庞加莱研究了形如H＝H0（p）＋λV（q）的哈密顿量，即可积部分（“自由哈密顿量”H0）与相互作用所致的势能之和（又是后面要用到

http://chemistry.31931.cn/view-6734-4.html

混沌定律(4)

　　映射是不能抓住时间之真正连续性的理想化模型。我们现在要把注意力转向较为现实的情况，转向对我们来说将具有特殊重要性的不可积庞加莱系统。在那里，个体描述（轨道或波函数）与统计描述之间的破裂更加惊人。对于这些系统，拉普拉斯妖无能为力，不管它对现在的了解是有限的还是无穷的。未来不再是给定的未来，用法国诗人瓦莱里（PaulValery）的说法，它变成了“构造”。

　　第五章 超越牛顿定律

　　I

　　我们在第四章分析了表示简化模型的映射，现在提出我们探讨的核心问题：不稳定性和持续相互作用在经典力学和量子力学框架下起什么作用？经典力学是我们确定性的、时间可逆的自然描述之信念赖以建立的学科。要回答这一问题，我们首先必须与牛顿定律交手，与那些300年来支配理论物理学的方程交手。

　　在处理原子和基本粒子时，经典力学没有量子力学有效。相对论表明，经典力学在处理高能物理或宇宙学问题时也必须得到修正。无论如何，我们要么引入个体描述（用轨道、波函数或场来表示），要么引入统计描述。值得注意的是，在所有层次上，不稳定性和不可积性都打破了这两种描述间的等价性。因此，我们必须依据我们置身其中的开放的、演化的宇宙来修正物理学定律的表述。

　　如上所述，我们认为，经典力学是不完备的，因为它未包括与熵增加相联系的不可逆过程。为了在其表述中包括这些过程，我们必须包含不稳定性和不可积性。可积系统是例外。从三体问题开始，大部分动力学系统都是不可积的。对于可积系统，建立在牛顿定律基础上的轨道描述与建立在系综基础上的统计描述这两种描述方式是等价的。对于不可积系统，就并非如此。甚至在经典动力学中，我们都不得不使用吉布斯统计方法（见第一章第III节）。我们在第三章第I节看到，正是这一方法导出平衡热力学的动力学诠释。所以十分自然，我们还不得不采用统计描述，以包含驱使系统趋向平衡的不可逆过程。这样一来，我们可以把不可逆性吸收到动力学之中。结果，在统计描述的层次上出现了自洽地纳入动力学的非牛顿贡献。而且，这些新贡献使时间对称性破缺。因此，我们用得到的动力学概率表述可以解决时间可逆动力学与有时间方向的热力学观点之间的冲突。

　　我们深知，这一步代表了与过去的决然背离。轨道总是被视为本原的、基本的交易工具。现在这种观点已不再正确。借用量子力学的术语（参见第VII节），我们将遇到轨道“坍缩”的情况。

　　事后看来，我们不得不放弃了轨道描述并不令人感到惊奇。我们在第一章看到，不可积性由共振所致，共振表达了频率必须满足的条件。共振不是发生在空间中的给定点和时间上的给定时刻的局域事件。它们如此这般引入了对于局域轨道描述完全是外来的某些元素。然而，我们需要一种统计描述，以便在我们预期不可逆过程和熵增加的情况下来表述动力学。此种情况毕竟是我们周围世界所见到的情况。

　　正如怀特海、柏格森和波普尔所设想的那样，非决定论现在出现于物理学中了。这不再是某种先验形而上学选择的结果，而是不稳定动力学系统所需的统计描述。过去几十年里，许多科学家提出了量子理论的重新表述或者扩展。但是，完全意想不到的是，我们现在有必要对经典力学加以扩展。甚至更加意想不到的是，经典力学的这种修正可以引导我们扩展量子理论。

　　II

　　我们在着手修正牛顿定律之前，先概括一下经典力学的基本概念。考虑质量为m的质点运动。随着时间的推移，它的轨道通过其位置r（t）、速度v＝dr／dt以及加速度a=d2r/dt2进行描述。牛顿基本方程通过表达式F＝ma把加速度a与力F联系起来。这个表达式包含经典惯性原理，即若没有力，则没有加速度，速度保持不变。当我们从一个观察者走向相对于第一个观察者作匀速直线运动的另一个观察者时，牛顿方程保持不变。这被称为伽利略不变性，在第八章我们将看到，它已被相对论深刻改变了。这里，我们只处理非相对论性牛顿物理学。

　　我们看到，时间仅通过一个二阶导数进入牛顿方程。也就是说，牛顿时间是可逆的，未来和过去被认为起相同作用。而且，牛顿定律是确定性的。

　　现在考虑更一般的情形，由N个粒子组成的系统。在3维空间里，我们有3N个坐标q1，…，q3N和3N个相应的速度v1,…，V3n。在现代动力学表述中，我们通常把坐标和速度（或者动量p1，…，p3n，在简单情况下p=mv）均视为自变量。第一章提到，动力学系统的态与相空间中的点相联系，它的运动与相空间中的轨道相联系。经典动力学中最重要的量是哈密顿量H，它定义为用变量q和p所表示的系统的能量。一般来说，H是动能Ekin（p）和势能v（q）之和（q或q代表所有自变量的集合）。

　　一旦我们得到了哈密顿量H（p，q），就能够推导出运动方程，它确定坐标和动量随时间推移的演化。这一步骤对力学专业的所有大学生都熟悉。从哈密顿量导出的运动方程称为正则运动方程。牛顿方程是二阶的，即包含二阶时间导数；哈密顿方程与牛顿方程不同，它们是一阶的。对于单个自由粒子，H＝p2/2m，动量p随时间不变，坐标随时间呈线性变化，q=q0＝q0+pt/m。依照定义，对于可积系统，哈密顿量只可用动量来表达（如果有必要，可适当改换变量）。庞加莱研究了形如H＝H0（p）＋λV（q）的哈密顿量，即可积部分（“自由哈密顿量”H0）与相互作用所致的势能之和（又是后面要用到的标度无关因子）。他证明，这类哈密顿量通常不是可积的，这意味着我们不能消除相互作用和回到独立单位。我们在第一章提到，不可积性由与廉加莱共振相联系的发散分母所致。作为廉加莱共振的结果，我们不能解出运动方程（至少不能用耦合常数人的幂级数形式表示）。

　　在下文里，我们感兴趣的主要是不可积的大庞加莱系统（简称LPS。我们已经看到，庞加莱共振与对应于各种运动模式的频率相联系。频率ωk依赖于波长k。（用光作例子，紫外光与红外光相比有较高的频率。和较短的波长k。）我们考虑频率随波长连续变化的不可积系统时，满足LPS的定义。系统所占据的体积足够大，大到表面效应可以忽略的程度，即满足这个条件。这就是为什么我们把这些系统叫做大庞加莱系统的原因。LPS的一个简单例子，是一个频率为ω1的振子与一个给定场耦合之间的相互作用。在我们这个收音机和电视机的世纪里，我们都听说过电磁波这个词。电磁波的幅度由场确定，场由位置和时间的函数φ(x，t）描述。如本世纪初所确立的，场可以认为是频率为ωk的振荡的叠加，其波长k从系统本身的大小改变到基本粒子的尺度。在我们所考虑的振子-场相互作用中，每当场的频率ωk等于振子频率ω1时，就会发生共振。只要ω1＝ωk，在我们求解振子与场相互作用的运动方程时，就会遇到庞加莱共振1/(ω1-ωk)，它对应于发散。也就是说，当分母为零时，这些项趋于无穷大，而变得无意义。我们将看到，我们可以在我们的统计描述中消除这些发散。