卡尔曼滤波与预测：位置、速度和加速度的估计误差随采样周期T,频率,加速度方差的增大而增大

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第二章 跟踪滤波与自适应技术



2.1 卡尔曼滤波与预测

所谓卡尔曼滤波就是从混合在一起的诸多信号中提取出所需要的信号。

卡尔曼滤波从被提取信号有关的量测量中通过算法估计出所需信号。其中被估计信号是由白噪声激励所引起的随机响应，激励源与响应之间的传递结构（系统方程）已知，量测量与被估计量之间的函数关系（量测方程）也已知。估计过程中利用了如下信息：系统方程、量测方程、白噪声激励的统计特性、量测误差的统计特性。由于所用信息都是时域内的量，所以卡尔曼滤波是在时域内设计的，且适用于多维情况，这就完全避免了维纳滤波器在频域内设计遇到的限制和障碍，适用范围远比维纳滤波器广泛。

卡尔曼滤波有如下特点：

(1)卡尔曼滤波处理的对象是随机信号；

(2)被处理信号无有用和干扰之分，滤波的目的是要估计出所有被处理信号；

(3)系统的白噪声激励和量测噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特性正是估计过程中需要利用的信息。

所以确切的说，卡尔曼滤波应称作最优估计理论，此处所谓的滤波与常规滤波具有完全不同的概念和含义。

随着现代微处理技术的发展，卡尔曼滤波的计算要求与复杂性已不再成为其应用的障碍，并且越来越受到人们的青睐，尤其在机动目标跟踪系统中更显出其独特的优点。

对于单机动目标跟踪情形，其跟踪的基本原理如图2.1所示。图中目标跟踪动态特性由包含位置、速度和加速度的状态向量X表示，量测（观测）Y被假定为含有量测噪声V的状态向量的线性组合(HX+V)；残差（新息）向量d为量测(Y)与状态预测量）之差。

一般情况下，单机动目标跟踪为一自适应滤波过程。首先由量测量Y和状态预测量构成残差（新息）向量d，然后根据d的变化进行机动检测或者机动辨识，其次按照某一准则或逻辑调整滤波增益与协方差矩阵或者实时辨识出目标机动特性，最后由滤波算法得到目标的状态估计值和预测值，从而完成单机动目标跟踪功能。




增益确定


动态特性目标




X


滤波


机动检测与目标辨识


量测

Y=HX+V
输出



-






预测


变换H




图2.1 单机动目标跟踪基本原理框图



单机动目标跟踪基本要素主要包括量测数据形成与处理、机动目标模型、机动检测与机动辨识、滤波与预测以及跟踪坐标系和滤波状态变量的选取。下面将介绍卡尔曼滤波及其预报方程。

2.1.1 卡尔曼滤波与预测基本方程

滤波与预测是跟踪系统的最基本要素，也是估计当前和未来时刻目标运动参数如位置、速度和加速度的必要技术手段。

当目标做非机动运动时，采用基本的滤波与预测方法即可很好地跟踪目标。

这些方法主要有线性回归法、维纳滤波、或滤波以及卡尔曼滤波等。

2.1.1.1 卡尔曼滤波的基本方程

滤波的目的是估计当前和未来时刻目标的运动状态，包括位置、速度和加速度等。

假定目标状态方程和量测方程为下列形式

X(k+1)=Φ(k+1, k)X(k)+G(k)W(k) （2．1）

Y(k)=H(k)X(k)+V(k) （2．2）

式中X(k)∈为目标状态向量，为量测向量， 和分别为状态噪声和量测噪声，且为互不相关的高斯白噪声向量序列，其协方差矩阵分别为Q（k）和R(k)；，和分别为状态转移矩阵、输入矩阵和观测矩阵。

设目标状态方程和量测方程分别为（2．1）和（2．2）。其中X(k)为n维目标状态向量，Y(k)为m维量测向量，状态噪声W(k)和量测噪声V(k)为互不相关的高斯白噪声序列，其统计特性为



并且初始状态与W(k)，V(k)独立，即



卡尔曼滤波基本方程为：？？？？？？



其中，残差（新息）向量被定义为



其协方差矩阵为



2.1.1.2卡尔曼一步预测基本方程

在机动目标跟踪，特别是机动多目标跟踪中，滤波预测量极为重要。下面给出­卡尔曼一步预测基本方程：



式中为一步预测增益矩阵。



2.1.2卡尔曼滤波与预测在机动目标跟踪中的作用

卡尔曼滤波与预测的准则是均方差最小。除此之外，它在机动目标跟踪中还有许多其他优点，这些优点或作用包括以下几个方面：

（1） 基于目标机动和量测噪声模型的卡尔曼滤波与预测增益序列可以选择。这意味着通过改变一些关键性参数，相同的滤波器可以适应于不同的机动目标和量测环境。

（2） 卡尔曼滤波与预测增益序列能自动的适应检测过程的变化，包括采样周期的变化和漏检情况。

（3） 卡尔曼滤波与预测通过协方差矩阵可以很方便地对估计精度进行度量。同时，在机动多目标跟踪中，这种度量工具还可以用于跟踪门的形成，以及门限大小的确定。

（4） 通过卡尔曼滤波与预测中残差向量d(k)的变化，可以判断原假定的目标与实际目标的运动特性是否相符。因而，d(k)可用来作为机动检测与机动辨识的一种手段。同时，还可用于一致性分析等；

（5） 在密集多回波环境下的多机动目标跟踪方面，通过卡尔曼滤波与预测方法的使用，可以部分地补偿误相关的影响，可以通过增大协方差矩阵来反映不确定性相关误差的影响。



2.2 目标跟踪中的自适应滤波

很多控制对象的数学模型随时间和工作环境的改变而改变，其变化规律事先往往不知道。当控制对象的数学模型参数在小范围内变化时，可用一般的反馈控制、最优控制或补偿控制等方法来消除或减小参数变化对控制品质的有害影响。如果控制对象的参数在大范围内变化时，这些方法就不能圆满地解决问题。为了解决控制对象参数在大范围内变化时，系统仍能自动地工作于最优或接近最优工作状态，就提出了自适应控制问题。

自适应控制可简单地定义如下：

在系统工作中，系统本身能不断地检测系统参数或运行指标，根据参数的变化或运行指标，改变控制参数或改变控制作用，使系统运行于最优或接近于最优工作状态。自适应控制也是一种反馈控制 ，但它不是一般的系统反馈或系统输出反馈，而是一比较复杂的反馈控制，自适应控制系统很复杂，即使对于线性定常的控制对象，其自适应控制亦是非线性时变反馈控制系统。所以自适应控制系统比一般反馈系统复杂。

机动检测与机动辨识的基础是残差过程的利用，因此所有跟踪算法都是以卡尔曼滤波为出发点的。

检测自适应滤波的基本思想是：机动的发生将使原来的模型变差，从而造成目标状态估计偏离真实状态，滤波残差（新息）特性发生变化，于是，人们可以根据残差过程的变化，设计出机动检测准则，一旦检测到机动发生或消除，立即进行模型转换或方差调整。此类算法的关键在于设计出合理的检测方式，包括检测门限的选择以及恰当的模型转换与调整等。

以下将介绍 自适应卡尔曼滤波。

考虑如下的线性系统：



式中，通常包括目标位置、速度，有时包括加速度；、输入矩阵和量测矩阵；分别为互不相关的零均值高斯白噪声，其协方差矩阵分别为) Q(k)和R(k)。

对系统方程应用卡尔曼滤波，并且设初始状态X(0)与W(k)和V(k)互不相关，那么，由“新息理论”可知，新息向量



也是零均值高斯白噪声过程，且其协方差矩阵为：



式中为状态一步预测估计，为预测协方差矩阵。

定义距离函数



由新息序列的统计性质可知，D(k)服从自由度为m的分布。如果目标发生机动，新息d(k)将会不再是零均值高斯白噪声，D(k)将会变大，因而可用下述方法检测机动的发生与消除：

取D(k)大于某一门限M的概率为a，即

P{D(k)>M}=a

式中a为允许的虚警概率。

此时自适应滤波过程为：

当D(k)>M时，机动发生，增大Q(k)矩阵；

当D(k)≤M时，机动消除，减小Q(k)矩阵。

上述自适应滤波过程的目的是，保持并恢复新息过程的白高斯性质，并降低状态估计误差。

检测自适应滤波类方法侧重于非机动模式，机动时性能有所下降，同时由于需要机动检测，不可避免地存在着虚警率和估计时间延迟，影响滤波器的跟踪性能。



2.3 跟踪精度

2.3.1影响跟踪精度的因素

机动目标跟踪的主要问题之一是建立未知的目标加速度模型。

显然，影响跟踪精度最直接和最重要的因素是模型和算法。然而，尽管模型和算法已事先选定，但在系统设计中仍有一些参数需要分配与确定。

第一个因素是目标机动时间常数的倒数，机动频率a。由于目标怎样机动和机动时间多长是目标（如飞机）驾驶员的主观决策，当边扫描边跟踪系统用作多目标跟踪目的时，要预测a值有多大无疑是一件十分困难的事。因此，在系统设计中最好是将a设计成可调参数而不是从实际情况所得到的参数。a包含在状态转移矩阵Φ中并通过卡尔曼滤波增益矩阵来影响系统跟踪误差的。

影响估计结果的另一个参数是采样周期。一般的说，采样周期越小，跟踪滤波器进入稳态越快。然而，由于采样周期T是状态转移矩阵中的一个参数，因此它也影响着跟踪精度。

状态噪声ω的协方差是与目标加速度方差相联系的，因此，将直接影响估计误差的协方差矩阵。如果采用加速度方差自适应算法，那么将取决于最大机动加速度。



2.3.2机动频率对跟踪精度的影响

图2.2、图2.3和图2.4分别给出了位置、速度和加速度估计误差的均方根值随机动频率a变化的计算结果。





图2.2 图2.3





图中曲线表明，跟踪精度随a的变化还与采样周期T有关，当T=0.1s时，位置、速度和加速度的估计误差随a的增大而减小；当T=0.5s和T=1s时，估计误差随a的增大而增大；当T=5s时，估计误差在某一a值处取最大值。

通常，T=0.1s表示很高的数据采样速率，只有相控阵雷达才能达到这一要求；T=5s表示较低的数据采样速率，这种情况不适合于跟踪高度机动

图2.4 目标；对一般情况，即T=0.5～2s，较低的a将给出较好的跟踪精度。

2.3.3 采样周期对跟踪精度的影响

图2.2、图2.3和图2.4表明，在大多数情况下，位置、速度和加速度的估计误差随采样周期T的增大而增大。因此，根据跟踪系统的任务，最后是尽可能小地选择采样周期T。

2.3.4 加速度方差对跟踪精度的影响

状态噪声w的协方差是与目标加速度方差相联系的，因此，将直接影响估计误差的协方差矩阵。如果采用加速度方差自适应算法，或者考虑非零加速度均值，即应用如下方程：



那么将取决于最大机动加速度。图2.5、图2.6是在不同的加速度情况下，速度和加速度估计的均值误差随加速度方差的变化曲线；图2.7、图2.8是速度和加速度估计的均方误差随的变化曲线。







图2.5 图2.6





图2.7 图2.8

图2.7和图2.8表明，当目标机动加速度减小，速度和加速度的均方误差随的增大而单调增加；对于高速机动加速度来说，结果与较小机动加速度情况相反。就速度和加速度估计的均值误差而言，除机动加速度接近于零外，均值误差随加速度方差的增高而减小。

参考书

周宏仁 etc. «机动目标跟踪»，国防工业出版社，1994



作 业

对于单机动目标跟踪情形，请采用下述目标运动模型之一进行自适应卡尔曼滤波跟踪。假定目标运动为(a)匀速直线运动、(b)匀速直线运动且含有机动、(c)匀加速直线运动、(d)匀加速直线运动且含有机动。采样周期T=0.5S。

目标运动模型：(1)微分多项式模型，(2)CV模型，(3)CA模型，(4)一阶时间相关模型，(5)Noval统计模型，(6)机动目标“当前”统计模型。

30119-a1; 30120-b2; 30121-c3; 30122-d4; 34035-a5;

35017-b6; 36077-c1; 36078-d2; 36079-a3; 36080-b4;

36081-c5; 36082-d6; 99052-d1; 34039-d5

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