当我们选定一个惯性观者之后，每一个Poincare变换就对应另一个特定的惯性观者，而对我们选定的那个惯性观者观测到的每一个特定的

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2009-04-08 12:30 | (分类:学术) susy物理学笔记（三）——（牛家树）


　　首先让我来回答上次笔记的评论中一位网友的问题。他（她）的问题是：第一个，为什么选取Poincare群的不可约表示的基作为基本的量子态，而这些量子态恰恰对应于实验上观测到的粒子，例如电子、光子等。第二个，为什么量子态是Poincare群的表示而定域场算符是Lorentz群的表示？而两者恰好有场算符的傅立叶分量产生湮灭量子态的关系？

　　第一个问题我想可以这样回答，不是我们要选择Poincare群的不可约表示的基作为基本的量子态，而是物理世界的Poincare对称性保证我们看到的所有量子态放在一起构成了Poincare群的一个表示。原因我在上一篇笔记中已经提到过了，因为当我们选定一个惯性观者之后，每一个Poincare变换就对应另一个特定的惯性观者，而对我们选定的那个惯性观者观测到的每一个特定的态，对其余任意一个惯性观者都会有一个态，这个态在那个观者看来其物理表现（比如四动量等等）与我们选定的惯性观者看到的那个特定的态是相同的。于是，给定一个态a（惯性观者看到的那个特定的态），一个Poincare变换P（联系选定惯性观者与另一惯性观者的变换），我们就有另一个态Pa（变换得到的惯性观者看到的与原观者看到特定态的物理表现相同的态）。在这个意义上我们说，我们得到了Poincare变换在态矢空间（线性空间）上的一个作用，而Wigner的贡献就在于证明了这个作用是一个表示，而且对于不包含时间反演和空间反射的Poincare群是一个幺正表示（时间反演的表示是反幺正的）。一般而言，所有量子态构成的表示空间不是不可约的，如果你随便挑一个量子态，我们并不能说这个态对应某种实验上看到的粒子。下面让我们以电子为例说说特定粒子的单粒子态构成Poincare群的不可约表示。我们识别粒子的种类，*的是它的内禀属性，比如说质量、自旋等等。因此，我们说的同一种粒子首先一定具有相同的质量，而质量的平方（也就是四动量的模方）作为Poincare群Lie代数的Casimir算子，对于特定的表示是一个常数，对于质量不为零（质量为零的情况我们稍后讨论）的表示，自旋平方也就是Pauli-Lubanski矢量的模方也是Poincare群Lie代数的Casimir算子。首先，同一种粒子的单粒子态矢量一定构成Poincare群的一个表示，原因与上面讨论全体量子态的情况时是一样的。那么这个表示一定是某一个不可约表示的自我直和（因为不同的不可约表示的那两个Casimir算子的本征值总会有一个是不一样的），如果这种粒子没有其它内禀量子数，那么原则上我们是不能区分这个不可约表示和它的自我若干次直和的，这时当然用不可约表示（如果你要用它的几次直和，大概也没人拦着你，这不过是自找麻烦，把同一个东西重复写几遍而已，如果你精力足够旺盛:)，这样做当然可以）。当这种粒子有其它的内禀量子数（比如色荷）时，基于同样的原因，它的单粒子态要构成那个内部对称群的表示，这时单粒子态是Poincare群的不可约表示与这个内部对称群的表示的直积。你也可以说这时的表示不是Poincare群的不可约表示，那就意味着，你把红色的u夸克和蓝色的u夸克看作是同种粒子，如果你把它们看作是不同的粒子，那么问题就没有了。对于光子这样的零质量粒子，问题稍微有一点儿复杂，因为Poincare群零质量表示的另一个Casimir算子不是自旋的平方而是螺旋度（helisity），因此helicity为+1的光子和helicity为-1的光子实际上属于不同的不可约表示，也就是说我们看到的左旋偏振光和右旋偏振光事实上是Poincare群的不可约表示，单从这点上讲，我们的世界可以只有helicity为+1（或-1）的光子。但是著名的CPT定理有一个结论，那就是如果helicity为+n的粒子存在，那末一定存在同种helicity为-n的粒子。因此，你实际上指出了我上一篇笔记中的一个小疏漏，那就是，如果我们将Poincare群限定为不包含时间反演和空间反射的话，每种零质量粒子（helicity为零的除外）的单粒子态都不是Poincare群的不可约表示，而是正helicity和负helicity表示的直和。谢谢你指出这个疏漏，在此向被这个疏漏误导了的同志们致歉。

　　总结一下就是，你的第一个问题句式不太好，我们只能问：为什么基本的量子态能构成Poincare群表示的基，而实验上观测到的粒子，例如电子、光子等的单粒子态为何恰恰对应于不可约表示（当然我们看到，对于限制的Poincare群，光子的单粒子态不对应于不可约表示）。因为面对我们面前的物理世界，我们的物理学家没有在这种对称性合那种对称性之间作选择的自由，我们只能接受，因为世界是这样。不知道你对我上面的回答是否满意。

　　接下来是第二个问题：为什么量子态是Poincare群的表示而定域场算符是Lorentz群的表示？而两者恰好有场算符的傅立叶分量产生湮灭量子态的关系？我要说答案是：场算符是Poincare群的表示！你可能被我们得到场算符的过程弄糊涂了，在那种构造方法中（也正如我们在绝大多数场论教材中看到的那样）我们实际上利用了Poincare群是Lorentz群和四维时空平移群的半直积群这一性质。形象地说，那就像我们在研究二维平面时，我们的对称群是二维Euclid群，它包括任意的平移和转动，可以绕a点转动，也可以绕b点转动，但平面的对称性如此之好以至于我们可以只研究绕原点的转动，其它的转动可以通过绕原点的转动和平移的组合得到。这里的Poincare群就相当于二维Euclid群，而Lorentz群就相当于全体绕原点的转动。当我们盯住场算符对应的经典场函数（就是f函数，也就是场方程作为微分方程的经典物理解）在一点的性质时（也就是它能取什么样的值），平移自由度被我们冻结了，因此我们讨论的对象被限定在Lorentz群的表示上。数学上讲，就是我们这时候没有讨论纤维丛的截面在底流形的微分同胚变换下的性质，我们只是要确定纤维型。我想这个回答你可能不是很满意，还是比较数学，那么我就举个也许不太恰当的例子。我不知道你有没有学过流体力学，没学过也没关系，我也没学过，不过普物里面讲过一点儿，这一点儿就够了。我们记得流体力学里有所谓“Euler描述”，就是不去追踪具体的粒子，而是盯住流体中每一固定点的流速的变化。你是不是要给流体一个速度场（相当于我们的场），那就是每一点给一个速度矢量，速度矢量当然是空间转动群的表示，但这并不意味着所有可能的速度场（流体力学运动方程的全体解构成的集合）有什么对称性，如果是无限大无源理想流体，解空间就会具有三维Euclid群对称性（也许吧，我不确定）。我们这里的情况也是一样的，如果你问：场函数取什么值？我回答：Lorentz群的某个有限维表示。如果你问：场算符具有什么样的对称性？我回答：Poincare对称性，它们全体构成Poincare群的表示。但你要正确的区别开这两个问题，它们是很不相同的，不要混淆。明确了这一点，场算符的Fourier分量产生湮灭量子态的问题就不存在了吧，这就不再存在任何数学上明显的障碍了。