数学物理好图 季候风 自由度 与有限维不同的是，函数空间很难确定一组基，所以在局部坐标系（一个扭曲的 H 的一部分）中，切向量没

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flyingpig 2010-12-30 12:16
请教关于电子自旋
请问电子自旋SU（2）是内部的对称性还是时空对称性？sage 2010-12-30 13:05
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well, first, you can ask yourself what this SU(2) is.flyingpig 2010-12-30 15:18
是自旋空间的转动吗？还是SO(1,3)的子集？这两者有关系吗？星空浩淼 2010-12-30 19:43
这个涉及到群的表示理论

1）自旋自由度作为属于内部自由度，只是它可以与时空自由度之间存在耦合作用。
2）在Lorentz变换下，不同的场量变换方式不同。如果用这些场量的变换来描述Lorentz变换，则这些场量的变换，对应Lorentz群的某一个具体表示。我们就说，该场量承载Lorentz群的一个表示。当然，四维时空本身也是Lorentz群的一个表示空间，此时Lorentz群的表示是Lorentz群的群元矩阵本身，也即Lorentz变换公式和三维空间转动变换公式。

作为Lorentz群的子群——三维空间转动群SO(3)，SU（2）是SO(3)群的旋量表示，此时SO(3)群的表示空间，即是自旋为1/2的场量张成的空间（如Dirac旋量空间）。换句话说，在三维空间转动下，自旋为1/2的旋量场，按照群SU（2）的变换方式变换。

[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2010-12-30 19:44 编辑 [/i]]flyingpig 2010-12-30 21:01
1）自旋自由度作为属于内部自由度，只是它可以与时空自由度之间存在耦合作用。
============
这点就是我最不明白的，明明是内部自由度，为什么能带时空指标而不带内部空间的指标？而且自旋生成元来自于Lorentz生成元。[M, phi]=S phi +L phi.

[[i] 本帖最后由 flyingpig 于 2010-12-30 21:08 编辑 [/i]]sage 2010-12-31 08:19
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what is your definition of 内部自由度?flyingpig 2010-12-31 17:49
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我的理解不一定对，
标识体系状态的自由度，和时空部分没有关系。
我想说的是我们通常的内部对称性，比如O（N）对称性的标量场理论，
标量场的指标与时空指标没有关系。这里好像不太一样。星空浩淼 2010-12-31 20:58
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一般地，无法用四维时空坐标来描述的自由度，或者说跟四维时空坐标无关的自由度，都算是内部自由度

例如，四个Dirac矩阵构成的四矢，虽然带时空指标，却描述内部自由度，本质上跟自旋自由度有关。季候风 2010-12-31 22:11
一个粒子的 “内部自由度” 和 一个理论的 “内部对称性” 没啥关系sage 2011-1-1 12:33
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The difference between 内部自由度 and 外部自由度 does not carry real physical meaning. It is actually silly to really distinguish them.

From the point of view of Lorentz group, the spacetime coordinates is representation, and spinor wave function is another. They both transform understand SO(1,3). That's it. No need to go further than this.flyingpig 2011-1-1 16:35
谢谢各位前辈的解释。
我现在还有些不清楚，
具有内部对称性的场，如O（N）对称性的标量场理论的标量场，它不带时空指标。
为什么自旋SU（2）对称性的自旋场带时空指标？sage 2011-1-1 23:51
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Because SU(2) is spacetime transformation.flyingpig 2011-1-2 11:13
回复 12# 的帖子
SU（2）是自旋空间的转动吧？
自旋空间和时空本来没关系的，
但自旋空间的对称性可以从时空Lorentz对称性中衍生，
[M,phi]=S phi+L phi
M是lorentz生成元，S是自旋生成元，L是角动量。
这样理解对吗？季候风 2011-1-3 22:56
“自由度” 这个词，在经典力学中是指 “需要几对共轭变量来确定系统的状态”。
所以，对于单粒子系统，自由度为 3. 在三个方向上都有位置和动量。
如果考虑刚体，由于延展性，则有所谓 “内部自由度”，也就是说除了质心在三个方向上的位置和动量以外，
还需要还存在三对共轭变量（欧拉角和角动量）来确定刚体的状态。所以刚体的自由度为6.
前3个自由度对应于平移对称性，后3个自由度对应于旋转对称性。 “刚体运动群” 作用在系统所有可能的状态上，
平移或者旋转都会改变坐标-动量和角度-角动量的数值。如果想把旋转信息独立出来，
则可取重心为坐标原点，这样前3对坐标-动量数值总是被固定为 (0,0,0,0,0,0), 而后面3对变数完全描述转动。

如果想在量子力学里做类似的分析，则面临很大不同。首先，粒子的状态是由一个抽象的矢量描述的，
平移和旋转对称性都是态矢量空间上的线性算子。其次，无法同时指定坐标和动量的数值。
如果我们想把旋转信息独立出来，那么我们最多可以做到 “固定粒子的动量为0”. 这样是否足以确定系统的状态？
我们知道对于经典刚体，还有经典内部自由度。对于量子粒子，也许也有呢？
或者说，也许量子粒子 “动量为0的态” 不止一个呢？如果考虑 “动量为0的态“ 不止一个的可能性，
到底有什么样的可能性呢？首先，空间旋转作用在动量为0的态上，还得到动量为0的态（这是由旋转和平移之间的
关系决定的）。所以，该粒子所有动量为0的态矢量组成一个线性子空间 V，而空间旋转作用在这个子空间 V上。
不同的粒子，其 "V" 的结构可能不一样。有多少种可能呢？由于 "V" 是线性空间，而其上有旋转群 SO(3) 的作用，
它可能的结构，用数学的语言来说，就是 SO(3) 可能的线性表示。
由于我们考虑的是“粒子”，具有某种程度的“不可分”性，所以自然应该考虑 “不可约表示“。
对于每个粒子，它的态空间的这个子空间 ”V“，就显示了它的 ”旋转特性“。相比而言，在经典力学里，点粒子
的旋转特性是平凡的，旋转参照系之后观测点粒子，其状态与在原参照系观测到的状态相同。
在量子力学创立初期，有人觉得电子的这种量子”旋转特性“这是因为电子里还存在某种”内部运动“，即电子
像刚体一样具有内部结构，才导致它的状态在旋转下发生变化，所以称为 ”内部自由度“。
这样的解释是用经典力学的思维来理解量子力学的结果。如果一定要给一个名称，可以称为 ”旋转自由度“，
即空间 "V" 的维数。如果你了解 SO(3) 的表示论，就知道 "V" 里不同的状态是由绕某个轴的旋转生成元
（比如 [tex] J_z [/tex] ） 的
本征值 [tex]sigma [/tex] 区分的，所以一个粒子态由四个数确定：三个动量 [tex]p_x,p_y,p_z[/tex] 和一个角动量
[tex] sigma [/tex]. 如果 "V" 是 k 维的，则 [tex] sigma [/tex] 的可能取值为 [tex] -(k-1)/2, -(k-1)/2 +1, cdots, (k-1)/2 [/tex].


电子在空间旋转下只呈现两种独立状态，也就是说，动量为0的电子态组成二维空间。
然而 SO(3) 没有二维的不可约表示，参照系旋转一圈回来，电子的波函数变为原来观测到的波函数的反向。
这说明我们应该考虑 SO(3) 的”射影表示“，也就是说，容许这种情况：群的幺元表示为一个相因子乘在所有矢量上。
从数学上来说，考虑 SO(3) 的射影表示相当于考虑 SO(3) 的二重覆叠群 SU(2) 的表示，或者说，相当于
考虑 SO(3) 的李代数的表示。

所以说，这里的 SU(2) 本质上是旋转群 SO(3).季候风 2011-1-3 23:13
补充一下：以上帖子说的只是非相对论粒子。对于0质量的相对论粒子，分析有所不同，而 ”自旋“ 的含义也不同。

而 ”内部对称性“ 则完全是另外一回事。如果两个粒子 A, B，它们的质量、动量、角动量都相同，只是种类（由旋转自由度"V" 以及 ”荷“ 来区分 ）不同，则我们可以混合它们的态，组成新的态，这个态既不是 A 粒子态也不是 B 粒子态，它是某种 ”中间态“。这些混合态组成一个矢量空间，它上面的变换称为 ”内部对称性“。比如近似的同位旋对称，就是一些既非质子也非中子的 ”中间态“ 之间的变换。

比较特殊的内部对称性是一个粒子自身的对称性，即，把自身的态变到同一个态（只是相因子不同）。
此时内部空间是一维的，这种 ”自反对称性“ 就对应 ”电荷“。flyingpig 2011-1-4 15:20
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