牛顿、欧几里德、开普勒和奥运会
abada张宏兵
牛顿的划时代著作《自然哲学的数学原理》，写作
风格与欧几里德《几何原本》一脉相承。在序篇里
提出运动三定律后，全书的第一篇直接是欧氏几何
的比例论的极限化发展，深化了微积分的思想（“无
穷小”分析）。从第一篇第二章开始，则逻辑地从开
普勒行星运动定律导出引力命题。其证明是非常简明
的，也有鲜明的欧几里德风格。作为铺垫，牛顿在叙
述完其三个运动定律后，得出推论I，如图：
然后，我们看第一篇第二章的命题2，这个命题实际上就说
明了：从开普勒第2定律，可导出行星必且只受到指
向太阳的引力的作用。
如图：
牛顿《原本》原图：
这个第二章的命题2，是命题1的逆命题。
命题的证明中，牛顿指明用了他在第一篇第一章中发
展的微积分命题（引理3推论IV）。
这两个命题，我们利用身体的运动就很容易体会。
我们使身体快速原地打转，匀角速度转动，如同凭
惯性转动。若想立即提高转速，只需将手臂立即收
拢；而若想立即降低转速，则需将手臂伸出。手臂
使手在水平方向伸缩, 无论伸出或收缩，粗略近似看
（作为定性似的考虑），手与身体的连线将在相等的
时间内扫过相等的面积。(严格说来因为行星对太阳有
反作用力，开普勒面积定律对行星也是近似的).
这里我们的身体仿佛是太阳，手、手臂好比是行星
，行星受到来自太阳的牵引力，这方面都有类似的
表现。
（更好的例子是：细绳一端系一物体绕一定支点做惯性旋转，
当拉短绳长时，旋转速度将增大，伸延绳长时，旋转速度将
减少---无论缩短或延长，旋转的绳将在相等的时间内扫过相等
的面积。）
