未接电源时，真空态下介观Lc电路中电压、电流的平均值为零，但它 的均方值不为零．即电压、电流均存在量子濂落

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未接电源时，真空态下介观Lc电路中电
压、电流的平均值为零，但它 的均方值不为
零．即电压、电流均存在量子濂落，同时，LC电
路中电压、电流的量子涨落是关联的，它们之间
存在量子压缩效应．比较式(21)～(27)和式
(11)～(15)，基态下，电源的存在将对电压的平
均值和均方值产生影响，而不影响电流之平均
值和均方值，同时，电压和电流的量子涨落以及
两者之积均与无源时真空态下的结果相同

大学物理
OOLLEGE PHYSICS
Vd 18No 4
Apr．1999
有源介观LC电路中电源对量子涨落的影响
．毒立堑， 兰查
(淮阴师范学院物理系，江苏淮阴223001) 牟 lI
摘要从有源LC电路运动方程出发，通过量子化有源Lc电路和计算电压、电流的量子涨落，研究了电源对
量子涨落的影响
分黄类苎 号百罂而 ；皇— ～，—三一 瓤
1 引盲
作为微电子技术发展的原理性基础，在涉及
微观电磁现象和在光频下工作的电路问题时，需
要考虑电路和器件的量子力学效应 ．2 J．文献[3，
4]类比力学阻尼谐振子用量子力学标准方法将
有源介观RLC电路进行了量子化，并计算了真
空态下电荷、电流的量子涨落，在研究方法上读
后令人耳目一新，但从量纲分析角度看，文中的
结果是值得商榷的．首先，用文中引入的复正则
电荷Q 和电流 并不能由推广的哈密顿正则运
动方程给出原回路电压方程(文[32的式(5)是有
误的)；其次，文中引入的推广升降算符 、 具
有了量纲，因而文献[5]在引用这一结果发展性
地计算压缩真空态下介观LC电路中电荷、电流
的量子涨落之积时，得出与电路参数L、C无关
的结论，这在物理上是不合理的(实际上应与
成正比)．此外，对于无耗介观LC电路，对易关
系应满足[q，声]=i^，其中q代表广义“坐标”，p
代表与之共轭的广义“动量”，且p=西．若以
[q，j]=i^取而代之，则需令L=l[这恰好与文
献[6]中研究的单位质量(m=1)振子问题相对
应]．因而，文献[3]中的结果不舍L，也就是说，
若L≠1，则对易关系应为[q， ]=ih／L．本文研
* 江苏省教委自然科学基垒资助项目
收稿日期：1998—03—09
究介观I￡电路中电压、电流的量子涨落，并进
一步分析电源对该涨落的影响．
2 LC电路的量子化和电压、电流的量子涨落
对于经典含源曾(￡)的LC回路，其运动方
程为
( )+m g(￡)= t)lL (1)
其中n，0=l／ ，q(t)~il (￡)：j(￡)是电荷和
电流， ( )是外加电源电动势．电路的哈密顿量为
H= + z一8Cu (2)
式中“=qtc是电容电压．若引入复正刚电压
和与之共轭的复正则电流 ：
v= (“+i何j) (3)
j=毒V =i专 (“一idZT~j)(4)
结合式(1)，则可由式(3)、(4)给出
V=一i∞oV+if(t)，j=im0j+—l，(￡)(5)
并且有关系式
W ⋯ 2ilV (ⅣL Ⅳc)
导(v+V )，(￡)：导(v—i21)f(t)=$Cu
(6)
c、I斯月
一
D 他蚰
， 第¨
第4期 崔元顺等：有源介观113电路中电源对量子涨落的影响 n
其中f( )=4-~o增( )，w +w =去 +
1 Cu
，故式(2)可写成
H=一ico0IV+ilf(f)一 1 vf(f) (7)
可以验证，式(5)即为正则方程V=aH／a ，I
： 一aH／av 之结果，亦即由正则方程可给出
原回路电压方程式(1)．
为了实现有源I￡回路的量子化，要求对易}
关系满足(v，J]=ih{V，J}=ih，且力学量J、V
和H用算符表示．由[V，J]=ih可以得到[“，j]
：i ，此即电路中电压、电流所满足的对易关
系，它与文献【8]用与谐振子类比方法所得结果完
全相同．进一步引人推广的升降算符。 、a：
n = V=√ ( )㈣
n 一 √詈，=√ ( j)(9)
可将量子化后的回路哈密顿量写成
H： 0a a+口 S(t)+ds (t) (10)
式中s(t)=√号，( )：√皇 · (r)．由[V，
J]=ih可得[d，a’]=1．显然，通过式(8)、(9)
引人的无量纲算符a、a 具有玻色统计性质，
利用[a，a ]=1，不难定义真空态l0)．
电路未接电源时，式(10)中S(t)：0．设此
时电路处于状态l0(0))=l0)，由式(8)、(9)可
得电压、电流的平均值和均方值为：
i
—
t／．=(0l“l0)：0 (11)
j=(oljIo)=O (12)
= (0l“：l0)： 2Ⅱ d十ll0)： (13)
= 2d‘d+1i0)= (14)
可见，在真空态下，电压、电流均存在量子涨落，
二者之积为
(△“) ·(△ ) = o,g]4 (15)
这是对易关系【 ，j]=i‰ 的直接结果 和j
两者的量子涨落之间满足最小不确定关系，因而
存在着量子压缩效应．式(15)表明，电压、电流的
量子涨落之积与电路参数L、c有关．可以验证，
即使是在压缩真空态下，电压、电流的量子涨落
之积除与压缩参数r、 有关外，与电路参数的定
量关系仍如式(15)所示．式(15)的结果与文献
[9]用路径积分方法采用高斯型传播子得到严格
渡函数所计算的结果q · = f4L 相一致．
3 电源对电压、电流量子溅落的影响
上述量子涨落的计算基于电路未接电源而
处于真空态l 0)的情况，现在考虑电源对电压、
电流量子涨落的影响．
对于含源介观LC电路，H=ha,0a a+
a S(t)+aS (t)，作平移变换，引人算符
d =口’+S (t)／ 0 (16)
a=a+S(t)／ n (17)
式中s( )：√ ： ( )，：·、：仍满足玻色
对易关系[n，n ]=1，则对角化的厄米哈密顿
量为
H= 0d a—ls(t)l ／ 0 (18)
电路本征能谱为
E： 0一{c铲， 。=0，1，2，⋯ (19)
当电路中有电源 (t)时，采用绝热近似，把
(t)当作常量处理．考虑电路处于基态
l0)。=e{ l0) (20)
利用算符公式 ”]
eaBe一 =B+[A，B]+[A，[A，B]】+⋯
由式(8)、(9)可求出电压、电流的平均值和均方渣：
。 。(O 0) =0 (22)
。(o l0)。： +
。(olj IO)。= ／2L
(23)
(24)
大学物理 第18卷
电压、电流的均方涨落为
(( ) )。= 。／2L (26)
故涨落之积为
。 4 结束语
未接电源时，真空态下介观Lc电路中电
压、电流的平均值为零，但它 的均方值不为
零．即电压、电流均存在量子濂落，同时，LC电
路中电压、电流的量子涨落是关联的，它们之间
存在量子压缩效应．比较式(21)～(27)和式
(11)～(15)，基态下，电源的存在将对电压的平
均值和均方值产生影响，而不影响电流之平均
值和均方值，同时，电压和电流的量子涨落以及
两者之积均与无源时真空态下的结果相同．
5 参考文献
l Ga曲R G，Atomic一 lIat吼ia air'm tkthe scan．
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3 高守恩．陈斌有竦RLC回路的量子化大学糟理，1994，13
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学通报，1996．41(3)：1 170～1 172
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学报．1997．46(10)：2 007～2 009
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技术出版社．1朔3 l02
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16(5)：5～7
10 L∞ 础W H．Quantmn stati~ 口 of rad~tioa．
Newyork：JoJ-m Wiley，1973．ch 3
THE INFLUENCE OF SOURCE ON QUANTUM FLUCTUATION
IN AN A(耵VE 蛐嘞DsOoPIC LC a RCUI11
Cui Ym mhun Bian uping
(Del3extrr~ t ofPh~es， T~=hersCollege．H蛐，Jiam~ ．223001，China)
Abstract Starting from the equation of an active LC circuit，the i,dluences of source orI quantu~a
fluctuation are investigated by quantizing an active LC circuit and calculating the quantum fluctuations
ofthe voltage and the current．
Keywords mes0s。。picLC circuit；source；quantum fluctuation
会讯
受国家教育部师资培 中心委托．北京师范大学与解
放军海军航空技术学院将联合举办99’全国基础钫理教
学现代化研讨班，由海军航空技术学院具体承办．
会议内容分两部分：1．由国家教委物理学与天文
学教学指导委员会基础钫理组组长、北京大学赵凯华
教授和全国相对论与天体糟理协会理事长、北京师大
刘辽救授等著名专家学者作有关近代物理教学现代化
的系勋讲座．2．与会者就大学物理理论研究、教学研
究、教学现代化、素质救育、教育思想等诸方面进行研
J
。
一— — 一— - — —
讨交流其中优秀论文将出专刊发表．
会议担于1999年7月底在青岛海军航空技术学
院召开．请参加会议人员将回执和论文初稿于1999年
5月底前寄厨，论文请用B5纸统一打印，是否录用以
第二轮通知为准．
会议联系人：青岛市海军航空技术学院基础部
黄旭仁，邮编：266041，联系电话：(0532)4621404
(办)．4619769(宅)
(州捉朋供稿)

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