 一晋NkBT韶韶十

Ny ak'

Cv一、。仁(),1245f47,-,(z,)一号f3l/2(ZO),

(13)

(14)

(15)

4na}N十(N一N')

n e v

N十 为 $ (N')有极大值时对应的N十。

创N+)有极大值，必须有:

(6)

为使

ag(N')一。o(N')一Po(N一N·)十4..vh2( N

 

aN 下“ ‘一饥v

一2 N + )= 0 ( 7)

式 中 /0 (s)为右个无相互作用，自旋均向上

(或向下)的费米子组成的“虚构系统”的化学势。

可以证明，在满足kFo a < a/2(其中kFo =

(3n'n)1/3为对应于费米能级的波数)的条件下，

方程(7)唯一的解为N十= N} = N/2}131。对于

弱相互作用系统，即{司n1/1+1，总有kFo a < 7/

2，系统的自由能可表示为:

F=2F,(N忍)+

7Cah2N2

nt V

 

=Nk,T【LnZ,

2 结果与讨论

(1 )以 上 结果表明，若只计及二体相互作用的

:波散射，弱相互作用使得费米系统的自由能、化

学势、压强和内能均发生变化，但不改变系统的嫡

与定容热容。粒子间的互作用仿佛使得每个粒子

本身浮在一均匀势的平台上，它所引起的自由能、

化学势、压强和内能的改变量与温度无关。对于

处在一定体积中通过刚球势发生相互作用的费米

子气体，这两者都不随温度而变化。相互作用只

是在各温度下统一地提高或降低系统的自由能、

化学势、压强和内能，它对悄与定容热容(分别为

自由能和内能对温度的导数)将不产生影响。

(2) 对 于 散射长度a> O的系统(如粒子间存

在弱排斥作用的电子气)，相互作用使得自由能、

化学势、压强和内能增大;而对的系统(如约束在

磁场中“Li原子〔121)，则使得这些量减小。在讨

论理想量子气体的内能时，发现，尽管粒子问并无

相互作用，但仍发现由于微观粒子全同性原理引

山东科技大学学报( 自然科学版) 第22卷

起的粒子统计关联所导致的附加内能。费米气体

的附加内能是正的，而玻色气体的附加内能是负

的。可以认为，粒子的统计关联使费米粒子之间

出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的

吸引作用[141。考虑有相互作用的费米系统。a

>0时粒子间存在的排斥互作用加强了费米子之

间的统计关联，从而使得系统的自由能、化学势、

压强和内能等热力学量增大;反之，若a<0对应

于粒子间的吸引作用，则削弱了这种效果，从而导

致这些量的减小。

(3) 当 系 统温度极低，使得ZO;1，应用Sommerfeld

引理可将费米积分f1(ZO)对大宗量Itizo

作渐近展开[131

以 上 各 表达式清楚地反映了粒子间相互作用

对各热力学量的影响。

参考文献:

[I IBayindir M, Tanatar B. Base一Einstein condensation in

at w。一dimensional,t rapped,i nteractingg as[ 7I .P hys.

Re v. A ,1 998,(58):3 1 34一31 37

[2JAdhikari S K. Numerical solution of the tw‘一dimensio

na lG ~ 一Pitaevskiie quation fort rappedi nteracting

ato ms[7].P hys.L ett.A ,2 000,( 265):9 1一96

[3]郑金城，严子渡，林仲金，等.谙振势阶中有弱相互作

用 的 玻 色爱因斯坦凝聚1〕计算物理，1997,(14):

69 0 一 692

[4] Huang K, Yang C N. Quantum一mechanical many -

ft(ZO)=思 杀[1·1(Z一1)誓俞·，(，

一‘，“一2)(‘一，)376,04不( In 1Z O)4+ ·:

bodyp orblem with hard一spherei nteraction[J ]

Rev.， 1956, 105 (3): 767一775.

Phys

根据式(8)和(10)一(16)可将低温极限下系统的

自由能、化学势、压强、嫡、内能和定容热容与温度

的关系，其结果分别为

F-3k·二。TFO[‘一 21z(T FO)2 ]+N豁(17)

。、。·二。[1-轰(云)2]·豁(18)

P,2-5华〔‘·爷(氖)2]·豁

S-誓NkB(氖)

U-号kBTFo[1· 爷 (式)21+N需(21)

CV-2N kB (T})

当 T - 0时，根据式(17)一(19)和(21)可得

系统的基态自由能、费米能、基态压强和基态内能

分