Strongart 薛定谔方程ihdψ/dt=Hψ h→0时回归牛顿方程

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苏汝铿量子力学学习小结(2010-09-10 14:01:07)
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最近看了复旦大学苏汝铿的量子力学视频，因为我主要还是钻研数学的，看这个只是为了高级科普一些，因此习题基本上都没做。但即便如此，还是难免有一些自己的心得体会，下面就把它们分享给大家。
先谈谈薛定谔方程ihdψ/dt=Hψ，传说这是量子力学的基本假定，是无法由其他方程推导出来的。对此我总是很疑惑，那么我们又如何能够得到它呢，官方的解释可能是实验证明，但要是一下子得到一个偏微分方程，也实在是太恐怖了！幸好视频中对此问题做了详细的评述，先是给出一个自由粒子对于的平面波的解，然后通过这个解去凑相应的方程，这倒是完全可行的！回过头来，发现凑出来的方程既具有理论的自洽性（h→0时回归牛顿方程），又有强大的解释能力，这就是用猜想打破演绎霸权的典型事例啊！在理论物理中，如果只是用“实验证明”来解释，那就等于是承认自己无法解释，也许所谓的“实践哲学”也就是这样的一种投降逻辑吧。

当年我也自学过一点量子力学，可总是觉得不得门径，主要是被薛定谔方程的解给唬住了，唤起了自己的特殊函数恐惧症：微分方程马马虎虎还记得，低阶多项式、级数解表示、递推关系、母函数，一个都背不住啊！现在回头一看，也只有一维的无限深势阱还能写出解析式，定性理论也还算是比较优美，但一维方势阱就得用图解法，一维谐振子是厄米多项式。到了三维那就更恐怖啦，似乎唯一可解的例子就是球对称势（氢原子），其中出现了球谐函数、缔合勒让德多项式甚至是合流超比级数，最后好容易得到的解却是一个都记不住。幸好老师出来解围了，其实这些都是可以查表的，我自己也背不住啊，谁背谁傻帽，杨振宁当年也就记得一个基态。

既然波动力学这么麻烦，换成矩阵力学是不是简单点呢？先是通过考虑平均值引入算符，特别是动量算符p→-ih▽自然引入了量子化，然后在一定表象上展开态矢量，把问题转化为矩阵运算。可是这里的矩阵是希尔伯特空间中的无穷维矩阵，每个矩阵元都是一个积分，根本没想象中那么容易啊！最后捣鼓了半天，也就是在一维谐振子中弄出个粒子数表象，勉强简化了一点运算。既然直接算这么困难，那就得考虑近似疗法了啊！可微扰法也只是把能量算到二级，波函数算到一级，有简并的话还要再减一，不然就会变得异常麻烦，以致于老师说很多书上的二级简并都是错的！好歹微扰扰出个斯塔克效应，变分变出个维里定理，也算是so far so good了！

等到自旋粉墨登场，总算是让人耳目一新，自旋是氢原子外电子的内禀物理量，不能顾名思义认为是电子的旋转。顺便要提一下，千万别认为电子就是一个小球，它绕着原子转动就好像地球绕太阳转动一样。可电子到底是什么呢？至少也得用上面解出来的波函数，还得再加上一个自旋来刻画！与自旋相关的就是角动量的问题，它是指满足关系J×J=ihJ的算符，两个角动量的耦合是非常麻烦的，感觉其中应该有李群李代数的背景，可惜老师在这方面似乎能力也有限，只是介绍了一点表面判断，然后就给出了一个异常麻烦的公式，谁背谁傻帽！

最后是散射与多体问题，前者主要考虑无穷远处的角度分布，后者就是玩玩对称与反称，似乎都只是一个简介而已。总之，这位老师似乎属于有点小聪明的那种，讲课偶尔也比较风趣，可惜太侧重于技术层面，忽视了数学模型的建构与哲学思想的把握，后者大概也算是中国大学课堂的通病了。


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