FT給出了倆個空間的對偶。但在物理上，與不確定性關係完全不同，只從量綱分析就可以看出來。具體到LZ的問題上，FT給出的是對偶空間

来源: marketreflections 于 2011-02-18 11:00:56 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (51370 bytes)

回答: 星空浩淼傅立叶变换相当于把坐标轴作90度旋转的变换，从位置空间变换到动量空间或反之由 marketreflections 于 2011-02-18 08:56:22

傅立叶变换的物理来源和量子力学的不确定关系似有很大关联。比如时域与时间频率域变换来源于时间-能量不确定关系。 FT数学工具形成后，人们发现给空间做FT得到空间频率域可以用到图像处理等领域中去。时间频率是本身的，无需人工变换，空间频率其实是“人造的”

这个顺序对不对啊？

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5月9号补充：

我称时间频率为“本身”，空间频率为“人造的”的原因是：
对时间频域的处理，以色散为例，我们直接加个色散元件就可以处理“时域波形”，时间频率（能量）是光的另一物理表象。
而对空间频域的处理，必须先经过透镜等元件，把空间分布人工变换到空间频域再做处理，想回到空域需再次变换。

不同表象间的变换，由对易关系可分两类看，对易的-数学上看就是存在一一对映的映射；不对易的-数学上看就是存在类似FT的变换。大家所提的三角或E指变换是特殊的一种数学形式，其他如勒让德多项式展开等不同基函数都可以归入此类。

FT数学形式人们“创造”的最早，但更早的是人们没有发现但已存在的“对易关系”。有了FT以后大家才玩的空间频率域图像处理等。

PS:今天母亲节，鼓励各位离家的朋友，给妈妈一个电话，鼓起勇气说爱她。在家的，要送花，你们会发现妈妈开心多日地。

2010-05-07 16:23:43 [已注销]

时域空间与频率空间变换的确可以与时间-能量不确定关系相关。来源？也许可以这样说吧。。。

频率？
FT可以把函数由时域空间变换到坐标空间，广义的FT可以不是周期函数吧。

对FT不熟，烦请楼主及各位指教下

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2010-05-07 16:59:06 捕风*sophy (不占有，不评价。)

我对FT变换的了解仅仅停留在时域和频域的变换上。
坐等大家解释
还有，拉普拉斯变换呢？从时域到复域，又有什么样的解释呢？

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2010-05-07 17:13:06 Aleph (逆熵而行)

什么叫做“本身的”，什么叫做“人造的”？

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2010-05-07 17:38:55 [已注销]

傅立叶变换的物理来源和量子力学的不确定关系似有很大关联

u got it...不确定性源于空间的转换...

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2010-05-07 18:07:06 霏霏星凉河边 (墙外行人，墙里佳人笑。)

前几天听一个南大的葛墨林讲，陶哲轩（应该是吧，没笔记没法考证了）有篇关于数据处理的文章里面有个点子，可以拿来考察量子里的不确定原理……
不知道有人知道详情不~

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2010-05-07 18:31:15 [已註銷]

好比日本某歌星曾經穿越到2010年剽竊了SB會會歌，Fourier也穿越到1930年代剽竊了QM，不同的是，日本某歌星使用的是哆拉A夢的時間機器，Fourier使用的則是Newton秘傳的時間機器。

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2010-05-07 21:19:37 [已注销]

Fourier发明他的变换的时候当然还没量力。但不同表象变换的确与不确定性似有很大关联。一直觉得FT很神奇。无欲能不能详细讲解一下。E大能讲下么

cw为什么不确定性源于空间转换？

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2010-05-07 21:27:27 [已註銷]

我就不信你沒學過Fourier變換。

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2010-05-07 21:33:08 [已注销]

因为你测量的x是在位形空间，动量是在动量空间测量的...本身是没有什么不确定但是你要的是在同一个空间看到两者那么就需要进行一个转化，这个转换就导致了所谓的不确定...如果我没记错的话...叫做什么傅里叶频带展宽定理吧...

其实这个和他当时有没有QM没关系吧...傅里叶的玩意是在频域和时域之间的...频域对应的就是能量...如果你加个常数...你明白的...他的时候没有的是哪个常数...

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2010-05-07 21:49:13 霏霏星凉河边 (墙外行人，墙里佳人笑。)

咦~137说的这个跟不对易那个说法有点关系啊~~要在一个表象下面测量（一个空间里看），由于两个可观测量不对易，所以就有uncertainty了~

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2010-05-07 22:35:20 [已注销]

我学过，没学会，不行吗？

只会算，但不明白为什么那样一积分就变到别的空间了啊？

话说当年学到Fourier的时候已经是学期末了，结果本该四节课讲完的东西老大一节课就讲完了，还说大家放心考试只出一道FT题。结果期末出了道FT计算大题，我还做错了。
这能怪我吗？

有没有人能讲下为什么FT变换是那样的啊？可以从周期函数讲起，延伸到非周期函数。谢谢了，泪流满面。。

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2010-05-07 22:41:10 Logogogo (Pig has Dreams)

空间频率其实是“人造的”
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我觉得这是的确是这样的，有了这个人造的空间频率之后，空间和动量就成为了一对共轭的动力学量。而在这其中有这么几个地方显得非常有趣：
1. 波函数的引入，复振幅赋予了相位这个概念前所未有的重视。
2. x*k==弧度值，恰好可以做相位，而且表征了波函数的空间周期信息。
3. 德布洛意的p=k关系，恰好又把x和p联系到了一起，而且是相乘的关系。
4. 我们恰好有了傅里叶变换关系，可以把两个有a*b关系的量变来变去。
5. 其好有了个什么傅里叶频带展宽定理，有了不确定关系。于是需要把动力学量算符化，以符合这种共轭量之间的不确定关系。

同样，求证，这种思路是不是对的……

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2010-05-07 22:49:13 Logogogo (Pig has Dreams)

还有，空间频率应该不是人造的……
波在时间上有周期现象，在空间上也有，一个波长一个波长的重复……

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2010-05-07 22:50:05 [已註銷]

FT給出了倆個空間的對偶。但在物理上，與不確定性關係完全不同，只從量綱分析就可以看出來。具體到LZ的問題上，FT給出的是對偶空間的量綱互為倒數，不確定性關係的量綱則是p和q。對於時間，其倒數恰好可以對應於能量，於是帶來某種錯覺，這裡t在不確定性關係中是廣義q，能量是廣義p。但換成廣義p和q，FT不可能從廣義q得到廣義p，也不可能從廣義p得到廣義q。

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2010-05-07 23:09:56 Aleph (逆熵而行)

这个和量纲无甚关系吧，量纲都是任意的。比如在几何化量纲里，动量和位置量纲都是长度1次方，能量和时间也都是长度1次方，当然这个例子比较极端了。

不确定关系也不是只有量子里面才有，经典电磁学里也有啊，只要是波动都如此（用上面的话说叫做傅立叶频展原理）。当我们把这个波矢和动量对应起来的时候，就有了海森堡不确定原理。

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2010-05-07 23:10:09 [已注销]

实际操作中我们从x空间变换到p空间做得还少吗？FT在数学上可以把任意两个量变来变去，当然有没有物理意义是另外一回事了
量纲加个h就行了吧

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2010-05-07 23:15:55 [已注销]

楼主的意思是不是，数据采集是时序的，而FT后的图形是成像在三维空间的？

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2010-05-07 23:19:07 [已注销]

没人理我，鄙人已经有些明白FT为何如此积分。谢谢各位

不过如果有人能说下对FT变换的个人理解，鄙人将不胜感激。再次感谢

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2010-05-08 00:33:43 Aleph (逆熵而行)

我的个人理解，就是线性叠加线性分解。波的叠加，傅立叶成像，概率的特征函数，傅立叶变换法解微分方程，表象变换，都可以这么理解。叠加和分解，相当于基的变换。基的变换，也就是视角的转换，横看成岭侧成峰。

A change in perspective is worth 80 IQ points. -- Alan Kay

我怎么这么能扯……

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2010-05-08 09:05:35 leeppp (罪人)

fourier变换出现的时候还没有量子力学呢。。。

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2010-05-08 19:38:36 Xiao_Sha (我到底在纠结什么)

NO。fourier只是数学。坐标动量表象的变换只是<x|p>~exp[i/hba(p*x)]
不确定关系和fourier没什么关系吧。

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2010-05-08 20:29:19 Logogogo (Pig has Dreams)

不确定关系可以用傅里叶频带展宽定理加以数学上形象的说明……

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2010-05-10 10:34:22 [已注销]

2010-05-08 00:33:43 Aleph (Dyslexia, Amnesia, Dementia.)
我的个人理解，就是线性叠加线性分解。波的叠加，傅立叶成像，概率的特征函数，傅立叶变换法解微分方程，表象变换，都可以这么理解。叠加和分解，相当于基的变换。基的变换，也就是视角的转换，横看成岭侧成峰。
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+1
一个函数的傅里叶函数其实就是另一组基下分解的系数

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2010-05-10 20:49:30 [已注销]

我想也许是这样的：
Fourier Transform最初的想法是看某个波形含有多少不同频率的正弦/余弦波，傅里叶变换出来的函数是分解后某一正弦波成分的展开系数。对于广义的傅里叶变换，本质也是一样的，比如从位形空间变到动量空间的FT函数ψ(p)其实就是ψ(r)中动量p的含量。而这种变换只有对波才是有意义的，对于非波动性的物质是不能做FT变换的。所以楼主说的“傅立叶变换的物理来源和量子力学的不确定关系似有很大关联”是对的，它们都来源于物质的波动性。但“时域与频域变换来源于时间-能量不确定关系”的说法欠妥，它们应该是平行的关系。E-t不确定性来源于波动性，而FT描述波的分解，所以行为上表现得很像。

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2010-05-10 20:58:33 [已注销]

楼主，我觉得你的补充材料有些措辞还是令人费解。
不很懂图形处理的原理，能不能稍稍解释一下。另外我还是觉得时间频率和空间频率没本质区别。

突然想不明白在物理上两个量为什么会对易？

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2010-05-10 22:05:06 Logogogo (Pig has Dreams)

突然想不明白在物理上两个量为什么会对易？
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物理上的两个量可以对易，说明两个物理量可以“同时”被确定。（同时不是同时性的意思，是“一并”的意思）算符作用在态上面，相当于一次测量，于是交换顺序的测量不改变测量结果，就说明某个态是他们的共同本征态，于是进一步说明它们有共同本征态……我只能把自己的想法表达成这样了……

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2010-05-10 22:39:55 [已注销]

Logogogo表述得很清晰，但我的意思是，对于波来说，可对易的量是什么意思？对一个量的扰动不会影响另一个量的频谱？他们的傅里叶变换有什么特别？

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2010-05-10 22:46:03 Logogogo (Pig has Dreams)

可对易的物理量是共用一组完备的基的，真的不知道该怎么表达出来。
比如说delta（x-x0）*delta（y-y0）就是互易的x，y的本征波函数，那个波函数啥意思，我也说不清楚……

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2010-05-10 22:59:25 [已注销]

嗯，对，用一组基，无需傅里叶变换！搞忘记了，多谢Logogogo

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2010-05-10 23:04:44 [已註銷]

p和q的對易關係在經典力學中已有，H力學中可視為作為力學公理的動力學方程H方程的推論，只不過這個對易關係與QM中不同，且不獨立於動力學方程。
但在QM中，不需要動力學方程就已有兩者的對易關係，僅是態疊加、測量、波函數三條公理的推論。我在另一帖中說過，態疊加的線性，其實是一個要點。若態疊加是非線性的，在給出動力學方程之前，自然而然就不存在p和q的對易關係。早期QM的爭論焦點，集中在測量和波函數這兩條公理，如今該倆者的反對者日稀，焦點已逐步轉向態疊加的線性。測量和波函數公理，看上去都很自然，其實並不很需要進一步的還原論解釋，但態疊加的線性，無論如何都很突兀。為什麼這個宇宙的態疊加是線性的？

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2010-05-10 23:07:03 [已注销]

δ(x-x0)δ(y-y0)是在坐标表象里x、y坐标的算符表示，或者在x和y方向分别有确定的坐标x0和y0。确定两个方向的坐标值在r空间讨论即可，不涉及表象变换~~~

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2010-05-10 23:15:32 [已注销]

我为什么觉得线性叠加很自然。。。
经典波就是线性叠加。。。

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2010-05-10 23:37:00 [已註銷]

經典波理論本就不是還原論的，QM基礎研究則是追求還原論解釋。

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2010-05-10 23:44:37 Logogogo (Pig has Dreams)

看不懂哲学术语的人表示，无欲的帖子让我浑身倍感压力……
接着学习……

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2010-05-10 23:47:14 obie (I AM BLESSED)

好深奥的帖子，非物理系人士表示压力很大！赞物理组！

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2010-05-11 00:20:52 [已注销]

物理系人士表示不知所云。

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2010-05-11 00:31:48 Aleph (逆熵而行)

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看不懂哲学术语的人表示，无欲的帖子让我浑身倍感压力……
接着学习……
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光学习不行，要用浑身的辐射抗掉压力

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2010-05-11 20:54:49 [已注销]

2010-05-10 23:37:00 無慾
經典波理論本就不是還原論的，QM基礎研究則是追求還原論解釋。
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壓力很大

不要歪楼。楼主要求证的是FT变换，FT变换用的是线性叠加，如果世界是非线性的，FT就不能用了。目前至少在人类可观测范围内线性叠加是正确的。

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2010-05-11 20:59:17 [已注销]

2010-05-11 00:20:52 善龍 (只爱陌生人)
物理系人士表示不知所云。
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不会啊，介个帖子只要学过FT和初量即可看懂。阁下好好看看然后发表下宝贵意见。不要管无欲的那个哲学帖

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2010-05-11 21:00:47 [已注销]

世界是线性叠加的？仅仅是低阶近似/微扰下而已吧...
不论是QFT的圈图还是COS的非高斯型...本质上你算到高阶了也就没有线性了何谈线性叠加？
...
只不过如果考虑底空间是个线性空间然后再加入一阶一阶的微扰...所以不论怎么说近似来讲是线性的...

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2010-05-11 21:12:39 [已注销]

好吧QFT鄙人没学过，我刚才说的话需要考证。不过目前我所知的高阶微扰均为哈密顿的高阶项，量子态仍是线性叠加的。再微扰，无非计算的基变了，哈密顿对角化后的形状变了，态仍是线性叠加的。。。

量子态非线性叠加是什么样？

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2010-05-11 21:23:54 Aleph (逆熵而行)

线性叠加是植根于代数中的。人就是个代数动物，没办法。

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2010-05-11 21:29:41 [已注销]

cw：没看懂
叠加系数本来就是随时间变化的

Aleph：这个说法听起来比较不错，虽然目前不能完全理解

我没说过我相信世界是线性的，我只是希望他是线性的。上次看到一本巨厚的非线性量子力学，没敢借

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2010-05-11 21:36:08 Aleph (逆熵而行)

@Lynne
我最近在看代数，所以可能会喷出一些伪代数的鬼话，莫怪，望见谅。^^

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2010-05-11 21:37:18 [已注销]

先任个错...我说错了...
lss半正解...不是线性叠加是植根于代数中而是代数的根源是线性（空间吧...）
不过实际上为啥量子力学需要线性性呢？实际上是先有线性空间再有代数和内积空间的...
而本质上hillbert空间就是内积空间的一种——平方可积空间...当然如果我的记忆没错的话实际上QM的态空间也不过是hillbert空间的子空间...

是这样的，我解释清楚点的话：什么事内积呢？什么又是代数呢...
在线性空间上定义乘法（得到矢量）得到的就是代数...
在代数空间上定义内积（得到数）得到的就是内积空间...

这个也就应该是根源上的为什么QM的态是线性的...

所以我想...如果那个最原始的线性空间推广到非线性的的话...也许可以构造出非线性的态叠加？

> 删除
2010-05-11 21:48:13 Aleph (逆熵而行)

代数的根源不是线性，是记数和数数。拿石头记数，拿绳子量长度，就有数的加法、乘法什么的。然后我们都不纯洁了（和無慾的头像无关），就有了环、模、向量空间这些玩意儿，继承了我们还在数数的时候就会的东西。然后我们反过来指责这个世界是很多东西线性叠加构成的。

> 删除
2010-05-11 21:50:55 [已注销]

数数可是数不出来代数理论的呵呵~
当然线性叠加是一回事世界是不是线性的是另外一回事...
只是不可否认人类最早的认识是——线性的所以认为是线性叠加的...但是真的是么？
i don't think so...

> 删除
2010-05-11 22:00:58 Aleph (逆熵而行)

我发现我歪楼了

> 删除
2010-05-11 22:09:38 [已注销]

I think so...
But I'm not sure...

> 删除
2010-05-11 22:38:24 寻峰 (可遇而不可求)

我只能说，数学家太牛逼了，坐在屋子里瞎琢磨一个理论，就能用在实际上。

> 删除
2010-05-12 00:29:52 [已註銷]

137說的非線性，是系統或模型的非線性，態疊加的線性則是理論本身的線性，兩者是相容的。

> 删除
2010-05-12 18:46:51 Everett

因为量子力学只是有效理论，所以它是线性的……

不要拍我……

> 删除
2010-05-12 18:49:02 [已注销]

um...我解释了我说的非线性指的是“物理世界”量子态空间是另外一回事...
哈哈赞ls...不过这个有效理论的紫外截断何在

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2010-05-12 21:35:20 [已注销]

紫外截断就靠你们高能物理发现新现象了

> 删除
2010-05-12 22:07:20 Everett

我当然相信LHC还远远没有达到量子力学的紫外截断。
我不知道一个“非线性”的量子力学会给我们带来什么效应？

> 删除
2010-05-12 22:12:19 [已注销]

O(∩_∩)O哈哈~我也想知道

> 删除
2010-05-12 23:48:41 [已註銷]

不確定性關係，量子態不可克隆，Bell不等式，都依賴於態疊加的線性。
這裡的關鍵不是態疊加非線性的邏輯推論，而是態疊加之線性的深層次原因，也就是，宇宙誕生時為何選擇了線性的態疊加。

> 删除
2010-05-12 23:54:59 默然以后 (You`re my destiny,仙女)

你们挺牛逼的都

不过有时候工具学的越深越会出现形式化的错误