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但是第一缕曙光往往是在最黑暗的时候出现的，看到这个曙光的人也是那些没有失掉信心
和兴趣的人。我们下一章开始讲与弦论第二次革命有关的，却是完成于第二次革命之前的工作。
第七章 先声
(第一节)
本想用“二次革命的先声”作为本章标题，但这样一来太象过去写国民革命的早期的文章
了，故简单地用先声，以期不落俗套。
超弦第二次革命其来也突然，使得很多人一时摸不着头脑，比如像我这样一直没有离开弦
论的人，也花了近半年时间来吸收。当时在国内的人，似乎还没有人意识到在美国、欧洲和印
度发生了什么。我在97 年回国访问，很多人还对所谓超弦革命持怀疑态度。感谢当时理论所
的所长苏肇冰先生，是他的诚意使得我的那次回国成为可能。其实早在96 年夏，苏先生就托
他过去的学生让我写一个短文介绍对偶的发展，目的是用在他当时向上面要钱的文章里。作为
一直关心场论发展的一个凝聚态物理专家，这样的态度与国内的一些场论专家形成明显的对
照。我写这一段，用意有二，一是不能忘记苏先生的作用，二是提醒大家前事不忘，后事之师：
虽然弦论在中国已有一定的影响，可是我们过去是怎样对待它的。
超弦的第二次革命之所以让许多人不知所措，主要原因是它的背景深藏于过去之中，要完
全接纳需要一定的时间。这些背景包括我们前面已经介绍了的超对称、超引力、K-K 理论，还
有没有介绍的孤立子理论，以及相当多的有效量子场论。再有就是革命发生前的一些重要却没
有引起足够注意的发展，如所谓的T-对偶、卡-丘流形的镜像对称性，当然最后不能忘记更早
的关于S-对偶的猜测，以及森等人的较为近来的工作。所以在进入二次革命的正题前，应先介
绍一下这些背景。
但在介绍这些背景之前，觉得想说点关于中国研究超弦的话，说到哪儿是哪儿。为什么到
现在才提这个话题？或者有人问，为什么要讲这个？主要原因是，最近一些搞物理和数学的以
丘成桐先生为首，在杭州和北京搞了两个超弦的短会，请来了一些弦论界的重要人物，如威顿、
格罗斯、施特劳明格等人，再加上历来的理论物理的“形像大使”霍金，对学生和新闻界影响
不小，使得弦论从几乎无人注意(当然除了本坛上一些活跃的人和读者以及历年参加国内弦论
会议的人)一下子变成公众议论的话题。我记得有一次打的，司机在得知我是搞理论物理的时
候问我，模世界和我们的宇宙有没有关系？既然弦论在中国已成为公众的话题，谈一下弦论在
中国的历史应当是一个对大家有益的事。尤其对一些已经选弦论作为研究方向，以及希望进入
弦论的学生来说，这个话题是有用的。我已写了二十一节，贡献一节给中国，当然中国对弦论
的贡献远远不到二十分之一。
弦论的祖先之一，散射矩阵理论，在中国的历史和在世界的历史是一样长的。张宗燧先生
的两卷本著作含有比较详细的中国人对散射矩阵理论的贡献的文献，其中值得一提的是戴元本
先生的工作。可惜的是，虽然弦论起源于散射矩阵理论，由於当时中国正处於文革，中国人在
早期对弦论并无贡献。中国人开始注意弦论，是在弦论的第一次革命中。记得我第一次听说弦
论，是因为看到了威顿等人关于卡-丘紧化的文章。
我个人比较幸运，在弦论的第一次革命后，有机会去意大利的国际理论物理中心，接触到
当时的预印本，见到很多当时活跃的人包括威顿。从而早在85 年就开始写关于弦论的不重要
的文章了。在国内，除了理论所外，还有科学院研究生院、浙江大学、复旦大学的一些人开始
注意弦论，当然西北的侯伯宇等人也把注意力从反常转移到弦论。
作为作者，总是喜欢先谈自己以及与自己有关的人，这里也不例外。当时的情况是，科大
的一些人，如方先生和他的学生，开始重视弦论。方集中精力研究他的天体物理，所以将研究
弦论的事情交给他的学生，我是他的学生，高洪波也是他的学生，比我晚些。高怡泓是方的半
个学生，所以如果这几个人还算对中国的弦论做了一点事情的话，方先生是间接地做了贡献。
方指导学生做学问的办法是放羊，有草吃没草吃全看学生自己的能力，我是很喜欢这种方法的。
当然，由於方本人不是弦论专家，不能直接告诉我们弦论中哪些是重要问题，这可能会延缓学
生的成长，但却是培养了学生的独立能力。对於他能直接指导的学生来说，成效就完全不同了。
尽管如此，我和高怡泓还是坚持了下来。相反，有一些专门研究场论和弦论老师的学生，却大
部分离开弦论甚至理论物理了。
听说有人有科大“三剑客”的说法，感谢这些人对我们的谬奖。这“三剑客”，当年在科
大的确是很“哥们”的，有酒一起喝，有文一同看。高洪波兄由於个人的事情在数年前离开弦
论。但他还一直注意弦论的发展，也是我们这个坛子的常客。他的物理背景在他现在的工作中
起了很大作用，他现在在加拿大已经是一个很成功的金融界人士了。只剩下我和高怡泓这两柄
秃剑还在慢慢地挥舞。其实科大当时还有一个非常独立的人，不但独立於老师，也独立於“三
剑客”，这人就是后来很有成就的卢建新。所以说，论对中国弦论界的贡献，科大为第一(仅
卢一人就可以了)。
再谈理论物理所，前面我提到苏先生，他不研究弦论，但对场论和弦论的重视超过很多场
论专家。理论所在一次革命后研究弦论的主要是老师，值得一提的是朱重远老师，他是一直支
持研究弦论的。有意思的是，理论所出来的唯一长期研究弦论的学生，也是他的学生，就是熊
传胜。熊有重要的工作，他和江口(Eguchi)的关于拓扑弦的工作在数学界有很大影响。可惜由
於我们还不知道的原因，他也离开了物理。
浙江大学的汪容老师带了很多研究弦论的学生，包括虞跃先生。虞跃虽然后来离开弦论，
他的研究弦论的经历相信对他在凝聚态物理中的研究是有很大帮助的。
复旦大学倪光炯的学生陈伟，也是早期研究弦论的有数的人之一。他也离开弦论了，但在
干也许比研究弦论更有用的事：和朋友一同主持在新泽西州的一家英文科学出版社。蒙他的鼎
力相助，我和吴咏时先生合作编缉的一本物理中的非交换几何已经出版(大家快掏银子买书，
支持他的出版事业--银子不会到我这里)。
西北大学带出了许多学生，如陈一新等人。西北大学至今还是国内研究超弦的基地之一。
北京的研究生院出了朱传界一人，也是异数。
再往后，弦论在中国越来越不受重视，就很少出人了。我知道的，也就是理论所吴可老师
的学生陈斌。而现在理论所的研究员喻明也是从国外回来的。从上面的超弦在中国的简史可以
看出，弦论在中国是亟需加强的。不但要寄希望于国家的更多投入，更寄希望于后来的学生。
(我很可能遗漏了很多，请大家补充)
(第二节)
上一节谈弦论在中国，其实有点离题。没有想到，离题的话居然更有市场，那一节看的人
大概是最多的了。这一节把话题收回来，谈谈超弦第二次革命前的一些背景知识。
最重要的，莫过於孤立子这个概念。在很大程度上，弦论实现了爱因斯坦在研究统一场论
时的一个设想：在他的一个理想中，存在一个完美的引力理论，所有物质粒子在这个理论中都
是场方程的解。自1994 年以来，孤立子在弦论中占有中心地位。几乎所有的物体，包括弦本
身，都可以看作是孤立子。
孤立子的经验发现虽然很早，可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一个孤
立波，但在物理中很晚才作为理论和实验的对象。水波的第一个孤立波的解的发现也是迟至上
世纪六十年代由克鲁斯卡尔(Kruskal) 等人作出的。孤立波或孤立子从那以后就几乎成了一个
独立学科。在很多情况下，孤立子的解看起来很难找到，但在一些简单的模型里可以用简单的
办法找到。
一个线性波动方程的解总是有能量弥散，开始时准备的一个能量很集中的波包经过一段时
间很就逐渐地扩散开来。所以要有一个或很多孤子解，波动方程就必须是非线性的。最简单的
是两维时空中的一个标量场论，其中相互作用的势能是场的四次多项式，有两个极小点。每个
极小点代表一种真空，能找到一个静态解，其在两个无限远处的取值是这两个极小点。因为是
连接两个真空点的解，这样的解叫纽结解(kink)。这个最简单的孤子是稳定的，因为它要是能
衰变的话，两个无限远点的真空必须变成同一个真空，这是做不到的。还存在反纽结解，它的
两个端点的真空与纽结解的完全相反。这样一个纽结解和一个反纽结解可以放在一起，因为纽
结解的右边的真空与反纽结解左边的真空是一样的。这个系统是不稳定的，因为两边的真空是
一样的了，这个不稳定性其实就是正反纽结的湮灭。
当时空的维数超过3 时，有一个定理说，如果只存在标量场，就没有孤子解。通常，经典
场的能量可以分为两部分，一部分与场在空间上的变化率有关，另一部分与场的势能有关。空
间变化率越大，场的能量就越大，所以这一项使得场倾向于在空间上变得更均匀，从而能量比
较分散。而势能项使得场变得很集中，在大部分的空间中场处於极小点。这两项有竞争的趋势，
可以平衡时，就可能存在孤子解。在高维的时空中，势能项取得优势，从而不存在孤子解。
在三维时空中，解决这个问题的办法是在标量场以外再引入规范场。规范场的存在可以减
小标量场空间变化对能量的贡献，从而这一项与势能项可能取得平衡，规范场本身对能量的贡
献也可以是有限的。最简单的孤子解是所谓的涡旋解(vortex)，这个解的特点是一个复标量场
的取向与所在的空间点相对於原点的取向一致。这个解推广到三维空间中是一个弦状的解，因
为这个解不依赖于第三维，从而能量集中在平行于第三维的一个轴上。这就是有名的尼尔逊-
奥尔逊涡旋解(Nielsen-Olesen)。
两维时空中的纽结解和三维时空中的涡旋解同属於一类，叫拓扑孤子解，因为这两种解中
有一个守恒荷，与拓扑有关。在前者，拓扑荷就是两个孤立的真空之差，是一个固定的数。在
后者，荷与所谓的绕数有关，也就是，绕原点一周，复标量场也在场空间上绕原点一周。如果
表量场绕原点不止一周，拓扑荷就更大。
在涡旋解的情况下，我们又说该解饱和波戈茅力(Bogomol'nyi) 下限。在这个简单的电磁
理论中，人们可以推出一个能量的下限，当所有的场都满足一些一阶微分方程时，这个下限被
饱和。所以从经典的观点来说，这个解是绝对稳定的。
当时空的维数高于三维时，我们就得引进非阿贝尔规范理论，去得到孤子解。最简单的例
子是一个四维时空中的SU(2)规范理论，加上一个在这个群下的自伴随表示的标量场。这个标
量场有三个份量，数目正好与空间维数相同(与纽结解和涡旋解的情形一样)。这时，我们也引
进一个势能项，使得极小点组成一个两维的面。现在构造一个解，其中标量场在场空间中的取
向与空间点相对於原点的取向一致。标量场在无限远处在极小点上取值，所以标量场把无限远
的两维球面映射到标量场的极小两维球面。这也是一个绕数为一的解，所以也是一个拓扑解。
由於关于纯标量场的定理，我们需要一个不为零的规范场。由於在无限远处非阿贝尔对称破缺
成普通的阿贝尔对称，这个一个磁单极解，带一个没有破缺的规范场的磁荷。这个解为玻利雅
可夫与特霍夫特同时在1975 年发现。由於标量场的方向与空间方向一致，长得象一个刺猥，
所以那时又叫刺猥解(hedgehog)。请注意，纽结解、涡旋解和刺猥解这三个名称都与解的形状
有关。我建议大家记住这些名称，因为这些名称包含解的大致性质。这些解都满足波戈茅力的
极限，所以这些解统称为BPS 解， BPS 来自于三个人的名字( Bogomol'nyi,Parasad,
Sommerfeld)。它们都满足一些一阶微分方程，这些方程又叫BPS 方程。
假定时空的维数更高，能不能找到新的孤子解？答案是肯定的。在场论中，下一个例子是
五维时空。这里，我们仅仅应用一下四维时空中得到的解，这个解是玻利雅可夫于1975 年发
现的瞬子解(instanton)。为何叫瞬子解？因为这个解是四维欧氏空间中的解，在场论中类似
于量子力学中的隧道穿透解，不是一个实际发生的过程，而是一个量子效应。这个解仅仅需要
非阿贝尔规范场，并不需要标量场了。在五维时空中，一个静态解不依赖于时间，实际上是一
个四维欧氏空间中的解，所以瞬子解正好应用到这里，变成一个孤子解了。瞬子解也是一个BPS
解。
我们提到的孤子解都有一个重要的特点，就是所有不为零的场在空间所有的点上都是光滑
的，没有奇异性。如果放弃这个要求，那么即使在一个线性的理论中也可以找到能量集中在一
个小区域的解，例如原来的点状电子为电磁场提供一个点状的源。这样的解不能叫做孤子解，
因为如果象量子电动力学中本来就有电子，这个解不能代表一个独立的自由度。如果没有电子，
这个解就毫无意义了。
我不知道在纯粹的场论中，高于五维时空是否存在孤子解。可能不存在。
如果有引力介入，情况就完全不同了。我们可以说，黑洞就是一个孤子解。黑洞解虽然有
一个奇点，这个奇点与电子解的奇点完全不同。有两个不同之处：第一，黑洞的奇点不是存在
於空间中的某个点，不是在所有时间上都存在的，用行话说，不是一个类时点，而是一个类空
点，突然出现在某个时间上，有点象大爆炸宇宙的开始时的奇点；第二，黑洞的奇点被一个视
界面藏起来了，站在黑洞之外的人看不到这个奇点。爱因斯坦理论是非线性的，所以这个类似
孤子解的黑洞的存在很容易理解。
所有的高维的爱因斯坦理论中都存在黑洞解，所以我们可以说，与通常的场论不同，引力
理论中总存在孤子解，无论时空维数有多高。也许两维时空和三维时空是特例。两维时空中，
度规本身没有任何自由度，从某种角度来说，自由度甚至是负的。为了引入黑洞，就必须引入
一个标量场，如伸缩场。引进这个标量场后，自由度的个数为零，即便如此，黑洞解就存在了。
在三维时空中，纯引力理论的自由度也为零，如果有一个负的宇宙学常数，黑洞解也存在。
当在一个理论中找到孤子后，接下来有一个量子化的问题，必须考虑所有场的量子涨落对
孤子解能量的贡献。计算这些贡献要将一个场以在孤子解附近的模来展开。对於玻色场来说，
可能存在零模，也就是对能量没有贡献的模。最简单的是对应于孤子位置平移的模，这些模又
叫模参数(modui p arameters)，因为它们是描述孤子自由度的参数。如果存在费米场，费米
场的零模也有重要的物理含义。这些零模通常是局域的，在空间上的积分是有限的。费米场的
零模，作为一个算子，作用在原来的孤子解上的时候，产生一个新的能量与原来一样的态，这
个态是费米子。在特殊情况下，如在纽结解情形，费米数甚至是1/2。
当存在超对称时，一个孤子解通常有几个伴随的态。如果这个孤子解不破坏一些超对称，
能量可能没有量子修正，特别是在这个孤子是一个BPS 解的情况下。BPS 解的能量满足下限，
而这个下限恰恰与一个拓扑荷有关，明显没有量子修正。当BPS 解同时又不破坏一些超对称的
时候，这个下限是超对称代数的一个结论。超对称代数没有量子修正，拓扑荷也没有量子修正，
所以孤子解的能量没有量子修正。
可能N 等於4 的四维超对称规范理论最为有名，因为这里的孤子解是一个磁单极，有一半
的超对称没有破缺，所以其质量没有量子修正。同时，考虑到费米场的零模后，所有的解形成
一个超对称多重态，而且与原来的规范场超对称多重态的表示完全一样。这个特点，是该理论
可能存在强弱对偶的一个重要暗示，因为如果用磁单极作为基本变量，我们还是得到一个超对
称规范场论，且耦合常数是原来耦合常数的倒数。
以上谈到的所有孤子解在弦论中都有重要应用。弦论由於含有引力，所以也有不同于以上
孤子解的新解。这些解在超弦第二次革命中起到关键的作用。
(第三节)
这一节谈谈弦论中所有对偶的最简单的一种，T 对偶。这个对偶的发现比较晚，虽然人们
可能要问为什么不会更早一点。T 对偶又叫“靶空间”对偶(target space duality)，这里的
“靶空间”就是一般的空间，叫成靶，是因为弦的世界面被嵌入这个靶空间。顾名思义，这种
对偶是不同空间之间的对偶。
T 对偶是两个日本人于1984 年发现的，其中之一就是我们过去提到过的吉川圭二(K.
Kikkawa,有趣的是，如果你用google 查这个名字，可以找到我先前提到他的那一节）。84 年
弦论刚复活，没有什么人注意到这个工作，后来大家又忙于第一次革命带来的一些时髦的问题，
更没有人注意到这个工作了。最早注意到他们的工作的也是两个日本人，酒井和千田(N. Sakai,
I. Senda)，他们的文章是第一个引用84 年的那篇文章的，这是在两年之后。很有意思的是，
吉川和山崎当初写那篇文章的目的不是为了解释T 对偶，而是想通过对紧化后的卡斯米尔能量
的研究来使得紧化稳定。T 对偶不过是他们的意外收获，就是两年后的酒井和千田的文章，也
是想研究环面上的紧致化的真空能量。真正重视T 对偶是1990 年前后。这个事例又一次说明，
很多重要的工作仅仅凭当时人的反映是不够的，有时是错误的。
当空间有一维紧化成圆时，如果没有超对称，一个量子场论会有卡斯米尔效应，同样，一
个弦论也有卡斯米尔效应。要研究这个效应，就必须计算在这个紧化下弦的谱。弦在没有紧化
下的谱很早就为人所熟知，分成质心运动部分和振动部分。同样，当弦在一个圆上运动时，也
分成这两部分，其中振动部分与没有紧化时并无不同。质心部分就很不同了，这时，弦在圆这
个维度方向上的动量不再是任意和连续的，而必须象一个粒子一样，要量子化，这和最早的玻
尔量子化条件并无不同。基本的量子化单位就是一个普朗克常数乘上圆半径的倒数，所以半径
越小，动量的间隙越大。如果我们研究的对象是开弦，故事到此结束。如果是闭弦的话，除了
质心运动和振动之外，弦还可以绕在圆上。开弦当然也可以绕在圆上，但由于开弦的两端是自
由的，缠绕的方式在运动过程中会改变，从而没有一个守恒量与之对应。闭弦的绕数是守恒的，
所以绕数是一个好的量子数，必须出现在单个弦的谱中。不但如此，在弦的相互作用过程中，
弦的总绕数是守恒的，这个很容易通过想象弦的断开和连接来验证。这样，当我们考虑紧化空
间是一个圆时，单个弦的谱中就多了两个分立的量子数，一个对应于量子化的动量，一个对应
于弦的缠绕数。绕数对能量的贡献与圆的半径成正比。
从弦的谱来看，对两个量子数的依赖完全相同，只不过是系数不同而已。如果我们用一个
新的圆代替老的，让新的圆的半径是旧半径的倒数（以弦的长度标度作单位），那么在这个新
的圆上所得到的谱和老的圆上的谱完全一样，换言之，我们看不出这两个理论有什么不同。这
就是T 对偶了，两个理论看起来不一样，实际上是完全等价的。当然，我们要证明这个等价性
还必须证明除了谱之外，弦的相互作用也完全一样。在微扰论中，要证明这一点，只须证明每
个费曼图都相等就行了，也就是说，我们要求在每一个高亏格黎曼面上，两维的共形场论完全
一样。这个是比较容易做到的，因为两个共形场论都是自由场论，计算关联函数是相对容易的。
有一个特别的半径是自对偶的，当它的倒数等于自身时。用弦的长度标度作单位，这个半
径基本上就等于弦的长度标度。半径小于这个自对偶半径对偶于一个大于自对偶半径的半径，
所以自对偶半径可以看作弦论中的最小尺度。T 对偶在90 年左右引起的兴趣基本上就是用来
论证弦论中有最小尺度，当然人们也用弦的散射振幅来说明这一点。
T 对偶在一个量子场论中是绝对不可能的，因为那里没有绕态，所以T 对偶完全是弦的性
质。T对偶的存在说明在弦论中，空间这个概念不是绝对的，是根据定义来的，从而是一个物
理的体现。有人会问，那么当空间中的一维是圆时，我们到底怎么决定它的半径。这是一个很
好的物理问题，回答也是很物理的，就是，要看容易激发的激发态是什么，以及各个态的耦合
强度。我们有两个对偶的理论，弦的偶合强度在原来的全部空间中是不一样的，而在约化后的
空间中（将圆除外）的耦合强度是一样的。假定原来的耦合都是弱耦合，我们就要看轻激发态
是什么。如果其中一个圆的半径大于自对偶半径，那么对应的动量模比对应的绕数模轻，我们
就说物理用的尺子是用动量模构造的，半径是这个大的半径。当这个半径太大时，耦合强度有
可能很大，这时就要仔细分析相互作用带来的后果了。当半径变小，绕数模越来越轻，我们就
可以用这些绕数模构造尺子，量的是对偶的半径，因为在这个对偶理论中，原来的绕数模变成
了动量模。
对于一个简单的圆来说，T 对偶就是简单地把圆的半径换成倒数，这样的操作形成一个简
单的群，就是Z(2)。如果没有T 对偶，我们说由半径这个模参数组成的模空间是一个半直线，
从零到无限大，后者更准确地说，是一个直线，如果我们用半径的对数做模参数。有了T 对偶，
直线在T 对偶的作用下反演了一下，我们将这个直线以自对偶半径那一点为原点对折，得到一
个新的模空间，这是一个半直线。
T 对偶自然地推广到包括更多的圆，这时就有更多的对偶操作，不仅仅是简单的T 对偶推
广。当然每一个圆的方向都可以作原来的T 对偶操作,当维度增多，还有一些纯几何的对称性，
如在环面情形，我们可以将环面的两个方向作交换，也可以选择两个完全不同的基本圆来形成
这个环面。这种纯几何的对称性已经形成一个相当大的群，有无数个群元，可以由两个生成元
产生。原来的两个T 对偶相结合使得整个环面的体积变成原来的倒数，再加上对弦论中普遍存
在的一个反对称张量场做变换，形成另一个群。这两个群的集合就是群SO(2,2,Z), 这里我们
不打算解释这个群的定义，希望学过群论的人一看就知道这是什么。
我们统一地把几何对称和弦的T 对偶叫做T 对偶群，这个群随着环面维度的变大越来越
大，当维度是d 时，这个离散群是SO(d,d,Z), 作用在模空间上。现在的模空间的参数由环面
上的几何参数以及反对称张量场组成。T 对偶群也作用在弦的谱上，作用也有直观的解释：弦
态的动量在环面上有d 个分量，同样，绕数也有d 个分量，由这2d 个整数形成一个2d 维晶格，
SO(d,d,Z)是这个晶格的对称群。当我们观察质量谱时我们会发现在这个群作用下质量谱不改
变。
应当提一下，我们一直没有太强调其它模参数。就世界面上的共形场论来说，只涉及到我
们提到的模空间。当我们考虑弦的相互作用时，就必须计及相互作用常数，这也是一个模参数，
它在T对偶的作用下也会改变。
由于T 对偶的发现和证明一直局限于谱和世界面，这种对偶严格说来只是在微扰论中被证
明。后来人们在简单的圆的情形利用规范对称性来说明T 对偶也是一种剩余规范对称性，这样，
T 对偶应当是一种严格的对称性，在非微扰论中也应当是成立的。
最后，回到T 对偶发现的原始文章，在那里，吉川等人计算了真空能量，发现在自对偶的
半径处能量取极小，这当然是对偶的一个简单结论。
(第四节)
我们前面介绍的T 对偶，既可以用在玻色弦理论中，也可以用在超弦理论中。用于玻色弦
时，情况很简单，无非由一个玻色弦得到另一个玻色弦；用于超弦时，情况稍复杂，在T 对偶
下，IIA理论变成IIB 理论，反之亦然。这个现象有一个简单的世界面上的解释。在世界上，
当我们做T 对偶时，是将动量模与绕量模互换，这个互换可以通过改变世界面上对应的标量场
(即紧化的那个空间) 的左手模的符号达到。由於要保持世界面上的超对称，对应的世界面上
的费米子的左手模也要改变符号。我们知道，时空中的费米子来源于两个雷芒分支，当世界面
上的一个左手费米子改变符号时，其所在的雷芒分支的手征性改变。这样，在T 对偶下，IIB 弦
论中本来有相同手征得雷芒分支变得具有相反的手征性了，这就成了IIA 理论。
T 对偶的存在说明弦论中空间这个概念不是绝对的，是根据动力学和物理解释获得的。T
对偶的一个较为复杂的推广是所谓的镜像对称性(mirror symmetry)，这是一个联系弦论和代
数几何的重要现象，我虽不是专家，还是在这里谈一下。
镜像对称性关于IIA 弦和IIB 弦的对称性，只有当紧化空间是卡-丘流形时才有。这个对
称性说，一个IIA (IIB) 理论紧化在一个卡-丘流形上时等价或即对偶于一个IIB (IIA) 理论
紧化在另一个拓扑和几何完全不同的卡-丘流形上。拓扑上的条件是，一个卡-丘流形的凯勒
(Kahler) 形变的参数对应于另一个卡-丘流形上的复结构形变参数。我们先解释这个要求的物
理含义。
在紧化后，我们通常要考虑每个十维的场会产生什么样的四维无质量场。例如，通过引力
场在紧化了的时空方向的份量，我们可以获得四维时空中的标量场。这些标量场的数目往往与
紧化空间的拓扑有关。间言之，一部分份量的零模由卡-丘流形的凯勒形变给出，另一部分零
模由复结构形变给出。巧的是，这两组参数的数目之差等于四维中零质量费米子的代的个数(如
果是杂化弦的话)。在镜像对称性的作用下，上述两组零模互换，总数不变，相差得绝对值也
不变。其实镜像对称性的发现相当晚，直到90 年才有人认真提出来。发现得晚的原因是，这
个对称性在几何上是不可思议的(要求卡-丘流形成对出现)，对称性本身只有通过研究世界面
上的共形场论才变得明显。
当我们研究IIA 或者IIB 理论时，世界面上的共形场论具有超对称，即使当一部分空间是
卡-丘流形时，也有世界面上的超对称。此时世界面上有四个超对称，左手分支两个，右手分
支两个(记住在共形场论中这两个分支基本上是独立的)。在每个分支中，更有超共形不变性。
在这里，我们遇到将来经常遇到的概念，就是超对称BPS 态。这里的态指的是世界面理论中的
态，而不是时空中的态。世界面上的超共形代数定义了一些特别的态，叫手征原初态(chiral
primary)，这些态带一个守恒荷，而超对称代数表明该态的标度指数(scaling dimension) 等
於这个荷，这个关系是超对称BPS所满足的关系。由於左手和右手都有一个超共形代数，所以
一个完整的算子带两个荷。我们上面所说的两种形变参数对应于这些手征原初态，所以共形场
论的知识决定了卡-丘流形的一些拓扑性质。现在，镜像对称性在共形场论中有很简单的解释，
两个镜像对称的卡-丘流形的描述对应于同一个共形场论，但算子的左手荷的符号被改变了。
一个近乎平庸的共形场论的对称变成了高度非平庸的空间对称性。
后来各种对偶的发展证明镜像对称性不仅有重要的物理应用，也有似乎更重要的数学应
用。现在转到二次革命前的另一个重要发现，规范场论的强弱对偶，又叫S 对偶。要解释这个
对偶，我们要回顾一下狄拉克1948 年关于磁单极的工作。在麦克斯韦理论中，通常只假设电
荷的存在，没有磁荷。在这种情况下，电场和磁场可以统一地写成电磁势，是一个时空中的四
维矢量。如果没有量子力学，将电磁场分开来写或者统一地写完全是个习惯问题。有了量子力
学，这就成为一个物理问题了，很明显，一个电荷在电磁场中应当直接与电磁势耦合，这已经
由阿哈诺夫-玻莫效应的实验所证实。当有磁荷的时候，通常不能直接写电磁势。例如，只有
一个磁荷，也就是磁单极时，我们没有办法写出一个除了在磁荷那一点处处光滑的电磁势。如
果形式上扣除从磁荷处延伸到无限远处的一个半直线，我们就可以写出电磁势。这个电磁势在
扣除了的半直线处无法定义，这个半直线叫“狄拉克弦”。
当一个电荷在磁单极的磁场中运动时，我们还象过去一样假定电荷直接与电磁势耦合。但
是，我们不能假定狄拉克弦真的被扣除，所以电荷本身的波函数应当与狄拉克弦的存在无关，
这个要求导致磁荷和电荷量子化，叫狄拉克量子化。数学上，量子化要求电荷乘以磁荷是整数，
物理上，这个乘积很自然，因为电荷与磁荷的耦合强度既正比于电荷，也正比于磁荷。
狄拉克量子化条件也有一个很漂亮的数学解释。我们用同心球面来描述整个空间，中心就
是磁单极所在处。狄拉克弦与这些球面相交于球面的北极，所以电磁势在北极没有定义，换言
之，磁单极的存在使得电磁势在球面上的一个开集有定义。我们现在将球面分成上半球面和下
半球面，电磁势应当在这两个半球面上分别有好的定义。两个半球面相交于赤道，在赤道上，
两个定义不同，但也只相差一个规范变换，这个规范变换定义了一个纤维丛。考虑电荷在球面
上运动，电荷的玻函数在两个半球面上也分别有定义，在赤道上也相差一个规范变换。我们要
求这个规范变换沿著赤道是周期的，这就给出狄拉克量子化条件。
对於狄拉克本人来说，如果找不到磁单极，虽然有一点遗憾，因为不能很简单地解释电荷
的量子化了，故事也到此结束了。我们并不奢望电磁理论中真的存在磁单极。在有些非阿贝尔
规范理论中，我们两节前说过，真的存在磁单极解，所以在这些理论中我们就不能忽略磁单极
了。磁单极解，由於是孤子解，有一个孤子解的共性，不但所带的磁荷反比于理论中的基本电
荷，其质量也与电荷的平方成反比。当规范理论是弱耦合时，磁荷很大，质量也很大，一般不
介入低能现象。
如果我们考虑电荷与磁荷之间的耦合，由於狄拉克量子化，耦合永远是1 的数量级，无论
电荷本身如何小。如果考虑磁荷与磁荷之间的耦合，耦合强度与电荷之间的耦合强度成反比。
自然地，人们问，有没有可能将带磁荷的孤子看成基本的激发态来构造一个新理论，在这个新
理论中，原来的基本激发态如电荷成为孤子？这是一个非常动人的猜测，很难验证，所以有很
长一段时期没有人认真地对待这个猜测。如果一个猜测是对的，那么新理论就是原来理论的对
偶理论，其中基本相互作用强度与原来的相互作用强度成反比，所以这个对偶叫强弱对偶。
现在看来，强弱对偶不会是普遍成立的。能够找到根据的强弱对偶都涉及到时空的超对称，
最典型的例子是我们提过的N 等於4 的超对称规范理论(super Yang-Mills，经常被简化为
SYM，我在台湾经常看到这个缩写，原来是三阳摩托的简称)。这个对偶是英国人奥立弗-曼通
宁在1977 年首先提出，后经奥斯本(H. O*****orn) 指出磁单极只有当有16 个超对称生成元时才
可能组成一个含规范粒子的超对称多重态(79 年)。这个对偶猜想被冷落了许多年，据我所知，
森也许是第一个重视这个对偶的人，他的出发点是弦论，最早的时间是1992 年，后来史瓦兹
也相信了这个猜想。另外，龚特里特(J. Gauntelett) 也在1993 年研究了超对称磁单极的低
能动力学，目的也是为了研究强弱对偶。N 等於4 的强弱对偶不仅仅是简单的强弱互换。在这
个理论中，除了一个耦合常数外，还有一个耦合常数类似一个角，通常称为西它(希腊字母) 角
的，与一个拓扑项有关。这两个常数结合成为一个复数，强弱对偶可以推广为一个变换群，非
常类似两维环面上T 对偶的一个子群，就是SL(2,Z)。
这些对偶变换预言，存在着无限多个磁单极和电荷的束缚态，带有任意整数个磁荷和任意
整数个电荷，这两个整数互素。除了磁单极本身，最简单的束缚态含两个磁荷和一个电荷。这
个束缚态的存在於94 年由森所证明，从而第一次给出强弱对偶的证据。
众所周知，塞伯格和威顿94 年的工作在场论界和弦论界唤起了人们对对偶的兴趣，而这
两个人对对偶的兴趣一部分来自森的工作。当然，很多人许久以前就提出了其它种类的对偶，
由於太缺乏证据，没有人相信，我们下一节谈谈这些“史前”猜想和相关的工作。非常有趣的
是，虽然一般地说强弱对偶比较罕见，却普遍存在於超对称规范理论中。进一步，这些强弱对
偶都毫无例外地可以在弦论中实现。毫不夸张地说，弦论是一切对偶之母(起码目前如此)。
(第五节)
在第二次革命前，一直致力于研究弦论中各种孤子解的，是达夫(M. Duff)。他和他的学
生，如卢建新，以及一些博士后，花了很多精力和时间来研究弦论中的孤子解和分类，也提出
了一些对偶猜想。有些猜想没有太多的证据，特别是涉及到高维膜(brane) 的，有的为后来的
发展证实。他们在九十年代初的努力虽然后来取得丰厚的回报(达夫本人也由此从德州的A&M
(农工) 大学转到密执安大学并在那里成立了一个理论物理中心)，在当时基本为弦论界同行所
忽略，这是一件非常可惜的事，否则我们可以想象二次革命可能提前两年发生。
弦论中除了引力场、伸缩子场外，还有常见的两阶反对称张量场以及更多的高阶(低阶) 反
对称张量场。在弦的世界面上，我们通常看到两阶反对称张量场出现，出现的方式类似一个微
分形式在两维面上的积分。这个耦合在弦论的一次革命中就被重视，但奇怪的是直到很晚人们
才意识到这意味着弦是带着这个反对称张量场的荷的。我们知道，一个带电荷的粒子与电磁势
的耦合方式就是电磁势对作用量贡献一个沿着世界线的积分。早在84 和86 年，内泊麦基(R. I.
Nepomechie) 及泰特伯莫(C. Teitelboim) 就指出，一个p+1 阶的反对称张量场的荷是一种有
p 维空间延展的物体，我们常称为p 维膜，或简称为p-膜。
所以，弦论中的弦有一个简单的物理解释，就是这种一维物体其实就是反对称张量场对应
的荷。当然，对于一个封闭的微观的弦来说，我们没有办法测量这种荷所产生的场，原因是只
有当弦是一根无限长的直线时，反对称张量场才有类似库仑场的形式，一个封闭的弦很像一个
电偶极矩，我们稍后再解释为何如此。
弦论中的“孤子”实在是一个大题目，我们也许需要两节才能把来龙去脉大致交待清楚。
我们从推广的狄拉克量子化条件谈起，这也是内泊麦基和泰特伯莫文章的主要结果。假定在一
个D 维时空中，存在一个p+1 阶的反对称张量场，所对应的荷为p-膜。p-膜的世界体是p+1 维
的，所以要求p 不大于空间的维度，也就是D-1。考虑这个膜的延展是空间的一个p 维的欧氏
子空间，其互补子空间是D-p-1 维的，我们通常叫这个互补子空间为横向空间(transverse
space)。p-膜产生一个类似库仑场的反对称张量场，这个反称张量场不为零的分量正好带平行
于p- 膜的时空指标，一共是p+1 个指标，这些方向叫p- 膜的纵向方向(longitudianl
directions)。由于沿着纵向方向有洛仑兹不变性，反对称张量场只是横向方向的函数。
如果扣除p-膜所占的那个p 维空间方向，p-膜看起来就象是一个生存在D-p 维时空的一个
带电粒子。如果D-p 恰恰等于4，我们就得到四维时空中的一个点状电荷。这样我们就可以直
接应用已知的知识，得到一个结论：这个点电荷有一个对偶的“磁荷”，也是点状的。回到原
来的D 维时空，一个p-膜的对偶物体是一个点状磁荷，如果D-p=4。如果D-p 大于4，我们就必
须人为地扣除一些p-膜的横向维度，使得剩下的时空维度等于4，同样可以引入一个“磁荷”，
这被扣掉的维度可以看成是这个“磁荷”所占的空间，也就是这个新物体的纵向方向，所以这
个新物体也是一个膜，其维度是D-p-4。可以直接应用狄拉克的量子化条件，我们得出结论，
一个p-膜和一个对偶的(D -p-4)-膜所带的两种对偶荷满足量子化条件。这是内泊麦基和泰特
伯莫的主要结果。由于后来的进一步发展发现新的对偶，我们将这种对偶统称为电磁对偶。想
提一下，在泰特伯莫的工作后，我、高洪波以及高怡泓用了一个当时很时髦的拓扑方法重新获
得量子化条件。由于这个方法很形式，加之大家本来就不重视这方面的工作，我们的文章没有
人理睬。
从数学上来看，上面的结论很容易理解。p-膜对应的长程场，或可称为规范场，是p+1 阶
反对称张量场，它的场强是一个p+2 阶张量。类似电场的对偶是磁场，这时p+2 阶张量在D 维
时空中的对偶是D-p-2 阶张量场，可以解释为D-p-3 阶反对称张量场的场强。现在，D-p-3 恰
恰是(D -p-4)-膜的世界体的维度。
当D 是4 时，如果p 是零，那么D-p-4 也是零，所以互为对偶的物体在四维中都是点粒子。
我们也可以形式上取p 等于-1，这个“物体”的对偶在四维中就是一个弦。当然不存在维度为
负的物体，但由于此时p+1 是零，这个怪怪的东西可以解释成瞬子，因为瞬子的世界点是零维
的。这个对偶看起来怪，在弦论中是存在的，瞬子的对应的规范场是一个标量场，我们后来会
看到，这个标量场的真空期待值就是西它角。所以，当弦论紧化到四维时空时，总有一个标量
场存在，我们通常将这个标量场称为轴子场(axion)。
当D 等于10 时，也就是所有的超弦理论的基本时空维度，取p 等于1，此时D-p-4 等于5，
也就是说弦的对偶物体是5-膜。5-膜的发现有一个有趣的历史，最早的5-膜应当是施特劳明格
于1990年构造的杂化弦中的5-膜。他利用杂化弦中存在非阿贝尔规范场，所以有瞬子解，将瞬
子解的四维空间解释为九维空间中的子空间，这样这个解不依赖另外的五维空间，解有5+1 维
的洛仑兹对称性，所以是一个5-膜。当然，由于这里是弦论，除了规范场以外，引力场和其它
零质量玻色场也应当是5-膜横向空间的函数。施特劳明格猜测，存在一个以5-膜为激发态的理
论，是杂化弦的强弱对偶。应当注意的是，虽然施特劳明格的5-膜也是弦的电磁对偶，它的性
质与N 等于2 的两个10 维超弦中的5-膜完全不同，我们将来在谈到所谓的D-膜后再回到这个
话题。
取D 为11，p 等于2，我们由一个两维的膜出发，得到其对偶膜也是一个5-膜。很久以前，
人们就知道11 维超引力中含有一个三阶反对称张量场。要到1987 年，以汤生为代表的一些人
才注意到这里有可能存在2 维的膜，其无质量的激发态就是11 维超引力多重态。与弦不同的
是，模的世界体理论很难量子化，即使在最为简化的光锥规范下，也无法量子化，所以膜是否
是11 维超引力的微观理论还是一个没有结论的问题，但有一点没有疑问，就是，模的最低激
发态的确是11 维的无质量超多重态。现在，11 维超引力的微观理论被称为M-理论，其中有2-
膜和5-膜，它的量子力学性质还有待于发展。
1987 年，我正好参加在的里雅斯特的一个2+1 维物理讨论班，汤生的几个合作者都去了。
记得伯格肖夫(E. Bergshoeff) 讲的就是超膜理论，他的开场白说，为什么要研究膜，回答是，
为什么不研究。当时我觉得这个回答太牵强，所以根本不去注意听他的演讲。今天看来，虽然
不得已可以用这样的理由，当时应当可以找到更好的理由来吸引听众的。从听众的角度来说，
“为什么不”这样的理由不能忽略。如果那时听众中有人听进去了，做了一点研究工作，说不
好这样的工作在今天来看就是重要的工作。
如果取D 为6，p 为1，那么弦在六维中的对偶也是弦。的确，六维中的N 等于2 的超引力
中有一个自对偶的两阶反对称张量场，其对应的荷既是电荷也是磁荷，这就是自对偶弦。如果
将弦作为基本激发态，弦的耦合强度不可能太小也不可能太大，因为它是自对偶的，狄拉克量
子化条件完全决定了耦合常数。
在两个N 等于2 的十维超弦中，除了两阶反对称张量场外，还存在着所谓R-R 反对称张量
场，这些场从弦的一次量子化的角度看，来源于雷芒-雷芒分支，所以叫R-R 反对称张量场。
在IIA 理论中，这些场的阶是奇数，对应的膜是偶数维的，有0-膜、2-膜、4-膜、6-膜、8-
膜。IIB 理论中的张量场的阶是偶数，所以膜是奇数维的，有1-膜、3-膜，5-膜、7-膜、9-
膜，甚至还有-1-膜，就是瞬子。这个瞬子是纯粹的引力瞬子，因为这里还没有规范场。所有
的这些膜统一地叫做D-膜。
(第六节)
我们在上一节谈了谈弦论中可能存在的一些膜，这些膜的统一特征是带反对称张量场对应
的荷。如果膜的空间维数高于零，这个荷是延展的，均匀分布在膜上，如同膜上的能量密度一
样。所以膜的存在并不破坏延着膜的纵向方向的洛仑兹不变性。
在对应的低能理论，即经典超引力中，人们可以找到相应的解。解的方式很直接，在大多
数情形下，只要考虑度规，伸缩子场以及相应的反对称张量场。由于纵向方向上的洛仑兹不变
性，度规和张量场只能采取一些特殊形式。人们在解方程之前，可以假设有一个膜提供能量源
及荷。有趣的是，当方程解完了，往往发现其实并不需要能量源：由于度规及伸缩子的关系，
能量源在横向方向的原点往往被一个函数零化了。至于荷的源是否被零化，就要看情况了。这
里主要是看我们处理的是什么反对称张量场。如果是与弦相耦合的内吾－史瓦兹反对称张量
场，则弦或者与其对偶的5－膜的源没有被零化，所以这些解类似电磁理论中的电子，是有奇
异性的，不是真正意义上的孤子解。如果反对称张量场是雷芒反对称张量场，那么荷源也被零
化了，这是真正的孤子解。此时，我们只是解低能引力场方程，能量源及荷源是一种非线性效
应，很像非阿贝尔规范理论中的磁单极解。
这些膜通常破坏时空中的一些超对称，保留一些超对称。简单的世界体是欧氏空间的膜只
破坏一半的超对称，超对称条件往往可以用来简化运动方程，因为这些条件通常是一阶微分方
程。这个事实与所谓的BPS 条件有关，该条件我们在谈孤子时已经解释过。在这种情况下，给
定一个荷，带这个荷的所有可能的物体的能量有一个下限，下限正比于荷。当能量正好是这个
下限时，我们也得到一组一阶微分方程，与用超对称条件得到的方程一样。由于一部份超对称
没有被破坏，可以想象围绕这个孤子膜解的激发态是这些超对称的表示。通过过去研究孤子集
体坐标的经验，我们知道膜的世界体上的动力学一定是超对称的。当然有了解后这个结论是自
然的，但有一段时间人们不知道除了弦外，能否在高维膜上实现超对称。在场论中的膜解最早
发现可以实现的，是泡耳钦斯基和他的两个学生，这个工作在1986 年作出，比他和他的另外
两个学生发现D－膜，要早了三年。
很容易将单个孤子解推广为多孤子解，表示有若干个平行的膜。这些膜由于不破坏同样的
超对称，也是稳定的位行，说明膜与膜之间的相互作用完全抵消。通常，两个膜之间有引力相
互作用，在弦论中，伸缩子所引起的力也是吸引力。由于膜都带同样的反对称张量场的荷，荷
之间引起的是排斥力。很明显，吸引力和排斥力正好抵消。其实，在没有超对称的情况下，如
果满足BPS 条件，孤子之间的相互作用也会抵消，规范场中的磁单极和瞬子解就是这样。
一旦找到了孤子膜解，下一步就是研究在其附近的激发态，特别是所谓的零模，因为零膜
就是集体坐标，控制膜的动力学。一个最简单的例子是对应于时空平移的零模，这些模的存在
对应于一个简单的事实，就是膜的解中有不确定的参数，其中一部份是膜在横向方向的位置。
当这些位置依赖于膜的纵向坐标时，膜的位形在时空中是一个一般的弯曲的超面。由此可知，
这些零膜是局域在膜上的，对应的引力中的解也是局域在膜上的，但可以有一个宽度。
表面上看，孤子膜的解通常是有奇点的，这个奇点可以选择在原点。例如，与弦对偶的5
－膜就有奇点，特别在度规中，有一个看起来是奇点的原点。如果将弦看作理论的基本激发态，
我们应当研究孤子的弦度规，即弦感到的度规是否是奇异的。回答是，几何不是奇异的，只是
弦的相互作用强度在5－膜的中心变成无限大。在IIB 理论中，存在一个二阶的雷芒－雷芒反
对称张量场，所以有对应的1－膜和5－膜，这个5－膜与前面的5－膜不一样，叫做D5－膜。同
样，从弦的角度来看，D5－膜的度规是非奇异的。所以这些孤子膜是真正意义上的孤子。进一
步，如果我们研究弦在5－膜背景下的运动，我们就发现弦的运动方程在任何一点都是定义好
的，不会发生测地线断开的现象：一个无限大的平行于5－膜的弦将花费无限长的时间才能到
达5－膜的中心，换言之，5－膜的位置可以看成视界。
弦本身也可看作是一个孤子解，最早发现这一点的是达波尔卡等人（A. Dabholkar)。虽
然在弦的所在我们不需要能量源，我们却需要二阶反对称张量场的源，就是弦的荷，所以弦很
像电磁理论中的电子，是个奇异解。弦的解中的度规更是奇异的，有一个曲率奇异点，就是弦
的所在处度规的曲率是无限大。达夫和卢建新猜测有一个基本的5－膜理论，这个理论与弦论
对偶。如果这个猜测是正确的，那我们就应当从5－膜的角度来看弦。5－膜与弦度规的耦合不
是通常的耦合，要加一个伸缩子因子，所以5－膜看到的度规不是弦度规。如果将弦的解用5
－膜所”体会“到的度规表示出来，曲率奇异性就消失了。虽然我们不能认真地认为有一个基
本的5－膜理论，这个观察还是很有趣的。弦的相互作用强度在弦的所在位置变成零，这也是
一个合理的结果，否则可能与弦的微扰论
矛盾了。
也许杂化弦中的5－膜值得单独提出来谈一谈，因为这是施特劳明格以及哈维和凯仑(C.
Callan)十年前致力研究的，在经典引力的框架下算是研究得相当透彻的了。杂化弦的特点是
包含规范场，这就有可能将规范场的一些结果应用到那里去。最简单的是四维规范理论中的瞬
子。将这个瞬子嵌入到杂化弦中，六维的时空中的规范场是平庸的，所以我们得到一个5－膜，
其横向方向就是瞬子所在的时空。杂化弦另一个与众不同的是，运动方程要求规范场与曲率有
一定的关系，由两阶反对称张量场联系起来，这样度规自然也不能是平庸的。这样获得的5－
膜与其它弦论中的5－膜不同，进一步，其世界体上的动力学也非常特别，我们将在介绍D－膜
时详细谈这个不同。
史前的关于对偶的猜想有许多是希望高维的膜有基本理论，可以量子化，从而所对应的理
论可以有一个对偶，例如弦/5－膜的对偶。现在看来，高维膜不但很难量子化，可能作量子化
也是没有太多意义的。例如，M 理论中的两维膜就可能除了零质量粒子外，剩下的谱中的物体
都是极不稳定的，很快会衰变成零质量的粒子。
最后，我们谈谈当膜被激发后会发生什么。如果我们坚持在引力中研究这个问题，我们必
须假定激发态沿着膜是均匀的，否则我们无法对方程作出严格解。如果激发是均匀的，那么沿
着膜的能量密度是均匀的，所以膜上面的欧氏对称还在。由于静态的能量不再有洛仑兹不变性，
引力解也破坏了这种不变性，从而类似黑洞的物体可以形成，因为度规的时间分量与其它分量
不同了。赫洛维芝与施特劳明格1991 年就得到了这个解，的确是黑洞。我们后来会看到，膜
的均匀激发态是黑洞的解释将在理解黑洞的热力学上面起到重要作用。
先声就谈到这里，后面我们就要进入第二次革命了。
第八章 第二次革命：场论的发展
(第一节)
使人真正体会到革命的来到，无疑是塞伯格和威顿1994 年夏天的两篇文章。我在第一章
中就提到，当时塞伯格并没有计划去亚斯本参加任何活动，他专程飞到那里宣传他和威顿的工
作。那时有两个讲习班交错地举行，一个和量子色动力学有关，另一个是超对称的讲习班。我
当时参加量子色动力学的讲习班，正在很有兴味地研究量子色动力学中的高能散射问题，不会
想到超弦的长达数年之久的革命就此到来。在大多数人们还在尝试理解塞伯格－威顿的工作
时，纽约时报以一版的篇幅介绍了他们的工作，评价极高。
这件重要工作建立在几个重要的概念之上。第一是塞伯格本人在过去一年发展的全纯分
析：场论中有一些参数和场的期待值，场论以全纯(holomorphic) 的方式依赖于这些量。在复
分析中，我们知道，如果一个函数是全纯的，通常就被确定了。第二是电磁对偶概念，不同于
我们前面谈到的N 等于4 的规范理论，塞伯格－威顿所研究的N 等于2 的理论本身没有电磁对
偶，但由于理论中存在磁单极，电磁对偶以及推广的SL(2,Z)群可以作用在依赖于真空的一些
物理量上面，从而帮助我们理解该理论的一些性质。最后，老的概念如磁单极凝聚所带来的后
果也帮助了他们严格解出低能的作用量。
N 等于2 的规范理论比N 等于1 的规范理论有更多的限制，特别是对超对称多重态和作用
量的可能形式。如果我们将研究范围限制在自旋不超过1 的场，在4 维中只有两种超对称多重
态。一种叫手征多重态，又叫矢量多重态，含一个自旋为1 的粒子，两个标量粒子和两个带手
征的自旋为1/2的粒子。用N 等于1 超对称的术语来说，一个N 等于2 的手征多重态含有一个
矢量多重态和一个手征多重态。N 等于2 超对称的另一个多重态叫“ 超多重态”
（hypermultiplet)，含两个带手征的费米子，4 个标量粒子，或者两个复标量粒子。我们可
以仅仅用手征多重态来构造N 等于2 的超对称规范理论，此时理论中没有“物质”，是纯规范
理论。这个时候，手征多重态形成规范群的一个伴随表示，也就是说，对应于每一个规范群的
生成元，有一个手征多重态。也可以引入“物质”，就是超多重态。最简单的情形，这些超多
重态形成规范群的基本表示，这个基本表示可以自洽地与手征多重态耦合。手征多重态与超多
重态的共同特点是，每一个多重态中含4 个玻色子和4 个费米子，比N 等于1 的简单多重态大
了一倍。
塞伯格和威顿在第一篇文章中研究的是最简单的N 等于2 的规范理论，只有手征多重态，
并且规范群是SU(2)。理论虽简单，内容却是出奇地丰富。首先，与N 等于1 的单纯规范理论
不同的是，这里有一个复标量场，所以有许多不同的真空，每一个真空代表一个超选择分支－
也就是说，如果空间无限大，不同真空之间不可以互相过渡。很容易确定所有的规范不等价的
真空：作用量中的势要求复标量场与它的复共厄对易，这样在SU(2)的李代数中它们成正比, 通
过规范变换可以使他们转到嘉当子代数中去, 在这里是一个U(1)子代数。所以，在经典的层次
上，所有的真空由一个复变量来刻画，就是复标量场在U(1)中的真空期待值。一般地，当标量
场有真空期待值时，原来的对称性破缺到U(1)，除了这个U(1)手征多重态保持零质量，其余的
粒子通过黑格斯机制获得质量。这些有质量的粒子都是带电粒子，带未破缺的U(1)的电荷。N 等
于2 的超对称限制，不可能加上任何非平庸的超势，从而真空简并不可能被破坏，这样，将量
子效应计入，真空还是由一个复参量来刻画。
同样由于多了一个复标量场，理论中存在磁单极解，这个解完全等同于我们介绍过的磁单
极。不但如此，磁单极还可以带“电荷”，也就是理论中SU(2)未破缺子群U(1)的荷。其实，
存在无限多中既带磁荷又带电荷的双子(dyon)，这些双子是BPS 态，所以质量完全由他们所带
的荷所决定，当然，这些荷通常有量子修正。要强调一下，所有的双子形成超对称的超多重态，
因为最大的自旋是1/2。
N 等于2 的低能的、含导数不超过两次的有效作用量完全由一个全纯函数所决定，这个函
数叫初势(prepotential)。初势是真空参数，即标量场真空期待值的函数，它的二次导数决定
了真空模空间（参数空间）上的度规，所以必须是正定的。在经典意义下，二次导数的虚部正
是规范耦合常数的倒数。在量子层次上，我们定义这个虚部就是有效耦合常数，包括圈图修正
以及非微扰修正。事实上，N 等于2 的贝它函数在微扰论中只有单圈图的贡献，从而我们期待
初势除了单圈图的贡献外，只有非微扰贡献。塞伯格－威顿的结果显示，这些非微扰贡献都是
瞬子的贡献。
由于初势的二次导数与耦合常数有关，这个函数要正定的话就必须有奇点，这是复分析的
结果。为了保证物理没有奇异性，塞伯格和威顿引进了一个新的函数，使得真空模空间上的度
规是这个新座标与以前老座标（标量场的真空期待值）的一个简单二次型的“拉回”（ pullback)，
这个新的标量代表的是磁单极相应的场，但不是什么真空期待值，因为一般情况下磁单极的质
量不为零，不会发生凝聚。引入了这个新的参数后，度规有明显的SL(2)不变性，也就是推广
了的强弱对偶。但我们再次强调，这不是物理上的强弱对偶，因为新的标量没有一个无质量的
磁单极与之对应。但是，在双子的质量公式中，这个新的标量与电荷标量同等地出现，所以双
子譜有明显地SL(2)不变性。据我看来，引入磁标量是塞伯格－威顿工作中的最大胆的一步，
也是最关键的一步。从场论的逻辑来说，这一步没有证明，自洽的结果将支持这个大胆的假设。
前面说过，在微扰论中，初势只有单圈图的贡献。当标量场的真空期待值很大时，非微扰
的贡献越来越小，因为瞬子的作用量越来越大，从而贡献成指数衰减，换成标量场的函数，成
负幂次衰减。这个理论又是渐进自由的，所以当真空期待值很大时，我们可以相信微扰论的结
果（除了那个渐进自由理论中的普适质量外，真空期待值是唯一的质量标度）。这样，初势在
真空模空间上无限远处的性质就被决定了。由于标量场的反演对称性，我们用标量场平方的真
空期待值来参数化模空间。由于这个全纯函数在无限远处有个对数分支点，绕无限远点一圈，
电标量和磁标量都发生变化，这个变化可由一个线性矩阵表示。其实，这两个标量形成模空间
上的一个两维的矢量丛。
接下来是塞伯格－威顿文章中的关键一步。既然无限远处是矢量丛的一个和乐（holonomy)
不平庸的点，那么由于模空间本身的拓扑平庸性，必须存在更多的和乐不平庸点。当这些点出
现时，物理的原因是什么呢？经过一番讨论，他们确定，唯一的可能是当新的奇点出现时，某
些粒子的质量趋向零，而这些粒子的自旋不超过1/2，只有双子才是可能的选择。所有奇点的
和乐形成SL(2)的一个子群，他们进一步论证，由于度规的正定性，这个子群不可能是可交换
的，这样要求除了无限远点外，至少还有两个奇点。
当这些奇点发生时，某些双子变成无质量的。如果磁单极变成无质量，那么那个磁标量为
零（通
过双子的质量公式），同时规范场的耦合常数变成无限大（因为磁标量的一次导数与耦合
常数成反比），也就是说原来的规范理论在这个奇点附近是强耦合的，从而相应的磁耦合是非
常弱的。磁单极含有一个标量粒子，如果质量为零，可以凝聚，也就是可以认为地使磁单极场
获得真空期待值。一旦磁单极凝聚了，色禁闭就要发生，理论中不再存在无质量的粒子，而真
空简并也消失了。如何达到这个目的呢？在原来的理论中，我们尝试加一个N 等于1 的手征场
的质量项。当该项存在时，理论只有N 等于1 的超对称，一般认为真空是唯一的，并且色禁闭
也将发生。但是如何使得本来是无质量的矢量粒子获得质量呢?最可能发生的是矢量粒子通过
黑格斯机制获得质量。黑格斯机制要求存在无质量的标量粒子，现在磁单极正好满足这个要求。
所以磁单极通过对偶的（即磁理论）的黑格斯机制使得光子获得质量。这对超势的要求同时给
出磁单极的凝聚值！
以上的分析支持新的奇点中的一个对应于磁单极成为无质量粒子的图象。在这一点，磁单
极是弱耦合的，可以应用微扰论，这一点附近的两个标量函数可以确定下来，从而这个奇点的
和乐也就确定了。现在，选择极小的可能：在无限远点和这个奇点外只存在第三个奇点，第三
个奇点的和乐由前两个和乐所决定。在第三个奇点，一个双子变成无质量的粒子。有了三个奇
点的和乐以及全纯性质，下面就不难通过复分析解出整个模空间上的两个标量函数，从而解出
初势了。所有这些函数与椭圆函数有关。事实上，原标量场平方的真空期待值是一个椭圆曲线
的模参数，而真空的模空间参数化了这组椭圆曲线。后来人们将这些椭圆曲线称为塞伯格－威
顿椭圆曲线。
最后，初势的二次导数给出有效耦合常数，以标量场的真空期待值展开，不难获得单圈贡
献以及瞬子贡献。
希望以上的冗长的文字描述能帮助大家了解哪怕是一点点塞伯格－威顿理论。如果想进一
步理解这个在历史上有着重要地位的进展，还需要阅读他们的原文。
(第二节)
我们前一节介绍塞伯格和威顿在1994 年发表的两篇著名文章的第一篇，研究N 等於2的纯
规范理论，规范群为SU(2)，这很快为其他人推广到更为一般的群。这里再简要说一下塞伯格
和威顿的结果。这个理论有无限多个真空，为一个复变量所参数化，就是黑格斯场的真空期待
值。低能的有效作用量完全被一个叫初势的函数所决定，初势给出真空模空间上的一个正定度
规。这个初势以及同样重要的电标量场和磁标量场都可以通过一组椭圆曲线来决定，每一个真
空对应一个椭圆曲线。在模空间上的两个奇点处，磁单极或者一个双子的质量为零，奇点对应
于一个简并的椭圆曲线（就是环面变成了一个圆）。如果给黑格斯场一个质量，磁单极（或双
子）发生凝聚，色禁闭发生。
在第二篇文章中，他们将这些结果推广到有超夸克的情形。这些超夸克是N 等於2 的超多
重态，同时也形成规范群SU(2)的一个基本表示，一个这样的超多重态叫一代。通过对单圈图
的分析，当只有少于四代的超多重态时，理论在高能区是渐进自由的。当有四代超多重态时，
单圈图对耦合常数没有修正，他们猜测，也没有非微扰的修正，这样和N 等於4 的纯规范理论
一样，四代的N 等於2 的理论是共形不变的，同样也有强弱对偶。不但如此，由於SO(8)作用
在超多重态的费米场上，还有所谓的三重对称性（triality，因为SO(8)的基本表示和两个旋
量表示都是8 维的，它们有交换对称性，而理论中的BPS 态也有这种对称性）。
由於引进了超多重态这样的物质场，理论就变得很复杂，一是粒子谱本身就复杂，加上可
以给每个超多重态以不同的质量，理论有不同的能区。在没有物质场时，纯规范理论的真空中
非阿贝尔对称性破缺成U(1)对称性，我们叫这些真空形成的模空间为库仑分支，因为长程力是
库仑力。当有物质场时，超多重态中的标量场，如果没有质量的话，也可以获得真空期待值（这
些方向往往叫做平方向，flat directions)。如果仅有一代，要求势能为零的条件，所谓D 条
件，不允许有任何真空期待值。当代数超过一时，就会有新的平方向，在这些方向上原来的矢
量多重态中的标量场不能有真空期待值，而在新的真空模空间的分支上，规范对称性完全破缺，
所以这些新的分支叫做黑格斯分支。库仑分支和黑格斯分支只在某些点相交。
当有两代超多重态时，有两个黑格斯分支，每个分支是两维复空间，与库仑分支相交于原
点（在这一点上经典理论中所有的标量场为零）。当代数超过三时，只有一个黑格斯分支。当
然，塞伯格和威顿没有研究超过四代的情况，因为这个时候理论不在是渐进自由的或者共形不
变的，从而存在兰道极点，理论在微观上没有定义。
所有这些理论都有新的整体对称性，这些对称性有一部分是手征对称性，和量子色动力学
一样。当矢量多重态中的标量粒子被人为地加上质量时，超对称破缺为N 等於1 的超对称，库
仑分支也变成一点或两点，也就是说只有有限几个真空。在这些真空中磁单极发生凝聚，色禁
闭发生。如果有无质量的夸克，人们预期手征对称性破缺，这个预期的确在这里得到证实。手
征对称性的破缺会产生pi 粒子这样的介子，是哥德斯通粒子。
回到N等於2 的超对称情形，我们主要感兴趣的是量子效应如何修改真空模空间的结构，
从而决定低能有效作用量，以及稳定的粒子谱。当一些物质场没有质量时，存在黑格斯分支，
这些分支都是复空间， 复维数是偶数。进一步， 这些空间都是所谓的超凯勒空间
（hyper-Kahler)，度规为对称性所唯一决定，只是其绝对归一化由无限远处即渐进行为所决
定。可以说，没有量子修正，从而原来有的奇点还存在。
库仑分支就完全不同了。和纯规范理论一样，库仑分支还是一个一维的复空间。和纯规范
理论不同的是，此时奇点的个数以及奇点的行为（如绕奇点一圈的和乐）依赖于物质场的代数
及质量。无限远点依然是一个奇点，它的和乐由单圈图决定，从而与代数有关。与纯规范理论
相同的是，电标量和磁标量作为模参数的函数有非微扰的贡献，还是瞬子贡献，这些贡献依赖
于代数，因为不同的代数有不同个数的费米子零模，而瞬子的个数的贡献取决于这些零模。一
般地，只有偶数个瞬子才有贡献。
当物质场有质量时，BPS 粒子谱也依赖于这些质量，从而质量公式里有三个量子数，两个
是以前的，电荷何磁荷，第三个是对应于这个夸克质量的量子数，是一个整体U(1)对称性的荷。
这样，质量公式不再有原来的某种SL(2)对称性，从而围绕一个奇点的和乐也不是S:L(2)的一
个元了。
塞伯格和威顿对所有情况下的模空间的奇点做了仔细的分析，结果自然十分复杂。举例来
说，在三代的情况下，假如所有的物质场有同样的质量。当这个质量很大时，在很远处有一个
奇点，因为在这个点，双子的质量公式告诉我们有带电的零质量粒子。因为物质场的质量很大，
模空间上靠近原点的低能有效理论等价于纯规范理论，当然这个纯规范理论的能标与三代理论
的能标以及物质场质量都有关系。这个纯规范理论有两个奇点，这样，加上无限远点和较远的
那个奇点，理论中共有四个奇点。
如果将三代的情况研究清楚，低于三代的理论可以通过研究重正化群得到。当然，如果四
代的情况知道了，连三代的理论都可以推出。奇点的情况就是这样通过逐步降低代数获得的。
当奇点的个数知道了，以及每个奇点附近的零质量粒子也知道了，接下来就可以研究每个
奇点的和乐。所有的和乐知道了，就可以导出塞伯格－威顿椭圆曲线，从而决定低能有效理论。
他们其实是从一代的情况开始研究椭圆曲线的。当超多重态的质量为零时，模空间的有限部分
有三个奇点。当物质场有质量时，椭圆曲线是能标和质量的多项式，这个多项式可以通过分析
瞬子贡献以及联系纯规范理论来获得。
当有两代物质场时，无质量的情况下有两个有限的奇点，同样，无质量的三代理论也只有
两个有限的奇点。椭圆曲线用同样的方法得到，只不过曲线公式越来越复杂。这些公式相互之
间是自洽的：比方说，在三代的情况下，如果将一代的物质场的质量推向无限大，同时保持低
能的特徵能标固定，我们应当获得两代的理论。
最后，四代的理论最为复杂。当物质场的质量都是零时，这是一个共形不变的理论，类似
N 等於4 的超规范理论。由於没有量子修正，电标量和磁标量的公式很容易得到。但模空间的
库仑分支上的几何，虽然是真空期待值的简单函数，却是耦合常数的复杂函数。必须强调的是，
与渐进自由理论不同，那里没有耦合常数，只有能标，这里没有能标（共形不变），只有耦合
常数。没有理由认为椭圆曲线也由一个耦合常数的多项式来刻画，事实是，椭圆曲线由耦合常
数的两个椭圆函数来刻画。这个事实也证明了四代理论也有强弱对偶，其实是比强弱对偶更大
的对偶：SL(2)不变性。所以，从很多性质来看，四代理论很象N 等於4 的规范理论。当四代
物质场获得不同的质量时，椭圆曲线也可以确定。自然，这些结果可以用来推出小於四代的理
论。
最后，我们谈谈威顿将他们的结果用到四维流形的数学上面，这是在数学界引起相当大的
震动的工作，虽然在物理界几乎没有引起什么反应（当然弦论的研究者喜欢将这个工作作为场
论和弦论对数学有重要应用的一个典型来引用）。数学在80 年代末获得关于四维流形的微分
拓扑不变量的一个重要结果，就是唐纳德逊不变量（ Donaldson)，这些不变量由研究四维流
形上的自对偶规范场获得。一个自对偶规范场就是瞬子解，所有这些解形成空间，其维数和四
维流形的拓扑以及瞬子数有关。唐纳德逊不变量是瞬子模空间上的一些积分。维顿于88年在阿
蒂雅的启发下发现这些不变量对应于一个拓扑量子场论中的关联函数，而这个拓扑场论可通过
修改N等於2 的规范理论中的超对称获得。这种修改是将一些超对称生成元由旋量变成标量，
所以叫扭变（twisted）。标量的超对称可以看成BRST 的对称生成元，所有可观测物理量在这
个被扭变的理论中都是BRST 不变的。威顿指出，由於理论的作用量本身是一个量的BRST 变换，
所以场论中的关联函数不依赖于耦合常数，也不依赖于四维流形上的度规。将度规变得任意小，
理论趋於紫外极限，所有的关联函数成为瞬子模空间上的积分，从而是唐纳德逊不变量。这个
结果只是指出数学上的不变量和量子场论的关系，对数学上如何计算这些不变量毫无帮助。
另外一个极限显然是红外极限。但在红外极限下，理论是强耦合的，所以乍看起来红外的
计算更为困难。94 年夏天之后，塞伯格－威顿在平坦的四维空间解决了低能问题，所以威顿
本人开始考虑红外的结果在数学中的应用。在低能极限下，真空的模空间上通常有一个零质量
的光子，但这个简单的理论对拓扑场论中的关联函数没有贡献。当我们趋向两个奇点时，出现
新的无质量粒子，就是磁单极和双子，这些新的场和光子耦合对关联函数有贡献。类似紫外的
情况，这些贡献很大程度上决定于“经典”理论，而经典理论就是解电磁场与磁单极场的耦合
方程。威顿将这个方程组叫作磁单极方程。这些方程的解通常是分立的，可以定义有关的一些
拓扑不变量。将两个奇点的贡献加起来，就获得了拓扑场论中的关联函数的生成函数。威顿并
说明，奇点附近的真空对这个生成函数在红外极限下没有贡献。由於磁单极方程是阿贝尔的，
解的性质容易研究，这就帮助计算唐纳德逊不变量。从物理的角度，他的结果很容易理解，而
从数学的角度，就很不可思议了。
其实，后来弦论的发展带来许多数学的结果，从数学的角度都很难理解。当然，即使是物
理本身也没有完全理解机制问题，如强弱对偶，还有许多要去理解的。这就说明，将来无论是
物理上还是数学上，场论和弦论都会有很大的发展空间。
(第三节)
可以不太夸张地说，第二次革命中纯粹场论的发展，主要工作在94 年就结束了。我们前
面介绍了最有影响的工作，塞伯格－威顿理论。在这个工作前后，塞伯格自己也作出非常重要
的工作。利用超对称所带来的好处，如超势的全纯性，来研究N 等於1 的超对称量子场论，开
始于塞伯格，但在他和威顿的工作之前，还没有带来太大的影响。从93 年开始，他和一些合
作者陆续获得一些非微扰的结果，这些结果当然到他和威顿的工作和他自己关于N 等於1 的强
弱对偶的工作发展到极致。
要了解他的关于现在称为塞伯格对偶，也就是我们一开始说他因这个工作只能做卡车司机
（与威顿比），的工作，我们要稍微谈谈量子场论中各种相。其实我们已经介绍了库仑和黑格
斯相，现在重复一下。库仑相就是在这个真空中，只存在阿贝尔规范对称性，长程力是由一个
或若干个光子引起的库仑力。在黑格斯相中，没有任何无质量粒子，原来的规范对称性完全由
黑格斯机制所破坏。还有第三种相，就是也提到过的色禁闭相。在这个相中，不存在有限能量
的非色单态，任何带色的态都被禁闭了。一般地说，在这个相中，粒子谱全都是有质量的，类
似量子色动力学，其中有胶球，可以看作是胶子形成的色单态，也有夸克形成的介子和重子。
介子由一个夸克和一个反夸克组成，重子由N 个夸克组成，这里N 是规范群的阶，也就是颜色
的个数。在色禁闭相中，也可能存在无质量的色单态。最后，还存在一种态，是塞伯格的工作
中所强调的，叫非阿贝尔库仑相，其中规范对称性没有破缺，但是也没有色禁闭，相互作用可
能是强的，也可能是弱的。当然，最典型的非阿贝尔库仑相是N 等于4 超对称规范理论中模空
间上在原点的相。通常，这些相有共形不变性。总结一下，四维的量子场论可能有四种不同的
相。
色禁闭相应当在通常的量子色动力学中发生，但是到目前为止这个自然的猜测还没有理论
上的证明。同样，色禁闭也在一些N 等於1 的超对称规范理论中发生，这个已被塞伯格－威顿
的工作所证实。一个最为流行的色禁闭机制是磁单极凝聚，这早在量子色动力学被提出的初期
已为曼德斯塔姆和其他人所建议，但是，纯粹的量子色动力学中并没有独立的磁单极。而N 等
於2 的规范理论中有，所以当超对称破缺为N 等於1 时，色禁闭通过磁单极凝聚发生。为什么
磁单极凝聚了就不会存在色单态呢？这是超导现象中的麦斯纳效应（Meissner effect) 的一
个简单推广。我们知道，超导电现象的机制是电子对的凝聚。一个电子对是玻色子，可以发生
爱因斯坦凝聚。当凝聚发生时，任何外界的磁场都不可能进入超导体。如果我们人为地在超导
体的内部放一对磁单极，那么磁单极的磁场被压缩成一条很细的磁力线管，从磁单极通向反磁
单极，因为磁通量必须守恒。这根磁力管带有能量，很像一根弦。如果超导体无限大，而我们
尝试放一个磁单极进去，就会有一个无限长的磁力管出现，从而能量无限大。如果我们将磁荷
解释为色，那么色单态有无限大的能量。现在，我们将这个麦斯纳效应推广到规范理论，将磁
荷与电(色)荷互换一下，以前是电荷凝聚，现在变成磁单极凝聚，以前是磁荷禁闭，现在就是
色荷禁闭了。N 等於1 的量子色动力学除了包括N 等於1 的矢量多重态（含规范场和胶微子，
后者是费米场），还可以含手征多重态。每一代有两个手征多重态，一个是规范群的基本表示
（如果规范群是SU(N))，一个是反基本表示，可以有若干代。N 等於1 的量子色动力学大概是
最接近量子色动力学的理论了，与没有超对称不同的是，很多性质可以通过全纯分析和超对称
的其它性质获得。
这个系列理论的贝它函数，也就是耦合常数随著能标的变化，和质量的反常指标有一个严
格的关系。当代数小於色的个数时，理论是渐进自由的，所以应当有色禁闭。当标量夸克没有
质量时，存在许多平坦的方向，这些平坦方向克由介子场（和标量夸克成双线性关系）来描述。
事实上是，当代数小於色的个数的三倍时，理论总是渐进自由的，但理论的红外行为不仅仅是
禁闭相，可以有其它不同的相。如果代数超过颜色的个数，还可以用标量夸克来构造重子场(一
个重子含N 个标量夸克)，理论的平坦方向由介子场和重子场一同描述。
当代数小於色个数，超势早在83 年就由塞伯格和他的两个合作者严格地算出来了，这个
超势是介子场的函数，包括瞬子贡献，在介子场的“原点”处不是解析函数。其实，当夸克无
质量时，超势没有极小，所以没有稳定的真空。这种跑离现象（runaway) 在超对称理论中比
较常见。
理论的性质与代的个数密切相关。当代数大於色的个数加一时，真空的模空间没有量子修
正。当代数等於色的个数时，模空间有量子修正，这个修正与理论的能标有关（记住在一个渐
进自由的理论中，物理参数不是耦合常数而是特徵能标）。当代数等於色的个数加一时，量子
的模空间和经典的模空间一样，但是作为奇点的原点的物理解释不同：经典理论中是无质量的
胶子等等，量子理论中是无质量的介子和重子。
当代数超过色个数的三倍时，理论不再是渐进自由的，而在红外极限，理论完全是自由的，
所以是一个平庸的共形场论。因此，塞伯格集中精力研究代数小於色个数的三倍情形。当代数
同时又大於色个数的3/2 倍时，他猜测理论在红外有一个不动点，也就是说贝它函数有一个非
平庸的零点，从而红外的理论是共形不变的。但这个理论显然不是自由的，因为理论在紫外才
是渐进自由的。
利用四维的超共形代数，可以推出一些严格的结果。例如，理论中存在一些所谓的手征算
子，类似希尔伯特空间中的BPS 态（对於一个共形场论来说，一个算子的确对应一个态，这个
态可以用算子插在原点来产生）。和所有BPS 态一样，一个手征算子的维度和它所带的一个中
心荷成正比，这个荷就是超量子色动力学中的阿贝尔R 对称性。所以，质量所对应的反常指标
就可以严格地算出来，代入我们前面说的贝它函数，就发现贝它函数的确为零。
当代数变小时，理论在红外的耦合越来越强，所以塞伯格寻求一个对偶理论，其红外耦合
在小的代数时是弱的。可以容易地看出，当介子场和重子场都没有期待值时，理论中的整体对
称性不应发生变化，从而在对偶理论中，这个整体对称性也只能由同样多的代数的超夸克来实
现。所以，两个对偶理论中含有同样多的手征超多重态。可以进一步证明，色的个数在对偶理
论中不同了，是代数减去原来的色的个数。
色的个数可以变化当然是强弱对偶的一个令人惊讶的结果。仔细一想，其实也可以理解，
规范对称性本身和整体对称性不同，后者是真正的对称性，而前者是一种描述的方便，可以说
是多余的对称性，例如我们考虑物理态时，总是要求态是规范不变的。
可以在新的对偶理论中构造重子，由於色的个数小於代数。但不能构造原来理论中的介子，
因为新的标量夸克的中心荷与原来的不同，所以要引入新的独立的介子场。塞伯格研究了所有
可能研究的性质，发现这个对偶猜想是自洽的，比如对偶的对偶回到原来理论。他猜测，对偶
的理论中的基本变量应当是磁荷。当代数小於色个数的三倍而大於色个数的两倍时，原来的“电
理论”是弱耦合的，红外极限是是弱耦合的非阿贝尔库仑相。我们前面说过，当代数大於色个
数的三倍时，电理论不再是渐进自由的，而红外极限是没有相互作用的库仑相。如果我们进一
步降低代数，到比色个数的两倍小时，电理论在红外变成强耦合的，而磁理论则是弱耦合的，
所以这是磁非阿贝尔相。磁理论可以一直延伸到小於色个数的3/2 倍，此时电理论的耦合无限
大，而磁理论是完全自由的。
所以，塞伯格对偶的好处是可以对任意代数作研究，一个理论的耦合变强了，其对偶的理
论的耦合就变弱了。
塞伯格－威顿理论后来在弦理论中有若干种实现，也就是说弦理论可以用来证实他们的工
作，甚至可以走得更远。同样，塞伯格对偶后来在弦论中也有不同的实现，这些都是后话了。
在写这一节的时候，超对称规范理论又有新的发展，这些发展与老的矩阵模型有关，我们在这
个系列中也许有机会提到。
第九章 第二次革命：弦论中的对偶
(第一节)
场论中的对偶如果是令人惊讶的，那么弦论中的对偶就是令人震撼的。94 年塞伯格－威
顿的工作带来一波研究超对称场论的热潮，一直持续到下一年，后来在弦论中还一而再、再而
三地出现。这个热潮却使得人们几乎完全忽略了94 年秋季的一项重要工作，就是胡耳和汤生
的关于弦论对偶的猜测。
这些猜测建立在过去的若干工作基础上，如芳特（A. Font) 等人的工作和森以及史瓦兹
的工作。他们的工作主要是针对维象上最吸引人的弦论：4 维的杂化弦。而胡耳和汤生的工作
主要针对型II 弦论，虽然也涉及到杂化弦。
重视他们工作的可能只是少数几个人，包括威顿、森和史瓦兹。仅仅5 个月后，威顿在95
年南加州大学的超弦年会上公布了他的关于弦论中对偶的结果，这才将弦论界的目光引导弦论
上来。
我们先介绍胡耳和汤生的工作。这是一个相当有远见的工作，预见到后来许多弦论对偶，
可惜被人们忽视了一段时间。威顿后来的工作研究了更多的对偶，在细节方面为对偶提供了很
多证据，但就原创性来说，比之胡耳和汤生的工作似乎还稍有不如。胡耳和汤生的主要贡献是
提出了低维型II 弦论的所谓U 对偶，以及一类四维杂化弦与一类四维型II 弦的对偶。他们甚
至还提到了11 维超引力的可能作用。
U 对偶的字母U 的含义是统一(unity)，就是弦论中的T 对偶和强弱对偶的统一。这里的
强弱对偶在形式上和我们上一章中讨论的N 等于4 超对称规范理论的强弱对偶完全一样。这个
强弱对偶被森等人推广到四维的含有N 等于4 超对称的杂化弦中，强弱对偶的群是SL(2,Z)，
也就是模为一的整数一般线性群。在规范理论中，这个群作用在一个复耦合常数上（实部为西
它角，虚部是规范场耦合常数），在杂化弦中，群作用在一个复标量场上。这是一个重要的变
化：在弦论中，没有自由的无量纲常数，任何这样的常数一定和一个标量场有关。
可是在胡耳－汤生之前并没有人猜测四维的N 等于8 的弦论中有强弱对偶，他们只是简单
地认为如果杂化弦有，那么型II 弦也应当有。弦论在四维的T 对偶群是一个极大的分裂正交
群－所谓极大分裂的含义是，第一，群是非紧的，第二，群是极大非紧的，它的极大交换子群
是一些实数群(R)的乘积。我们在第七章第三节中已经介绍了T 对偶，在四维中，型II 弦的T 对
偶群是SO(6,6,Z)。四维的极大超对称弦论是由型II 弦紧化在6 维的环面上获得的，所以弦谱
中含有6 个动量模和6 个绕数模，T 对偶群是这12 个模的转动变换。在四维中，强弱对偶群
作用的复标量场的实部是一个雷芒－雷芒标量场，而虚部是伸缩场（决定弦的相互作用强度）。
在T 对偶变换下，雷芒－雷芒场也作变换（是T 对偶群的一个旋量表示），所以，T 对偶群和
强弱对偶群不可交换。它们共同生成的群是它们的简单乘积要大，这个群就是U 对偶群。在四
维中，这个群是E(7,Z)。E 是例外群，而这里采取的形式不是通常的紧群，是极大分裂群，即，
它的极大交换子群是实数群的乘积。E(7)有7 个实数因子。
对于胡耳和汤生来说，U 对偶群的出现是自然的，因为N 等于8 的超引力恰恰就有这个对
称性，而E(7)这个群是以连续群的形式出现的，不是U 对偶的分立群。它包含SO(6,6)和SL(2)，
在弦论中由于动量和绕数的量子化，前者必须是分立的，所以，后者也应当是分立的，这就成
了强弱对偶群。换言之，超引力的对称群在量子理论中破缺为它的一个分立子群。
在N 等于8 的超引力（弦论的低能极限）中，有七十个标量场，这是N 等于8 超对称的极
小表示要求的。这七十个标量场，可以看作是群E(7)的一个陪集空间。陪集的一点就是E(7)
中的一个子群SU(8)，前者的维度是133，后者的维度是63，所以陪集空间的维度是70。从弦论
的角度来看，七十个标量场中有三十八个来自于内吾－史瓦兹分支，其余来自雷芒分支。T对
偶群分别作用于这两个分支上，不将它们混合。比如说，三十二个雷芒标量场是SO(6,6,Z)的
一个旋量表示。
在T 对偶的作用下，所有BPS 弦态形成一个矢量表示。从一个BPS 态出发，通过T 对偶的
作用可以生成所有的BPS 态。当然，在T 对偶的作用下，弦真空的模－标量场的真空期待值会
改变，所以在T 对偶的作用下，一个BPS 态被映射到另一个弦真空中的BPS 态。但是弦的真空
期待值是可以连续改变的，将弦模连续变化到原来的值，我们就产生了一个新的BPS 态。所以，
BPS 态必须形成T 对偶群的一个表示。
现在，我们用更大的U 对偶群可以产生更多的BPS 态，很显然，有些态不是弦态。胡耳－
汤生猜测，这些态是非微扰态，是所谓的极端黑洞。这里极端的意思是黑洞的质量与一个荷成
比，这也是一个BPS 态的性质。我们今后为了避免概念上的错乱不叫这些非微扰态为黑洞，而
干脆叫它们为孤子态。
这些孤子态，有些是过去大家熟知的态。比方说，和6 微环面上一个动量模形成强弱对偶
群SL(2,Z)的一个表示的是相应的KK 磁单极，在这里，沿着一个圆方向的动量是电荷，而KK
磁单极是相应的磁荷，它们一起形成强弱对偶群的一个矢量表示：它们之间可以任意转动。所
有孤子态中，许多是我们不很熟悉的，但我们第七章中已经提到过了。第七章中讨论的一些膜
就是这些孤子态的来源：当膜在6 维环面上的一个封闭子空间绕一圈的时候，在四维中生成一
个粒子态。
一共有多少BPS 态？当然有无限多个。我们关心的问题是，这些态可以带有不同的荷，一
共有多少独立的荷？例如，对应于强弱对偶，最简单的情况需要两个荷，电荷及磁荷。在T 对
偶群的表示下，弦态共有12 个荷，6 个动量模，6 个绕数模。在强弱对偶群的表示下，6 个
动量模带来6 个KK 磁单极，那么6 个绕数模带来什么？这6 个绕数模对应的磁荷不是别的，
正是我们讨论过的内吾－史瓦兹5－模，如果弦绕在一个圆上，5－模的五根“腿”就绕在其余
的五个圆上。这样，我们一共有了24 个荷。
24 个荷还不能形成U 对偶群的一个表示，我们还需要其它的荷。这些荷，与雷吾分支中
的反对称张量场有关。
这些新的荷在强弱对偶群的作用下不变，所以不能分成电荷和磁荷。它们在T 对偶群下形
成一个32 维的旋量表示，与前面的24 个荷结合起来，共有56 个荷，形成E(7,Z)的一个表示。
从雷芒反对称张量场出发，我们可以得到16 个四维的矢量场，它们有电荷及磁荷，共32个。
当然，这些电荷和磁荷在强弱对偶的变换下不变。我们只是形式第叫它们为电荷及磁荷，E(7)
含有另一个SL(2)子群，在它的作用下，这些荷形成矢量表示。那么，这些16 个新的规范场如
何得到？以IIA 弦为例，在十维中我们有一个矢量场，一个三阶反对称张量场。矢量场在四维
中提供一个矢量场，而三阶反对称张量场提供15 个矢量场。
这样，U 对偶的猜测预言了一些新的孤子态，而这些孤子态作为弦论中的低能解早就存在
了，只是我们过去根本没有认为它们的确会在弦论的动力学中出现而已。我们在下一节中接着
介绍胡耳－汤生的工作。
(第二节)
上一节介绍了四维型II 超弦的U 对偶，必须注意到，我们考虑的理论是十维型II 超弦紧
化在六维环面上的理论，所以四维中的超对称是极大超对称。U 对偶群和超对称的个数有极大
的关系，当完全没有超对称时，我们不知道是否还有任何对偶。
没有在上一节提及的是为何我们要研究BPS 态在对偶变换下的性质，而不是其它态。这是
因为BPS 态是稳定的态，其存在和弦论中的模参数无关。举例来说，当我们变化耦合常数时（模
参数之一），BPS 态谱不变，所以应当形成对偶群的表示。谱不变并不意味着它们的质量不变，
质量是模参数的函数。比方说，当弦的耦合常数小时，弦的微扰态的质量与耦合常数无关（用
所谓的弦度规来测量），而孤子态有的与弦耦合常数成反比，有的与弦耦合常数的平方成反比，
所以在弱耦合下比弦的微扰态重，从而在动力学中不起主要作用。同样由于BPS 态的质量没有
量子修正，所以作为模参数的函数可由弱耦合的计算确定。这样，孤子态在强耦合情况下反而
变得比原来的弦态要轻，从而在动力学中起到关键作用。U 对偶的存在告诉我们，在这个情况
下我们可以找到一个新的耦合常数，相对于这个耦合常数，这些孤子态成为微扰态，而原来的
微扰态反而成了较重的孤子态。
我们说过，N 等于8 的四维超弦理论的模参数空间是E(7)的一个陪集空间。考虑到U 对偶，
这个陪集空间上的真空并不是完全独立的，所以真正的模空间是这个陪集空间再除掉U 对偶
群，是一个陪集空间的陪集。原来的陪集空间是非紧的，就是说体积是无限大，而考虑了U 对
偶后的模空间的体积是有限的。当然，这里的体积的定义是由理论中的标量场所决定的：在作
用量中，所有标量场的动力学项由模空间上的一个度规决定。我们谈的体积是这个度规决定的
体积。T 对偶群的佚与紧化的环面的维数相等，加上强弱对偶的佚为一，U 对偶群的佚就比环
面的维数大一。这是四维弦的情况，其实，高维弦的U 对偶群也一样，它的佚比紧化的环面大
一。
下面我们就简略谈谈高维的U 对偶。
由于T 对偶，紧化在环面上的IIA 弦与IIB 弦一样，所以我们没有必要区别这两种弦论，
只是在十维中我们要做一个分别。当型II 弦紧化在五维的环面上时，我们获得五维时空中有
着极大超对称的弦论。这个时候T 对偶群是SO(5,5,Z)，加上强弱对偶，新生成的U 对偶群是
E(6,Z)，同样是E(6)的极大分裂形式。上升到六维时空，此时环面是四维的，所以T 对偶群是
SO(4,4,Z)，结合强弱对偶，我们获得的U 对偶群是SO(5,5,Z)。七维时空的U 对偶群是SL(5,Z)，
由T 对偶群SO(3,3,Z)和强弱对偶生成（注：六维和七维的U 对偶群在胡耳和汤生的文章中被
弄颠倒了）。到了八维，U 对偶群是SL(3,Z)与SL(2,Z)的直积，这个SL(2,Z)和强弱对偶群不
同，强弱对偶群包含在SL(3,Z)中。到了九维，T 对偶群仅仅是Z(2)了，因为紧化空间是一个
圆，T对偶只是将半径变成其倒数。这样，U 对偶是强弱对偶与T 对偶的直积。最后，在十维
空间有两个不同的型II 弦，IIA 的对偶我们后面再谈，IIB 的对偶就是强弱对偶SL(2,Z)。
现在介绍胡耳－汤生工作中的第二个重要猜测，四维的杂化弦和一类四维的型II 弦的对
偶。
在十维中，有两种杂化弦，其中一种的规范对称群是SO(32)，还有一种的规范对称群是
E(8)XE(8)，这两个规范群的起源是弦在16 维环面上的左手模所带来的。当这些杂化弦紧化在
一个圆上时，我们可以得到更多的不同的规范群。一般地，这些规范群的佚总是16+2，不一定
比原来十维中的规范群要大，原因是我们可以让一些规范场在圆上获得真空期待值（叫做威尔
逊线），这些真空期待值的作用是使得所有不与其对易的群对成性破缺。我们在第七章的第三
节和第四节介绍了T 对偶，但没有提及杂化弦的T 对偶。在九维空间中，两个杂化弦是互相T 对
偶的。虽然它们在十维空间中的规范群不同，在九维中，可以利用威尔逊线和可能的规范增大
使得它们的规范群完全一样。规范增大的来源是圆半径可以在T 对偶变换下不变，从而可以有
更多的规范场出现。在十维中，由于16 维环面上只有左手模，所以T 对偶群是SO(16,Z)（见
第五章第二节）；在九维中，多了一个圆上的右手模和左手模，所以T 对偶群是S(17,1,Z)。
这样，规范群可以等价地由17＋1 维中的偶的自对偶晶格来决定，从而也就没有两种杂化弦的
区别(原理和我们在第五章第二节中介绍的完全一样，这个分类是第一次革命中纳阮(Narain)
发现的）。
当十维的杂化弦紧化在六维环面上时，我们获得四维时空中N 等于4 的超弦理论。这时多
了这个环面上的右手模和左手模，T 对偶群变成了SO(22,6,Z)，其中22 是原来的16 个左手模
加上6 个新的左手模，第二个因子6 是6 个右手模。在这个T 对偶外，许多人在90 年代初期
猜测还有一个强弱对偶群SL(2,Z)，作用在一个复数场上，这个复数场的虚部是伸缩子场，而
实部是所谓的轴子场（在弦论中总有一个内吾－史瓦兹反对称张量场，这个张量场在四维中等
价于一个标量场，因为张量场的场强是三阶反对称张量场，而标量场的场强是一个矢量，它们
在四维中对偶）。由于杂化弦的强弱对偶只作用在内吾－史瓦兹场上面，所以与T 对偶群是对
易的。这样，四维杂化弦的U 对偶群是SO(22,6,Z)和SL(2,Z)的直积。
我们前面谈到了四维极大超对称型II 弦的规范对称性，当模参数任意时，对称性是阿贝
尔的，共有28 个。其中只有12 个是弦的微扰态生成的，与六维环面有关，而两外16 个来自
于雷芒分支，对应的电荷完全是非微扰的，也就是弦论中的孤子。四维极大超对称杂化弦同样
有28个阿贝尔对称性，这些对称性的起源及电荷完全是弦的微扰态，是T 对偶群SO(22,6,Z)
的矢量。加上强弱对偶，我们共有56 个荷，另外28 个荷是磁荷，它们的起源是10 维里的0
－膜和6 个KK 磁单极以及H－磁单极。
四维中还有一类超弦具有N 等于4 超对称，这类弦由型II 弦紧化在6 维空间K3X 两维环
面上，其中K3 是四维的卡－邱流形，它的存在使得一半的超对称破缺。我们同样可以获得28 个
阿贝尔规范场，其中四个来自于两维环面，余下的24 个来自于雷芒反对称张量场。以IIA 为
例，原来的矢量场给出一个四维的矢量场，而原来的三阶雷芒反对称张量场可以用22＋1 个二
阶调和形式来展开，其中22 个来自于K3，一个来自于两维环面，这样三阶张量场的第三个指
标就是四维时空中的矢量。
我们同样可以数出型II 弦论中的28 个电荷及磁荷，其中4 个电荷是两维环面上的动量模
和绕数模，剩下的24 个电荷当然是孤子解，一个是IIA 弦中的0－膜，带IIA 理论中矢量场的
荷，剩下的23 个电荷来自于2－膜，分别绕在两维环面上以及K3 中的22 个不可收缩的两维子
流形上。
这样，我们自然猜测这些新的四维N 等于4 的弦论和原来的杂化弦完全一样，这个猜测是
胡耳－汤生的第二个重要猜测。如果这个猜测是正确的，那么型II 弦的对偶群也必须是
SO(26,2,Z)与SL(2,Z)的直积。我们看看从型II 弦出发能否得到这个群。首先，两维环面带来
T 对偶群SO(2,2,Z),等价于两个SL(2,Z)的直积。其次，K3 理论告诉我们有一个推广的T 对偶
群SO(20,4,Z）。考虑到型II 弦的强弱对偶，还有一个强弱对偶群，这样总的佚的确是15，与
要求的相同。
胡耳和汤生并没有给出我们在以上两节介绍的U 对偶的更多证据，只是指出，所以这些可
能和11 维超引力有关。
为了更好地理解这些对偶，我们必须介绍威顿95 年三月份的工作。我们在下一节开始介
绍威顿的工作。
（第三节）
威顿的文章《弦论在不同维度中的动力学》的主要贡献之一是将11 超引力纳入了弦论的
框架。胡耳和汤生在他们的文章中已经提到11 维超引力，但主要讨论紧化到低维时空时的BPS
谱，没有直接猜测这个理论在弦论中的位置。威顿则明确无误地说，十维IIA 弦论的强耦合极
限是11 维超引力。当然他并没有说这个理论本身是自洽的量子理论，只是说低能物理由这个
理论给出。事实上，11 维超引力所对应的量子理论至今还没有一个完全的答案。几乎与威顿
同时，汤生在一篇短文中指出了11 维超引力的作用，特别指出十维中的弦是由11 维的膜而来。
但他所持的11 维膜是基本动力学态后来没有得到什么证据。
威顿首先指出，十维IIA 超对称代数允许一个中心荷，这个中心荷不是别的，正是雷芒矢
量规范场所对应的荷。当质量正比与这个荷时，态是BPS 态，当然这些态不在弦的微扰谱中出
现。存在极端黑洞解，其质量和电荷是连续的。考虑到量子效应，电荷必须量子化，最简单的
可能是这些电荷是一个基本电荷的整数倍。威顿证明，质量与电荷的正比系数与弦的耦合常数
成反比，而电荷与耦合常数无关，所以质量和耦合常数成反比。只是在弦论中才有这种现象出
现，在一个场论中，一个孤子的质量与耦合常数的平方成反比。
在强耦合极限下，这些孤子的质量越来越小，逐渐趋于零。这样就产生一个问题，在什么
样的十维理论中会有无限多个无质量的粒子呢？一个微扰弦论不可能产生这么多的无质量粒
子，所以IIA 弦的强耦合不可能对偶于另一个弦论。一个最简单的可能是，这些轻态其实是一
个11 维理论紧化在一个圆上的动量模。当弦耦合常数趋于无限大时，圆的半径也趋于无限大。
由于11 超对称代数必须约化为十维IIA 超对称，只有一个理论，其低能极限就是11 维超引力。
不但如此，我们可以通过通常的KK 程序由11 维超引力的低能作用量获得十维的IIA 低能作用
量－这个关系很久以前就知道了。威顿通过这种办法获得第11 维，即那个圆，的半径与弦耦
合常数的关系。一个强耦合的十维理论其实是一个11 维理论的确是非常令人惊讶的。
另一个十维型II 弦是IIB 理论，我们前面已经说过，这个理论有强弱对偶，当弦的耦合
常数变大时，理论对偶于一个弱耦合的IIB 弦，我们可以称这样的对偶为自对偶，因为两个理
论除了耦合常数不一样外是同一个理论。
当型II 弦紧化到低维时，我们获得更多的对偶，就是U 对偶。威顿作了一个很重要的分
析，就是研究模参数的不同极限，看能得到什么样的弱耦合理论。分析表明，只有两个弱耦合
极限，其一是弦论，其二是11 维超引力，前者由IIB 弦的强弱对偶所控制，后者由威顿指出
的IIA 与11 维理论的对偶所控制。
在有着U 对偶的低维弦论中，弦的耦合常数不再是一个特别的常数，它与其它的一些模参
数地位是一样的。由于U 对偶群是一个极大分裂群，有若干非紧的方向，其数目和群的佚相等。
模空间的非紧方向也有这么多，而弦耦合常数只是其中的一个方向，其余的方向有的紧化环面
上的半径。举一个例子，当型II 弦紧化在三维环面上时，我们得到七维弦论，其U 对偶群是
SL(5,Z)，模空间有4 个非紧的方向，一个是耦合常数，另外三个是三个半径。我们可以研究
顺着其中任意一个方向走到无限远时BPS 态的谱，比如将弦耦合常数调到无限大。威顿定义了
所谓极大方向，其含义是沿着这个方向BPS 的谱中的变成无质量的态是极大的，不能靠调其它
模参数使其变得更大。扣除置换对称（如交换两个半径），只有两个独立的极大方向。一个极
大方向对应于七维的弱耦合弦论，另一个极大方向对应于11 维超引力：七维弦论可以看着是
11 维理论紧化在四维环面上，这个极大方向就是将4 个半径变成无限大，所得到的轻BPS 态
就是11维超引力子。
同样，当考虑那些非极大方向时，可以得到高于七维的弦论。这个思路可以用到更低维的
弦论，威顿获得一个自洽的图象，当沿着一个非紧参数走到无限远时，我们或者得到一个更大
维度（也可能是同维度）的弱耦合弦论，或者得到11 维理论。当一个高维弦论出现时，没有
破缺的对偶恰恰就是这个维度型II 弦论的U 对偶。这样，不同维度弦论的U 对偶以及11 维理
论形成一个自洽的系统。
最后我们指出，两个十维的型II 弦都可由11 维理论的紧化获得。IIA 理论是11 维紧化
在一个圆上的结果，圆的半径小于11 维的物理标度-普朗克标度-时，我们得到弱耦合弦论，
弦的耦合常数与圆的半径的3/2 次方成正比。而十维的IIB 弦可由11 维理论紧化在一个二维
环面上得到，这是一个九维理论，要回到十维，我们可以将环面的两个半径缩小，一直趋于零，
但两个半径之比要固定，这样IIB 弦的耦合常数也固定了：它正好是两个半径之比。我们可以
将IIB弦的强弱对偶理解维11 维理论的几何对称性，将两个半径互换，这样弦耦合常数就变成
原来的倒数。我们以后再详谈这个对偶。
威顿同样对杂化弦和型II 弦的对偶做了细致的研究。我们前面介绍的的四维N 等于4 的
杂化弦与型II 弦的对偶，其实可由六维的杂化弦与六维的型II 弦的对偶得来，前者是十维杂
化弦紧化在四维环面上，而后者是十维IIA 弦论紧化在K(3)上。威顿研究了两个理论的低能作
用量，发现它们是一样的，只要重新定义场，特别是伸缩子场。这两个理论之间的对偶是强弱
对偶。
当我们进一步将两个理论紧化在两维环面上时我们就得到以前的两个四维弦的对偶，同时
我们会发现一个很有趣的现象。当杂化弦紧化在两维环面上时，会产生一个新的T 对偶群，就
是SO(2,2,Z)，可以写成两个SL(2,Z)的直积，一个SL(2,Z)作用在环面的复结构参数上(就是形
状参数)，另一个作用在由面积和反对称张量场组成的一个复标量场上面。同样，型II 弦紧化
在两维环面上也产生一个SO(2,2,Z)T 对偶群。这个T 对偶群和杂化弦的不完全一样，因为两
个理论中的场作了重新定义。两个度规不一样，但成正比，这样两个不同环面的复结构是一样
的，从而两个T 对偶群S(2,2,Z)中的一个因子SL(2,Z)是一样的，但两个环面的面积不一样，
并且反对称张量场的份量也做了置换，所以第二个SL(2,Z)因子不一样。通过研究场的对应，
不难看出，杂化弦的第二个因子变成型II 弦的强弱对偶，而型II 弦的第二个因为变成杂化弦
的强弱对偶！所以四维弦中的强弱对偶竟然和另一个弦论中的T 对偶一样。
威顿的另一个重要贡献是指出型II 弦中的新的规范对成性的起源。在六维中，虽然杂化
弦的规范群一般地是24 个阿贝尔群的直积，但当模参数取一些特别的值时，可以有非阿贝尔
对称性的出现。最大的非阿贝尔群的佚不超过20，但可以是三类典型群中的一种。我们知道，
型II弦（实际上是IIA 弦，因为K(3)上的T 对偶不混合IIA 和IIB）中的规范场来自于雷芒反
对称张量场，只能是阿贝尔的。那么非阿贝尔对称性从何而来？威顿指出，流形K(3)可以有一
些迹形（orbifold)奇异性，当模参数在迹形奇异点时，K(3)中的一些两维子流形变成一点，
这些奇异性正好可以由三类典型群分类，与杂化弦的典型群吻合。所以他猜测当K(3)处于一
个迹形奇异点时，型II 弦中有非阿贝尔对称性产生。我们以后再介绍规范场从何而来。
威顿不但研究了这个对偶在低于六维弦论中的体现，也研究了在高于六维中的体现。他并
做了关于十维杂化弦的猜测，就是，有着规范群SO(32)的十维杂化弦对偶于型I 弦。这也是
一个大胆的猜测，因为杂化弦是闭弦理论，而型I 弦是开弦理论，很明显这个对偶是强弱对
偶，因为两个弦的微扰谱不一样：假如是弱弱对偶，那么我们应当在杂化弦的微扰谱中看到开
弦，反之亦然。通过研究低能作用量，我们看到的确是强弱对偶。
另外，既然六维杂化弦对偶于六维IIA 弦，既然IIA 弦有11 维起源，那么杂化弦是不是
也有11 维起源？答案应当是肯定的，如将11 维理论紧化在K(3)上，获得的七维理论可以有
七维杂化弦的解释，当杂化弦是强耦合时，11 维理论是弱耦合的。我们可以继续追问，十维
杂化弦有没有11 维理论的起源？威顿没有立即回答这个问题，但半年后他和哈加瓦(P. Horava)
一同回答了这个问题。
（第四节）
我们已经提到十维中有SO(32)规发群的杂化弦与型I 弦的对偶，但想把具体的介绍放在D
－膜的后面。十维中最后的一个对偶是规范群为E(8)XE(8)的杂化弦的强耦合极限与11 维理论
的对偶。这个对偶也相当出人意表，所以到了95 年的十月份才被威顿和哈加瓦提出来。
11 维理论不是别的，正是型IIA 弦的强耦合极限。这个理论还没有很好的微观定义－当然
有一个矩阵模型，低能极限是11 维超引力。当然，杂化弦的强耦合极限不是简单的11 维理论
紧化在一个圆上，因为十维的杂化弦只有N 等于1 的十维超对称。如果我们顺着IIA 弦强耦
合的思路，那么我们需要将11 维理论紧化在一个一维的空间上同时破坏一半的超对称，因为
11 维理论直接下降到十维产生十维的N 等于2 超对称。
一维空间的分类很简单，只有四种。如果我们要求紧化后的十维理论的确象一个十维理论，
那么这个一维空间必须是紧致的。只有两种一维紧致空间，圆或者有两个端点的线段，后者可
以通过圆的迹形得到：在圆上取两个对极点，然后以它们为基点将圆对折。这个线段是一个迹
形，因为对折可以看作是群Z(2)的作用，而两个端点是这个群作用的不动点。
在Z(2)的作用下，第十一维反演，11 维理论不变，只要11 维理论中的三阶反对称张量场
同时做反演。理论不变是弦论中构造迹形模型的必要条件，如同我们由一个对称图形出发通过
对称性构造更小的图形。11 维理论中的费米场在反演下也要做变换，这个变换是量子场论中
熟悉的，就是将费米场乘以一个第十一维的伽马矩阵。由于迹形中的态必须在反演不变的，所
以费米场只剩下一半，就是那些在第十一维伽马矩阵作用下不变的场。从十维的角度来看，这
些场的手征是正的。同样，遗留下来的超对称在十维中的手征也是正的，所以只剩下十维N
等于1 的超对称。
我们必须说明，哈加瓦-威顿的迹形构造是假定了11 维理论的确可以做迹形构造，这个假
定是自然的，因为11 维理论的特殊情形是型II 弦论，弦论可以做迹形构造，那么11 维理论
也可能可以直接在11 维中做迹形构造。这么一来，我们在十维中又获得了一个N 等于1 的理
论，这个理论如果不是新理论，就应当是已知的弦论，也只有一个可能，就是规范群是E(8)XE(8)
杂化弦，因为只有这个理论的强耦合极限还不知道。
接着他们从三个角度来论证这个迹形构造的确是杂化弦，我们一一介绍那三个论证。
首先要说明，由于11 维理论还没有太好的微观的表述，所有三个论证几乎都是比较直观
的以及与对称有关的。第一个论证是引力反常，就是引力微子的量子涨落带来的对引力协变性
的破坏。在11 维中，没有引力反常，但在十维中有。11 维理论的迹形构造的结果还是11 维
理论，只是在线段的端点我们有十维的理论，就是说如果有引力反常，反常也是集中在两个十
维的边界上。这两个边界就象磁畴壁(domain wall)，而反常很像过去人们讨论过的反常流：磁
畴壁是这个流的源。这样，在广义坐标变换下，量子有效作用量的变化含有两个部份，一部份
集中在一个壁上，另一部份集中在另一个壁上。由于反常是局域性质的，作用量的变化也是场
的局域函数。
如果只有引力本身，反常的形式是固定的，因为引力微子与引力的耦合是固定的，所以我
们不需要了解11 维理论的微观形式也能决定反常的形式。在边界上，我们有十维N 等于1 的
超引力，如果没有其它场，引力反常不可能被消除－但是我们已经假定11 维理论是可以通过
迹形构造获得自洽的理论的，所以必须有其它场介入，才能消除反常。
能引入的场只能是十维的N 等于1 的矢量超多重态，因为11 维中只存在引力超多重态。
这样，新的场只能定义在边界上，边界看起来就像我们已经知道的膜。要在每个边界上抵消引
力微子带来的反常，就必须给引入248 个矢量超多重态，这就是E（8）群的维数，两个边界
有两个E(8)群，理论应该和E(8)XE(8)的杂化弦一样。
一旦引入规范场，引力反常就会既是引力场的函数，也是规范场的函数。由于反常是局域
的，不应该有两个边界上规范场的混合项，这样反常的形式也可以确定下来了，而没有被抵消
的反常可以通过格林－史瓦兹机制抵消，就是对三阶反对称张量场引入新的变换，这个变换也
只是集中在边界上，而且，11 维理论中的确存在三阶反对称张量场与引力的一种耦合可以用
来抵消剩余的反常。（格林－史瓦兹反常抵消机制已在谈第一次超弦革命中介绍过，见第五章
第一节）
第二个论证类似强耦合IIA 弦与11 维理论关系的论证，就是看杂化弦在强耦合时的低能
有效作用量和11 维作用量的关系。与IIA 弦的情况一样，可以确定弦的耦合常数与第11 维尺
度的关系，当耦合常数很大时，第11 维即线段的长度也很大，两者的关系与IIA 弦的耦合常
数与第11 维圆的半径的关系完全一样。所以，当线段的长度小于11 维理论的普朗克长度时，
11 维的半经典引力描述已经失效，人们也许以为有很强的量子引力效应，其实不然，代11 维
引力的理论是弱耦合的杂化弦论。
第三个论证也和IIA 弦一样，就是弦本身的11 维起源。在IIA 理论中，弦不是别的，就是
11 维理论中的膜，膜的一条腿饶在第11 维圆上，所以弦的张力就是膜的张力乘以圆的周长。
这个论证还不够严格，如果要严格，就要将11 维理论紧化在一个两维环面上，膜的两根腿各
饶环面的两个圆一次，我们获得一个BPS 态，这个BPS 态在弦论中就是弦在第二圆上的绕数
模。11 维膜上的世界体作用量早就在八十年代末被研究过，不久它的所谓双约化也被研究过：
不但11 维时空约化在一个圆上，而且膜也约化在一个圆上。这样所得到的零膜作用量正好是
IIA 弦的世界面作用量。同样的道理，我们可以将11 维理论紧化在两维环面上，然后对其中
的一个圆（第11 维）作迹形构造。饶在环面上的膜也作迹形构造，这样这个膜也就有了两个
边界，每个边界都是一个圆（弦），直接约化下来的世界面含有杂化弦世界面上的一部份变量。
但这部份变量含有两维中的共形反常，所以我们也要引入新的场来抵消反常。类似前面时空中
的反常，反常集中在膜的边界上，可以通过在每个边界上各引入16 个费米子来抵消。这些费
米子加上原来的变量正好组成杂化弦世界面上的变量。
我们不通过在环面上的紧化也能获得杂化弦，当然就是一个有两个边界的膜，一个边界搭
在时空的一个边界上，另一个边界搭在时空的另一个边界上。从而我们也知道了时空边界上矢
量多重态的起源：它们就是这些有边界膜的特别激发态：膜边界上的费米子被激发了。
哈加瓦－威顿构造可以用来理解规范群为SO(32)的杂化弦与型I 弦的强弱对偶，这很类似
用11 维理论来理解IIB 弦的强弱对偶。将11 维理论紧化在一个两维环面上，我们获得一个紧
化在圆上的IIA 理论，但IIA 理论与IIB 理论是T 对偶的，所以这个理论又可以描述IIB 理论。
但IIB 中的紧化圆不同于11 维理论中环面上的任一个圆，因为它的起源是11 维理论中的绕数
模，11 维理论中的环面越小，这些绕数模就越轻，从而有一个新的维度产生，在这个新维度
中，环面上的绕数模被解释为动量模。所以当环面缩小到无限小时，IIB 理论中的圆变成无限
大，我们回到十维IIB 理论。IIB 理论中的耦合常数是11维理论中环面的两个半径之比，这样
强弱对偶就是将环面上的两个圆交换。我们必须强调，无限缩小的两维环面产生一个无限增大
的圆！
现在，我们研究E(8)XE(8)紧化在圆上的情形，这是11 维理论紧化在环面迹形上。从杂化
弦的角度来看，它T 对偶于SO(32)杂化弦。当环面迹形无限缩小时，SO(32)杂化弦中的圆的半
径无限增大。那么，与SO(32)杂化弦有着强弱对偶的型I 弦是怎么来的呢？我们交换一下环面
迹形中的线段和圆，这样我们获得紧化在圆上然后再紧化在线段上的11 维理论。通过第一次
紧化，我们获得IIA 理论，第二次次紧化相当于在IIA 理论中作迹形构造，我们会获得开弦（以
后再详细介绍这种所谓的定向迹形构造），这个开弦不是别的，正是原来模在环面迹形上的绕
数模，这个绕数模在E(8)XE(8)杂化弦中也是绕数模，应当对偶于SO(32)杂化弦中的动量模，
所以，我们获得SO(32)开弦中的动量模，可见IIA 迹形构造出来的开弦不是与SO(32)杂化弦对
偶的开弦，应当是它的T 对偶。
我们后面再谈与杂化弦对偶的开弦其实是IIB 弦的定向迹形构造。
第十章 第二次革命：D 膜
（第一节）
1994 年年中到1995 年年底这一年半中，新的发展令人眼花缭乱，从一开始的场论中的一
些非微扰的严格结果，到弦论中的对偶再到D 膜，流行变了几次。当威顿的关于弦论的对偶
的文章以及施特劳明格的工作（下一章中介绍）出现后，弦论界有相当一部份人研究弦论紧
化后的对偶，得到许多结果，特别是四维的N 等于4 和N 等于2 的弦论得到比较多的研究。
这些研究，和我们前面介绍的一些有着极大超对称的弦论对偶一样，依赖于一个重要假定，
即一些保持一些超对称的膜的存在，特别是一些带有雷芒反对称张量场的荷的膜。我相信，
当大家一窝蜂地追逐弦论中的各种对偶时，一定有一些人在考虑如何能更有效地研究各种膜
以及它们的动力学，因为到那时为止，膜仅仅作为超引力理论中的解存在着。至于膜的动力
学，人们也只能满足于膜的低能行为，那些零模激发。即便如此，当多个膜一同存在时，重
要的低能膜也被遗漏了。泡耳钦斯基在95 年十月份的文章，真象平地一声雷，改变了局面。
事实上，早在1988 年，研究带雷芒荷的膜的主要技术和概念已经被泡耳钦斯基和他的学
生发现，只不过被大家忽略了许多年而已。所以，我们介绍D 膜应当从那篇文章谈起。
那时有一部份人对各种可能存在的弦论的分类感兴趣，而泡耳钦斯基对开弦的分类感兴
趣，这在当时不是一个引人注意的问题，因为那时很多人相信杂化弦最有可能描述我们的物
理世界。泡耳钦斯基等人在那篇文章中主要研究开弦理论中T 对偶所带来的结果。
我们早就介绍了闭弦理论中的T 对偶，这里物理上重要的是，闭弦在一个紧化圆上不仅
有动量模，还有绕数模，这两组模处于一个对等的地位。将这两组模交换一下，我们得到一
个新的紧化圆，其半径是原来半径的倒数。在新的圆上，原来的动量模成为绕数模，而原来
的绕数模成为动量模。在开弦理论中，由于开弦的两个端点是自由的，不再存在绕数模，我
们同样可以做T 对偶变换，但不会产生新的动量模，从而在T 对偶理论中，开弦不会感到新
的圆存在。可是一个开弦理论中含有闭弦，对于闭弦来说，新的圆是存在的，从而在这个T
对偶的理论中，开弦感到的维度比闭弦感到的要小一维。
假定在T 对偶前的圆半径很小，T 对偶之后的圆半径就很大，对于闭弦来说，有效的维度
并没有改变，世界还是十维的，如果我们讨论的是超弦。对开弦来说，由于原来理论中不含
绕数模，世界成为九维的了。也就是说，在T 对偶之后的理论中，开弦也是九维的，这如何
解释呢？最简单的解释，就是在十维空间中存在一个九维的膜，与新产生的维度垂直，开弦
的端点在这个膜上运动。我们下面看看弦论的T 对偶变换如何解释这个膜的存在。
开弦的世界面作用量产生的运动方程包括一个边界条件。如果时空是一个简单的平坦空
间，没有任何其它场的背景，有两种可能的边界条件，一种是弦的端点的法向导数为零，叫
做诺依曼边界条件，这相当于要求弦的端点以光速运动，所以开弦不可能是静止的，至少也
要转动，其最低激发态（快子除外）是矢量粒子，也就是光子。第二种边界条件就是狄雷克
利条件，也就是说某些坐标在端点处固定。我们可以考虑最一般的情形，其中某些坐标满足
诺依曼条件，某些坐标满足狄雷克利条件，满足后者的坐标说明弦的端点只能在时空的一个
超平面上运动，这个超平面由固定那些坐标确定。例如，假定九个空间坐标中的最后一维空
间满足狄雷克利条件，那么我们就有一个八维的超平面，开弦的端点只能在这个超平面上以
光速运动。
一般来说，我们在时间方向不要求狄雷克利条件，所以超平面上有一个时间方向（后面我
们会谈到也在时间方向加狄雷克利条件），如果这个超平面的空间维度是p 维的，这样定义的
膜叫做Dp 膜，其中D 的含义就是狄雷克利条件，虽然我们其实在p 维空间和时间方向要求
的是诺依曼边界条件。当p 小于九时，我们不再有十维的洛仑兹不变性，只有p+1 维的洛仑
兹不变性，因为时间不能与加狄雷克利条件的空间方向混合了。物理的直观很清楚，Dp 膜的
存在破坏了原来的洛仑兹不变性。
现在回到我们前面讨论的开弦的T 对偶。开弦和闭弦一样，弦的振动模可分为左手模和
右手模，与闭弦不同的是，左手模和右手模两者不独立，因为边界条件要求它们是相关的。
在T 对偶变换下，相应坐标的左手模不变，右手模变一个符号。这样，对于闭弦来说，动量
模与绕数模互换，对于开弦来说，原来的诺依曼边界条件变成了狄雷克利边界条件，也就是
说，在T 对偶之后的理论中，开弦的端点必须在这个坐标方向固定，这与我们前面的直观讨
论完全吻合，在新的理论中，开弦端点的空间减少了一维。
当然，除了端点之外，开弦的其它部份还在整个十维时空振动。但是，这些振动模通常是
很重的，所以开弦的低能激发态只能在低一维的空间运动。形式上，我们可以叫在T 对偶之
前的那个膜为D9 膜，因为整个九维空间中都有开弦，T 对偶之后，成了D8 膜。当然，我们
也可以从Dp 膜出发，在Dp 膜上的一个方向做T 对偶变换，获得一个低一维的D 膜。相反，
如果我们在垂直于Dp 膜的一个方向做T 对偶，原来的狄雷克利条件变成诺依曼条件，D 膜
多出了一维。
泡耳钦斯基等人一开始的出发点是型I 弦，其中含有许多D9 膜，他们通过T 对偶说明，
还应当存在其它维度的D 膜。这在当时并没有引起什么人的注意。其实，他们的文章被审稿
人拒绝过，最后才发表在新加坡的世界科学出版社的一个刊物上。
他们在那篇文章中进一步说，如果这样的膜存在，那这些膜不可能是刚体，因为在广义相
对论中没有刚体存在，所以这些膜本身也有动力学，可以改变形状等等。
最简单的论证D 膜不是刚体的方法是计算引力子与D 膜的相互作用，或者是所谓的单点
函数。我们知道，在广义相对论中，引力场与能量动量张量耦合，所以引力场的单点函数包
含有能量的信息。在这里，就是膜的张力的信息。张力的定义是膜的没单位体积中所含的能
量－当我们企图拉伸膜时，每增加一个单位体积我们要做的功。单点函数的计算在弦论中已
有固定的方法：在一个实心圆上计算引力子的顶点单点函数，圆的边界条件是诺依曼条件和
狄雷克利条件。这个计算的物理图象是，实心圆的边界代表一个从膜上辐射出来的一个闭弦，
在引力子的顶点算子选择了虚引力子的辐射。由于引力子的顶点算子含有一个弦耦合常数，
所以单点函数与弦耦合常数成正比，也就是说，D 膜产生的引力场正比于弦耦合常数。但我
们知道，这个结果应当正比于牛顿常数和膜的张力，前者正比于弦耦合常数的平方，所以，
膜的张力应当反比于弦的耦合常数。这正是带雷芒荷的膜的正确行为。
所以D 膜既象场论中的孤子，也不完全象。象场论中的孤子是因为当耦合常数很小时，膜
的张力很大，不完全象是因为只是与耦合常数成反比，而不是与耦合常数的平方成反比。当
耦合常数为零时，D 膜的张力无限大，可以看作是一个刚体，可是此时牛顿常数为零，引力
已经没有了动力学，所以这个刚体极限不和广义相对论发生矛盾。D 膜的张力与耦合常数成
反比这个事实很重要，是D 膜后来在许多进展中起了重要作用的原因之一。成反比本身说明D
膜是非微扰物体，不会在弦论的微扰谱中出现。由于牛顿常数与弦耦合常数的平方成正比，
所以D 膜引起的闭弦场（包括引力场）与耦合常数成正比，在微扰仑中（当耦合常数很小时），
D 膜引起的时空背景变化也是微扰的，可以忽略。这个现象与场论中的孤子很不同。例如，
规范理论中的磁单极所引起的磁场与电耦合常数成反比，在微扰论中这样的场不能被忽略。
我们还没有讨论T 对偶后原来的动量模的解释，也没有讨论膜上的低能场，更没有论证在
超弦理论中，为什么D 膜带有雷芒荷，这留在下一节讨论
（第二节） 超D 膜
上一节中我们谈到如何决定一个D 膜的张力，还有一个相对简单的办法，就是计算两个平
行D 膜的相互作用。这个相互作用可以看成是其中一个D 膜发射出一个虚闭弦态，另一个D
膜接受这个态。当两个D 膜相距很远时，相互作用由无质量的闭弦态主导，是长程相互作用。
例如，在纯粹的玻色弦理论中，只有引力子、伸缩子和反对称张量粒子，后者不对D 膜的相
互作出贡献，因为D 膜不带这个反对称张量场的荷（只有弦本身带有反对称张量场的荷）。所
以，两个D 膜的相互作用正比于D 膜张力的平方和牛顿常数，也正比于无质量弦态的个数。
一旦相互作用已知，就能推出D 膜的张力。
两个D 膜通过交换单闭弦引起的相互作用在弦的微扰论中是一个柱面图，这个图表示一个
闭弦由其中一个D 膜传播到另一个D 膜。考虑所有端点搭在不同D 膜上的开弦，当开弦在“真
空”中涨落出来又消失时，最简单的贡献就是单圈图，这个单圈图恰恰也是一个柱面，与闭弦
图的柱面毫无二致。所以，同一个图有两种解释，一种是开弦理论中的圈图，代表最低阶的
量子涨落，另一种解释是闭弦中的树图，完全是经典效应。这个对偶性就是所谓s-t 道对偶：
沿着开弦传播的方向是一个道，沿着闭弦传播的方向是另一个道，这两个道互相垂直。
这样，通过世界面上的对偶，我们将闭弦中的一个树图计算变成开弦中的一个单圈图计算，
因为我们不知道D 膜的张力所以我们不知道如何做闭弦中的树图计算。开弦的单圈图计算比
较简单，因为是单圈图，计算与任何耦合常数都没有关系，我们只要知道开弦的谱就可以了。
开弦可以简单地量子化，质量谱除了通常的弦振动模的贡献，还有与两个D 膜之间的距离成
正比的一个贡献，因为如果一根弦的两个端点搭在不同的D 膜上，其长度必然有D 膜之间距
离的贡献。这样计算下来的单圈图在高能极限下，也就是距离很大的情况下，与垂直于D 膜
的空间（横向空间）的格林函数成正比。这里我们注意到，大距离对应于开弦的高能极限，
因为开弦的能量很大。但是在闭弦的图象中，是红外极限，也就是长程极限。这个计算结果
不依赖于弦耦合常数，但由于和D 膜张力的平方以及牛顿常数成正比，所以D 膜张力与牛顿
常数的平方根成反比，也就是与弦耦合常数成反比，这是已经知道的结果。
泡耳钦斯基在他的95 年十月份的著名文章中所作的计算就是这个开弦单圈图计算，这个
计算同时说明了开弦/闭弦的某种对偶，开弦中的紫外对应于闭弦中的红外，也就是后来所谓
的红外/紫外对应，另一方面，闭弦中的经典相互作用由开弦中的量子效应给出，这在后来的
反德西特引力/场论对偶得到极大的体现。
在十月份的文章中，泡耳钦斯基并没有考虑纯粹的玻色弦。玻色弦中的D 膜的张力计算他
在后来的一篇总结文章中给出。在这个理论中，很容易数出D 膜上开弦的激发态。零质量的
激发态包括一个矢量场，若干个标量场。标量场的数目等于横向空间的维数，这不奇怪，因
为一个标量场代表D 膜在这个横向空间方向上的位置，D 膜上不同的点的横向位置可以不同，
对应于标量场是可变函数。在上一节的T 对偶变换中，如果我们沿着D 膜的一个纵向（切向）
方向作T 对偶，诺依曼边界条件变成狄雷克利边界条件。如果沿着这个纵向方向有一个取值
为常数的矢量场（叫做威尔逊线），经过T 对偶变换后，这个矢量场变成D 膜在新坐标中的位
置，也就是说，原来的矢量场份量变成了标量场。标量场有明显的几何含义，矢量场不一定
有。但在D 膜上，由于T 对偶，我们可以将矢量场看成D 膜在纵向方向的一种振动。
D 膜上的标量场也有一个简单的场论解释。我们知道，当一个平坦空间中没有任何D 膜时，
有极大的空间对称性，特别是有空间平移不变性。当D 膜存在时，我们仍然有沿着D 膜的纵
向方向的平移不变性，但沿着横向方向的平移不变性因D 膜的存在受到破坏。这是一种对称
性自发破缺，场论中的哥德斯通定理告诉我们，必然产生一些零质量的粒子。这些粒子不可
能在纵向方向传播到无限远去，因为在那里对称性渐进地恢复了，所以这些粒子应当相对地
局域化了，这些粒子不是别的，正是D 膜上的标量场。
在超弦理论中，D 膜只破坏一半的超对称，被破坏的超对称同样有相应的哥德斯通粒子。
这些粒子是D 膜上的费米子，与矢量场及标量场一同形成一个超多重态，这个超多重态正是
没有破缺的超对称的表示。在型II 弦论中，有16 个没有破缺的超对称，在场论中，这是极大
超对称，从而D 膜上的场形成一个极大超对称的矢量超多重态。在玻色分支中，有八个粒子，
同样，在费米分支中，也有八个粒子。例如，D3 膜上有两个矢量粒子，六个标量粒子，八个
费米子，正好形成N 等于4 的超规范场论。
两个平行的有同样维度的D 膜保持和单个D 膜情形一样多的超对称，所以这个系统应当
是稳定的（BPS 态），一个结论是，两个平行的D 膜之间的相互作用完全抵消。我们知道，如
果仅仅存在引力和伸缩子相互作用，两个D 膜之间应当存在一个吸引力。现在，由于超对称
的关系，这个吸引力应当被另一种力抵消，这个力不是别的，正是D 膜所带的雷芒荷引起的
力。两个D 膜交换一个雷芒张量场的量子引起的力是排斥力。泡耳钦斯基的计算表明两个D
膜间的相互作用的确抵消了，他不但计算了D 膜的张力，同时计算了D 膜的雷芒荷。他的结
果表明，一个p 维的D 膜的雷芒荷与一个6-p 维D 膜的雷芒荷满足狄拉克量子化条件。我们
在介绍p 膜的一节中已经解释了，p 膜是p+1 阶反对称张量场的电荷，而6-p 膜是这个张量场
的磁荷。
接下来我们谈谈什么样的D 膜才是BPS 态，也就是能保持一些超对称不被破坏。在型I
理论中，存在开弦，开弦的端点满足诺依曼边界条件，我们可以说这些弦其实是D9 膜上的激
发态。型I 中的超对称是十维时空中N 等于1 的超对称，有十六个生成元，可以取为十维空
间中右手旋量（这是约定而已）。在经过T 对偶变换后，这个超对称仍然有固定的十维手征性。
经过T 对偶变换的D 膜可以看作是一个型II 弦论中的D 膜（后面我们将解释型I 弦论可以看
作是IIB理论的一个派生），所以超弦理论中D 膜所保持的超对称在十维时空中有固定的手征。
现在，这个超对称无非是型II 理论中两个超对称的线性组合，并且，这个线性组合不破坏沿
着D 膜纵向方向的洛仑兹不变性。只有两种可能，一种是没有破缺的超对称是两个超对称的
简单叠加，但具体计算表明这个可能没有实现。第二种可能是没有破缺的超对称是一个超对
称和第二个经过纵向方向所有咖马矩阵作用的超对称的叠加，这个可能是实现了的。现在，IIB
理论中两个超对称有同样的手征性，所以上述的线性组合只有当D 膜是奇数维时才有固定的
十维手征性。这也和IIB 理论中只存在偶数阶反对称雷芒张量场这个事实吻合：奇数维的D
膜的时空维数是偶数，可以与反对称张量场耦合。同理，IIA 理论中的D 膜必须是偶数维的，
否则破坏所有的超对称。
当然，我们上面给出的理由并不是原始文献中的理由，在原始文献中，没有破坏的超对称
可由所谓的边界态直接算出。另外一个方法是研究所谓的格林－史瓦兹弦作用量在狄雷克利
边界条件下如何取世界面上的费米子的边界条件。这个费米子边界条件破坏一部份超对称，
保留另一部份超对称。
当然，型II 弦论中也允许完全破坏超对称的D 膜存在，只不过这些D 膜不再是稳定的，
也不带任何雷芒荷。例如，我们可以研究IIB 理论中偶数维D 膜，如D 粒子（零维），但这些
膜不稳定，膜上的场论也完全不一样，特别是，存在一个快子，对应于一个不稳定模。
一个保持超对称的D 膜的稳定的原因很简单，因为它是带相应雷芒荷的质量最小的物体
(在这里，质量的体现是张力），由于雷芒荷是守恒的，它不可能衰变成任何其它物体。
(第三节) 非阿贝尔对称性
膜物理学带来最有意思的物理是当有若干个膜同时存在的时候，特别是若干个平行的维度
相等的D 膜。威顿在95 年十月份泡耳钦斯基的文章出现在网络的两周后，写出了一篇研究多
D 膜和D 膜束缚态的文章。这篇文章第一次指出当多D 膜存在时，会出现非阿贝尔对称性。
前面已经看到，当两个D 膜同时存在时，除了两个端点都搭在同一个D 膜上的开弦，还有两
个端点搭在不同D 膜上的开弦。前者组成两个D 膜上的低能激发态，包括每个D 膜上的无质
量规范场和标量场。在超弦理论中，它们形成两个阿贝尔矢量超多重态。现在的问题是，两
个搭在在不同D 膜上的开弦是什么样的激发态？
其实，这个问题在弦论的早期就有了回答。现在我们用1 来标志搭在第一个D 膜上的端点，
用2 来标志搭在第二个D 膜上的端点。如果开弦是可定向的（在型II 弦论中必须是可定向的，
原因是两个开弦可以合并成一个闭弦离开D 膜，从而是型II 理论中的一个闭弦，必须是可定
向的），用1、2 来标志端点还简单了一点，因为定向性本身要求在一个D 膜上有两种不同的
端点，一种对应于弦的一个定向，其实相对于该D 膜上的矢量场来说，就是正电荷和负电荷，
后面这个观点可以通过研究开弦世界上的作用量看出：开弦的端点与规范场只有两个不同的
耦合。这样，端点搭在不同D 膜上的开弦有两种，对应于两个不同的定向。其中一种在第一
个D 膜的规范场下带正电，在第二个D 膜的规范场下带负电，另外一种端点的带电正好反过
来。
如果我们将两个D 膜上的规范场看成是U(2)的两个U(1)子群，上述的两种新开弦正好可
以补足整个U(2)伴随多重态，与过去的开弦加起来一共有四种开弦，是U(2)的维数。过去的
所谓陈－巴顿因子恰好就是我们上一段所描述的1 和2 以及它们的负电荷。开弦的么正相互
作用要求所有的陈－巴顿因子形成一个群，在这里就是U(2)群。
当两个D 膜完全重合时，两个端点搭在不同D 膜上的开弦包含零质量态，有矢量场和标
量场。在纯玻色弦论中，这些场与过去的零质量场形成U(2)规范理论中的矢量场和伴随表示
的标量场。在超弦理论中，我们得到U(2)的矢量超多重态，由于超对称相当于四维中的N 等
于4 超对称，矢量超多重态正好含有六个伴随表示的标量场，以及四个手征费米场。总结一
下，对于U(2)的一个生成元，有八个玻色场，八个费米场。
非阿贝尔对称性的出现是一个相当反直觉的结果，在单个D 膜时，阿贝尔对称性的起源是
几何的，规范场相当于D 膜在纵向方向的振动，而标量场直接对应于D 膜在横向空间中的位
置。当两个平行D 膜存在时,U(2)中的对角元还有两个D 膜的几何意义，但非对角元没有直接
的几何解释。当两个D 膜分开时，这些非对角元直接对应着搭在两个D 膜上的开弦，且有质
量。当两个D 膜完全重合时，由于非阿贝尔对称性，非对角元已经和对角元之一（两个对角
元的差）完全混合，所以不一定解释成搭在两个D 膜上的开弦。我们可以说，这个时候两个
D 膜中的一个位置，就是位置的差，已经非阿贝尔化，不再有明确的时空解释。只有两个对角
元之和，也就是两个D 膜的重心位置，才有几何意义。这个和不与非对角元混合。
当存在多个平行的D 膜时，对称性扩大为U(N)，其中N 是D 膜的个数。D 膜上低能物理
完全由U(N)规范理论所决定。所以，知道多个D 膜的性质可以推出非阿贝尔规范场论的性质，
反之亦然。
D 膜的物理还直接告诉我们弦论中小距离的物理。例如，当两个D 膜靠近时，按照我们通
常的理解，量子引力的效应会变得越来越重要，特别当两个D 膜的距离小于普朗克长度时。
可是当两个D 膜的距离很小时，D 膜上的物理完全由零质量的开弦激发态决定，在极大超对
称的情况下，规范理论并没有特别不同的效应，从而显示出小距离上的量子引力效应。这里，
红外/紫外对应又一次出现，在闭弦理论中，小距离上的物理是紫外物理，而在开弦理论中，
低能规范理论中的物理是红外物理。
到此为止，似乎一个D 膜对应于弦论中的一个态，这个印象当然是错的。如果弦本身一样，
每个D 膜应有一个超多重态。型II 弦论中弦的基态超多重态一共有256 个，一半是玻色态，
一半是费米态。同样，型II 中的D 膜也有256 个态，一半玻色一半费米。这个结论可以通过
研究超对称得到。我们知道，D 膜破坏一半的超对称，保持另外一半。也就是说，如果我们用
一半超对称生成元作用在D 膜的量子态上，我们得到零，对应于没有破缺的超对称。用破缺
的超对称作用在D 膜态上，得到一个新态。如果有n 个破缺的超对称，我们获得2 的n/2 次
方个新态，通过反复作用，这当然是极小可能，所以叫短超多重态。在型II 理论中，共有16
个破缺的超对称，所以有256 个D 膜基态。
型I 弦论中的D 膜上的规范理论不同于型II 弦论中的D 膜。型I 理论中本来就有不可定向
的开弦，弦的端点在整个十维时空中自由运动，所以型I 理论中可以看作有D9 膜，这些膜的
世界体充满整个十维时空。那么有多少这样的D9 膜呢？回答可以通过两种方法得到。一种方
法是计算场的单点函数，这相当于决定规范群的阶。我们早以介绍过，型I 的规范群是正交群，
为了消除规范反常，这个规范群必须是SO(32)。D9 膜可以形式上看成带有十阶反对称张量场
的荷，所以会产生充满时空的反对称张量场。当规范群的阶恰好是16 时，反对称张量场的源
抵消，所以应当有16 个D9 膜。比弦中的单点函数与规范反常有关，后者是开弦中的量子效
应，这是开弦/闭弦的量子/经典对应的又一个例子。
上面的这个方法并不很直观，第二办法相当直观。我们知道D9 膜有张力，这个张力就是
十维时空中的能量密度，如果没有其它能量密度来完全抵消D9 膜的贡献，就会有宇宙学常数，
从而使得真空解不再是平坦的。所以，我们推测，应该存在另一种物体，其张力是负的，这
种物体叫做不可定向面(orientifold plane)。在十维型I 弦中，恰好有一个九维的不可定向面。
这个不可定向面的存在，解释了为什么开弦在型I 理论中是不可定向的，例如，一个端点搭在
同一个D9 膜上的开弦可以看成两个端点搭在自身和该D 膜在不可定向面中的镜像，所以开弦
不能带有箭头。
如果存在N 个D9 膜，在不可定向面的反映下，有N 个镜像，所以有2N 个D9 膜。从N
个D9 膜中的一个膜出发的开弦，可以终止在除了它自身的膜和所有镜像上面，共有2N-1 种
可能，这样共有N(2N-1)种不同的开弦，正好是规范群SO(2N)的维数。如何计算不可定向面
的张力？过去我们解释了开弦的单圈图计算可以给出D 膜的张力，这个单圈图是柱面。对于
不可定开弦来说，还有两个单圈图，就是莫比乌斯带和克莱茵瓶，前者的对角元可以解释为
开弦一段搭在一个D9 膜上，另一端搭在不可定向面上（如果没有不可定向面，就很难解释这
个图），后者的对角元可以解释为开弦的两个端点同时搭在不可定向面上。注意这些开弦没有
在壳态。这些贡献与不可定向面的张力以及雷芒荷有关，这样计算下来的张力是D9 膜张力的
16 倍，而且是负的，所以必须有16 个D9 膜来抵消张力。
型I 理论中除了D9 膜外，还可以有D1 膜和D5 膜。研究这些膜比研究型II 理论中的膜要
复杂些，主要原因是D9 膜已经存在。以D1 膜为例，不但有D1 膜上的开弦，还有一个端点
搭在D1 膜上，另一个端点搭在D9 膜上的开弦。由于有16 个D9 膜和它们的镜像，这些开弦
会产生许多新的态。基态通过格舍奥投射后剩下费米场，共有32 个费米场，正好是杂化弦中
的左手费米场的个数。D1 膜上的开弦给出8 个无质量标量场和8 个右手费米场，没有矢量场。
总之，D1 膜和杂化弦的世界面理论完全一样，再次说明杂化弦在型I 理论中是孤子。
型I 理论中的D5 膜理论较为复杂，我们下一节讨论。
（第四节） D 膜的一些应用
我们在介绍弦论中的孤子解时就提到，在杂化弦中，有一类孤子，其中规范场以及引力场
和伸缩子在一个四维的子空间是一个孤子解，特别地，规范场是瞬子。从十维时空来看，这
是一个五维膜。威顿后来指出，弦的对偶性要求这个膜当瞬子的尺度为零时还存在，并且膜
的低能有效物理是一个SU(2)规范理论。这个膜很不同于我们前面研究的膜，那些单个D 膜的
规范群是U(1)，特别地，在型I 理论中，D1 膜没有规范群。
泡耳钦斯基和他的一个学生在1996 年的一篇文章中指出，尺度为零的规范五维膜正是型I
理论中的D5 膜。他们论证，在型I 理论中，如果要求搭在D5 膜以及D9 膜上的开弦的相互
作用与D9 膜上的开弦以及D5 膜上的开弦形成一个自洽的系统，D5 膜上的规范群必须是辛群
Sp(n)，当n 为1 时，这个辛群就是SU(2)，有两个陈－巴顿因子。两个因子的存在也可以解释
成D5 膜总是成对地存在，就是说，所谓单个D5 膜可以形式上看成两个重合的D 膜。这个看
法还可以由推广的狄拉克量子化条件看出。如果我们重复D1 膜以及D5 膜的荷的计算，由于
开弦的不可定向性，我们发现它们不满足狄拉克量子化条件（D1 膜看成是型I 弦论中量阶雷
芒张量场的电荷，而D5 膜是该场的磁荷），当D5 膜总是成对地出现的时候，极小量子化条件
成立。
所以，型I 弦论很不同于型II 弦论，其中D1 膜和D9 膜上的规范群是正交群，而D5 膜上
的规范群是辛群。
现在我们谈谈D 膜的一些简单应用。最简单的D 膜是零维的，就是IIA 理论中的D0 膜。
这个粒子其实就是我们前面提过的带有雷芒矢量场荷的粒子，而该矢量场被解释为由11 维紧
化在圆上所带来的KK 矢量场，所以D0 膜是最基本的KK 粒子。如果型II 弦的确与一个11
维理论对偶，那么还应当存在其它KK 动量模。由于在第十一维方向的动量是量子化的，这些
模所带的雷芒荷是D0 膜的整数倍，而质量也是D0 膜的整数倍，这就预言D0 膜应当有无限
多个束缚态。这些束缚态在型II 理论中很难直接证明其存在，目前为止只是证明了两个D0
膜束缚态的存在。困难的原因之一是由于D0 膜是粒子，所以束缚态问题是一个量子力学问题，
因为粒子满足测不准原理。困难的原因之二是这个量子力学系统很复杂，是一个非阿贝尔量
子力学，相当于N 等于4 的四维规范理论约化为一维的理论，而束缚态的能量是两个粒子质
量之和，没有束缚能，这种束缚态叫临界束缚态。但是，通过T 对偶将问题化为一个D1 膜的
问题，可以证明所有束缚态是存在的。
D 膜在型II 弦论中的重要性莫过于IIB 弦论的强弱对偶依赖于D1 膜或者叫D 弦的存在，
D1 膜是弦的对偶，当我们施行最简单的强弱对偶变换时，原来的弦被变换成D 弦，而D 弦被
变换成弦。因为强弱对偶群很大，是SL(2,Z)，我们通过更一般的变换，可以将弦变成弦与D
弦的束缚态，其中有p 个D 弦，q 个弦，而这两个整数是互素的，也就是没有公约数。威顿在
95 年十月的讨论D 膜的束缚态一文中指出，当p 个D 膜上的重心U(1)群所对应的电场场强是
某个固定值的整数倍时，我们就得到一个D 弦和弦的束缚态。最简单的情形是一个D 弦，此
时D 弦上的电场场强如果是一个固定值的q 倍，这个位形代表D 弦和q 个弦的束缚态。我们
可以通过以下的理想实验来理解这个结果。开弦的端点带有D 弦上电场的一个正电荷或者一
个负电荷，当我们将D 弦上的一个开弦无限地拉伸与D 弦重合时，我们就得到一个D 弦与一
个重合的弦的位形。而现在有一对位于无限远的正电荷和负电荷，产生一个均匀的场强。事
实上，一对电荷在一维空间所所产生的场强不依赖于电荷之间的距离。
当D 膜上有电场和磁场时，会有有趣的事情发生。我们前面说了D 弦上的均匀电场可以
解释成D 弦和弦的束缚态，其实，电场的出现还可以说明所谓的威顿效应。在通常的规范理
论中，如果有磁单极解，磁单极也可以和原有的电荷形成束缚态。在规范理论中，我们可以
让作用量多一个西它角，这样得到的真空叫西它真空，破坏宇称对称。当磁单极在这种真空
中出现时，磁单极不仅带有磁荷，还带有与西它角称正比的电荷，这就是威顿效应。在型II
弦论中，对于强弱对偶来说，弦就像电荷，而D 弦象磁荷，弦论中的雷芒标量场如同西它角，
不同的是现在这个角成了一个场。如果要求强弱对偶不变性，双子（就是D 弦和弦的束缚态）
的张力谱必须依赖于雷芒标量场，这样也就必须有威顿效应。我在威顿95 年十月份的文章出
之后一个礼拜，写了一篇论文，说明威顿效应的存在。不但如此，当D 膜上有规范场时，还
用诱导低维的雷芒荷。
一个最好的例子是D4 膜，此时空间是四维的，所以可以有不依赖于时间的四维空间中的
“瞬子”解。这个瞬子解的解释是D4 膜上有一个D0 膜，这个事实可以由D4 膜上规范场所诱
导的雷芒荷来看出。当瞬子解的尺度为零时，说明这个D0 膜刚刚融入D4 膜。
其实，除了平行的有相同维数D 膜是BPS 态，还有平行的不同维数的D 膜也能形成BPS
态。这里所谓的平行的意思是，那个有较低维数的D 膜的纵向空间与有着较高维数的D 膜的
一部份纵向空间相同。如果我们要求两个膜的同时存在还能保持一定的超对称，那么两个膜
维数之差必须是4 的整数倍。前面说的D4 膜和D0 膜的情形就是这样，这里原来的四分之一
的超对称没有破缺。
超弦的对偶要求存在着D4 膜和D0 膜的束缚态，而且，与D 弦与弦的束缚态不同的是，
这里对D4 膜和D0 膜的个数没有限制。紧化所有D4 膜的空间方向，通过U 对偶，我们可以
将这个束缚态变换为一个绕在一个圆上带有一定动量模的弦态。与D0 膜本身的束缚态一样，
D4 膜的束缚态和D0 膜的束缚态是一个量子力学问题。在这个量子力学中，D0 膜上原来的自
由度以及搭在D4 膜和D0 膜上开弦提供的自由度形成一个超对称体系，有8 个超对称。虽然
束缚态的存在得到证明（从而为U 对偶提供证据），但量子力学的波函数很难得到。同样，这
个束缚态是临界束缚态。当弦的耦合常数很小时，D0 膜的质量很大，但从有效的量子力学效
应来来看，束缚态的半径很小，是11 维理论中的普朗克长度。当耦合常数为零时，D0 膜完全
融入D4 膜，这就是D4 膜上的零尺度瞬子，此时我们可以通过研究D4 膜上的物理来确定束
缚态，这是道格拉斯95 年底的工作。
同样通过研究D0 膜D0 膜之间的有效相互作用，我们可以决定D0 膜本身的束缚态的尺度，
并不令人惊奇的是，这个尺度也是11 维普朗克长度，说明IIA 弦论与11 维理论有关系。
D 膜束缚态的最重要的应用也许是黑洞的微观物理，我们打算专写一章黑洞的物理。本章
中没有提及的是所谓的不可定向平面的构造以及与弦论对偶的关系，我们希望后面有机会介
绍。
和兴趣的人。我们下一章开始讲与弦论第二次革命有关的，却是完成于第二次革命之前的工作。
第七章 先声
(第一节)
本想用“二次革命的先声”作为本章标题，但这样一来太象过去写国民革命的早期的文章
了，故简单地用先声，以期不落俗套。
超弦第二次革命其来也突然，使得很多人一时摸不着头脑，比如像我这样一直没有离开弦
论的人，也花了近半年时间来吸收。当时在国内的人，似乎还没有人意识到在美国、欧洲和印
度发生了什么。我在97 年回国访问，很多人还对所谓超弦革命持怀疑态度。感谢当时理论所
的所长苏肇冰先生，是他的诚意使得我的那次回国成为可能。其实早在96 年夏，苏先生就托
他过去的学生让我写一个短文介绍对偶的发展，目的是用在他当时向上面要钱的文章里。作为
一直关心场论发展的一个凝聚态物理专家，这样的态度与国内的一些场论专家形成明显的对
照。我写这一段，用意有二，一是不能忘记苏先生的作用，二是提醒大家前事不忘，后事之师：
虽然弦论在中国已有一定的影响，可是我们过去是怎样对待它的。
超弦的第二次革命之所以让许多人不知所措，主要原因是它的背景深藏于过去之中，要完
全接纳需要一定的时间。这些背景包括我们前面已经介绍了的超对称、超引力、K-K 理论，还
有没有介绍的孤立子理论，以及相当多的有效量子场论。再有就是革命发生前的一些重要却没
有引起足够注意的发展，如所谓的T-对偶、卡-丘流形的镜像对称性，当然最后不能忘记更早
的关于S-对偶的猜测，以及森等人的较为近来的工作。所以在进入二次革命的正题前，应先介
绍一下这些背景。
但在介绍这些背景之前，觉得想说点关于中国研究超弦的话，说到哪儿是哪儿。为什么到
现在才提这个话题？或者有人问，为什么要讲这个？主要原因是，最近一些搞物理和数学的以
丘成桐先生为首，在杭州和北京搞了两个超弦的短会，请来了一些弦论界的重要人物，如威顿、
格罗斯、施特劳明格等人，再加上历来的理论物理的“形像大使”霍金，对学生和新闻界影响
不小，使得弦论从几乎无人注意(当然除了本坛上一些活跃的人和读者以及历年参加国内弦论
会议的人)一下子变成公众议论的话题。我记得有一次打的，司机在得知我是搞理论物理的时
候问我，模世界和我们的宇宙有没有关系？既然弦论在中国已成为公众的话题，谈一下弦论在
中国的历史应当是一个对大家有益的事。尤其对一些已经选弦论作为研究方向，以及希望进入
弦论的学生来说，这个话题是有用的。我已写了二十一节，贡献一节给中国，当然中国对弦论
的贡献远远不到二十分之一。
弦论的祖先之一，散射矩阵理论，在中国的历史和在世界的历史是一样长的。张宗燧先生
的两卷本著作含有比较详细的中国人对散射矩阵理论的贡献的文献，其中值得一提的是戴元本
先生的工作。可惜的是，虽然弦论起源于散射矩阵理论，由於当时中国正处於文革，中国人在
早期对弦论并无贡献。中国人开始注意弦论，是在弦论的第一次革命中。记得我第一次听说弦
论，是因为看到了威顿等人关于卡-丘紧化的文章。
我个人比较幸运，在弦论的第一次革命后，有机会去意大利的国际理论物理中心，接触到
当时的预印本，见到很多当时活跃的人包括威顿。从而早在85 年就开始写关于弦论的不重要
的文章了。在国内，除了理论所外，还有科学院研究生院、浙江大学、复旦大学的一些人开始
注意弦论，当然西北的侯伯宇等人也把注意力从反常转移到弦论。
作为作者，总是喜欢先谈自己以及与自己有关的人，这里也不例外。当时的情况是，科大
的一些人，如方先生和他的学生，开始重视弦论。方集中精力研究他的天体物理，所以将研究
弦论的事情交给他的学生，我是他的学生，高洪波也是他的学生，比我晚些。高怡泓是方的半
个学生，所以如果这几个人还算对中国的弦论做了一点事情的话，方先生是间接地做了贡献。
方指导学生做学问的办法是放羊，有草吃没草吃全看学生自己的能力，我是很喜欢这种方法的。
当然，由於方本人不是弦论专家，不能直接告诉我们弦论中哪些是重要问题，这可能会延缓学
生的成长，但却是培养了学生的独立能力。对於他能直接指导的学生来说，成效就完全不同了。
尽管如此，我和高怡泓还是坚持了下来。相反，有一些专门研究场论和弦论老师的学生，却大
部分离开弦论甚至理论物理了。
听说有人有科大“三剑客”的说法，感谢这些人对我们的谬奖。这“三剑客”，当年在科
大的确是很“哥们”的，有酒一起喝，有文一同看。高洪波兄由於个人的事情在数年前离开弦
论。但他还一直注意弦论的发展，也是我们这个坛子的常客。他的物理背景在他现在的工作中
起了很大作用，他现在在加拿大已经是一个很成功的金融界人士了。只剩下我和高怡泓这两柄
秃剑还在慢慢地挥舞。其实科大当时还有一个非常独立的人，不但独立於老师，也独立於“三
剑客”，这人就是后来很有成就的卢建新。所以说，论对中国弦论界的贡献，科大为第一(仅
卢一人就可以了)。
再谈理论物理所，前面我提到苏先生，他不研究弦论，但对场论和弦论的重视超过很多场
论专家。理论所在一次革命后研究弦论的主要是老师，值得一提的是朱重远老师，他是一直支
持研究弦论的。有意思的是，理论所出来的唯一长期研究弦论的学生，也是他的学生，就是熊
传胜。熊有重要的工作，他和江口(Eguchi)的关于拓扑弦的工作在数学界有很大影响。可惜由
於我们还不知道的原因，他也离开了物理。
浙江大学的汪容老师带了很多研究弦论的学生，包括虞跃先生。虞跃虽然后来离开弦论，
他的研究弦论的经历相信对他在凝聚态物理中的研究是有很大帮助的。
复旦大学倪光炯的学生陈伟，也是早期研究弦论的有数的人之一。他也离开弦论了，但在
干也许比研究弦论更有用的事：和朋友一同主持在新泽西州的一家英文科学出版社。蒙他的鼎
力相助，我和吴咏时先生合作编缉的一本物理中的非交换几何已经出版(大家快掏银子买书，
支持他的出版事业--银子不会到我这里)。
西北大学带出了许多学生，如陈一新等人。西北大学至今还是国内研究超弦的基地之一。
北京的研究生院出了朱传界一人，也是异数。
再往后，弦论在中国越来越不受重视，就很少出人了。我知道的，也就是理论所吴可老师
的学生陈斌。而现在理论所的研究员喻明也是从国外回来的。从上面的超弦在中国的简史可以
看出，弦论在中国是亟需加强的。不但要寄希望于国家的更多投入，更寄希望于后来的学生。
(我很可能遗漏了很多，请大家补充)
(第二节)
上一节谈弦论在中国，其实有点离题。没有想到，离题的话居然更有市场，那一节看的人
大概是最多的了。这一节把话题收回来，谈谈超弦第二次革命前的一些背景知识。
最重要的，莫过於孤立子这个概念。在很大程度上，弦论实现了爱因斯坦在研究统一场论
时的一个设想：在他的一个理想中，存在一个完美的引力理论，所有物质粒子在这个理论中都
是场方程的解。自1994 年以来，孤立子在弦论中占有中心地位。几乎所有的物体，包括弦本
身，都可以看作是孤立子。
孤立子的经验发现虽然很早，可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一个孤
立波，但在物理中很晚才作为理论和实验的对象。水波的第一个孤立波的解的发现也是迟至上
世纪六十年代由克鲁斯卡尔(Kruskal) 等人作出的。孤立波或孤立子从那以后就几乎成了一个
独立学科。在很多情况下，孤立子的解看起来很难找到，但在一些简单的模型里可以用简单的
办法找到。
一个线性波动方程的解总是有能量弥散，开始时准备的一个能量很集中的波包经过一段时
间很就逐渐地扩散开来。所以要有一个或很多孤子解，波动方程就必须是非线性的。最简单的
是两维时空中的一个标量场论，其中相互作用的势能是场的四次多项式，有两个极小点。每个
极小点代表一种真空，能找到一个静态解，其在两个无限远处的取值是这两个极小点。因为是
连接两个真空点的解，这样的解叫纽结解(kink)。这个最简单的孤子是稳定的，因为它要是能
衰变的话，两个无限远点的真空必须变成同一个真空，这是做不到的。还存在反纽结解，它的
两个端点的真空与纽结解的完全相反。这样一个纽结解和一个反纽结解可以放在一起，因为纽
结解的右边的真空与反纽结解左边的真空是一样的。这个系统是不稳定的，因为两边的真空是
一样的了，这个不稳定性其实就是正反纽结的湮灭。
当时空的维数超过3 时，有一个定理说，如果只存在标量场，就没有孤子解。通常，经典
场的能量可以分为两部分，一部分与场在空间上的变化率有关，另一部分与场的势能有关。空
间变化率越大，场的能量就越大，所以这一项使得场倾向于在空间上变得更均匀，从而能量比
较分散。而势能项使得场变得很集中，在大部分的空间中场处於极小点。这两项有竞争的趋势，
可以平衡时，就可能存在孤子解。在高维的时空中，势能项取得优势，从而不存在孤子解。
在三维时空中，解决这个问题的办法是在标量场以外再引入规范场。规范场的存在可以减
小标量场空间变化对能量的贡献，从而这一项与势能项可能取得平衡，规范场本身对能量的贡
献也可以是有限的。最简单的孤子解是所谓的涡旋解(vortex)，这个解的特点是一个复标量场
的取向与所在的空间点相对於原点的取向一致。这个解推广到三维空间中是一个弦状的解，因
为这个解不依赖于第三维，从而能量集中在平行于第三维的一个轴上。这就是有名的尼尔逊-
奥尔逊涡旋解(Nielsen-Olesen)。
两维时空中的纽结解和三维时空中的涡旋解同属於一类，叫拓扑孤子解，因为这两种解中
有一个守恒荷，与拓扑有关。在前者，拓扑荷就是两个孤立的真空之差，是一个固定的数。在
后者，荷与所谓的绕数有关，也就是，绕原点一周，复标量场也在场空间上绕原点一周。如果
表量场绕原点不止一周，拓扑荷就更大。
在涡旋解的情况下，我们又说该解饱和波戈茅力(Bogomol'nyi) 下限。在这个简单的电磁
理论中，人们可以推出一个能量的下限，当所有的场都满足一些一阶微分方程时，这个下限被
饱和。所以从经典的观点来说，这个解是绝对稳定的。
当时空的维数高于三维时，我们就得引进非阿贝尔规范理论，去得到孤子解。最简单的例
子是一个四维时空中的SU(2)规范理论，加上一个在这个群下的自伴随表示的标量场。这个标
量场有三个份量，数目正好与空间维数相同(与纽结解和涡旋解的情形一样)。这时，我们也引
进一个势能项，使得极小点组成一个两维的面。现在构造一个解，其中标量场在场空间中的取
向与空间点相对於原点的取向一致。标量场在无限远处在极小点上取值，所以标量场把无限远
的两维球面映射到标量场的极小两维球面。这也是一个绕数为一的解，所以也是一个拓扑解。
由於关于纯标量场的定理，我们需要一个不为零的规范场。由於在无限远处非阿贝尔对称破缺
成普通的阿贝尔对称，这个一个磁单极解，带一个没有破缺的规范场的磁荷。这个解为玻利雅
可夫与特霍夫特同时在1975 年发现。由於标量场的方向与空间方向一致，长得象一个刺猥，
所以那时又叫刺猥解(hedgehog)。请注意，纽结解、涡旋解和刺猥解这三个名称都与解的形状
有关。我建议大家记住这些名称，因为这些名称包含解的大致性质。这些解都满足波戈茅力的
极限，所以这些解统称为BPS 解， BPS 来自于三个人的名字( Bogomol'nyi,Parasad,
Sommerfeld)。它们都满足一些一阶微分方程，这些方程又叫BPS 方程。
假定时空的维数更高，能不能找到新的孤子解？答案是肯定的。在场论中，下一个例子是
五维时空。这里，我们仅仅应用一下四维时空中得到的解，这个解是玻利雅可夫于1975 年发
现的瞬子解(instanton)。为何叫瞬子解？因为这个解是四维欧氏空间中的解，在场论中类似
于量子力学中的隧道穿透解，不是一个实际发生的过程，而是一个量子效应。这个解仅仅需要
非阿贝尔规范场，并不需要标量场了。在五维时空中，一个静态解不依赖于时间，实际上是一
个四维欧氏空间中的解，所以瞬子解正好应用到这里，变成一个孤子解了。瞬子解也是一个BPS
解。
我们提到的孤子解都有一个重要的特点，就是所有不为零的场在空间所有的点上都是光滑
的，没有奇异性。如果放弃这个要求，那么即使在一个线性的理论中也可以找到能量集中在一
个小区域的解，例如原来的点状电子为电磁场提供一个点状的源。这样的解不能叫做孤子解，
因为如果象量子电动力学中本来就有电子，这个解不能代表一个独立的自由度。如果没有电子，
这个解就毫无意义了。
我不知道在纯粹的场论中，高于五维时空是否存在孤子解。可能不存在。
如果有引力介入，情况就完全不同了。我们可以说，黑洞就是一个孤子解。黑洞解虽然有
一个奇点，这个奇点与电子解的奇点完全不同。有两个不同之处：第一，黑洞的奇点不是存在
於空间中的某个点，不是在所有时间上都存在的，用行话说，不是一个类时点，而是一个类空
点，突然出现在某个时间上，有点象大爆炸宇宙的开始时的奇点；第二，黑洞的奇点被一个视
界面藏起来了，站在黑洞之外的人看不到这个奇点。爱因斯坦理论是非线性的，所以这个类似
孤子解的黑洞的存在很容易理解。
所有的高维的爱因斯坦理论中都存在黑洞解，所以我们可以说，与通常的场论不同，引力
理论中总存在孤子解，无论时空维数有多高。也许两维时空和三维时空是特例。两维时空中，
度规本身没有任何自由度，从某种角度来说，自由度甚至是负的。为了引入黑洞，就必须引入
一个标量场，如伸缩场。引进这个标量场后，自由度的个数为零，即便如此，黑洞解就存在了。
在三维时空中，纯引力理论的自由度也为零，如果有一个负的宇宙学常数，黑洞解也存在。
当在一个理论中找到孤子后，接下来有一个量子化的问题，必须考虑所有场的量子涨落对
孤子解能量的贡献。计算这些贡献要将一个场以在孤子解附近的模来展开。对於玻色场来说，
可能存在零模，也就是对能量没有贡献的模。最简单的是对应于孤子位置平移的模，这些模又
叫模参数(modui p arameters)，因为它们是描述孤子自由度的参数。如果存在费米场，费米
场的零模也有重要的物理含义。这些零模通常是局域的，在空间上的积分是有限的。费米场的
零模，作为一个算子，作用在原来的孤子解上的时候，产生一个新的能量与原来一样的态，这
个态是费米子。在特殊情况下，如在纽结解情形，费米数甚至是1/2。
当存在超对称时，一个孤子解通常有几个伴随的态。如果这个孤子解不破坏一些超对称，
能量可能没有量子修正，特别是在这个孤子是一个BPS 解的情况下。BPS 解的能量满足下限，
而这个下限恰恰与一个拓扑荷有关，明显没有量子修正。当BPS 解同时又不破坏一些超对称的
时候，这个下限是超对称代数的一个结论。超对称代数没有量子修正，拓扑荷也没有量子修正，
所以孤子解的能量没有量子修正。
可能N 等於4 的四维超对称规范理论最为有名，因为这里的孤子解是一个磁单极，有一半
的超对称没有破缺，所以其质量没有量子修正。同时，考虑到费米场的零模后，所有的解形成
一个超对称多重态，而且与原来的规范场超对称多重态的表示完全一样。这个特点，是该理论
可能存在强弱对偶的一个重要暗示，因为如果用磁单极作为基本变量，我们还是得到一个超对
称规范场论，且耦合常数是原来耦合常数的倒数。
以上谈到的所有孤子解在弦论中都有重要应用。弦论由於含有引力，所以也有不同于以上
孤子解的新解。这些解在超弦第二次革命中起到关键的作用。
(第三节)
这一节谈谈弦论中所有对偶的最简单的一种，T 对偶。这个对偶的发现比较晚，虽然人们
可能要问为什么不会更早一点。T 对偶又叫“靶空间”对偶(target space duality)，这里的
“靶空间”就是一般的空间，叫成靶，是因为弦的世界面被嵌入这个靶空间。顾名思义，这种
对偶是不同空间之间的对偶。
T 对偶是两个日本人于1984 年发现的，其中之一就是我们过去提到过的吉川圭二(K.
Kikkawa,有趣的是，如果你用google 查这个名字，可以找到我先前提到他的那一节）。84 年
弦论刚复活，没有什么人注意到这个工作，后来大家又忙于第一次革命带来的一些时髦的问题，
更没有人注意到这个工作了。最早注意到他们的工作的也是两个日本人，酒井和千田(N. Sakai,
I. Senda)，他们的文章是第一个引用84 年的那篇文章的，这是在两年之后。很有意思的是，
吉川和山崎当初写那篇文章的目的不是为了解释T 对偶，而是想通过对紧化后的卡斯米尔能量
的研究来使得紧化稳定。T 对偶不过是他们的意外收获，就是两年后的酒井和千田的文章，也
是想研究环面上的紧致化的真空能量。真正重视T 对偶是1990 年前后。这个事例又一次说明，
很多重要的工作仅仅凭当时人的反映是不够的，有时是错误的。
当空间有一维紧化成圆时，如果没有超对称，一个量子场论会有卡斯米尔效应，同样，一
个弦论也有卡斯米尔效应。要研究这个效应，就必须计算在这个紧化下弦的谱。弦在没有紧化
下的谱很早就为人所熟知，分成质心运动部分和振动部分。同样，当弦在一个圆上运动时，也
分成这两部分，其中振动部分与没有紧化时并无不同。质心部分就很不同了，这时，弦在圆这
个维度方向上的动量不再是任意和连续的，而必须象一个粒子一样，要量子化，这和最早的玻
尔量子化条件并无不同。基本的量子化单位就是一个普朗克常数乘上圆半径的倒数，所以半径
越小，动量的间隙越大。如果我们研究的对象是开弦，故事到此结束。如果是闭弦的话，除了
质心运动和振动之外，弦还可以绕在圆上。开弦当然也可以绕在圆上，但由于开弦的两端是自
由的，缠绕的方式在运动过程中会改变，从而没有一个守恒量与之对应。闭弦的绕数是守恒的，
所以绕数是一个好的量子数，必须出现在单个弦的谱中。不但如此，在弦的相互作用过程中，
弦的总绕数是守恒的，这个很容易通过想象弦的断开和连接来验证。这样，当我们考虑紧化空
间是一个圆时，单个弦的谱中就多了两个分立的量子数，一个对应于量子化的动量，一个对应
于弦的缠绕数。绕数对能量的贡献与圆的半径成正比。
从弦的谱来看，对两个量子数的依赖完全相同，只不过是系数不同而已。如果我们用一个
新的圆代替老的，让新的圆的半径是旧半径的倒数（以弦的长度标度作单位），那么在这个新
的圆上所得到的谱和老的圆上的谱完全一样，换言之，我们看不出这两个理论有什么不同。这
就是T 对偶了，两个理论看起来不一样，实际上是完全等价的。当然，我们要证明这个等价性
还必须证明除了谱之外，弦的相互作用也完全一样。在微扰论中，要证明这一点，只须证明每
个费曼图都相等就行了，也就是说，我们要求在每一个高亏格黎曼面上，两维的共形场论完全
一样。这个是比较容易做到的，因为两个共形场论都是自由场论，计算关联函数是相对容易的。
有一个特别的半径是自对偶的，当它的倒数等于自身时。用弦的长度标度作单位，这个半
径基本上就等于弦的长度标度。半径小于这个自对偶半径对偶于一个大于自对偶半径的半径，
所以自对偶半径可以看作弦论中的最小尺度。T 对偶在90 年左右引起的兴趣基本上就是用来
论证弦论中有最小尺度，当然人们也用弦的散射振幅来说明这一点。
T 对偶在一个量子场论中是绝对不可能的，因为那里没有绕态，所以T 对偶完全是弦的性
质。T对偶的存在说明在弦论中，空间这个概念不是绝对的，是根据定义来的，从而是一个物
理的体现。有人会问，那么当空间中的一维是圆时，我们到底怎么决定它的半径。这是一个很
好的物理问题，回答也是很物理的，就是，要看容易激发的激发态是什么，以及各个态的耦合
强度。我们有两个对偶的理论，弦的偶合强度在原来的全部空间中是不一样的，而在约化后的
空间中（将圆除外）的耦合强度是一样的。假定原来的耦合都是弱耦合，我们就要看轻激发态
是什么。如果其中一个圆的半径大于自对偶半径，那么对应的动量模比对应的绕数模轻，我们
就说物理用的尺子是用动量模构造的，半径是这个大的半径。当这个半径太大时，耦合强度有
可能很大，这时就要仔细分析相互作用带来的后果了。当半径变小，绕数模越来越轻，我们就
可以用这些绕数模构造尺子，量的是对偶的半径，因为在这个对偶理论中，原来的绕数模变成
了动量模。
对于一个简单的圆来说，T 对偶就是简单地把圆的半径换成倒数，这样的操作形成一个简
单的群，就是Z(2)。如果没有T 对偶，我们说由半径这个模参数组成的模空间是一个半直线，
从零到无限大，后者更准确地说，是一个直线，如果我们用半径的对数做模参数。有了T 对偶，
直线在T 对偶的作用下反演了一下，我们将这个直线以自对偶半径那一点为原点对折，得到一
个新的模空间，这是一个半直线。
T 对偶自然地推广到包括更多的圆，这时就有更多的对偶操作，不仅仅是简单的T 对偶推
广。当然每一个圆的方向都可以作原来的T 对偶操作,当维度增多，还有一些纯几何的对称性，
如在环面情形，我们可以将环面的两个方向作交换，也可以选择两个完全不同的基本圆来形成
这个环面。这种纯几何的对称性已经形成一个相当大的群，有无数个群元，可以由两个生成元
产生。原来的两个T 对偶相结合使得整个环面的体积变成原来的倒数，再加上对弦论中普遍存
在的一个反对称张量场做变换，形成另一个群。这两个群的集合就是群SO(2,2,Z), 这里我们
不打算解释这个群的定义，希望学过群论的人一看就知道这是什么。
我们统一地把几何对称和弦的T 对偶叫做T 对偶群，这个群随着环面维度的变大越来越
大，当维度是d 时，这个离散群是SO(d,d,Z), 作用在模空间上。现在的模空间的参数由环面
上的几何参数以及反对称张量场组成。T 对偶群也作用在弦的谱上，作用也有直观的解释：弦
态的动量在环面上有d 个分量，同样，绕数也有d 个分量，由这2d 个整数形成一个2d 维晶格，
SO(d,d,Z)是这个晶格的对称群。当我们观察质量谱时我们会发现在这个群作用下质量谱不改
变。
应当提一下，我们一直没有太强调其它模参数。就世界面上的共形场论来说，只涉及到我
们提到的模空间。当我们考虑弦的相互作用时，就必须计及相互作用常数，这也是一个模参数，
它在T对偶的作用下也会改变。
由于T 对偶的发现和证明一直局限于谱和世界面，这种对偶严格说来只是在微扰论中被证
明。后来人们在简单的圆的情形利用规范对称性来说明T 对偶也是一种剩余规范对称性，这样，
T 对偶应当是一种严格的对称性，在非微扰论中也应当是成立的。
最后，回到T 对偶发现的原始文章，在那里，吉川等人计算了真空能量，发现在自对偶的
半径处能量取极小，这当然是对偶的一个简单结论。
(第四节)
我们前面介绍的T 对偶，既可以用在玻色弦理论中，也可以用在超弦理论中。用于玻色弦
时，情况很简单，无非由一个玻色弦得到另一个玻色弦；用于超弦时，情况稍复杂，在T 对偶
下，IIA理论变成IIB 理论，反之亦然。这个现象有一个简单的世界面上的解释。在世界上，
当我们做T 对偶时，是将动量模与绕量模互换，这个互换可以通过改变世界面上对应的标量场
(即紧化的那个空间) 的左手模的符号达到。由於要保持世界面上的超对称，对应的世界面上
的费米子的左手模也要改变符号。我们知道，时空中的费米子来源于两个雷芒分支，当世界面
上的一个左手费米子改变符号时，其所在的雷芒分支的手征性改变。这样，在T 对偶下，IIB 弦
论中本来有相同手征得雷芒分支变得具有相反的手征性了，这就成了IIA 理论。
T 对偶的存在说明弦论中空间这个概念不是绝对的，是根据动力学和物理解释获得的。T
对偶的一个较为复杂的推广是所谓的镜像对称性(mirror symmetry)，这是一个联系弦论和代
数几何的重要现象，我虽不是专家，还是在这里谈一下。
镜像对称性关于IIA 弦和IIB 弦的对称性，只有当紧化空间是卡-丘流形时才有。这个对
称性说，一个IIA (IIB) 理论紧化在一个卡-丘流形上时等价或即对偶于一个IIB (IIA) 理论
紧化在另一个拓扑和几何完全不同的卡-丘流形上。拓扑上的条件是，一个卡-丘流形的凯勒
(Kahler) 形变的参数对应于另一个卡-丘流形上的复结构形变参数。我们先解释这个要求的物
理含义。
在紧化后，我们通常要考虑每个十维的场会产生什么样的四维无质量场。例如，通过引力
场在紧化了的时空方向的份量，我们可以获得四维时空中的标量场。这些标量场的数目往往与
紧化空间的拓扑有关。间言之，一部分份量的零模由卡-丘流形的凯勒形变给出，另一部分零
模由复结构形变给出。巧的是，这两组参数的数目之差等于四维中零质量费米子的代的个数(如
果是杂化弦的话)。在镜像对称性的作用下，上述两组零模互换，总数不变，相差得绝对值也
不变。其实镜像对称性的发现相当晚，直到90 年才有人认真提出来。发现得晚的原因是，这
个对称性在几何上是不可思议的(要求卡-丘流形成对出现)，对称性本身只有通过研究世界面
上的共形场论才变得明显。
当我们研究IIA 或者IIB 理论时，世界面上的共形场论具有超对称，即使当一部分空间是
卡-丘流形时，也有世界面上的超对称。此时世界面上有四个超对称，左手分支两个，右手分
支两个(记住在共形场论中这两个分支基本上是独立的)。在每个分支中，更有超共形不变性。
在这里，我们遇到将来经常遇到的概念，就是超对称BPS 态。这里的态指的是世界面理论中的
态，而不是时空中的态。世界面上的超共形代数定义了一些特别的态，叫手征原初态(chiral
primary)，这些态带一个守恒荷，而超对称代数表明该态的标度指数(scaling dimension) 等
於这个荷，这个关系是超对称BPS所满足的关系。由於左手和右手都有一个超共形代数，所以
一个完整的算子带两个荷。我们上面所说的两种形变参数对应于这些手征原初态，所以共形场
论的知识决定了卡-丘流形的一些拓扑性质。现在，镜像对称性在共形场论中有很简单的解释，
两个镜像对称的卡-丘流形的描述对应于同一个共形场论，但算子的左手荷的符号被改变了。
一个近乎平庸的共形场论的对称变成了高度非平庸的空间对称性。
后来各种对偶的发展证明镜像对称性不仅有重要的物理应用，也有似乎更重要的数学应
用。现在转到二次革命前的另一个重要发现，规范场论的强弱对偶，又叫S 对偶。要解释这个
对偶，我们要回顾一下狄拉克1948 年关于磁单极的工作。在麦克斯韦理论中，通常只假设电
荷的存在，没有磁荷。在这种情况下，电场和磁场可以统一地写成电磁势，是一个时空中的四
维矢量。如果没有量子力学，将电磁场分开来写或者统一地写完全是个习惯问题。有了量子力
学，这就成为一个物理问题了，很明显，一个电荷在电磁场中应当直接与电磁势耦合，这已经
由阿哈诺夫-玻莫效应的实验所证实。当有磁荷的时候，通常不能直接写电磁势。例如，只有
一个磁荷，也就是磁单极时，我们没有办法写出一个除了在磁荷那一点处处光滑的电磁势。如
果形式上扣除从磁荷处延伸到无限远处的一个半直线，我们就可以写出电磁势。这个电磁势在
扣除了的半直线处无法定义，这个半直线叫“狄拉克弦”。
当一个电荷在磁单极的磁场中运动时，我们还象过去一样假定电荷直接与电磁势耦合。但
是，我们不能假定狄拉克弦真的被扣除，所以电荷本身的波函数应当与狄拉克弦的存在无关，
这个要求导致磁荷和电荷量子化，叫狄拉克量子化。数学上，量子化要求电荷乘以磁荷是整数，
物理上，这个乘积很自然，因为电荷与磁荷的耦合强度既正比于电荷，也正比于磁荷。
狄拉克量子化条件也有一个很漂亮的数学解释。我们用同心球面来描述整个空间，中心就
是磁单极所在处。狄拉克弦与这些球面相交于球面的北极，所以电磁势在北极没有定义，换言
之，磁单极的存在使得电磁势在球面上的一个开集有定义。我们现在将球面分成上半球面和下
半球面，电磁势应当在这两个半球面上分别有好的定义。两个半球面相交于赤道，在赤道上，
两个定义不同，但也只相差一个规范变换，这个规范变换定义了一个纤维丛。考虑电荷在球面
上运动，电荷的玻函数在两个半球面上也分别有定义，在赤道上也相差一个规范变换。我们要
求这个规范变换沿著赤道是周期的，这就给出狄拉克量子化条件。
对於狄拉克本人来说，如果找不到磁单极，虽然有一点遗憾，因为不能很简单地解释电荷
的量子化了，故事也到此结束了。我们并不奢望电磁理论中真的存在磁单极。在有些非阿贝尔
规范理论中，我们两节前说过，真的存在磁单极解，所以在这些理论中我们就不能忽略磁单极
了。磁单极解，由於是孤子解，有一个孤子解的共性，不但所带的磁荷反比于理论中的基本电
荷，其质量也与电荷的平方成反比。当规范理论是弱耦合时，磁荷很大，质量也很大，一般不
介入低能现象。
如果我们考虑电荷与磁荷之间的耦合，由於狄拉克量子化，耦合永远是1 的数量级，无论
电荷本身如何小。如果考虑磁荷与磁荷之间的耦合，耦合强度与电荷之间的耦合强度成反比。
自然地，人们问，有没有可能将带磁荷的孤子看成基本的激发态来构造一个新理论，在这个新
理论中，原来的基本激发态如电荷成为孤子？这是一个非常动人的猜测，很难验证，所以有很
长一段时期没有人认真地对待这个猜测。如果一个猜测是对的，那么新理论就是原来理论的对
偶理论，其中基本相互作用强度与原来的相互作用强度成反比，所以这个对偶叫强弱对偶。
现在看来，强弱对偶不会是普遍成立的。能够找到根据的强弱对偶都涉及到时空的超对称，
最典型的例子是我们提过的N 等於4 的超对称规范理论(super Yang-Mills，经常被简化为
SYM，我在台湾经常看到这个缩写，原来是三阳摩托的简称)。这个对偶是英国人奥立弗-曼通
宁在1977 年首先提出，后经奥斯本(H. O*****orn) 指出磁单极只有当有16 个超对称生成元时才
可能组成一个含规范粒子的超对称多重态(79 年)。这个对偶猜想被冷落了许多年，据我所知，
森也许是第一个重视这个对偶的人，他的出发点是弦论，最早的时间是1992 年，后来史瓦兹
也相信了这个猜想。另外，龚特里特(J. Gauntelett) 也在1993 年研究了超对称磁单极的低
能动力学，目的也是为了研究强弱对偶。N 等於4 的强弱对偶不仅仅是简单的强弱互换。在这
个理论中，除了一个耦合常数外，还有一个耦合常数类似一个角，通常称为西它(希腊字母) 角
的，与一个拓扑项有关。这两个常数结合成为一个复数，强弱对偶可以推广为一个变换群，非
常类似两维环面上T 对偶的一个子群，就是SL(2,Z)。
这些对偶变换预言，存在着无限多个磁单极和电荷的束缚态，带有任意整数个磁荷和任意
整数个电荷，这两个整数互素。除了磁单极本身，最简单的束缚态含两个磁荷和一个电荷。这
个束缚态的存在於94 年由森所证明，从而第一次给出强弱对偶的证据。
众所周知，塞伯格和威顿94 年的工作在场论界和弦论界唤起了人们对对偶的兴趣，而这
两个人对对偶的兴趣一部分来自森的工作。当然，很多人许久以前就提出了其它种类的对偶，
由於太缺乏证据，没有人相信，我们下一节谈谈这些“史前”猜想和相关的工作。非常有趣的
是，虽然一般地说强弱对偶比较罕见，却普遍存在於超对称规范理论中。进一步，这些强弱对
偶都毫无例外地可以在弦论中实现。毫不夸张地说，弦论是一切对偶之母(起码目前如此)。
(第五节)
在第二次革命前，一直致力于研究弦论中各种孤子解的，是达夫(M. Duff)。他和他的学
生，如卢建新，以及一些博士后，花了很多精力和时间来研究弦论中的孤子解和分类，也提出
了一些对偶猜想。有些猜想没有太多的证据，特别是涉及到高维膜(brane) 的，有的为后来的
发展证实。他们在九十年代初的努力虽然后来取得丰厚的回报(达夫本人也由此从德州的A&M
(农工) 大学转到密执安大学并在那里成立了一个理论物理中心)，在当时基本为弦论界同行所
忽略，这是一件非常可惜的事，否则我们可以想象二次革命可能提前两年发生。
弦论中除了引力场、伸缩子场外，还有常见的两阶反对称张量场以及更多的高阶(低阶) 反
对称张量场。在弦的世界面上，我们通常看到两阶反对称张量场出现，出现的方式类似一个微
分形式在两维面上的积分。这个耦合在弦论的一次革命中就被重视，但奇怪的是直到很晚人们
才意识到这意味着弦是带着这个反对称张量场的荷的。我们知道，一个带电荷的粒子与电磁势
的耦合方式就是电磁势对作用量贡献一个沿着世界线的积分。早在84 和86 年，内泊麦基(R. I.
Nepomechie) 及泰特伯莫(C. Teitelboim) 就指出，一个p+1 阶的反对称张量场的荷是一种有
p 维空间延展的物体，我们常称为p 维膜，或简称为p-膜。
所以，弦论中的弦有一个简单的物理解释，就是这种一维物体其实就是反对称张量场对应
的荷。当然，对于一个封闭的微观的弦来说，我们没有办法测量这种荷所产生的场，原因是只
有当弦是一根无限长的直线时，反对称张量场才有类似库仑场的形式，一个封闭的弦很像一个
电偶极矩，我们稍后再解释为何如此。
弦论中的“孤子”实在是一个大题目，我们也许需要两节才能把来龙去脉大致交待清楚。
我们从推广的狄拉克量子化条件谈起，这也是内泊麦基和泰特伯莫文章的主要结果。假定在一
个D 维时空中，存在一个p+1 阶的反对称张量场，所对应的荷为p-膜。p-膜的世界体是p+1 维
的，所以要求p 不大于空间的维度，也就是D-1。考虑这个膜的延展是空间的一个p 维的欧氏
子空间，其互补子空间是D-p-1 维的，我们通常叫这个互补子空间为横向空间(transverse
space)。p-膜产生一个类似库仑场的反对称张量场，这个反称张量场不为零的分量正好带平行
于p- 膜的时空指标，一共是p+1 个指标，这些方向叫p- 膜的纵向方向(longitudianl
directions)。由于沿着纵向方向有洛仑兹不变性，反对称张量场只是横向方向的函数。
如果扣除p-膜所占的那个p 维空间方向，p-膜看起来就象是一个生存在D-p 维时空的一个
带电粒子。如果D-p 恰恰等于4，我们就得到四维时空中的一个点状电荷。这样我们就可以直
接应用已知的知识，得到一个结论：这个点电荷有一个对偶的“磁荷”，也是点状的。回到原
来的D 维时空，一个p-膜的对偶物体是一个点状磁荷，如果D-p=4。如果D-p 大于4，我们就必
须人为地扣除一些p-膜的横向维度，使得剩下的时空维度等于4，同样可以引入一个“磁荷”，
这被扣掉的维度可以看成是这个“磁荷”所占的空间，也就是这个新物体的纵向方向，所以这
个新物体也是一个膜，其维度是D-p-4。可以直接应用狄拉克的量子化条件，我们得出结论，
一个p-膜和一个对偶的(D -p-4)-膜所带的两种对偶荷满足量子化条件。这是内泊麦基和泰特
伯莫的主要结果。由于后来的进一步发展发现新的对偶，我们将这种对偶统称为电磁对偶。想
提一下，在泰特伯莫的工作后，我、高洪波以及高怡泓用了一个当时很时髦的拓扑方法重新获
得量子化条件。由于这个方法很形式，加之大家本来就不重视这方面的工作，我们的文章没有
人理睬。
从数学上来看，上面的结论很容易理解。p-膜对应的长程场，或可称为规范场，是p+1 阶
反对称张量场，它的场强是一个p+2 阶张量。类似电场的对偶是磁场，这时p+2 阶张量在D 维
时空中的对偶是D-p-2 阶张量场，可以解释为D-p-3 阶反对称张量场的场强。现在，D-p-3 恰
恰是(D -p-4)-膜的世界体的维度。
当D 是4 时，如果p 是零，那么D-p-4 也是零，所以互为对偶的物体在四维中都是点粒子。
我们也可以形式上取p 等于-1，这个“物体”的对偶在四维中就是一个弦。当然不存在维度为
负的物体，但由于此时p+1 是零，这个怪怪的东西可以解释成瞬子，因为瞬子的世界点是零维
的。这个对偶看起来怪，在弦论中是存在的，瞬子的对应的规范场是一个标量场，我们后来会
看到，这个标量场的真空期待值就是西它角。所以，当弦论紧化到四维时空时，总有一个标量
场存在，我们通常将这个标量场称为轴子场(axion)。
当D 等于10 时，也就是所有的超弦理论的基本时空维度，取p 等于1，此时D-p-4 等于5，
也就是说弦的对偶物体是5-膜。5-膜的发现有一个有趣的历史，最早的5-膜应当是施特劳明格
于1990年构造的杂化弦中的5-膜。他利用杂化弦中存在非阿贝尔规范场，所以有瞬子解，将瞬
子解的四维空间解释为九维空间中的子空间，这样这个解不依赖另外的五维空间，解有5+1 维
的洛仑兹对称性，所以是一个5-膜。当然，由于这里是弦论，除了规范场以外，引力场和其它
零质量玻色场也应当是5-膜横向空间的函数。施特劳明格猜测，存在一个以5-膜为激发态的理
论，是杂化弦的强弱对偶。应当注意的是，虽然施特劳明格的5-膜也是弦的电磁对偶，它的性
质与N 等于2 的两个10 维超弦中的5-膜完全不同，我们将来在谈到所谓的D-膜后再回到这个
话题。
取D 为11，p 等于2，我们由一个两维的膜出发，得到其对偶膜也是一个5-膜。很久以前，
人们就知道11 维超引力中含有一个三阶反对称张量场。要到1987 年，以汤生为代表的一些人
才注意到这里有可能存在2 维的膜，其无质量的激发态就是11 维超引力多重态。与弦不同的
是，模的世界体理论很难量子化，即使在最为简化的光锥规范下，也无法量子化，所以膜是否
是11 维超引力的微观理论还是一个没有结论的问题，但有一点没有疑问，就是，模的最低激
发态的确是11 维的无质量超多重态。现在，11 维超引力的微观理论被称为M-理论，其中有2-
膜和5-膜，它的量子力学性质还有待于发展。
1987 年，我正好参加在的里雅斯特的一个2+1 维物理讨论班，汤生的几个合作者都去了。
记得伯格肖夫(E. Bergshoeff) 讲的就是超膜理论，他的开场白说，为什么要研究膜，回答是，
为什么不研究。当时我觉得这个回答太牵强，所以根本不去注意听他的演讲。今天看来，虽然
不得已可以用这样的理由，当时应当可以找到更好的理由来吸引听众的。从听众的角度来说，
“为什么不”这样的理由不能忽略。如果那时听众中有人听进去了，做了一点研究工作，说不
好这样的工作在今天来看就是重要的工作。
如果取D 为6，p 为1，那么弦在六维中的对偶也是弦。的确，六维中的N 等于2 的超引力
中有一个自对偶的两阶反对称张量场，其对应的荷既是电荷也是磁荷，这就是自对偶弦。如果
将弦作为基本激发态，弦的耦合强度不可能太小也不可能太大，因为它是自对偶的，狄拉克量
子化条件完全决定了耦合常数。
在两个N 等于2 的十维超弦中，除了两阶反对称张量场外，还存在着所谓R-R 反对称张量
场，这些场从弦的一次量子化的角度看，来源于雷芒-雷芒分支，所以叫R-R 反对称张量场。
在IIA 理论中，这些场的阶是奇数，对应的膜是偶数维的，有0-膜、2-膜、4-膜、6-膜、8-
膜。IIB 理论中的张量场的阶是偶数，所以膜是奇数维的，有1-膜、3-膜，5-膜、7-膜、9-
膜，甚至还有-1-膜，就是瞬子。这个瞬子是纯粹的引力瞬子，因为这里还没有规范场。所有
的这些膜统一地叫做D-膜。
(第六节)
我们在上一节谈了谈弦论中可能存在的一些膜，这些膜的统一特征是带反对称张量场对应
的荷。如果膜的空间维数高于零，这个荷是延展的，均匀分布在膜上，如同膜上的能量密度一
样。所以膜的存在并不破坏延着膜的纵向方向的洛仑兹不变性。
在对应的低能理论，即经典超引力中，人们可以找到相应的解。解的方式很直接，在大多
数情形下，只要考虑度规，伸缩子场以及相应的反对称张量场。由于纵向方向上的洛仑兹不变
性，度规和张量场只能采取一些特殊形式。人们在解方程之前，可以假设有一个膜提供能量源
及荷。有趣的是，当方程解完了，往往发现其实并不需要能量源：由于度规及伸缩子的关系，
能量源在横向方向的原点往往被一个函数零化了。至于荷的源是否被零化，就要看情况了。这
里主要是看我们处理的是什么反对称张量场。如果是与弦相耦合的内吾－史瓦兹反对称张量
场，则弦或者与其对偶的5－膜的源没有被零化，所以这些解类似电磁理论中的电子，是有奇
异性的，不是真正意义上的孤子解。如果反对称张量场是雷芒反对称张量场，那么荷源也被零
化了，这是真正的孤子解。此时，我们只是解低能引力场方程，能量源及荷源是一种非线性效
应，很像非阿贝尔规范理论中的磁单极解。
这些膜通常破坏时空中的一些超对称，保留一些超对称。简单的世界体是欧氏空间的膜只
破坏一半的超对称，超对称条件往往可以用来简化运动方程，因为这些条件通常是一阶微分方
程。这个事实与所谓的BPS 条件有关，该条件我们在谈孤子时已经解释过。在这种情况下，给
定一个荷，带这个荷的所有可能的物体的能量有一个下限，下限正比于荷。当能量正好是这个
下限时，我们也得到一组一阶微分方程，与用超对称条件得到的方程一样。由于一部份超对称
没有被破坏，可以想象围绕这个孤子膜解的激发态是这些超对称的表示。通过过去研究孤子集
体坐标的经验，我们知道膜的世界体上的动力学一定是超对称的。当然有了解后这个结论是自
然的，但有一段时间人们不知道除了弦外，能否在高维膜上实现超对称。在场论中的膜解最早
发现可以实现的，是泡耳钦斯基和他的两个学生，这个工作在1986 年作出，比他和他的另外
两个学生发现D－膜，要早了三年。
很容易将单个孤子解推广为多孤子解，表示有若干个平行的膜。这些膜由于不破坏同样的
超对称，也是稳定的位行，说明膜与膜之间的相互作用完全抵消。通常，两个膜之间有引力相
互作用，在弦论中，伸缩子所引起的力也是吸引力。由于膜都带同样的反对称张量场的荷，荷
之间引起的是排斥力。很明显，吸引力和排斥力正好抵消。其实，在没有超对称的情况下，如
果满足BPS 条件，孤子之间的相互作用也会抵消，规范场中的磁单极和瞬子解就是这样。
一旦找到了孤子膜解，下一步就是研究在其附近的激发态，特别是所谓的零模，因为零膜
就是集体坐标，控制膜的动力学。一个最简单的例子是对应于时空平移的零模，这些模的存在
对应于一个简单的事实，就是膜的解中有不确定的参数，其中一部份是膜在横向方向的位置。
当这些位置依赖于膜的纵向坐标时，膜的位形在时空中是一个一般的弯曲的超面。由此可知，
这些零膜是局域在膜上的，对应的引力中的解也是局域在膜上的，但可以有一个宽度。
表面上看，孤子膜的解通常是有奇点的，这个奇点可以选择在原点。例如，与弦对偶的5
－膜就有奇点，特别在度规中，有一个看起来是奇点的原点。如果将弦看作理论的基本激发态，
我们应当研究孤子的弦度规，即弦感到的度规是否是奇异的。回答是，几何不是奇异的，只是
弦的相互作用强度在5－膜的中心变成无限大。在IIB 理论中，存在一个二阶的雷芒－雷芒反
对称张量场，所以有对应的1－膜和5－膜，这个5－膜与前面的5－膜不一样，叫做D5－膜。同
样，从弦的角度来看，D5－膜的度规是非奇异的。所以这些孤子膜是真正意义上的孤子。进一
步，如果我们研究弦在5－膜背景下的运动，我们就发现弦的运动方程在任何一点都是定义好
的，不会发生测地线断开的现象：一个无限大的平行于5－膜的弦将花费无限长的时间才能到
达5－膜的中心，换言之，5－膜的位置可以看成视界。
弦本身也可看作是一个孤子解，最早发现这一点的是达波尔卡等人（A. Dabholkar)。虽
然在弦的所在我们不需要能量源，我们却需要二阶反对称张量场的源，就是弦的荷，所以弦很
像电磁理论中的电子，是个奇异解。弦的解中的度规更是奇异的，有一个曲率奇异点，就是弦
的所在处度规的曲率是无限大。达夫和卢建新猜测有一个基本的5－膜理论，这个理论与弦论
对偶。如果这个猜测是正确的，那我们就应当从5－膜的角度来看弦。5－膜与弦度规的耦合不
是通常的耦合，要加一个伸缩子因子，所以5－膜看到的度规不是弦度规。如果将弦的解用5
－膜所”体会“到的度规表示出来，曲率奇异性就消失了。虽然我们不能认真地认为有一个基
本的5－膜理论，这个观察还是很有趣的。弦的相互作用强度在弦的所在位置变成零，这也是
一个合理的结果，否则可能与弦的微扰论
矛盾了。
也许杂化弦中的5－膜值得单独提出来谈一谈，因为这是施特劳明格以及哈维和凯仑(C.
Callan)十年前致力研究的，在经典引力的框架下算是研究得相当透彻的了。杂化弦的特点是
包含规范场，这就有可能将规范场的一些结果应用到那里去。最简单的是四维规范理论中的瞬
子。将这个瞬子嵌入到杂化弦中，六维的时空中的规范场是平庸的，所以我们得到一个5－膜，
其横向方向就是瞬子所在的时空。杂化弦另一个与众不同的是，运动方程要求规范场与曲率有
一定的关系，由两阶反对称张量场联系起来，这样度规自然也不能是平庸的。这样获得的5－
膜与其它弦论中的5－膜不同，进一步，其世界体上的动力学也非常特别，我们将在介绍D－膜
时详细谈这个不同。
史前的关于对偶的猜想有许多是希望高维的膜有基本理论，可以量子化，从而所对应的理
论可以有一个对偶，例如弦/5－膜的对偶。现在看来，高维膜不但很难量子化，可能作量子化
也是没有太多意义的。例如，M 理论中的两维膜就可能除了零质量粒子外，剩下的谱中的物体
都是极不稳定的，很快会衰变成零质量的粒子。
最后，我们谈谈当膜被激发后会发生什么。如果我们坚持在引力中研究这个问题，我们必
须假定激发态沿着膜是均匀的，否则我们无法对方程作出严格解。如果激发是均匀的，那么沿
着膜的能量密度是均匀的，所以膜上面的欧氏对称还在。由于静态的能量不再有洛仑兹不变性，
引力解也破坏了这种不变性，从而类似黑洞的物体可以形成，因为度规的时间分量与其它分量
不同了。赫洛维芝与施特劳明格1991 年就得到了这个解，的确是黑洞。我们后来会看到，膜
的均匀激发态是黑洞的解释将在理解黑洞的热力学上面起到重要作用。
先声就谈到这里，后面我们就要进入第二次革命了。
第八章 第二次革命：场论的发展
(第一节)
使人真正体会到革命的来到，无疑是塞伯格和威顿1994 年夏天的两篇文章。我在第一章
中就提到，当时塞伯格并没有计划去亚斯本参加任何活动，他专程飞到那里宣传他和威顿的工
作。那时有两个讲习班交错地举行，一个和量子色动力学有关，另一个是超对称的讲习班。我
当时参加量子色动力学的讲习班，正在很有兴味地研究量子色动力学中的高能散射问题，不会
想到超弦的长达数年之久的革命就此到来。在大多数人们还在尝试理解塞伯格－威顿的工作
时，纽约时报以一版的篇幅介绍了他们的工作，评价极高。
这件重要工作建立在几个重要的概念之上。第一是塞伯格本人在过去一年发展的全纯分
析：场论中有一些参数和场的期待值，场论以全纯(holomorphic) 的方式依赖于这些量。在复
分析中，我们知道，如果一个函数是全纯的，通常就被确定了。第二是电磁对偶概念，不同于
我们前面谈到的N 等于4 的规范理论，塞伯格－威顿所研究的N 等于2 的理论本身没有电磁对
偶，但由于理论中存在磁单极，电磁对偶以及推广的SL(2,Z)群可以作用在依赖于真空的一些
物理量上面，从而帮助我们理解该理论的一些性质。最后，老的概念如磁单极凝聚所带来的后
果也帮助了他们严格解出低能的作用量。
N 等于2 的规范理论比N 等于1 的规范理论有更多的限制，特别是对超对称多重态和作用
量的可能形式。如果我们将研究范围限制在自旋不超过1 的场，在4 维中只有两种超对称多重
态。一种叫手征多重态，又叫矢量多重态，含一个自旋为1 的粒子，两个标量粒子和两个带手
征的自旋为1/2的粒子。用N 等于1 超对称的术语来说，一个N 等于2 的手征多重态含有一个
矢量多重态和一个手征多重态。N 等于2 超对称的另一个多重态叫“ 超多重态”
（hypermultiplet)，含两个带手征的费米子，4 个标量粒子，或者两个复标量粒子。我们可
以仅仅用手征多重态来构造N 等于2 的超对称规范理论，此时理论中没有“物质”，是纯规范
理论。这个时候，手征多重态形成规范群的一个伴随表示，也就是说，对应于每一个规范群的
生成元，有一个手征多重态。也可以引入“物质”，就是超多重态。最简单的情形，这些超多
重态形成规范群的基本表示，这个基本表示可以自洽地与手征多重态耦合。手征多重态与超多
重态的共同特点是，每一个多重态中含4 个玻色子和4 个费米子，比N 等于1 的简单多重态大
了一倍。
塞伯格和威顿在第一篇文章中研究的是最简单的N 等于2 的规范理论，只有手征多重态，
并且规范群是SU(2)。理论虽简单，内容却是出奇地丰富。首先，与N 等于1 的单纯规范理论
不同的是，这里有一个复标量场，所以有许多不同的真空，每一个真空代表一个超选择分支－
也就是说，如果空间无限大，不同真空之间不可以互相过渡。很容易确定所有的规范不等价的
真空：作用量中的势要求复标量场与它的复共厄对易，这样在SU(2)的李代数中它们成正比, 通
过规范变换可以使他们转到嘉当子代数中去, 在这里是一个U(1)子代数。所以，在经典的层次
上，所有的真空由一个复变量来刻画，就是复标量场在U(1)中的真空期待值。一般地，当标量
场有真空期待值时，原来的对称性破缺到U(1)，除了这个U(1)手征多重态保持零质量，其余的
粒子通过黑格斯机制获得质量。这些有质量的粒子都是带电粒子，带未破缺的U(1)的电荷。N 等
于2 的超对称限制，不可能加上任何非平庸的超势，从而真空简并不可能被破坏，这样，将量
子效应计入，真空还是由一个复参量来刻画。
同样由于多了一个复标量场，理论中存在磁单极解，这个解完全等同于我们介绍过的磁单
极。不但如此，磁单极还可以带“电荷”，也就是理论中SU(2)未破缺子群U(1)的荷。其实，
存在无限多中既带磁荷又带电荷的双子(dyon)，这些双子是BPS 态，所以质量完全由他们所带
的荷所决定，当然，这些荷通常有量子修正。要强调一下，所有的双子形成超对称的超多重态，
因为最大的自旋是1/2。
N 等于2 的低能的、含导数不超过两次的有效作用量完全由一个全纯函数所决定，这个函
数叫初势(prepotential)。初势是真空参数，即标量场真空期待值的函数，它的二次导数决定
了真空模空间（参数空间）上的度规，所以必须是正定的。在经典意义下，二次导数的虚部正
是规范耦合常数的倒数。在量子层次上，我们定义这个虚部就是有效耦合常数，包括圈图修正
以及非微扰修正。事实上，N 等于2 的贝它函数在微扰论中只有单圈图的贡献，从而我们期待
初势除了单圈图的贡献外，只有非微扰贡献。塞伯格－威顿的结果显示，这些非微扰贡献都是
瞬子的贡献。
由于初势的二次导数与耦合常数有关，这个函数要正定的话就必须有奇点，这是复分析的
结果。为了保证物理没有奇异性，塞伯格和威顿引进了一个新的函数，使得真空模空间上的度
规是这个新座标与以前老座标（标量场的真空期待值）的一个简单二次型的“拉回”（ pullback)，
这个新的标量代表的是磁单极相应的场，但不是什么真空期待值，因为一般情况下磁单极的质
量不为零，不会发生凝聚。引入了这个新的参数后，度规有明显的SL(2)不变性，也就是推广
了的强弱对偶。但我们再次强调，这不是物理上的强弱对偶，因为新的标量没有一个无质量的
磁单极与之对应。但是，在双子的质量公式中，这个新的标量与电荷标量同等地出现，所以双
子譜有明显地SL(2)不变性。据我看来，引入磁标量是塞伯格－威顿工作中的最大胆的一步，
也是最关键的一步。从场论的逻辑来说，这一步没有证明，自洽的结果将支持这个大胆的假设。
前面说过，在微扰论中，初势只有单圈图的贡献。当标量场的真空期待值很大时，非微扰
的贡献越来越小，因为瞬子的作用量越来越大，从而贡献成指数衰减，换成标量场的函数，成
负幂次衰减。这个理论又是渐进自由的，所以当真空期待值很大时，我们可以相信微扰论的结
果（除了那个渐进自由理论中的普适质量外，真空期待值是唯一的质量标度）。这样，初势在
真空模空间上无限远处的性质就被决定了。由于标量场的反演对称性，我们用标量场平方的真
空期待值来参数化模空间。由于这个全纯函数在无限远处有个对数分支点，绕无限远点一圈，
电标量和磁标量都发生变化，这个变化可由一个线性矩阵表示。其实，这两个标量形成模空间
上的一个两维的矢量丛。
接下来是塞伯格－威顿文章中的关键一步。既然无限远处是矢量丛的一个和乐（holonomy)
不平庸的点，那么由于模空间本身的拓扑平庸性，必须存在更多的和乐不平庸点。当这些点出
现时，物理的原因是什么呢？经过一番讨论，他们确定，唯一的可能是当新的奇点出现时，某
些粒子的质量趋向零，而这些粒子的自旋不超过1/2，只有双子才是可能的选择。所有奇点的
和乐形成SL(2)的一个子群，他们进一步论证，由于度规的正定性，这个子群不可能是可交换
的，这样要求除了无限远点外，至少还有两个奇点。
当这些奇点发生时，某些双子变成无质量的。如果磁单极变成无质量，那么那个磁标量为
零（通
过双子的质量公式），同时规范场的耦合常数变成无限大（因为磁标量的一次导数与耦合
常数成反比），也就是说原来的规范理论在这个奇点附近是强耦合的，从而相应的磁耦合是非
常弱的。磁单极含有一个标量粒子，如果质量为零，可以凝聚，也就是可以认为地使磁单极场
获得真空期待值。一旦磁单极凝聚了，色禁闭就要发生，理论中不再存在无质量的粒子，而真
空简并也消失了。如何达到这个目的呢？在原来的理论中，我们尝试加一个N 等于1 的手征场
的质量项。当该项存在时，理论只有N 等于1 的超对称，一般认为真空是唯一的，并且色禁闭
也将发生。但是如何使得本来是无质量的矢量粒子获得质量呢?最可能发生的是矢量粒子通过
黑格斯机制获得质量。黑格斯机制要求存在无质量的标量粒子，现在磁单极正好满足这个要求。
所以磁单极通过对偶的（即磁理论）的黑格斯机制使得光子获得质量。这对超势的要求同时给
出磁单极的凝聚值！
以上的分析支持新的奇点中的一个对应于磁单极成为无质量粒子的图象。在这一点，磁单
极是弱耦合的，可以应用微扰论，这一点附近的两个标量函数可以确定下来，从而这个奇点的
和乐也就确定了。现在，选择极小的可能：在无限远点和这个奇点外只存在第三个奇点，第三
个奇点的和乐由前两个和乐所决定。在第三个奇点，一个双子变成无质量的粒子。有了三个奇
点的和乐以及全纯性质，下面就不难通过复分析解出整个模空间上的两个标量函数，从而解出
初势了。所有这些函数与椭圆函数有关。事实上，原标量场平方的真空期待值是一个椭圆曲线
的模参数，而真空的模空间参数化了这组椭圆曲线。后来人们将这些椭圆曲线称为塞伯格－威
顿椭圆曲线。
最后，初势的二次导数给出有效耦合常数，以标量场的真空期待值展开，不难获得单圈贡
献以及瞬子贡献。
希望以上的冗长的文字描述能帮助大家了解哪怕是一点点塞伯格－威顿理论。如果想进一
步理解这个在历史上有着重要地位的进展，还需要阅读他们的原文。
(第二节)
我们前一节介绍塞伯格和威顿在1994 年发表的两篇著名文章的第一篇，研究N 等於2的纯
规范理论，规范群为SU(2)，这很快为其他人推广到更为一般的群。这里再简要说一下塞伯格
和威顿的结果。这个理论有无限多个真空，为一个复变量所参数化，就是黑格斯场的真空期待
值。低能的有效作用量完全被一个叫初势的函数所决定，初势给出真空模空间上的一个正定度
规。这个初势以及同样重要的电标量场和磁标量场都可以通过一组椭圆曲线来决定，每一个真
空对应一个椭圆曲线。在模空间上的两个奇点处，磁单极或者一个双子的质量为零，奇点对应
于一个简并的椭圆曲线（就是环面变成了一个圆）。如果给黑格斯场一个质量，磁单极（或双
子）发生凝聚，色禁闭发生。
在第二篇文章中，他们将这些结果推广到有超夸克的情形。这些超夸克是N 等於2 的超多
重态，同时也形成规范群SU(2)的一个基本表示，一个这样的超多重态叫一代。通过对单圈图
的分析，当只有少于四代的超多重态时，理论在高能区是渐进自由的。当有四代超多重态时，
单圈图对耦合常数没有修正，他们猜测，也没有非微扰的修正，这样和N 等於4 的纯规范理论
一样，四代的N 等於2 的理论是共形不变的，同样也有强弱对偶。不但如此，由於SO(8)作用
在超多重态的费米场上，还有所谓的三重对称性（triality，因为SO(8)的基本表示和两个旋
量表示都是8 维的，它们有交换对称性，而理论中的BPS 态也有这种对称性）。
由於引进了超多重态这样的物质场，理论就变得很复杂，一是粒子谱本身就复杂，加上可
以给每个超多重态以不同的质量，理论有不同的能区。在没有物质场时，纯规范理论的真空中
非阿贝尔对称性破缺成U(1)对称性，我们叫这些真空形成的模空间为库仑分支，因为长程力是
库仑力。当有物质场时，超多重态中的标量场，如果没有质量的话，也可以获得真空期待值（这
些方向往往叫做平方向，flat directions)。如果仅有一代，要求势能为零的条件，所谓D 条
件，不允许有任何真空期待值。当代数超过一时，就会有新的平方向，在这些方向上原来的矢
量多重态中的标量场不能有真空期待值，而在新的真空模空间的分支上，规范对称性完全破缺，
所以这些新的分支叫做黑格斯分支。库仑分支和黑格斯分支只在某些点相交。
当有两代超多重态时，有两个黑格斯分支，每个分支是两维复空间，与库仑分支相交于原
点（在这一点上经典理论中所有的标量场为零）。当代数超过三时，只有一个黑格斯分支。当
然，塞伯格和威顿没有研究超过四代的情况，因为这个时候理论不在是渐进自由的或者共形不
变的，从而存在兰道极点，理论在微观上没有定义。
所有这些理论都有新的整体对称性，这些对称性有一部分是手征对称性，和量子色动力学
一样。当矢量多重态中的标量粒子被人为地加上质量时，超对称破缺为N 等於1 的超对称，库
仑分支也变成一点或两点，也就是说只有有限几个真空。在这些真空中磁单极发生凝聚，色禁
闭发生。如果有无质量的夸克，人们预期手征对称性破缺，这个预期的确在这里得到证实。手
征对称性的破缺会产生pi 粒子这样的介子，是哥德斯通粒子。
回到N等於2 的超对称情形，我们主要感兴趣的是量子效应如何修改真空模空间的结构，
从而决定低能有效作用量，以及稳定的粒子谱。当一些物质场没有质量时，存在黑格斯分支，
这些分支都是复空间， 复维数是偶数。进一步， 这些空间都是所谓的超凯勒空间
（hyper-Kahler)，度规为对称性所唯一决定，只是其绝对归一化由无限远处即渐进行为所决
定。可以说，没有量子修正，从而原来有的奇点还存在。
库仑分支就完全不同了。和纯规范理论一样，库仑分支还是一个一维的复空间。和纯规范
理论不同的是，此时奇点的个数以及奇点的行为（如绕奇点一圈的和乐）依赖于物质场的代数
及质量。无限远点依然是一个奇点，它的和乐由单圈图决定，从而与代数有关。与纯规范理论
相同的是，电标量和磁标量作为模参数的函数有非微扰的贡献，还是瞬子贡献，这些贡献依赖
于代数，因为不同的代数有不同个数的费米子零模，而瞬子的个数的贡献取决于这些零模。一
般地，只有偶数个瞬子才有贡献。
当物质场有质量时，BPS 粒子谱也依赖于这些质量，从而质量公式里有三个量子数，两个
是以前的，电荷何磁荷，第三个是对应于这个夸克质量的量子数，是一个整体U(1)对称性的荷。
这样，质量公式不再有原来的某种SL(2)对称性，从而围绕一个奇点的和乐也不是S:L(2)的一
个元了。
塞伯格和威顿对所有情况下的模空间的奇点做了仔细的分析，结果自然十分复杂。举例来
说，在三代的情况下，假如所有的物质场有同样的质量。当这个质量很大时，在很远处有一个
奇点，因为在这个点，双子的质量公式告诉我们有带电的零质量粒子。因为物质场的质量很大，
模空间上靠近原点的低能有效理论等价于纯规范理论，当然这个纯规范理论的能标与三代理论
的能标以及物质场质量都有关系。这个纯规范理论有两个奇点，这样，加上无限远点和较远的
那个奇点，理论中共有四个奇点。
如果将三代的情况研究清楚，低于三代的理论可以通过研究重正化群得到。当然，如果四
代的情况知道了，连三代的理论都可以推出。奇点的情况就是这样通过逐步降低代数获得的。
当奇点的个数知道了，以及每个奇点附近的零质量粒子也知道了，接下来就可以研究每个
奇点的和乐。所有的和乐知道了，就可以导出塞伯格－威顿椭圆曲线，从而决定低能有效理论。
他们其实是从一代的情况开始研究椭圆曲线的。当超多重态的质量为零时，模空间的有限部分
有三个奇点。当物质场有质量时，椭圆曲线是能标和质量的多项式，这个多项式可以通过分析
瞬子贡献以及联系纯规范理论来获得。
当有两代物质场时，无质量的情况下有两个有限的奇点，同样，无质量的三代理论也只有
两个有限的奇点。椭圆曲线用同样的方法得到，只不过曲线公式越来越复杂。这些公式相互之
间是自洽的：比方说，在三代的情况下，如果将一代的物质场的质量推向无限大，同时保持低
能的特徵能标固定，我们应当获得两代的理论。
最后，四代的理论最为复杂。当物质场的质量都是零时，这是一个共形不变的理论，类似
N 等於4 的超规范理论。由於没有量子修正，电标量和磁标量的公式很容易得到。但模空间的
库仑分支上的几何，虽然是真空期待值的简单函数，却是耦合常数的复杂函数。必须强调的是，
与渐进自由理论不同，那里没有耦合常数，只有能标，这里没有能标（共形不变），只有耦合
常数。没有理由认为椭圆曲线也由一个耦合常数的多项式来刻画，事实是，椭圆曲线由耦合常
数的两个椭圆函数来刻画。这个事实也证明了四代理论也有强弱对偶，其实是比强弱对偶更大
的对偶：SL(2)不变性。所以，从很多性质来看，四代理论很象N 等於4 的规范理论。当四代
物质场获得不同的质量时，椭圆曲线也可以确定。自然，这些结果可以用来推出小於四代的理
论。
最后，我们谈谈威顿将他们的结果用到四维流形的数学上面，这是在数学界引起相当大的
震动的工作，虽然在物理界几乎没有引起什么反应（当然弦论的研究者喜欢将这个工作作为场
论和弦论对数学有重要应用的一个典型来引用）。数学在80 年代末获得关于四维流形的微分
拓扑不变量的一个重要结果，就是唐纳德逊不变量（ Donaldson)，这些不变量由研究四维流
形上的自对偶规范场获得。一个自对偶规范场就是瞬子解，所有这些解形成空间，其维数和四
维流形的拓扑以及瞬子数有关。唐纳德逊不变量是瞬子模空间上的一些积分。维顿于88年在阿
蒂雅的启发下发现这些不变量对应于一个拓扑量子场论中的关联函数，而这个拓扑场论可通过
修改N等於2 的规范理论中的超对称获得。这种修改是将一些超对称生成元由旋量变成标量，
所以叫扭变（twisted）。标量的超对称可以看成BRST 的对称生成元，所有可观测物理量在这
个被扭变的理论中都是BRST 不变的。威顿指出，由於理论的作用量本身是一个量的BRST 变换，
所以场论中的关联函数不依赖于耦合常数，也不依赖于四维流形上的度规。将度规变得任意小，
理论趋於紫外极限，所有的关联函数成为瞬子模空间上的积分，从而是唐纳德逊不变量。这个
结果只是指出数学上的不变量和量子场论的关系，对数学上如何计算这些不变量毫无帮助。
另外一个极限显然是红外极限。但在红外极限下，理论是强耦合的，所以乍看起来红外的
计算更为困难。94 年夏天之后，塞伯格－威顿在平坦的四维空间解决了低能问题，所以威顿
本人开始考虑红外的结果在数学中的应用。在低能极限下，真空的模空间上通常有一个零质量
的光子，但这个简单的理论对拓扑场论中的关联函数没有贡献。当我们趋向两个奇点时，出现
新的无质量粒子，就是磁单极和双子，这些新的场和光子耦合对关联函数有贡献。类似紫外的
情况，这些贡献很大程度上决定于“经典”理论，而经典理论就是解电磁场与磁单极场的耦合
方程。威顿将这个方程组叫作磁单极方程。这些方程的解通常是分立的，可以定义有关的一些
拓扑不变量。将两个奇点的贡献加起来，就获得了拓扑场论中的关联函数的生成函数。威顿并
说明，奇点附近的真空对这个生成函数在红外极限下没有贡献。由於磁单极方程是阿贝尔的，
解的性质容易研究，这就帮助计算唐纳德逊不变量。从物理的角度，他的结果很容易理解，而
从数学的角度，就很不可思议了。
其实，后来弦论的发展带来许多数学的结果，从数学的角度都很难理解。当然，即使是物
理本身也没有完全理解机制问题，如强弱对偶，还有许多要去理解的。这就说明，将来无论是
物理上还是数学上，场论和弦论都会有很大的发展空间。
(第三节)
可以不太夸张地说，第二次革命中纯粹场论的发展，主要工作在94 年就结束了。我们前
面介绍了最有影响的工作，塞伯格－威顿理论。在这个工作前后，塞伯格自己也作出非常重要
的工作。利用超对称所带来的好处，如超势的全纯性，来研究N 等於1 的超对称量子场论，开
始于塞伯格，但在他和威顿的工作之前，还没有带来太大的影响。从93 年开始，他和一些合
作者陆续获得一些非微扰的结果，这些结果当然到他和威顿的工作和他自己关于N 等於1 的强
弱对偶的工作发展到极致。
要了解他的关于现在称为塞伯格对偶，也就是我们一开始说他因这个工作只能做卡车司机
（与威顿比），的工作，我们要稍微谈谈量子场论中各种相。其实我们已经介绍了库仑和黑格
斯相，现在重复一下。库仑相就是在这个真空中，只存在阿贝尔规范对称性，长程力是由一个
或若干个光子引起的库仑力。在黑格斯相中，没有任何无质量粒子，原来的规范对称性完全由
黑格斯机制所破坏。还有第三种相，就是也提到过的色禁闭相。在这个相中，不存在有限能量
的非色单态，任何带色的态都被禁闭了。一般地说，在这个相中，粒子谱全都是有质量的，类
似量子色动力学，其中有胶球，可以看作是胶子形成的色单态，也有夸克形成的介子和重子。
介子由一个夸克和一个反夸克组成，重子由N 个夸克组成，这里N 是规范群的阶，也就是颜色
的个数。在色禁闭相中，也可能存在无质量的色单态。最后，还存在一种态，是塞伯格的工作
中所强调的，叫非阿贝尔库仑相，其中规范对称性没有破缺，但是也没有色禁闭，相互作用可
能是强的，也可能是弱的。当然，最典型的非阿贝尔库仑相是N 等于4 超对称规范理论中模空
间上在原点的相。通常，这些相有共形不变性。总结一下，四维的量子场论可能有四种不同的
相。
色禁闭相应当在通常的量子色动力学中发生，但是到目前为止这个自然的猜测还没有理论
上的证明。同样，色禁闭也在一些N 等於1 的超对称规范理论中发生，这个已被塞伯格－威顿
的工作所证实。一个最为流行的色禁闭机制是磁单极凝聚，这早在量子色动力学被提出的初期
已为曼德斯塔姆和其他人所建议，但是，纯粹的量子色动力学中并没有独立的磁单极。而N 等
於2 的规范理论中有，所以当超对称破缺为N 等於1 时，色禁闭通过磁单极凝聚发生。为什么
磁单极凝聚了就不会存在色单态呢？这是超导现象中的麦斯纳效应（Meissner effect) 的一
个简单推广。我们知道，超导电现象的机制是电子对的凝聚。一个电子对是玻色子，可以发生
爱因斯坦凝聚。当凝聚发生时，任何外界的磁场都不可能进入超导体。如果我们人为地在超导
体的内部放一对磁单极，那么磁单极的磁场被压缩成一条很细的磁力线管，从磁单极通向反磁
单极，因为磁通量必须守恒。这根磁力管带有能量，很像一根弦。如果超导体无限大，而我们
尝试放一个磁单极进去，就会有一个无限长的磁力管出现，从而能量无限大。如果我们将磁荷
解释为色，那么色单态有无限大的能量。现在，我们将这个麦斯纳效应推广到规范理论，将磁
荷与电(色)荷互换一下，以前是电荷凝聚，现在变成磁单极凝聚，以前是磁荷禁闭，现在就是
色荷禁闭了。N 等於1 的量子色动力学除了包括N 等於1 的矢量多重态（含规范场和胶微子，
后者是费米场），还可以含手征多重态。每一代有两个手征多重态，一个是规范群的基本表示
（如果规范群是SU(N))，一个是反基本表示，可以有若干代。N 等於1 的量子色动力学大概是
最接近量子色动力学的理论了，与没有超对称不同的是，很多性质可以通过全纯分析和超对称
的其它性质获得。
这个系列理论的贝它函数，也就是耦合常数随著能标的变化，和质量的反常指标有一个严
格的关系。当代数小於色的个数时，理论是渐进自由的，所以应当有色禁闭。当标量夸克没有
质量时，存在许多平坦的方向，这些平坦方向克由介子场（和标量夸克成双线性关系）来描述。
事实上是，当代数小於色的个数的三倍时，理论总是渐进自由的，但理论的红外行为不仅仅是
禁闭相，可以有其它不同的相。如果代数超过颜色的个数，还可以用标量夸克来构造重子场(一
个重子含N 个标量夸克)，理论的平坦方向由介子场和重子场一同描述。
当代数小於色个数，超势早在83 年就由塞伯格和他的两个合作者严格地算出来了，这个
超势是介子场的函数，包括瞬子贡献，在介子场的“原点”处不是解析函数。其实，当夸克无
质量时，超势没有极小，所以没有稳定的真空。这种跑离现象（runaway) 在超对称理论中比
较常见。
理论的性质与代的个数密切相关。当代数大於色的个数加一时，真空的模空间没有量子修
正。当代数等於色的个数时，模空间有量子修正，这个修正与理论的能标有关（记住在一个渐
进自由的理论中，物理参数不是耦合常数而是特徵能标）。当代数等於色的个数加一时，量子
的模空间和经典的模空间一样，但是作为奇点的原点的物理解释不同：经典理论中是无质量的
胶子等等，量子理论中是无质量的介子和重子。
当代数超过色个数的三倍时，理论不再是渐进自由的，而在红外极限，理论完全是自由的，
所以是一个平庸的共形场论。因此，塞伯格集中精力研究代数小於色个数的三倍情形。当代数
同时又大於色个数的3/2 倍时，他猜测理论在红外有一个不动点，也就是说贝它函数有一个非
平庸的零点，从而红外的理论是共形不变的。但这个理论显然不是自由的，因为理论在紫外才
是渐进自由的。
利用四维的超共形代数，可以推出一些严格的结果。例如，理论中存在一些所谓的手征算
子，类似希尔伯特空间中的BPS 态（对於一个共形场论来说，一个算子的确对应一个态，这个
态可以用算子插在原点来产生）。和所有BPS 态一样，一个手征算子的维度和它所带的一个中
心荷成正比，这个荷就是超量子色动力学中的阿贝尔R 对称性。所以，质量所对应的反常指标
就可以严格地算出来，代入我们前面说的贝它函数，就发现贝它函数的确为零。
当代数变小时，理论在红外的耦合越来越强，所以塞伯格寻求一个对偶理论，其红外耦合
在小的代数时是弱的。可以容易地看出，当介子场和重子场都没有期待值时，理论中的整体对
称性不应发生变化，从而在对偶理论中，这个整体对称性也只能由同样多的代数的超夸克来实
现。所以，两个对偶理论中含有同样多的手征超多重态。可以进一步证明，色的个数在对偶理
论中不同了，是代数减去原来的色的个数。
色的个数可以变化当然是强弱对偶的一个令人惊讶的结果。仔细一想，其实也可以理解，
规范对称性本身和整体对称性不同，后者是真正的对称性，而前者是一种描述的方便，可以说
是多余的对称性，例如我们考虑物理态时，总是要求态是规范不变的。
可以在新的对偶理论中构造重子，由於色的个数小於代数。但不能构造原来理论中的介子，
因为新的标量夸克的中心荷与原来的不同，所以要引入新的独立的介子场。塞伯格研究了所有
可能研究的性质，发现这个对偶猜想是自洽的，比如对偶的对偶回到原来理论。他猜测，对偶
的理论中的基本变量应当是磁荷。当代数小於色个数的三倍而大於色个数的两倍时，原来的“电
理论”是弱耦合的，红外极限是是弱耦合的非阿贝尔库仑相。我们前面说过，当代数大於色个
数的三倍时，电理论不再是渐进自由的，而红外极限是没有相互作用的库仑相。如果我们进一
步降低代数，到比色个数的两倍小时，电理论在红外变成强耦合的，而磁理论则是弱耦合的，
所以这是磁非阿贝尔相。磁理论可以一直延伸到小於色个数的3/2 倍，此时电理论的耦合无限
大，而磁理论是完全自由的。
所以，塞伯格对偶的好处是可以对任意代数作研究，一个理论的耦合变强了，其对偶的理
论的耦合就变弱了。
塞伯格－威顿理论后来在弦理论中有若干种实现，也就是说弦理论可以用来证实他们的工
作，甚至可以走得更远。同样，塞伯格对偶后来在弦论中也有不同的实现，这些都是后话了。
在写这一节的时候，超对称规范理论又有新的发展，这些发展与老的矩阵模型有关，我们在这
个系列中也许有机会提到。
第九章 第二次革命：弦论中的对偶
(第一节)
场论中的对偶如果是令人惊讶的，那么弦论中的对偶就是令人震撼的。94 年塞伯格－威
顿的工作带来一波研究超对称场论的热潮，一直持续到下一年，后来在弦论中还一而再、再而
三地出现。这个热潮却使得人们几乎完全忽略了94 年秋季的一项重要工作，就是胡耳和汤生
的关于弦论对偶的猜测。
这些猜测建立在过去的若干工作基础上，如芳特（A. Font) 等人的工作和森以及史瓦兹
的工作。他们的工作主要是针对维象上最吸引人的弦论：4 维的杂化弦。而胡耳和汤生的工作
主要针对型II 弦论，虽然也涉及到杂化弦。
重视他们工作的可能只是少数几个人，包括威顿、森和史瓦兹。仅仅5 个月后，威顿在95
年南加州大学的超弦年会上公布了他的关于弦论中对偶的结果，这才将弦论界的目光引导弦论
上来。
我们先介绍胡耳和汤生的工作。这是一个相当有远见的工作，预见到后来许多弦论对偶，
可惜被人们忽视了一段时间。威顿后来的工作研究了更多的对偶，在细节方面为对偶提供了很
多证据，但就原创性来说，比之胡耳和汤生的工作似乎还稍有不如。胡耳和汤生的主要贡献是
提出了低维型II 弦论的所谓U 对偶，以及一类四维杂化弦与一类四维型II 弦的对偶。他们甚
至还提到了11 维超引力的可能作用。
U 对偶的字母U 的含义是统一(unity)，就是弦论中的T 对偶和强弱对偶的统一。这里的
强弱对偶在形式上和我们上一章中讨论的N 等于4 超对称规范理论的强弱对偶完全一样。这个
强弱对偶被森等人推广到四维的含有N 等于4 超对称的杂化弦中，强弱对偶的群是SL(2,Z)，
也就是模为一的整数一般线性群。在规范理论中，这个群作用在一个复耦合常数上（实部为西
它角，虚部是规范场耦合常数），在杂化弦中，群作用在一个复标量场上。这是一个重要的变
化：在弦论中，没有自由的无量纲常数，任何这样的常数一定和一个标量场有关。
可是在胡耳－汤生之前并没有人猜测四维的N 等于8 的弦论中有强弱对偶，他们只是简单
地认为如果杂化弦有，那么型II 弦也应当有。弦论在四维的T 对偶群是一个极大的分裂正交
群－所谓极大分裂的含义是，第一，群是非紧的，第二，群是极大非紧的，它的极大交换子群
是一些实数群(R)的乘积。我们在第七章第三节中已经介绍了T 对偶，在四维中，型II 弦的T 对
偶群是SO(6,6,Z)。四维的极大超对称弦论是由型II 弦紧化在6 维的环面上获得的，所以弦谱
中含有6 个动量模和6 个绕数模，T 对偶群是这12 个模的转动变换。在四维中，强弱对偶群
作用的复标量场的实部是一个雷芒－雷芒标量场，而虚部是伸缩场（决定弦的相互作用强度）。
在T 对偶变换下，雷芒－雷芒场也作变换（是T 对偶群的一个旋量表示），所以，T 对偶群和
强弱对偶群不可交换。它们共同生成的群是它们的简单乘积要大，这个群就是U 对偶群。在四
维中，这个群是E(7,Z)。E 是例外群，而这里采取的形式不是通常的紧群，是极大分裂群，即，
它的极大交换子群是实数群的乘积。E(7)有7 个实数因子。
对于胡耳和汤生来说，U 对偶群的出现是自然的，因为N 等于8 的超引力恰恰就有这个对
称性，而E(7)这个群是以连续群的形式出现的，不是U 对偶的分立群。它包含SO(6,6)和SL(2)，
在弦论中由于动量和绕数的量子化，前者必须是分立的，所以，后者也应当是分立的，这就成
了强弱对偶群。换言之，超引力的对称群在量子理论中破缺为它的一个分立子群。
在N 等于8 的超引力（弦论的低能极限）中，有七十个标量场，这是N 等于8 超对称的极
小表示要求的。这七十个标量场，可以看作是群E(7)的一个陪集空间。陪集的一点就是E(7)
中的一个子群SU(8)，前者的维度是133，后者的维度是63，所以陪集空间的维度是70。从弦论
的角度来看，七十个标量场中有三十八个来自于内吾－史瓦兹分支，其余来自雷芒分支。T对
偶群分别作用于这两个分支上，不将它们混合。比如说，三十二个雷芒标量场是SO(6,6,Z)的
一个旋量表示。
在T 对偶的作用下，所有BPS 弦态形成一个矢量表示。从一个BPS 态出发，通过T 对偶的
作用可以生成所有的BPS 态。当然，在T 对偶的作用下，弦真空的模－标量场的真空期待值会
改变，所以在T 对偶的作用下，一个BPS 态被映射到另一个弦真空中的BPS 态。但是弦的真空
期待值是可以连续改变的，将弦模连续变化到原来的值，我们就产生了一个新的BPS 态。所以，
BPS 态必须形成T 对偶群的一个表示。
现在，我们用更大的U 对偶群可以产生更多的BPS 态，很显然，有些态不是弦态。胡耳－
汤生猜测，这些态是非微扰态，是所谓的极端黑洞。这里极端的意思是黑洞的质量与一个荷成
比，这也是一个BPS 态的性质。我们今后为了避免概念上的错乱不叫这些非微扰态为黑洞，而
干脆叫它们为孤子态。
这些孤子态，有些是过去大家熟知的态。比方说，和6 微环面上一个动量模形成强弱对偶
群SL(2,Z)的一个表示的是相应的KK 磁单极，在这里，沿着一个圆方向的动量是电荷，而KK
磁单极是相应的磁荷，它们一起形成强弱对偶群的一个矢量表示：它们之间可以任意转动。所
有孤子态中，许多是我们不很熟悉的，但我们第七章中已经提到过了。第七章中讨论的一些膜
就是这些孤子态的来源：当膜在6 维环面上的一个封闭子空间绕一圈的时候，在四维中生成一
个粒子态。
一共有多少BPS 态？当然有无限多个。我们关心的问题是，这些态可以带有不同的荷，一
共有多少独立的荷？例如，对应于强弱对偶，最简单的情况需要两个荷，电荷及磁荷。在T 对
偶群的表示下，弦态共有12 个荷，6 个动量模，6 个绕数模。在强弱对偶群的表示下，6 个
动量模带来6 个KK 磁单极，那么6 个绕数模带来什么？这6 个绕数模对应的磁荷不是别的，
正是我们讨论过的内吾－史瓦兹5－模，如果弦绕在一个圆上，5－模的五根“腿”就绕在其余
的五个圆上。这样，我们一共有了24 个荷。
24 个荷还不能形成U 对偶群的一个表示，我们还需要其它的荷。这些荷，与雷吾分支中
的反对称张量场有关。
这些新的荷在强弱对偶群的作用下不变，所以不能分成电荷和磁荷。它们在T 对偶群下形
成一个32 维的旋量表示，与前面的24 个荷结合起来，共有56 个荷，形成E(7,Z)的一个表示。
从雷芒反对称张量场出发，我们可以得到16 个四维的矢量场，它们有电荷及磁荷，共32个。
当然，这些电荷和磁荷在强弱对偶的变换下不变。我们只是形式第叫它们为电荷及磁荷，E(7)
含有另一个SL(2)子群，在它的作用下，这些荷形成矢量表示。那么，这些16 个新的规范场如
何得到？以IIA 弦为例，在十维中我们有一个矢量场，一个三阶反对称张量场。矢量场在四维
中提供一个矢量场，而三阶反对称张量场提供15 个矢量场。
这样，U 对偶的猜测预言了一些新的孤子态，而这些孤子态作为弦论中的低能解早就存在
了，只是我们过去根本没有认为它们的确会在弦论的动力学中出现而已。我们在下一节中接着
介绍胡耳－汤生的工作。
(第二节)
上一节介绍了四维型II 超弦的U 对偶，必须注意到，我们考虑的理论是十维型II 超弦紧
化在六维环面上的理论，所以四维中的超对称是极大超对称。U 对偶群和超对称的个数有极大
的关系，当完全没有超对称时，我们不知道是否还有任何对偶。
没有在上一节提及的是为何我们要研究BPS 态在对偶变换下的性质，而不是其它态。这是
因为BPS 态是稳定的态，其存在和弦论中的模参数无关。举例来说，当我们变化耦合常数时（模
参数之一），BPS 态谱不变，所以应当形成对偶群的表示。谱不变并不意味着它们的质量不变，
质量是模参数的函数。比方说，当弦的耦合常数小时，弦的微扰态的质量与耦合常数无关（用
所谓的弦度规来测量），而孤子态有的与弦耦合常数成反比，有的与弦耦合常数的平方成反比，
所以在弱耦合下比弦的微扰态重，从而在动力学中不起主要作用。同样由于BPS 态的质量没有
量子修正，所以作为模参数的函数可由弱耦合的计算确定。这样，孤子态在强耦合情况下反而
变得比原来的弦态要轻，从而在动力学中起到关键作用。U 对偶的存在告诉我们，在这个情况
下我们可以找到一个新的耦合常数，相对于这个耦合常数，这些孤子态成为微扰态，而原来的
微扰态反而成了较重的孤子态。
我们说过，N 等于8 的四维超弦理论的模参数空间是E(7)的一个陪集空间。考虑到U 对偶，
这个陪集空间上的真空并不是完全独立的，所以真正的模空间是这个陪集空间再除掉U 对偶
群，是一个陪集空间的陪集。原来的陪集空间是非紧的，就是说体积是无限大，而考虑了U 对
偶后的模空间的体积是有限的。当然，这里的体积的定义是由理论中的标量场所决定的：在作
用量中，所有标量场的动力学项由模空间上的一个度规决定。我们谈的体积是这个度规决定的
体积。T 对偶群的佚与紧化的环面的维数相等，加上强弱对偶的佚为一，U 对偶群的佚就比环
面的维数大一。这是四维弦的情况，其实，高维弦的U 对偶群也一样，它的佚比紧化的环面大
一。
下面我们就简略谈谈高维的U 对偶。
由于T 对偶，紧化在环面上的IIA 弦与IIB 弦一样，所以我们没有必要区别这两种弦论，
只是在十维中我们要做一个分别。当型II 弦紧化在五维的环面上时，我们获得五维时空中有
着极大超对称的弦论。这个时候T 对偶群是SO(5,5,Z)，加上强弱对偶，新生成的U 对偶群是
E(6,Z)，同样是E(6)的极大分裂形式。上升到六维时空，此时环面是四维的，所以T 对偶群是
SO(4,4,Z)，结合强弱对偶，我们获得的U 对偶群是SO(5,5,Z)。七维时空的U 对偶群是SL(5,Z)，
由T 对偶群SO(3,3,Z)和强弱对偶生成（注：六维和七维的U 对偶群在胡耳和汤生的文章中被
弄颠倒了）。到了八维，U 对偶群是SL(3,Z)与SL(2,Z)的直积，这个SL(2,Z)和强弱对偶群不
同，强弱对偶群包含在SL(3,Z)中。到了九维，T 对偶群仅仅是Z(2)了，因为紧化空间是一个
圆，T对偶只是将半径变成其倒数。这样，U 对偶是强弱对偶与T 对偶的直积。最后，在十维
空间有两个不同的型II 弦，IIA 的对偶我们后面再谈，IIB 的对偶就是强弱对偶SL(2,Z)。
现在介绍胡耳－汤生工作中的第二个重要猜测，四维的杂化弦和一类四维的型II 弦的对
偶。
在十维中，有两种杂化弦，其中一种的规范对称群是SO(32)，还有一种的规范对称群是
E(8)XE(8)，这两个规范群的起源是弦在16 维环面上的左手模所带来的。当这些杂化弦紧化在
一个圆上时，我们可以得到更多的不同的规范群。一般地，这些规范群的佚总是16+2，不一定
比原来十维中的规范群要大，原因是我们可以让一些规范场在圆上获得真空期待值（叫做威尔
逊线），这些真空期待值的作用是使得所有不与其对易的群对成性破缺。我们在第七章的第三
节和第四节介绍了T 对偶，但没有提及杂化弦的T 对偶。在九维空间中，两个杂化弦是互相T 对
偶的。虽然它们在十维空间中的规范群不同，在九维中，可以利用威尔逊线和可能的规范增大
使得它们的规范群完全一样。规范增大的来源是圆半径可以在T 对偶变换下不变，从而可以有
更多的规范场出现。在十维中，由于16 维环面上只有左手模，所以T 对偶群是SO(16,Z)（见
第五章第二节）；在九维中，多了一个圆上的右手模和左手模，所以T 对偶群是S(17,1,Z)。
这样，规范群可以等价地由17＋1 维中的偶的自对偶晶格来决定，从而也就没有两种杂化弦的
区别(原理和我们在第五章第二节中介绍的完全一样，这个分类是第一次革命中纳阮(Narain)
发现的）。
当十维的杂化弦紧化在六维环面上时，我们获得四维时空中N 等于4 的超弦理论。这时多
了这个环面上的右手模和左手模，T 对偶群变成了SO(22,6,Z)，其中22 是原来的16 个左手模
加上6 个新的左手模，第二个因子6 是6 个右手模。在这个T 对偶外，许多人在90 年代初期
猜测还有一个强弱对偶群SL(2,Z)，作用在一个复数场上，这个复数场的虚部是伸缩子场，而
实部是所谓的轴子场（在弦论中总有一个内吾－史瓦兹反对称张量场，这个张量场在四维中等
价于一个标量场，因为张量场的场强是三阶反对称张量场，而标量场的场强是一个矢量，它们
在四维中对偶）。由于杂化弦的强弱对偶只作用在内吾－史瓦兹场上面，所以与T 对偶群是对
易的。这样，四维杂化弦的U 对偶群是SO(22,6,Z)和SL(2,Z)的直积。
我们前面谈到了四维极大超对称型II 弦的规范对称性，当模参数任意时，对称性是阿贝
尔的，共有28 个。其中只有12 个是弦的微扰态生成的，与六维环面有关，而两外16 个来自
于雷芒分支，对应的电荷完全是非微扰的，也就是弦论中的孤子。四维极大超对称杂化弦同样
有28个阿贝尔对称性，这些对称性的起源及电荷完全是弦的微扰态，是T 对偶群SO(22,6,Z)
的矢量。加上强弱对偶，我们共有56 个荷，另外28 个荷是磁荷，它们的起源是10 维里的0
－膜和6 个KK 磁单极以及H－磁单极。
四维中还有一类超弦具有N 等于4 超对称，这类弦由型II 弦紧化在6 维空间K3X 两维环
面上，其中K3 是四维的卡－邱流形，它的存在使得一半的超对称破缺。我们同样可以获得28 个
阿贝尔规范场，其中四个来自于两维环面，余下的24 个来自于雷芒反对称张量场。以IIA 为
例，原来的矢量场给出一个四维的矢量场，而原来的三阶雷芒反对称张量场可以用22＋1 个二
阶调和形式来展开，其中22 个来自于K3，一个来自于两维环面，这样三阶张量场的第三个指
标就是四维时空中的矢量。
我们同样可以数出型II 弦论中的28 个电荷及磁荷，其中4 个电荷是两维环面上的动量模
和绕数模，剩下的24 个电荷当然是孤子解，一个是IIA 弦中的0－膜，带IIA 理论中矢量场的
荷，剩下的23 个电荷来自于2－膜，分别绕在两维环面上以及K3 中的22 个不可收缩的两维子
流形上。
这样，我们自然猜测这些新的四维N 等于4 的弦论和原来的杂化弦完全一样，这个猜测是
胡耳－汤生的第二个重要猜测。如果这个猜测是正确的，那么型II 弦的对偶群也必须是
SO(26,2,Z)与SL(2,Z)的直积。我们看看从型II 弦出发能否得到这个群。首先，两维环面带来
T 对偶群SO(2,2,Z),等价于两个SL(2,Z)的直积。其次，K3 理论告诉我们有一个推广的T 对偶
群SO(20,4,Z）。考虑到型II 弦的强弱对偶，还有一个强弱对偶群，这样总的佚的确是15，与
要求的相同。
胡耳和汤生并没有给出我们在以上两节介绍的U 对偶的更多证据，只是指出，所以这些可
能和11 维超引力有关。
为了更好地理解这些对偶，我们必须介绍威顿95 年三月份的工作。我们在下一节开始介
绍威顿的工作。
（第三节）
威顿的文章《弦论在不同维度中的动力学》的主要贡献之一是将11 超引力纳入了弦论的
框架。胡耳和汤生在他们的文章中已经提到11 维超引力，但主要讨论紧化到低维时空时的BPS
谱，没有直接猜测这个理论在弦论中的位置。威顿则明确无误地说，十维IIA 弦论的强耦合极
限是11 维超引力。当然他并没有说这个理论本身是自洽的量子理论，只是说低能物理由这个
理论给出。事实上，11 维超引力所对应的量子理论至今还没有一个完全的答案。几乎与威顿
同时，汤生在一篇短文中指出了11 维超引力的作用，特别指出十维中的弦是由11 维的膜而来。
但他所持的11 维膜是基本动力学态后来没有得到什么证据。
威顿首先指出，十维IIA 超对称代数允许一个中心荷，这个中心荷不是别的，正是雷芒矢
量规范场所对应的荷。当质量正比与这个荷时，态是BPS 态，当然这些态不在弦的微扰谱中出
现。存在极端黑洞解，其质量和电荷是连续的。考虑到量子效应，电荷必须量子化，最简单的
可能是这些电荷是一个基本电荷的整数倍。威顿证明，质量与电荷的正比系数与弦的耦合常数
成反比，而电荷与耦合常数无关，所以质量和耦合常数成反比。只是在弦论中才有这种现象出
现，在一个场论中，一个孤子的质量与耦合常数的平方成反比。
在强耦合极限下，这些孤子的质量越来越小，逐渐趋于零。这样就产生一个问题，在什么
样的十维理论中会有无限多个无质量的粒子呢？一个微扰弦论不可能产生这么多的无质量粒
子，所以IIA 弦的强耦合不可能对偶于另一个弦论。一个最简单的可能是，这些轻态其实是一
个11 维理论紧化在一个圆上的动量模。当弦耦合常数趋于无限大时，圆的半径也趋于无限大。
由于11 超对称代数必须约化为十维IIA 超对称，只有一个理论，其低能极限就是11 维超引力。
不但如此，我们可以通过通常的KK 程序由11 维超引力的低能作用量获得十维的IIA 低能作用
量－这个关系很久以前就知道了。威顿通过这种办法获得第11 维，即那个圆，的半径与弦耦
合常数的关系。一个强耦合的十维理论其实是一个11 维理论的确是非常令人惊讶的。
另一个十维型II 弦是IIB 理论，我们前面已经说过，这个理论有强弱对偶，当弦的耦合
常数变大时，理论对偶于一个弱耦合的IIB 弦，我们可以称这样的对偶为自对偶，因为两个理
论除了耦合常数不一样外是同一个理论。
当型II 弦紧化到低维时，我们获得更多的对偶，就是U 对偶。威顿作了一个很重要的分
析，就是研究模参数的不同极限，看能得到什么样的弱耦合理论。分析表明，只有两个弱耦合
极限，其一是弦论，其二是11 维超引力，前者由IIB 弦的强弱对偶所控制，后者由威顿指出
的IIA 与11 维理论的对偶所控制。
在有着U 对偶的低维弦论中，弦的耦合常数不再是一个特别的常数，它与其它的一些模参
数地位是一样的。由于U 对偶群是一个极大分裂群，有若干非紧的方向，其数目和群的佚相等。
模空间的非紧方向也有这么多，而弦耦合常数只是其中的一个方向，其余的方向有的紧化环面
上的半径。举一个例子，当型II 弦紧化在三维环面上时，我们得到七维弦论，其U 对偶群是
SL(5,Z)，模空间有4 个非紧的方向，一个是耦合常数，另外三个是三个半径。我们可以研究
顺着其中任意一个方向走到无限远时BPS 态的谱，比如将弦耦合常数调到无限大。威顿定义了
所谓极大方向，其含义是沿着这个方向BPS 的谱中的变成无质量的态是极大的，不能靠调其它
模参数使其变得更大。扣除置换对称（如交换两个半径），只有两个独立的极大方向。一个极
大方向对应于七维的弱耦合弦论，另一个极大方向对应于11 维超引力：七维弦论可以看着是
11 维理论紧化在四维环面上，这个极大方向就是将4 个半径变成无限大，所得到的轻BPS 态
就是11维超引力子。
同样，当考虑那些非极大方向时，可以得到高于七维的弦论。这个思路可以用到更低维的
弦论，威顿获得一个自洽的图象，当沿着一个非紧参数走到无限远时，我们或者得到一个更大
维度（也可能是同维度）的弱耦合弦论，或者得到11 维理论。当一个高维弦论出现时，没有
破缺的对偶恰恰就是这个维度型II 弦论的U 对偶。这样，不同维度弦论的U 对偶以及11 维理
论形成一个自洽的系统。
最后我们指出，两个十维的型II 弦都可由11 维理论的紧化获得。IIA 理论是11 维紧化
在一个圆上的结果，圆的半径小于11 维的物理标度-普朗克标度-时，我们得到弱耦合弦论，
弦的耦合常数与圆的半径的3/2 次方成正比。而十维的IIB 弦可由11 维理论紧化在一个二维
环面上得到，这是一个九维理论，要回到十维，我们可以将环面的两个半径缩小，一直趋于零，
但两个半径之比要固定，这样IIB 弦的耦合常数也固定了：它正好是两个半径之比。我们可以
将IIB弦的强弱对偶理解维11 维理论的几何对称性，将两个半径互换，这样弦耦合常数就变成
原来的倒数。我们以后再详谈这个对偶。
威顿同样对杂化弦和型II 弦的对偶做了细致的研究。我们前面介绍的的四维N 等于4 的
杂化弦与型II 弦的对偶，其实可由六维的杂化弦与六维的型II 弦的对偶得来，前者是十维杂
化弦紧化在四维环面上，而后者是十维IIA 弦论紧化在K(3)上。威顿研究了两个理论的低能作
用量，发现它们是一样的，只要重新定义场，特别是伸缩子场。这两个理论之间的对偶是强弱
对偶。
当我们进一步将两个理论紧化在两维环面上时我们就得到以前的两个四维弦的对偶，同时
我们会发现一个很有趣的现象。当杂化弦紧化在两维环面上时，会产生一个新的T 对偶群，就
是SO(2,2,Z)，可以写成两个SL(2,Z)的直积，一个SL(2,Z)作用在环面的复结构参数上(就是形
状参数)，另一个作用在由面积和反对称张量场组成的一个复标量场上面。同样，型II 弦紧化
在两维环面上也产生一个SO(2,2,Z)T 对偶群。这个T 对偶群和杂化弦的不完全一样，因为两
个理论中的场作了重新定义。两个度规不一样，但成正比，这样两个不同环面的复结构是一样
的，从而两个T 对偶群S(2,2,Z)中的一个因子SL(2,Z)是一样的，但两个环面的面积不一样，
并且反对称张量场的份量也做了置换，所以第二个SL(2,Z)因子不一样。通过研究场的对应，
不难看出，杂化弦的第二个因子变成型II 弦的强弱对偶，而型II 弦的第二个因为变成杂化弦
的强弱对偶！所以四维弦中的强弱对偶竟然和另一个弦论中的T 对偶一样。
威顿的另一个重要贡献是指出型II 弦中的新的规范对成性的起源。在六维中，虽然杂化
弦的规范群一般地是24 个阿贝尔群的直积，但当模参数取一些特别的值时，可以有非阿贝尔
对称性的出现。最大的非阿贝尔群的佚不超过20，但可以是三类典型群中的一种。我们知道，
型II弦（实际上是IIA 弦，因为K(3)上的T 对偶不混合IIA 和IIB）中的规范场来自于雷芒反
对称张量场，只能是阿贝尔的。那么非阿贝尔对称性从何而来？威顿指出，流形K(3)可以有一
些迹形（orbifold)奇异性，当模参数在迹形奇异点时，K(3)中的一些两维子流形变成一点，
这些奇异性正好可以由三类典型群分类，与杂化弦的典型群吻合。所以他猜测当K(3)处于一
个迹形奇异点时，型II 弦中有非阿贝尔对称性产生。我们以后再介绍规范场从何而来。
威顿不但研究了这个对偶在低于六维弦论中的体现，也研究了在高于六维中的体现。他并
做了关于十维杂化弦的猜测，就是，有着规范群SO(32)的十维杂化弦对偶于型I 弦。这也是
一个大胆的猜测，因为杂化弦是闭弦理论，而型I 弦是开弦理论，很明显这个对偶是强弱对
偶，因为两个弦的微扰谱不一样：假如是弱弱对偶，那么我们应当在杂化弦的微扰谱中看到开
弦，反之亦然。通过研究低能作用量，我们看到的确是强弱对偶。
另外，既然六维杂化弦对偶于六维IIA 弦，既然IIA 弦有11 维起源，那么杂化弦是不是
也有11 维起源？答案应当是肯定的，如将11 维理论紧化在K(3)上，获得的七维理论可以有
七维杂化弦的解释，当杂化弦是强耦合时，11 维理论是弱耦合的。我们可以继续追问，十维
杂化弦有没有11 维理论的起源？威顿没有立即回答这个问题，但半年后他和哈加瓦(P. Horava)
一同回答了这个问题。
（第四节）
我们已经提到十维中有SO(32)规发群的杂化弦与型I 弦的对偶，但想把具体的介绍放在D
－膜的后面。十维中最后的一个对偶是规范群为E(8)XE(8)的杂化弦的强耦合极限与11 维理论
的对偶。这个对偶也相当出人意表，所以到了95 年的十月份才被威顿和哈加瓦提出来。
11 维理论不是别的，正是型IIA 弦的强耦合极限。这个理论还没有很好的微观定义－当然
有一个矩阵模型，低能极限是11 维超引力。当然，杂化弦的强耦合极限不是简单的11 维理论
紧化在一个圆上，因为十维的杂化弦只有N 等于1 的十维超对称。如果我们顺着IIA 弦强耦
合的思路，那么我们需要将11 维理论紧化在一个一维的空间上同时破坏一半的超对称，因为
11 维理论直接下降到十维产生十维的N 等于2 超对称。
一维空间的分类很简单，只有四种。如果我们要求紧化后的十维理论的确象一个十维理论，
那么这个一维空间必须是紧致的。只有两种一维紧致空间，圆或者有两个端点的线段，后者可
以通过圆的迹形得到：在圆上取两个对极点，然后以它们为基点将圆对折。这个线段是一个迹
形，因为对折可以看作是群Z(2)的作用，而两个端点是这个群作用的不动点。
在Z(2)的作用下，第十一维反演，11 维理论不变，只要11 维理论中的三阶反对称张量场
同时做反演。理论不变是弦论中构造迹形模型的必要条件，如同我们由一个对称图形出发通过
对称性构造更小的图形。11 维理论中的费米场在反演下也要做变换，这个变换是量子场论中
熟悉的，就是将费米场乘以一个第十一维的伽马矩阵。由于迹形中的态必须在反演不变的，所
以费米场只剩下一半，就是那些在第十一维伽马矩阵作用下不变的场。从十维的角度来看，这
些场的手征是正的。同样，遗留下来的超对称在十维中的手征也是正的，所以只剩下十维N
等于1 的超对称。
我们必须说明，哈加瓦-威顿的迹形构造是假定了11 维理论的确可以做迹形构造，这个假
定是自然的，因为11 维理论的特殊情形是型II 弦论，弦论可以做迹形构造，那么11 维理论
也可能可以直接在11 维中做迹形构造。这么一来，我们在十维中又获得了一个N 等于1 的理
论，这个理论如果不是新理论，就应当是已知的弦论，也只有一个可能，就是规范群是E(8)XE(8)
杂化弦，因为只有这个理论的强耦合极限还不知道。
接着他们从三个角度来论证这个迹形构造的确是杂化弦，我们一一介绍那三个论证。
首先要说明，由于11 维理论还没有太好的微观的表述，所有三个论证几乎都是比较直观
的以及与对称有关的。第一个论证是引力反常，就是引力微子的量子涨落带来的对引力协变性
的破坏。在11 维中，没有引力反常，但在十维中有。11 维理论的迹形构造的结果还是11 维
理论，只是在线段的端点我们有十维的理论，就是说如果有引力反常，反常也是集中在两个十
维的边界上。这两个边界就象磁畴壁(domain wall)，而反常很像过去人们讨论过的反常流：磁
畴壁是这个流的源。这样，在广义坐标变换下，量子有效作用量的变化含有两个部份，一部份
集中在一个壁上，另一部份集中在另一个壁上。由于反常是局域性质的，作用量的变化也是场
的局域函数。
如果只有引力本身，反常的形式是固定的，因为引力微子与引力的耦合是固定的，所以我
们不需要了解11 维理论的微观形式也能决定反常的形式。在边界上，我们有十维N 等于1 的
超引力，如果没有其它场，引力反常不可能被消除－但是我们已经假定11 维理论是可以通过
迹形构造获得自洽的理论的，所以必须有其它场介入，才能消除反常。
能引入的场只能是十维的N 等于1 的矢量超多重态，因为11 维中只存在引力超多重态。
这样，新的场只能定义在边界上，边界看起来就像我们已经知道的膜。要在每个边界上抵消引
力微子带来的反常，就必须给引入248 个矢量超多重态，这就是E（8）群的维数，两个边界
有两个E(8)群，理论应该和E(8)XE(8)的杂化弦一样。
一旦引入规范场，引力反常就会既是引力场的函数，也是规范场的函数。由于反常是局域
的，不应该有两个边界上规范场的混合项，这样反常的形式也可以确定下来了，而没有被抵消
的反常可以通过格林－史瓦兹机制抵消，就是对三阶反对称张量场引入新的变换，这个变换也
只是集中在边界上，而且，11 维理论中的确存在三阶反对称张量场与引力的一种耦合可以用
来抵消剩余的反常。（格林－史瓦兹反常抵消机制已在谈第一次超弦革命中介绍过，见第五章
第一节）
第二个论证类似强耦合IIA 弦与11 维理论关系的论证，就是看杂化弦在强耦合时的低能
有效作用量和11 维作用量的关系。与IIA 弦的情况一样，可以确定弦的耦合常数与第11 维尺
度的关系，当耦合常数很大时，第11 维即线段的长度也很大，两者的关系与IIA 弦的耦合常
数与第11 维圆的半径的关系完全一样。所以，当线段的长度小于11 维理论的普朗克长度时，
11 维的半经典引力描述已经失效，人们也许以为有很强的量子引力效应，其实不然，代11 维
引力的理论是弱耦合的杂化弦论。
第三个论证也和IIA 弦一样，就是弦本身的11 维起源。在IIA 理论中，弦不是别的，就是
11 维理论中的膜，膜的一条腿饶在第11 维圆上，所以弦的张力就是膜的张力乘以圆的周长。
这个论证还不够严格，如果要严格，就要将11 维理论紧化在一个两维环面上，膜的两根腿各
饶环面的两个圆一次，我们获得一个BPS 态，这个BPS 态在弦论中就是弦在第二圆上的绕数
模。11 维膜上的世界体作用量早就在八十年代末被研究过，不久它的所谓双约化也被研究过：
不但11 维时空约化在一个圆上，而且膜也约化在一个圆上。这样所得到的零膜作用量正好是
IIA 弦的世界面作用量。同样的道理，我们可以将11 维理论紧化在两维环面上，然后对其中
的一个圆（第11 维）作迹形构造。饶在环面上的膜也作迹形构造，这样这个膜也就有了两个
边界，每个边界都是一个圆（弦），直接约化下来的世界面含有杂化弦世界面上的一部份变量。
但这部份变量含有两维中的共形反常，所以我们也要引入新的场来抵消反常。类似前面时空中
的反常，反常集中在膜的边界上，可以通过在每个边界上各引入16 个费米子来抵消。这些费
米子加上原来的变量正好组成杂化弦世界面上的变量。
我们不通过在环面上的紧化也能获得杂化弦，当然就是一个有两个边界的膜，一个边界搭
在时空的一个边界上，另一个边界搭在时空的另一个边界上。从而我们也知道了时空边界上矢
量多重态的起源：它们就是这些有边界膜的特别激发态：膜边界上的费米子被激发了。
哈加瓦－威顿构造可以用来理解规范群为SO(32)的杂化弦与型I 弦的强弱对偶，这很类似
用11 维理论来理解IIB 弦的强弱对偶。将11 维理论紧化在一个两维环面上，我们获得一个紧
化在圆上的IIA 理论，但IIA 理论与IIB 理论是T 对偶的，所以这个理论又可以描述IIB 理论。
但IIB 中的紧化圆不同于11 维理论中环面上的任一个圆，因为它的起源是11 维理论中的绕数
模，11 维理论中的环面越小，这些绕数模就越轻，从而有一个新的维度产生，在这个新维度
中，环面上的绕数模被解释为动量模。所以当环面缩小到无限小时，IIB 理论中的圆变成无限
大，我们回到十维IIB 理论。IIB 理论中的耦合常数是11维理论中环面的两个半径之比，这样
强弱对偶就是将环面上的两个圆交换。我们必须强调，无限缩小的两维环面产生一个无限增大
的圆！
现在，我们研究E(8)XE(8)紧化在圆上的情形，这是11 维理论紧化在环面迹形上。从杂化
弦的角度来看，它T 对偶于SO(32)杂化弦。当环面迹形无限缩小时，SO(32)杂化弦中的圆的半
径无限增大。那么，与SO(32)杂化弦有着强弱对偶的型I 弦是怎么来的呢？我们交换一下环面
迹形中的线段和圆，这样我们获得紧化在圆上然后再紧化在线段上的11 维理论。通过第一次
紧化，我们获得IIA 理论，第二次次紧化相当于在IIA 理论中作迹形构造，我们会获得开弦（以
后再详细介绍这种所谓的定向迹形构造），这个开弦不是别的，正是原来模在环面迹形上的绕
数模，这个绕数模在E(8)XE(8)杂化弦中也是绕数模，应当对偶于SO(32)杂化弦中的动量模，
所以，我们获得SO(32)开弦中的动量模，可见IIA 迹形构造出来的开弦不是与SO(32)杂化弦对
偶的开弦，应当是它的T 对偶。
我们后面再谈与杂化弦对偶的开弦其实是IIB 弦的定向迹形构造。
第十章 第二次革命：D 膜
（第一节）
1994 年年中到1995 年年底这一年半中，新的发展令人眼花缭乱，从一开始的场论中的一
些非微扰的严格结果，到弦论中的对偶再到D 膜，流行变了几次。当威顿的关于弦论的对偶
的文章以及施特劳明格的工作（下一章中介绍）出现后，弦论界有相当一部份人研究弦论紧
化后的对偶，得到许多结果，特别是四维的N 等于4 和N 等于2 的弦论得到比较多的研究。
这些研究，和我们前面介绍的一些有着极大超对称的弦论对偶一样，依赖于一个重要假定，
即一些保持一些超对称的膜的存在，特别是一些带有雷芒反对称张量场的荷的膜。我相信，
当大家一窝蜂地追逐弦论中的各种对偶时，一定有一些人在考虑如何能更有效地研究各种膜
以及它们的动力学，因为到那时为止，膜仅仅作为超引力理论中的解存在着。至于膜的动力
学，人们也只能满足于膜的低能行为，那些零模激发。即便如此，当多个膜一同存在时，重
要的低能膜也被遗漏了。泡耳钦斯基在95 年十月份的文章，真象平地一声雷，改变了局面。
事实上，早在1988 年，研究带雷芒荷的膜的主要技术和概念已经被泡耳钦斯基和他的学
生发现，只不过被大家忽略了许多年而已。所以，我们介绍D 膜应当从那篇文章谈起。
那时有一部份人对各种可能存在的弦论的分类感兴趣，而泡耳钦斯基对开弦的分类感兴
趣，这在当时不是一个引人注意的问题，因为那时很多人相信杂化弦最有可能描述我们的物
理世界。泡耳钦斯基等人在那篇文章中主要研究开弦理论中T 对偶所带来的结果。
我们早就介绍了闭弦理论中的T 对偶，这里物理上重要的是，闭弦在一个紧化圆上不仅
有动量模，还有绕数模，这两组模处于一个对等的地位。将这两组模交换一下，我们得到一
个新的紧化圆，其半径是原来半径的倒数。在新的圆上，原来的动量模成为绕数模，而原来
的绕数模成为动量模。在开弦理论中，由于开弦的两个端点是自由的，不再存在绕数模，我
们同样可以做T 对偶变换，但不会产生新的动量模，从而在T 对偶理论中，开弦不会感到新
的圆存在。可是一个开弦理论中含有闭弦，对于闭弦来说，新的圆是存在的，从而在这个T
对偶的理论中，开弦感到的维度比闭弦感到的要小一维。
假定在T 对偶前的圆半径很小，T 对偶之后的圆半径就很大，对于闭弦来说，有效的维度
并没有改变，世界还是十维的，如果我们讨论的是超弦。对开弦来说，由于原来理论中不含
绕数模，世界成为九维的了。也就是说，在T 对偶之后的理论中，开弦也是九维的，这如何
解释呢？最简单的解释，就是在十维空间中存在一个九维的膜，与新产生的维度垂直，开弦
的端点在这个膜上运动。我们下面看看弦论的T 对偶变换如何解释这个膜的存在。
开弦的世界面作用量产生的运动方程包括一个边界条件。如果时空是一个简单的平坦空
间，没有任何其它场的背景，有两种可能的边界条件，一种是弦的端点的法向导数为零，叫
做诺依曼边界条件，这相当于要求弦的端点以光速运动，所以开弦不可能是静止的，至少也
要转动，其最低激发态（快子除外）是矢量粒子，也就是光子。第二种边界条件就是狄雷克
利条件，也就是说某些坐标在端点处固定。我们可以考虑最一般的情形，其中某些坐标满足
诺依曼条件，某些坐标满足狄雷克利条件，满足后者的坐标说明弦的端点只能在时空的一个
超平面上运动，这个超平面由固定那些坐标确定。例如，假定九个空间坐标中的最后一维空
间满足狄雷克利条件，那么我们就有一个八维的超平面，开弦的端点只能在这个超平面上以
光速运动。
一般来说，我们在时间方向不要求狄雷克利条件，所以超平面上有一个时间方向（后面我
们会谈到也在时间方向加狄雷克利条件），如果这个超平面的空间维度是p 维的，这样定义的
膜叫做Dp 膜，其中D 的含义就是狄雷克利条件，虽然我们其实在p 维空间和时间方向要求
的是诺依曼边界条件。当p 小于九时，我们不再有十维的洛仑兹不变性，只有p+1 维的洛仑
兹不变性，因为时间不能与加狄雷克利条件的空间方向混合了。物理的直观很清楚，Dp 膜的
存在破坏了原来的洛仑兹不变性。
现在回到我们前面讨论的开弦的T 对偶。开弦和闭弦一样，弦的振动模可分为左手模和
右手模，与闭弦不同的是，左手模和右手模两者不独立，因为边界条件要求它们是相关的。
在T 对偶变换下，相应坐标的左手模不变，右手模变一个符号。这样，对于闭弦来说，动量
模与绕数模互换，对于开弦来说，原来的诺依曼边界条件变成了狄雷克利边界条件，也就是
说，在T 对偶之后的理论中，开弦的端点必须在这个坐标方向固定，这与我们前面的直观讨
论完全吻合，在新的理论中，开弦端点的空间减少了一维。
当然，除了端点之外，开弦的其它部份还在整个十维时空振动。但是，这些振动模通常是
很重的，所以开弦的低能激发态只能在低一维的空间运动。形式上，我们可以叫在T 对偶之
前的那个膜为D9 膜，因为整个九维空间中都有开弦，T 对偶之后，成了D8 膜。当然，我们
也可以从Dp 膜出发，在Dp 膜上的一个方向做T 对偶变换，获得一个低一维的D 膜。相反，
如果我们在垂直于Dp 膜的一个方向做T 对偶，原来的狄雷克利条件变成诺依曼条件，D 膜
多出了一维。
泡耳钦斯基等人一开始的出发点是型I 弦，其中含有许多D9 膜，他们通过T 对偶说明，
还应当存在其它维度的D 膜。这在当时并没有引起什么人的注意。其实，他们的文章被审稿
人拒绝过，最后才发表在新加坡的世界科学出版社的一个刊物上。
他们在那篇文章中进一步说，如果这样的膜存在，那这些膜不可能是刚体，因为在广义相
对论中没有刚体存在，所以这些膜本身也有动力学，可以改变形状等等。
最简单的论证D 膜不是刚体的方法是计算引力子与D 膜的相互作用，或者是所谓的单点
函数。我们知道，在广义相对论中，引力场与能量动量张量耦合，所以引力场的单点函数包
含有能量的信息。在这里，就是膜的张力的信息。张力的定义是膜的没单位体积中所含的能
量－当我们企图拉伸膜时，每增加一个单位体积我们要做的功。单点函数的计算在弦论中已
有固定的方法：在一个实心圆上计算引力子的顶点单点函数，圆的边界条件是诺依曼条件和
狄雷克利条件。这个计算的物理图象是，实心圆的边界代表一个从膜上辐射出来的一个闭弦，
在引力子的顶点算子选择了虚引力子的辐射。由于引力子的顶点算子含有一个弦耦合常数，
所以单点函数与弦耦合常数成正比，也就是说，D 膜产生的引力场正比于弦耦合常数。但我
们知道，这个结果应当正比于牛顿常数和膜的张力，前者正比于弦耦合常数的平方，所以，
膜的张力应当反比于弦的耦合常数。这正是带雷芒荷的膜的正确行为。
所以D 膜既象场论中的孤子，也不完全象。象场论中的孤子是因为当耦合常数很小时，膜
的张力很大，不完全象是因为只是与耦合常数成反比，而不是与耦合常数的平方成反比。当
耦合常数为零时，D 膜的张力无限大，可以看作是一个刚体，可是此时牛顿常数为零，引力
已经没有了动力学，所以这个刚体极限不和广义相对论发生矛盾。D 膜的张力与耦合常数成
反比这个事实很重要，是D 膜后来在许多进展中起了重要作用的原因之一。成反比本身说明D
膜是非微扰物体，不会在弦论的微扰谱中出现。由于牛顿常数与弦耦合常数的平方成正比，
所以D 膜引起的闭弦场（包括引力场）与耦合常数成正比，在微扰仑中（当耦合常数很小时），
D 膜引起的时空背景变化也是微扰的，可以忽略。这个现象与场论中的孤子很不同。例如，
规范理论中的磁单极所引起的磁场与电耦合常数成反比，在微扰论中这样的场不能被忽略。
我们还没有讨论T 对偶后原来的动量模的解释，也没有讨论膜上的低能场，更没有论证在
超弦理论中，为什么D 膜带有雷芒荷，这留在下一节讨论
（第二节） 超D 膜
上一节中我们谈到如何决定一个D 膜的张力，还有一个相对简单的办法，就是计算两个平
行D 膜的相互作用。这个相互作用可以看成是其中一个D 膜发射出一个虚闭弦态，另一个D
膜接受这个态。当两个D 膜相距很远时，相互作用由无质量的闭弦态主导，是长程相互作用。
例如，在纯粹的玻色弦理论中，只有引力子、伸缩子和反对称张量粒子，后者不对D 膜的相
互作出贡献，因为D 膜不带这个反对称张量场的荷（只有弦本身带有反对称张量场的荷）。所
以，两个D 膜的相互作用正比于D 膜张力的平方和牛顿常数，也正比于无质量弦态的个数。
一旦相互作用已知，就能推出D 膜的张力。
两个D 膜通过交换单闭弦引起的相互作用在弦的微扰论中是一个柱面图，这个图表示一个
闭弦由其中一个D 膜传播到另一个D 膜。考虑所有端点搭在不同D 膜上的开弦，当开弦在“真
空”中涨落出来又消失时，最简单的贡献就是单圈图，这个单圈图恰恰也是一个柱面，与闭弦
图的柱面毫无二致。所以，同一个图有两种解释，一种是开弦理论中的圈图，代表最低阶的
量子涨落，另一种解释是闭弦中的树图，完全是经典效应。这个对偶性就是所谓s-t 道对偶：
沿着开弦传播的方向是一个道，沿着闭弦传播的方向是另一个道，这两个道互相垂直。
这样，通过世界面上的对偶，我们将闭弦中的一个树图计算变成开弦中的一个单圈图计算，
因为我们不知道D 膜的张力所以我们不知道如何做闭弦中的树图计算。开弦的单圈图计算比
较简单，因为是单圈图，计算与任何耦合常数都没有关系，我们只要知道开弦的谱就可以了。
开弦可以简单地量子化，质量谱除了通常的弦振动模的贡献，还有与两个D 膜之间的距离成
正比的一个贡献，因为如果一根弦的两个端点搭在不同的D 膜上，其长度必然有D 膜之间距
离的贡献。这样计算下来的单圈图在高能极限下，也就是距离很大的情况下，与垂直于D 膜
的空间（横向空间）的格林函数成正比。这里我们注意到，大距离对应于开弦的高能极限，
因为开弦的能量很大。但是在闭弦的图象中，是红外极限，也就是长程极限。这个计算结果
不依赖于弦耦合常数，但由于和D 膜张力的平方以及牛顿常数成正比，所以D 膜张力与牛顿
常数的平方根成反比，也就是与弦耦合常数成反比，这是已经知道的结果。
泡耳钦斯基在他的95 年十月份的著名文章中所作的计算就是这个开弦单圈图计算，这个
计算同时说明了开弦/闭弦的某种对偶，开弦中的紫外对应于闭弦中的红外，也就是后来所谓
的红外/紫外对应，另一方面，闭弦中的经典相互作用由开弦中的量子效应给出，这在后来的
反德西特引力/场论对偶得到极大的体现。
在十月份的文章中，泡耳钦斯基并没有考虑纯粹的玻色弦。玻色弦中的D 膜的张力计算他
在后来的一篇总结文章中给出。在这个理论中，很容易数出D 膜上开弦的激发态。零质量的
激发态包括一个矢量场，若干个标量场。标量场的数目等于横向空间的维数，这不奇怪，因
为一个标量场代表D 膜在这个横向空间方向上的位置，D 膜上不同的点的横向位置可以不同，
对应于标量场是可变函数。在上一节的T 对偶变换中，如果我们沿着D 膜的一个纵向（切向）
方向作T 对偶，诺依曼边界条件变成狄雷克利边界条件。如果沿着这个纵向方向有一个取值
为常数的矢量场（叫做威尔逊线），经过T 对偶变换后，这个矢量场变成D 膜在新坐标中的位
置，也就是说，原来的矢量场份量变成了标量场。标量场有明显的几何含义，矢量场不一定
有。但在D 膜上，由于T 对偶，我们可以将矢量场看成D 膜在纵向方向的一种振动。
D 膜上的标量场也有一个简单的场论解释。我们知道，当一个平坦空间中没有任何D 膜时，
有极大的空间对称性，特别是有空间平移不变性。当D 膜存在时，我们仍然有沿着D 膜的纵
向方向的平移不变性，但沿着横向方向的平移不变性因D 膜的存在受到破坏。这是一种对称
性自发破缺，场论中的哥德斯通定理告诉我们，必然产生一些零质量的粒子。这些粒子不可
能在纵向方向传播到无限远去，因为在那里对称性渐进地恢复了，所以这些粒子应当相对地
局域化了，这些粒子不是别的，正是D 膜上的标量场。
在超弦理论中，D 膜只破坏一半的超对称，被破坏的超对称同样有相应的哥德斯通粒子。
这些粒子是D 膜上的费米子，与矢量场及标量场一同形成一个超多重态，这个超多重态正是
没有破缺的超对称的表示。在型II 弦论中，有16 个没有破缺的超对称，在场论中，这是极大
超对称，从而D 膜上的场形成一个极大超对称的矢量超多重态。在玻色分支中，有八个粒子，
同样，在费米分支中，也有八个粒子。例如，D3 膜上有两个矢量粒子，六个标量粒子，八个
费米子，正好形成N 等于4 的超规范场论。
两个平行的有同样维度的D 膜保持和单个D 膜情形一样多的超对称，所以这个系统应当
是稳定的（BPS 态），一个结论是，两个平行的D 膜之间的相互作用完全抵消。我们知道，如
果仅仅存在引力和伸缩子相互作用，两个D 膜之间应当存在一个吸引力。现在，由于超对称
的关系，这个吸引力应当被另一种力抵消，这个力不是别的，正是D 膜所带的雷芒荷引起的
力。两个D 膜交换一个雷芒张量场的量子引起的力是排斥力。泡耳钦斯基的计算表明两个D
膜间的相互作用的确抵消了，他不但计算了D 膜的张力，同时计算了D 膜的雷芒荷。他的结
果表明，一个p 维的D 膜的雷芒荷与一个6-p 维D 膜的雷芒荷满足狄拉克量子化条件。我们
在介绍p 膜的一节中已经解释了，p 膜是p+1 阶反对称张量场的电荷，而6-p 膜是这个张量场
的磁荷。
接下来我们谈谈什么样的D 膜才是BPS 态，也就是能保持一些超对称不被破坏。在型I
理论中，存在开弦，开弦的端点满足诺依曼边界条件，我们可以说这些弦其实是D9 膜上的激
发态。型I 中的超对称是十维时空中N 等于1 的超对称，有十六个生成元，可以取为十维空
间中右手旋量（这是约定而已）。在经过T 对偶变换后，这个超对称仍然有固定的十维手征性。
经过T 对偶变换的D 膜可以看作是一个型II 弦论中的D 膜（后面我们将解释型I 弦论可以看
作是IIB理论的一个派生），所以超弦理论中D 膜所保持的超对称在十维时空中有固定的手征。
现在，这个超对称无非是型II 理论中两个超对称的线性组合，并且，这个线性组合不破坏沿
着D 膜纵向方向的洛仑兹不变性。只有两种可能，一种是没有破缺的超对称是两个超对称的
简单叠加，但具体计算表明这个可能没有实现。第二种可能是没有破缺的超对称是一个超对
称和第二个经过纵向方向所有咖马矩阵作用的超对称的叠加，这个可能是实现了的。现在，IIB
理论中两个超对称有同样的手征性，所以上述的线性组合只有当D 膜是奇数维时才有固定的
十维手征性。这也和IIB 理论中只存在偶数阶反对称雷芒张量场这个事实吻合：奇数维的D
膜的时空维数是偶数，可以与反对称张量场耦合。同理，IIA 理论中的D 膜必须是偶数维的，
否则破坏所有的超对称。
当然，我们上面给出的理由并不是原始文献中的理由，在原始文献中，没有破坏的超对称
可由所谓的边界态直接算出。另外一个方法是研究所谓的格林－史瓦兹弦作用量在狄雷克利
边界条件下如何取世界面上的费米子的边界条件。这个费米子边界条件破坏一部份超对称，
保留另一部份超对称。
当然，型II 弦论中也允许完全破坏超对称的D 膜存在，只不过这些D 膜不再是稳定的，
也不带任何雷芒荷。例如，我们可以研究IIB 理论中偶数维D 膜，如D 粒子（零维），但这些
膜不稳定，膜上的场论也完全不一样，特别是，存在一个快子，对应于一个不稳定模。
一个保持超对称的D 膜的稳定的原因很简单，因为它是带相应雷芒荷的质量最小的物体
(在这里，质量的体现是张力），由于雷芒荷是守恒的，它不可能衰变成任何其它物体。
(第三节) 非阿贝尔对称性
膜物理学带来最有意思的物理是当有若干个膜同时存在的时候，特别是若干个平行的维度
相等的D 膜。威顿在95 年十月份泡耳钦斯基的文章出现在网络的两周后，写出了一篇研究多
D 膜和D 膜束缚态的文章。这篇文章第一次指出当多D 膜存在时，会出现非阿贝尔对称性。
前面已经看到，当两个D 膜同时存在时，除了两个端点都搭在同一个D 膜上的开弦，还有两
个端点搭在不同D 膜上的开弦。前者组成两个D 膜上的低能激发态，包括每个D 膜上的无质
量规范场和标量场。在超弦理论中，它们形成两个阿贝尔矢量超多重态。现在的问题是，两
个搭在在不同D 膜上的开弦是什么样的激发态？
其实，这个问题在弦论的早期就有了回答。现在我们用1 来标志搭在第一个D 膜上的端点，
用2 来标志搭在第二个D 膜上的端点。如果开弦是可定向的（在型II 弦论中必须是可定向的，
原因是两个开弦可以合并成一个闭弦离开D 膜，从而是型II 理论中的一个闭弦，必须是可定
向的），用1、2 来标志端点还简单了一点，因为定向性本身要求在一个D 膜上有两种不同的
端点，一种对应于弦的一个定向，其实相对于该D 膜上的矢量场来说，就是正电荷和负电荷，
后面这个观点可以通过研究开弦世界上的作用量看出：开弦的端点与规范场只有两个不同的
耦合。这样，端点搭在不同D 膜上的开弦有两种，对应于两个不同的定向。其中一种在第一
个D 膜的规范场下带正电，在第二个D 膜的规范场下带负电，另外一种端点的带电正好反过
来。
如果我们将两个D 膜上的规范场看成是U(2)的两个U(1)子群，上述的两种新开弦正好可
以补足整个U(2)伴随多重态，与过去的开弦加起来一共有四种开弦，是U(2)的维数。过去的
所谓陈－巴顿因子恰好就是我们上一段所描述的1 和2 以及它们的负电荷。开弦的么正相互
作用要求所有的陈－巴顿因子形成一个群，在这里就是U(2)群。
当两个D 膜完全重合时，两个端点搭在不同D 膜上的开弦包含零质量态，有矢量场和标
量场。在纯玻色弦论中，这些场与过去的零质量场形成U(2)规范理论中的矢量场和伴随表示
的标量场。在超弦理论中，我们得到U(2)的矢量超多重态，由于超对称相当于四维中的N 等
于4 超对称，矢量超多重态正好含有六个伴随表示的标量场，以及四个手征费米场。总结一
下，对于U(2)的一个生成元，有八个玻色场，八个费米场。
非阿贝尔对称性的出现是一个相当反直觉的结果，在单个D 膜时，阿贝尔对称性的起源是
几何的，规范场相当于D 膜在纵向方向的振动，而标量场直接对应于D 膜在横向空间中的位
置。当两个平行D 膜存在时,U(2)中的对角元还有两个D 膜的几何意义，但非对角元没有直接
的几何解释。当两个D 膜分开时，这些非对角元直接对应着搭在两个D 膜上的开弦，且有质
量。当两个D 膜完全重合时，由于非阿贝尔对称性，非对角元已经和对角元之一（两个对角
元的差）完全混合，所以不一定解释成搭在两个D 膜上的开弦。我们可以说，这个时候两个
D 膜中的一个位置，就是位置的差，已经非阿贝尔化，不再有明确的时空解释。只有两个对角
元之和，也就是两个D 膜的重心位置，才有几何意义。这个和不与非对角元混合。
当存在多个平行的D 膜时，对称性扩大为U(N)，其中N 是D 膜的个数。D 膜上低能物理
完全由U(N)规范理论所决定。所以，知道多个D 膜的性质可以推出非阿贝尔规范场论的性质，
反之亦然。
D 膜的物理还直接告诉我们弦论中小距离的物理。例如，当两个D 膜靠近时，按照我们通
常的理解，量子引力的效应会变得越来越重要，特别当两个D 膜的距离小于普朗克长度时。
可是当两个D 膜的距离很小时，D 膜上的物理完全由零质量的开弦激发态决定，在极大超对
称的情况下，规范理论并没有特别不同的效应，从而显示出小距离上的量子引力效应。这里，
红外/紫外对应又一次出现，在闭弦理论中，小距离上的物理是紫外物理，而在开弦理论中，
低能规范理论中的物理是红外物理。
到此为止，似乎一个D 膜对应于弦论中的一个态，这个印象当然是错的。如果弦本身一样，
每个D 膜应有一个超多重态。型II 弦论中弦的基态超多重态一共有256 个，一半是玻色态，
一半是费米态。同样，型II 中的D 膜也有256 个态，一半玻色一半费米。这个结论可以通过
研究超对称得到。我们知道，D 膜破坏一半的超对称，保持另外一半。也就是说，如果我们用
一半超对称生成元作用在D 膜的量子态上，我们得到零，对应于没有破缺的超对称。用破缺
的超对称作用在D 膜态上，得到一个新态。如果有n 个破缺的超对称，我们获得2 的n/2 次
方个新态，通过反复作用，这当然是极小可能，所以叫短超多重态。在型II 理论中，共有16
个破缺的超对称，所以有256 个D 膜基态。
型I 弦论中的D 膜上的规范理论不同于型II 弦论中的D 膜。型I 理论中本来就有不可定向
的开弦，弦的端点在整个十维时空中自由运动，所以型I 理论中可以看作有D9 膜，这些膜的
世界体充满整个十维时空。那么有多少这样的D9 膜呢？回答可以通过两种方法得到。一种方
法是计算场的单点函数，这相当于决定规范群的阶。我们早以介绍过，型I 的规范群是正交群，
为了消除规范反常，这个规范群必须是SO(32)。D9 膜可以形式上看成带有十阶反对称张量场
的荷，所以会产生充满时空的反对称张量场。当规范群的阶恰好是16 时，反对称张量场的源
抵消，所以应当有16 个D9 膜。比弦中的单点函数与规范反常有关，后者是开弦中的量子效
应，这是开弦/闭弦的量子/经典对应的又一个例子。
上面的这个方法并不很直观，第二办法相当直观。我们知道D9 膜有张力，这个张力就是
十维时空中的能量密度，如果没有其它能量密度来完全抵消D9 膜的贡献，就会有宇宙学常数，
从而使得真空解不再是平坦的。所以，我们推测，应该存在另一种物体，其张力是负的，这
种物体叫做不可定向面(orientifold plane)。在十维型I 弦中，恰好有一个九维的不可定向面。
这个不可定向面的存在，解释了为什么开弦在型I 理论中是不可定向的，例如，一个端点搭在
同一个D9 膜上的开弦可以看成两个端点搭在自身和该D 膜在不可定向面中的镜像，所以开弦
不能带有箭头。
如果存在N 个D9 膜，在不可定向面的反映下，有N 个镜像，所以有2N 个D9 膜。从N
个D9 膜中的一个膜出发的开弦，可以终止在除了它自身的膜和所有镜像上面，共有2N-1 种
可能，这样共有N(2N-1)种不同的开弦，正好是规范群SO(2N)的维数。如何计算不可定向面
的张力？过去我们解释了开弦的单圈图计算可以给出D 膜的张力，这个单圈图是柱面。对于
不可定开弦来说，还有两个单圈图，就是莫比乌斯带和克莱茵瓶，前者的对角元可以解释为
开弦一段搭在一个D9 膜上，另一端搭在不可定向面上（如果没有不可定向面，就很难解释这
个图），后者的对角元可以解释为开弦的两个端点同时搭在不可定向面上。注意这些开弦没有
在壳态。这些贡献与不可定向面的张力以及雷芒荷有关，这样计算下来的张力是D9 膜张力的
16 倍，而且是负的，所以必须有16 个D9 膜来抵消张力。
型I 理论中除了D9 膜外，还可以有D1 膜和D5 膜。研究这些膜比研究型II 理论中的膜要
复杂些，主要原因是D9 膜已经存在。以D1 膜为例，不但有D1 膜上的开弦，还有一个端点
搭在D1 膜上，另一个端点搭在D9 膜上的开弦。由于有16 个D9 膜和它们的镜像，这些开弦
会产生许多新的态。基态通过格舍奥投射后剩下费米场，共有32 个费米场，正好是杂化弦中
的左手费米场的个数。D1 膜上的开弦给出8 个无质量标量场和8 个右手费米场，没有矢量场。
总之，D1 膜和杂化弦的世界面理论完全一样，再次说明杂化弦在型I 理论中是孤子。
型I 理论中的D5 膜理论较为复杂，我们下一节讨论。
（第四节） D 膜的一些应用
我们在介绍弦论中的孤子解时就提到，在杂化弦中，有一类孤子，其中规范场以及引力场
和伸缩子在一个四维的子空间是一个孤子解，特别地，规范场是瞬子。从十维时空来看，这
是一个五维膜。威顿后来指出，弦的对偶性要求这个膜当瞬子的尺度为零时还存在，并且膜
的低能有效物理是一个SU(2)规范理论。这个膜很不同于我们前面研究的膜，那些单个D 膜的
规范群是U(1)，特别地，在型I 理论中，D1 膜没有规范群。
泡耳钦斯基和他的一个学生在1996 年的一篇文章中指出，尺度为零的规范五维膜正是型I
理论中的D5 膜。他们论证，在型I 理论中，如果要求搭在D5 膜以及D9 膜上的开弦的相互
作用与D9 膜上的开弦以及D5 膜上的开弦形成一个自洽的系统，D5 膜上的规范群必须是辛群
Sp(n)，当n 为1 时，这个辛群就是SU(2)，有两个陈－巴顿因子。两个因子的存在也可以解释
成D5 膜总是成对地存在，就是说，所谓单个D5 膜可以形式上看成两个重合的D 膜。这个看
法还可以由推广的狄拉克量子化条件看出。如果我们重复D1 膜以及D5 膜的荷的计算，由于
开弦的不可定向性，我们发现它们不满足狄拉克量子化条件（D1 膜看成是型I 弦论中量阶雷
芒张量场的电荷，而D5 膜是该场的磁荷），当D5 膜总是成对地出现的时候，极小量子化条件
成立。
所以，型I 弦论很不同于型II 弦论，其中D1 膜和D9 膜上的规范群是正交群，而D5 膜上
的规范群是辛群。
现在我们谈谈D 膜的一些简单应用。最简单的D 膜是零维的，就是IIA 理论中的D0 膜。
这个粒子其实就是我们前面提过的带有雷芒矢量场荷的粒子，而该矢量场被解释为由11 维紧
化在圆上所带来的KK 矢量场，所以D0 膜是最基本的KK 粒子。如果型II 弦的确与一个11
维理论对偶，那么还应当存在其它KK 动量模。由于在第十一维方向的动量是量子化的，这些
模所带的雷芒荷是D0 膜的整数倍，而质量也是D0 膜的整数倍，这就预言D0 膜应当有无限
多个束缚态。这些束缚态在型II 理论中很难直接证明其存在，目前为止只是证明了两个D0
膜束缚态的存在。困难的原因之一是由于D0 膜是粒子，所以束缚态问题是一个量子力学问题，
因为粒子满足测不准原理。困难的原因之二是这个量子力学系统很复杂，是一个非阿贝尔量
子力学，相当于N 等于4 的四维规范理论约化为一维的理论，而束缚态的能量是两个粒子质
量之和，没有束缚能，这种束缚态叫临界束缚态。但是，通过T 对偶将问题化为一个D1 膜的
问题，可以证明所有束缚态是存在的。
D 膜在型II 弦论中的重要性莫过于IIB 弦论的强弱对偶依赖于D1 膜或者叫D 弦的存在，
D1 膜是弦的对偶，当我们施行最简单的强弱对偶变换时，原来的弦被变换成D 弦，而D 弦被
变换成弦。因为强弱对偶群很大，是SL(2,Z)，我们通过更一般的变换，可以将弦变成弦与D
弦的束缚态，其中有p 个D 弦，q 个弦，而这两个整数是互素的，也就是没有公约数。威顿在
95 年十月的讨论D 膜的束缚态一文中指出，当p 个D 膜上的重心U(1)群所对应的电场场强是
某个固定值的整数倍时，我们就得到一个D 弦和弦的束缚态。最简单的情形是一个D 弦，此
时D 弦上的电场场强如果是一个固定值的q 倍，这个位形代表D 弦和q 个弦的束缚态。我们
可以通过以下的理想实验来理解这个结果。开弦的端点带有D 弦上电场的一个正电荷或者一
个负电荷，当我们将D 弦上的一个开弦无限地拉伸与D 弦重合时，我们就得到一个D 弦与一
个重合的弦的位形。而现在有一对位于无限远的正电荷和负电荷，产生一个均匀的场强。事
实上，一对电荷在一维空间所所产生的场强不依赖于电荷之间的距离。
当D 膜上有电场和磁场时，会有有趣的事情发生。我们前面说了D 弦上的均匀电场可以
解释成D 弦和弦的束缚态，其实，电场的出现还可以说明所谓的威顿效应。在通常的规范理
论中，如果有磁单极解，磁单极也可以和原有的电荷形成束缚态。在规范理论中，我们可以
让作用量多一个西它角，这样得到的真空叫西它真空，破坏宇称对称。当磁单极在这种真空
中出现时，磁单极不仅带有磁荷，还带有与西它角称正比的电荷，这就是威顿效应。在型II
弦论中，对于强弱对偶来说，弦就像电荷，而D 弦象磁荷，弦论中的雷芒标量场如同西它角，
不同的是现在这个角成了一个场。如果要求强弱对偶不变性，双子（就是D 弦和弦的束缚态）
的张力谱必须依赖于雷芒标量场，这样也就必须有威顿效应。我在威顿95 年十月份的文章出
之后一个礼拜，写了一篇论文，说明威顿效应的存在。不但如此，当D 膜上有规范场时，还
用诱导低维的雷芒荷。
一个最好的例子是D4 膜，此时空间是四维的，所以可以有不依赖于时间的四维空间中的
“瞬子”解。这个瞬子解的解释是D4 膜上有一个D0 膜，这个事实可以由D4 膜上规范场所诱
导的雷芒荷来看出。当瞬子解的尺度为零时，说明这个D0 膜刚刚融入D4 膜。
其实，除了平行的有相同维数D 膜是BPS 态，还有平行的不同维数的D 膜也能形成BPS
态。这里所谓的平行的意思是，那个有较低维数的D 膜的纵向空间与有着较高维数的D 膜的
一部份纵向空间相同。如果我们要求两个膜的同时存在还能保持一定的超对称，那么两个膜
维数之差必须是4 的整数倍。前面说的D4 膜和D0 膜的情形就是这样，这里原来的四分之一
的超对称没有破缺。
超弦的对偶要求存在着D4 膜和D0 膜的束缚态，而且，与D 弦与弦的束缚态不同的是，
这里对D4 膜和D0 膜的个数没有限制。紧化所有D4 膜的空间方向，通过U 对偶，我们可以
将这个束缚态变换为一个绕在一个圆上带有一定动量模的弦态。与D0 膜本身的束缚态一样，
D4 膜的束缚态和D0 膜的束缚态是一个量子力学问题。在这个量子力学中，D0 膜上原来的自
由度以及搭在D4 膜和D0 膜上开弦提供的自由度形成一个超对称体系，有8 个超对称。虽然
束缚态的存在得到证明（从而为U 对偶提供证据），但量子力学的波函数很难得到。同样，这
个束缚态是临界束缚态。当弦的耦合常数很小时，D0 膜的质量很大，但从有效的量子力学效
应来来看，束缚态的半径很小，是11 维理论中的普朗克长度。当耦合常数为零时，D0 膜完全
融入D4 膜，这就是D4 膜上的零尺度瞬子，此时我们可以通过研究D4 膜上的物理来确定束
缚态，这是道格拉斯95 年底的工作。
同样通过研究D0 膜D0 膜之间的有效相互作用，我们可以决定D0 膜本身的束缚态的尺度，
并不令人惊奇的是，这个尺度也是11 维普朗克长度，说明IIA 弦论与11 维理论有关系。
D 膜束缚态的最重要的应用也许是黑洞的微观物理，我们打算专写一章黑洞的物理。本章
中没有提及的是所谓的不可定向平面的构造以及与弦论对偶的关系，我们希望后面有机会介
绍。
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