黎曼的演讲虽然“思想是模糊的”，“但却异常深刻”。演讲中黎曼提出流形概念并定义流形[3]如下：
“从一个界定方式通过一种确定的方式运动到另一界定方式，则我们所经过的点构成一个简单的广义流形。”
换成我们现在的语言则是：一个集合通过一种确定的方式运动到另一个集合，则集合所经过的点构成了一个流形。
例如：一个点（可看作零维流形）通过一种确定的方式运动到另一个点，则它的轨迹集合构成了一个一维流形（线段）；一个线段（一维流形）通过一种确定的方式运动到另一个线段，它的轨迹集合构成了一个二维流形（曲面）；“一个二维流形通过一种确定的方式运动到另一个完全不同的二维流形时，我们得到一个三维流形”；等等
刘建忠：论黎曼流形与外尔流形之区别（附评注）
默认分类 2011-02-05 15:19:35 阅读10 评论0 字号：大中小 订阅
建议题目改为“论黎曼的拓扑流形定义与外尔的拓扑流形定义之区别”，黎曼流形是一个专有的名词，是经过拓扑空间—>拓扑流形—>微分流形—>黎曼流形一系列强抽象而来的，而外尔流形不是一个专有名词，倒是有外尔几何这一名词。
摘要和引言写的比较罗嗦，参考文献是二手文献，其实黎曼和外尔讨论的是同样一个抽象概念拓扑流形，黎曼还讨论了附加的结构黎曼度量，20世纪初外尔给出的关于“拓扑流形是局部同胚于欧氏空间的豪斯多夫空间”这一定义显然比19世纪中期黎曼用函数论刻画的拓扑流形定义多了一些限制，所以按照外尔的也即今天的定义标准，黎曼定义的流形是一种介于拓扑空间和拓扑流形之间的结构数学对象，非光滑曲面符合黎曼的二维拓扑流形定义，但显然不符合[??出处在哪，能否证明]外尔的也即今天的二维拓扑流形定义。
[摘要]：外尔流形与黎曼流形是两个不同的流形概念。但在许多文献中没有将外尔流形与黎曼流形明确的区分开，而是往往将二者混淆，要么是将外尔流形定义内容当成是黎曼流形定义内容，要么是将外尔流形与黎曼流形混为一谈，要么是将外尔流形定义看成是对黎曼流形的“清晰的数学描述”，等等。针对各种错误观点，本文作了如下创新工作：
a). 本文从流形的定义、流形的数学思想、流形的数学方法三个角度论证了它们之间都存在着本质区别，明确的指出：黎曼流形与外尔流形是二种不同的流形定义、不同的数学思想、不同的数学方法。
b). 本文讨论了两种流形之间关系，指出外尔流形是从光滑曲面角度发展了黎曼流形。
[关键词]：黎曼流形；外尔流形；区别
1．引言
流形是现代数学中最主要的概念之一。自1854年黎曼(Riemann)首创提出流形概念后，外尔（Weyl）于1913年先后又给出了流形的定义，我们将这二次流形定义分别称为黎曼流形和外尔流形。
在许多文献中，或明或暗、或多或少地将外尔流形与黎曼流形混淆。要么是将外尔流形定义内容当成是黎曼流形定义内容[1]，要么是将外尔流形与黎曼流形混为一谈[2]，要么是将外尔流形定义看成是对黎曼流形的“清晰的数学描述”[6]，等等。
针对各种错误观点，本文从流形的定义、流形的数学思想、流形的数学方法三个角度论证了它们之间都存在着本质区别。指出，黎曼流形和外尔流形是两种不同的流形定义、不同的数学思想、不同的数学方法，外尔流形是从光滑曲面角度发展了黎曼流形思想。
2．黎曼流形定义
1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，按照高斯的要求，向全体教员作了一次《关于几何基础中的假设》的演讲[3][4]。
黎曼的演讲虽然“思想是模糊的”，“但却异常深刻”。演讲中黎曼提出流形概念并定义流形[3]如下：
“从一个界定方式通过一种确定的方式运动到另一界定方式，则我们所经过的点构成一个简单的广义流形。”
换成我们现在的语言则是：一个集合通过一种确定的方式运动到另一个集合，则集合所经过的点构成了一个流形。
例如：一个点（可看作零维流形）通过一种确定的方式运动到另一个点，则它的轨迹集合构成了一个一维流形（线段）；一个线段（一维流形）通过一种确定的方式运动到另一个线段，它的轨迹集合构成了一个二维流形（曲面）；“一个二维流形通过一种确定的方式运动到另一个完全不同的二维流形时，我们得到一个三维流形”；等等。
3．外尔流形定义
外尔于1913年在其著作《黎曼面的观念》中给出了基于2维的流形定义[1][12]。
外尔流形定义：
称F是个2维流形，若满足下列条件：
(1)给定一个称为“流形F上的点”的集合，对于流形F中的每一点p,F的特定的子集定义为F上点p的邻域。点p的每一邻域都包含点p，并且对于点p的任意两个邻域，都存在点p的一个邻域包含于点p的那两个邻域的每一个之内。如果U_0是点p_0的一个邻域，并且点p在U内，那么存在点p的一个邻域包含于U_0。如果p和p_0是流形F上的不同的两点，那么存在点p的一个邻域和p_0的一个邻域，使得这两个邻域不相交，也就是这两个邻域没有公共点。
(2)对于流形F中的每一给定点p_0的每一个邻域U_0，存在一个从U_0到欧氏平面内部的圆盘K_0(平面上具有直角坐标(笛卡儿坐标)x和y的单位圆盘x^2+y^2<1)的一一映射，满足下列条件：
a).点p_0对应于单位圆盘的中心；
b).如果p是邻域U_0的任意点，U是点p的邻域且仅由邻域U_0的点组成，那么U在圆盘K_0内的像包含了点p的像p′作为其内点，也就是说，存在一个以p′作为中心的圆盘K，使得圆盘K中的每一点都是U中的一个点的像；
c).如果K是包含于圆盘K_0中的一个圆盘，中心为p′，那么存在一个流形F上的点p的邻域U，它的像包含于K。
3.1外尔流形定义中的条件（1）就是满足豪斯多夫分离公理
外尔流形定义的条件(1)涉及分离公理中的豪斯多夫（Hausdoff）空间，我们引述如下[7][8]：
豪斯多夫分离公理（T_2分离公理）：
（拓扑）空间内任何两个不同的点都各有邻域互不相交。
豪斯多夫空间（T_2空间）：
满足T_2分离公理的空间叫T_2空间或豪斯多夫空间。
我们知道，所谓豪斯多夫空间是指满足T_2公理的拓扑空间，即任何两个不同点有不相交的邻域，或用外尔流形定义条件（1）的语言[12]：“p和p_0是流形F上的不同的两点，”“存在点p的一个邻域和p_0的一个邻域，使得这两个邻域不相交，也就是这两个邻域没有公共点。”
即外尔流形条件(1)就是满足豪斯多夫分离公理，是指F是一个豪斯多夫空间。
3.2外尔流形定义中的条件（2）是要求流形中的任意一点的一个邻域同胚于欧氏空间的一个开集
外尔流形定义中的条件（2）其含义如图1所示。
条件（2）实际上是要求T_2空间中的开集与欧氏空间R^n（R^n是T_4空间）中的开集同胚。即：任一豪斯多夫空间（T_2空间）中开集存在有欧氏空间（T_4空间）中开集与其同胚（见图1中F空间中的开集U和R空间中的开集K）。
即条件(2)实际上是指F中的任意一点的一个邻域同胚于欧氏空间的一个开集。
3.3外尔流形定义与现代的n维流形定义是一致的
现代的n维流形定义如下[14]:
现代的n维流形定义：设F是豪斯多夫空间，若F的每一点p都有一个开邻域U{<}F，使得U和n维欧氏空间R^n中的一个开子集是同胚的，则称F是一个n维拓扑流形，简称为n维流形。
外尔流形的条件（1）与上述定义中“设F是豪斯多夫空间”对应，条件（2）与上述定义中“若F的每一点p都有一个开邻域U{<}F，使得U和n维欧氏空间R^n中的一个开子集是同胚的”对应。
由此我们可以得出结论：外尔关于流形概念的定义与现代形式的流形概念的定义是一致的，不同之处仅是外尔的定义是基于2维情形。
4．黎曼流形与外尔流形的本质区别
下面我们分别从流形的定义、流形的数学思想、流形的数学方法三个角度讨论它们之间的区别。
4.1黎曼流形定义的重要特性是局部欧氏坐标系而黎曼流形定义无此要求
外尔流形定义与黎曼流形定义是有本质区别的。
在外尔流形定义中，要求流形上的任意一点的一个开邻域同胚于欧氏空间中的一个开集，而黎曼流形无此要求。
关于这一点，外尔还有进一步的描述[13]：对于流形上任意一点的邻域，“在无穷小情形下，按毕达哥拉斯定理，欧氏几何成立”。
中国大百科全书.数学卷[7]将外尔这一思想说的更加清楚：“在此(豪斯多夫仿紧)空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个（局部）坐标系间的坐标变换都是连续的。这里所说在一点邻近建立坐标系就是：存在这个点的一个邻域U 和一个同胚映射f:U→V，其中V是某个欧氏空间R^n中的开集。这样的f可看成U上n个函数，它们就给出U中点的坐标。”
许多文献都有类似的叙述，如[15]：“每个流形局部地可看作欧几里得空间，而其各个局部又以适当的方式‘粘接’起来。”再如[9]：“我们可以在微分流形上任意一点的无穷小邻域内建立‘直角’坐标系”。
文献[1]将上述外尔流形思想说成是黎曼流形思想，这是不对的。还有一些文献虽然没有象文献[1]那样直截了当，但都不同程度地表达了类似观点。
实际上，黎曼流形定义与外尔流形定义在这一点上是有本质区别的。黎曼流形定义没有在“无限小范围内”用欧氏坐标替代多重广义尺度的意思。
黎曼给出的流形定义是 ：“从一个界定方式[n个分量的点P_1(f(x_1),,f(x_n))，流形上的点P_1的坐标]通过一种确定的方式[n个n元函数y_i=f_i(x_i),Y=f(X)表示的点集就是黎曼定义的拓扑流形]运动到另一界定方式[n个分量的点P_2(f(x'_1),,f(x'_n))，流形上的点P_2的坐标]，则我们所经过的点构成一个简单的广义流形。” 在黎曼流形中，黎曼将[3]流形的每一个维度都“表成某个单个变量的函数”[y_i=f_i(x_i)]。既然是变量函数，则意味着它有两种可能：或是线性函数、或是非线性函数。而欧氏空间中每一个维度(坐标轴)是直线。
在黎曼流形中[3]，流形的n个维度函数相互之间可以是不垂直，函数值可以是非线性变化，即便是在“小到无法测量的情形”[3]也应该是这样。[?构造例子满足黎曼的拓扑流形定义而不满足外尔的拓扑流形定义]
而局部欧氏空间的n个维度是直线方程且相互之间垂直。这就要求外尔流形上任意一个开邻域如果要与局部欧氏空间同胚，则至少要在“小到无法测量的情形”[3]时外尔流形的n个维度函数要满足趋于直线方程、趋于相互垂直等条件。而这正是外尔流形与黎曼流形的本质区别点之一。
4.2黎曼流形、外尔流形是二种不同的数学思想
我们可以举一个简单的圆环面例子来区分二种流形思想（见图3）。
黎曼流形思想：
圆环面（二维流形，见图3中a）是通过一个圆周（一维流形，见图3的a中红圈）环绕一个点走一个圆周（见图3的a中红箭头）而生成的。
外尔流形思想：
圆环面（二维流形）上的每一点p都有一个开邻域（见图3的b中小红圈），每一开邻域都可看成是一补钉，互相重叠的补钉密集覆盖了圆环面，每一个补钉都是局部欧氏空间。这些补钉没有厚度，圆环面成为了互相重叠的补钉的集合（见图3中b），外尔流形上每一点都在补钉（局部欧氏空间）中。
4.3外尔流形是黎曼流形在光滑曲面上的发展
下面我们从数学方法角度来探讨两种流形的区别。
流形可以看成是曲面的推广。曲面分两类：光滑曲面和非光滑曲面。
所谓外尔流形上每一点的开集邻域同胚于局部欧氏空间，其几何意义是外尔流形上每一点都存在切平面，即该点是在光滑曲面上（见图4中a）。[拓扑流形强抽象为微分流形。在高维情形，存在不是微分流形的拓扑流形；？在低维情形，拓扑流形一定存在微分结构。]
外尔流形本身不一定是欧氏空间，切平面是欧氏空间，外尔流形（光滑曲面）上每一点的开邻域在邻域半径趋于零时，都存在可与其无限接近的局部欧氏空间——切平面。也只有光滑曲面才能在无穷小邻域内让（欧氏空间）切平面与（非欧氏空间）外尔流形——光滑曲面“吻合”
换句话说[11]，外尔流形中欧氏几何的几何关系只在充分小的区域内成立，但是并非精确的成立，而是区域越小，精确性越高。
而黎曼流形则不同。黎曼并没有利用局部欧氏坐标来覆盖流形的思想，黎曼流形定义能适应非光滑曲面。
例如，在图4的b、c中，p_0点邻域不是光滑曲面，在p_0点处没有切平面，显然p_0点不能适应外尔流形定义，但p_0点却适应黎曼流形定义，即：如图4的b、c中的下图，图4的b、c可分别看成是图中红色曲线沿着红色箭头确定的方向运动形成的二维曲面。也就是说p_0点邻域能满足[3]：“从一个界定方式（红色曲线段）通过一种确定的方式（红色箭头确定的方向）运动到另一界定方式（红色曲线段），则我们所经过的点构成一个简单的广义流形（二维曲面）。”
故图4中b、c是黎曼流形而不是外尔流形。
5．总结
综上所述，黎曼流形和外尔流形是两种不同的流形定义、不同的数学思想、不同的数学方法。黎曼流形定义适应光滑曲面和非光滑曲面，而外尔流形定义则只适应光滑曲面。二者相比，黎曼流形思想所概括的内容更加丰富，思想更加深刻。
面对一些文献在对外尔流形思想发扬光大的同时，却对黎曼流形思想重视不足，甚至将外尔流形思想当成是黎曼流形思想，让我们觉得有责任让黎曼流形思想得到它应有的地位。
