用笛卡尔坐标系，r=xi^+yj^+zk^，此时要求基矢量等于1个单位，这是最简单好用的模型。但是采取某个斜轴坐标系以后，这个事

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关于协变与逆变基矢量

白井黒子 血染图腾 311位粉丝	1楼
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2010-12-21 11:47 回复

 

lwx129 37位粉丝	2楼 数学有时候是相通的，比如，我们知道复数是一个在复平面上的二维向量，而两个复数相乘往往还是一个复数，只有当复数与其共轭复数相乘时，才得到一个实数。数学家自然会想到，一般的矢量代数中，怎样让一个矢量变成一个实数。由复数联想到，矢量乘以它的共轭矢量得到一个实数，这个共轭矢量应满足怎么样的形式？它应该就是一个逆变矢量。
2010-12-21 12:18 回复

 

白井黒子 血染图腾 311位粉丝	3楼 我去他个郭嘉...
2010-12-21 19:46 回复

 

白井黒子 血染图腾 311位粉丝	4楼 以后不给他画图了
2010-12-21 19:46 回复

 

guojiabd 81位粉丝

5楼 谢谢图腾给我画这个图。其实这些我有点知道，比如三个协变基矢和三个逆变基矢相互之间有某个垂直于另外两个的关系，这从它们之间的内积有的等于1，而有的等于0就可以知道。我比较模糊的是两点：1、内积等于1有什么几何上的直观含义？2、为何要引入协变和逆变这两种基矢？ 发哥几个月前有一个帖子貌似是开了一个头：http://tieba.baidu.com/f?z=855497776&ct=335544320&lm=0&sc=0&rn=30&tn=baiduPostBrowser&word=%C0%ED%C2%DB%CE%EF%C0%ED&pn=0，他用一个简单的问题起了一个这样的头，但最终还是没有彻底继续下去。我当时用他的方法推了一下二维情况中协变逆变基矢之间的变换关系，当时根据推导出的这个关系，得出了二维平面中对偶的协变逆变基矢之间的内积的结论。后来才知道在教材中是反过来，根据这个内积的方式来定义对偶的协变逆变基矢的。发哥其实早就阐述了这样的定义的来源是什么。只不过我还没把握住这个来源的作用是什么，为何要考虑这个来源？在后续的几何中有什么样的影响？我知道这样定义出来的协变和逆变，对张量的概念有直接的影响。

2010-12-22 09:00 回复

 

白井黒子 血染图腾 311位粉丝

6楼 1、首先用笛卡尔坐标系，r=xi^+yj^+zk^，此时要求基矢量等于1个单位，这是最简单好用的模型。但是采取某个斜轴坐标系以后，这个事情变了，基矢量的模不等于1了，也就是说这个基矢量不那么标准，通过这个坐标系可以表示矢量r。但如果想用它的对偶坐标系表示这个r，基矢量也是不标准的，在原先斜轴中的不标准的基矢量要怎样才能等效地移植到这个对偶坐标系中来呢？就要求e^ie_j=δ^i_j就可以了（如果你怀疑，试着证明它！）。而笛卡尔坐标系是个特例，自然有基矢量内积等于0或1，复合上述论述。