将系统的态(微扰项)相对于未受扰动的参照系态（注意它们是完备的）作展开

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第8章 束缚定态的近似方法

§8.1 非简并态的微扰论

1, 基本方程组

假定可以划分为两部分：和，为的基本部分并且其定态问题可精确求解，称为参照系；而是妨碍可精确求解的部分。并且假定比小，以致可将看作是对的一种小扰动，称为微扰项。在此划分下, 定态方程成为

(8.1)

这里上标“”表示未受扰动的参照系统的物理量。按上面的假设，、（下面简记它为）是已知的。将系统的态相对于未受扰动的参照系态（注意它们是完备的）作展开：

(8.2)

代入(8.1)式中，得



两边乘以，利用的正交归一性质，得

(8.3)

列出不同值的方程就得到一个线性联立方程组。

方程组(8.3)中，未知数列是，未知本征值是。方程组(8.3)就是定态微扰论的基本方程组，它们是下面进行各阶微扰近似计算的出发点。注意，至此还未做任何近似。

通常，微扰项中总含有一个小参量，以表示此项是一个微扰。在下面进行逐阶近似时，为便于鉴别及合并含有这个小参量同一幂次的同阶近似，不失一般性，可设想对此小参量乘以无量纲数。将改写为，在对的各阶近似展开完成之后，再令，予以还原。预先把、按微扰级别（即幂次）展开：

(8.4)

其中，和含一次幂项，为一阶小量；和含有，为二阶小量。它们分别表示微扰对和的一阶和二阶修正，等等。

假定扰动之前，系统处于的某个定态上，这里是初态的序号，为给定值；加上后，系统的变化是：

和 。

下面用逐阶近似方法求微扰对的第个本征值（以及本征函数）的修正。注意，这时，。

2, 一阶微扰论

这时，本征值和本征函数的计算准确到含一次幂，即近似认定

(8.5)

这里为初态序号，为变数。于是有

（8.6）

现将，的一阶近似展开式代入前面基本方程组(8.3)式中，得



乘开此式后，为近似计算的自恰性，仍然略去二阶小量，只保留到一阶小量，得



当，得

（8.7）

当，得



至此，仍有一个问题未解决。这就是尚未确定。它应当如此选取，使得一阶近似求得的扰动态在略去二阶小量后能够归一，



求和号上撇记号表示求和指标中不包含。于是能够归一的要求为



可是此时内积为



于是得，实部等于零。而且虚部也应为零，否则归一化中将含有一阶小量，使得略去二阶小量后不能归一。总之可得



最后得一阶微扰论公式

(8.8)

这里，能量和态矢的公式都只准确到含的一阶项。公式表明：

一阶微扰论近似下，能级修正等于在未受扰动态中平均值；在扰动后态中，别的态 也将混入并相干叠加，混入的概率幅正比于扰动算符在和态之间的矩阵元、反比于两态之间的能量差。

由态的展式（8.8）式可知，第二项中态是对第一项态的一阶修正，相应系数的数值应当显著小于。这就给出上述微扰论的适用条件

(8.9)

就是说，微扰算符在掺入态（）和被扰态（）之间的矩阵元数值应当很小于两个态的能级间距。

如果未受扰动系统还包括了连续谱，严格说，的表达式应当扩充成为

(8.10)

这里，为一组物理量的本征值集合，用来区分连续谱中的态。通常情况下，微扰是针对分立谱中的态，这时对大多数均有（），所以积分号下的被积函数在值全部积分范围内无奇点，并且有，于是积分项常可以略去。只当态附近存在（属于另一些自由度的）连续态时，也就是说，只当进入了连续谱或带状谱区域内时，才需要考虑这个积分修正项。

一阶微扰论中还有一个常用公式——计算算符矩阵元的公式，

(8.11)

和公式(8.8)相匹配，此公式也只准确到一阶近似。

3, 二阶微扰论

波函数通常只需要作到一阶近似就够了。因为任何平均值计算总是波函数的二次型形式。所以一般情况下平均值计算也就能够准确到二阶近似。但如果能量的一阶修正矩阵元等于零或者很小，就需要作能量的二阶修正。这时（8.4）式应当取比（8.5）式高一阶的二阶近似展开式

(8.12)

代入基本方程组(8.3)式，保留到二阶小量，得：



（）

注意一阶微扰计算已完成，此方程组两边的零阶和一阶项之和已相等，现在只需进一步捡出关于二阶项的等式，它们为

（）

为求出可令，有



从等式两边消去项，注意和的表达式，得



类似办法可以求出。于是得二阶近似微扰论公式

(8.13)

同时，可用归一化条件去决定。

此处注意，第一，基态能级（）的二阶修正永远是负的（），这一点和参照系（）及扰动（）无关。第二，若要上述近似成立，必须有

(8.14)

因此，若在所考虑的能级附近有别的能级存在（简并或近简并情况），这里的公式将不成立或不够精确。

二阶以上的高阶近似也可从基本方程组(8.3)出发，参照这里的推导得出。

4, 例算：光谱精细与超精细结构、Van der Waals力、氢原子的Lamb移动、核力的Yukawa势

i, 氢原子光谱的精细与超精细结构

作为微扰论的第一批例子，考虑氢原子的一些精细结构修正。 精细结构修正主要来自相对论效应（Dirac方程作非相对论近似所给出的三项）： 动能修正、

旋—轨耦合修正、

Darwin振颤修正。

其中第二项已在§7.2详细考虑过，这里只考虑第一、三两项。

首先，考虑动能的非相对论修正。由于



这里第三项即为氢原子Kepler问题的一项修正 —— 电子质量变化导致对动能的非相对论修正，

(8.15)

现在来计算此项造成的能级移动。按一阶微扰论能移公式，有



于是归结为对和计算（详见习题）。它与原先能级比值的数量级可估算为



其次，电子并非经典质点，在相对论性运动中，其位置在Compton波长的范围内随机振颤，称为Darwin振颤项。由此，作用在电子上的Coulomb势也就随之产生弥散，数值可按下面方式计算，



可以合理地假定随机涨落不大且左右对称，于是第一项为零，并等于



再假定涨落是球对称的，则二次方差的平均值将为



将及代入，得到第三项修正为



此处简化推导所得Darwin振颤项的结果比下面正确表达式

(8.16)

只相差一个因子。这个差别主要来源于此处平均值计算中的近似。

下面来计算项产生的能移，



它只引起态电子能移。其量级大约为：氢原子Coulomb场，，精细结构常数的量级为， 于是与原先能级比值的量级为。由于中只含，Darwin振颤项是电子与核的“接触作用”——只在Coulomb场近距离强场情况下起作用。

结合§7.2，可知这三项相对论性修正的相对能移均为量级；但、不能使能级分裂而则会使能级分裂。

ii, 范德瓦尔斯（Van der Waals）力

当两个中性原子（或分子）之间距离远大于它们本身波包尺度时，正负电荷相互屏蔽后的剩余Coulomb作用，使它们之间表现出一种长程的相互吸引力，并与成反比，这就是Van der Waals力（更大距离时为反比[1]）。下面以两个氢原子为例，用二阶微扰论来解释。

首先，利用Oppenheimer近似——由于原子核质量远大于电子质量，讨论电子运动时，原子核动能可以忽略，认为核是静止的。

（8.22）

这就是说，在两个基本上是相互独立的氢原子和（各自带有电子和）基础上，将它们之间的相互作用考虑作为微扰。这里

，，。

由于，于是



(8.23)

可表示

即

（8.24）

由于两个氢原子之间距离已大于它们各自波包的尺寸，两氢原子波包之间基本不交叠，可以略去两原子间的交换对称性。于是此双原子体系基态的零级波函数为



由于是的偶函数，而对是奇宇称，故



所以有



即一阶微扰无贡献。需要进一步求二阶微扰修正。它等于



由此可知以下两点：

第1， 由于，为常数，因此。

第2， 由于，。

总之，可得两个相距较远氢原子相互作用附加能为

(8.25)

iii, 核力的Yukawa势

原子核中聚集了许多核子（中子和质子的总称），特别是聚集着彼此以库仑力相排斥的质子而不散开，是由于存在吸引力——核力的缘故。核力是夸克之间强相互作用的剩余力，但也可以将它看成核子之间时时刻刻交换（发射和吸收）虚介子结果。这就是核力的介子场论。下面用二阶微扰论予以简明解释，并导出核力Yukawa势 [2]。

设两个核子处在介子场中，分别位于，，它们向对方发射并吸收由对方发射的介子，通过这种介子的交换，彼此产生相互作用。这种相互作用可以写为

(8.26)

这里，为核子相互作用的无量纲耦合常数。是这样的振幅因子，它表达第j个核子湮灭一个动量为的介子；它的厄米项代表产生的振幅因子（量纲均为）。所引入的展开系数是为了保证和之间有如下简明的对易关系，



中是相对论质能关系的量子翻版，为介子的静止质量。注意，这里对介子动量的积分是在（从“红外”到“紫外”）全动量空间进行的。

下面用微扰论方法计算由导致的相互作用能。此体系的真空态——基态为两个核子加上处于真空态的介子场。显然，这个对介子场的任何本征态（具有确定数目的介子）的平均值都为零,当然在真空态的平均值也为零。导致的能移一阶微扰近似下为零，



但二阶能移就不再为零了。按(8.13)式，得



这里，为系统的基态能量，为系统的激发态（介子场处于有个动量为的介子的激发态）能量。由于空间均匀各向同性，应当有

， 。

由于中含有大动量、多介子交换，此相互作用能发散，即。但这里只关心由相互作用造成的相对能移，即



这虽是两个发散量相减，但差值并不一定发散，下面来计算它。

注意此时有

和

，以及

，和。

由于连续变化，按，可得

，

等等。矩阵元只当时才不为零。于是



所以



取，则，于是有



显然，在差值计算时，积分的第一项因其与距离无关而被消去；而当时，含余弦的积分因快速振荡而消失（从下面计算也可看出），说明两个核子相互距离越大，交换介子的概率越小，相互作用就越弱。因此



为计算这个三重积分，取参数矢量方向为轴，可得



由留数积分可得，最后得到Yukawa势为

(8.27)

结果表明：两个核子之间由于交换（其实是虚粒子）介子而出现一个负势能，说明由此产生的核力是吸引力。力程由负指数上的参量决定。若取，则有



可以看出，由于交换粒子较重，核力的力程是很短的。

顺便指出，粒子物理发展起来之后，核力的介子场论已显得过时，后继理论是粒子构造层次的深化和理论模型的发展。但介子场论仍可算是适合一定能区的一个层次上的理论。更何况，单纯就阐明相互作用起源的机制而言，涉及的基本观念已尽在此处：、

粒子之间因交换某种虚粒子而产生相互作用。

§8.2 简并态微扰论

1, 简并态微扰论要旨

被扰动能级有简并或近似简并的情况下，上述微扰论不适用。因为这时在简并能级（或近简并能级）之间，不等式

(8.28)

被破坏。下面构造存在简并情况下的微扰论。假定被扰动态为的第个能级，它有重简并，这就组成了维的简并态子空间。此时方法的核心思想是：将系统所有状态区分为简并态子空间内部和外部两个部份；与此相应，矩阵元则区分为三部份：属于简并态子空间内部的，简并态子空间内和外的，简并态子空间外部的。然后，作近似时分别对待。

2, 简并态微扰论

记第个能级的简并量子数为。如上所说，这时的要点是将简并子空间和其外部空间分开来写。这样，扰动后态矢的(8.2)式就成为

(8.29)

这里，右边第一个求和在简并态子空间内进行，第二个求和在子空间之外进行。与此相应，基本方程组（8.3）式也作相应的划分，成为

(8.30)

下面由这种形式的基本方程组出发，作一阶、二阶近似计算。

i, 态矢零阶近似、能量一阶近似。

这时只须在简并态子空间内部处理问题。即，在此空间中写出微扰的维厄米矩阵，通过将其对角化找出个本征值及本征矢量。这个本征值即为一阶近似下的能量修正，而这个本征矢量将构成零阶近似下的态矢。 具体说来，设

(8.32)

基本方程组和态矢分别为

(8.32)

此处第一个方程是个线性齐次方程组，其中矩阵元全体组成了厄米矩阵。方程组正是微扰在这个维简并子空间中的本征方程：决定未知能移——个实数本征值，及未知矢量——个本征矢量 。若要此本征方程有非零解，其系数行列式必须为零，由此即得决定本征值的方程：



此方程常称作（关于简并能级一阶修正量的）久期方程。如果求出的个本征值彼此不相等，说明在扰动下的第能级的重简并已完全被解除，否则是部分被解除或未被解除。

按通常代数方法，可得个正交归一维矢量。最后，简并态最低阶微扰论——能量一阶、态矢零阶的结果写出来便是

(8.33)

ii, 态矢一阶近似，能量二阶近似。

可能有这样的情况，由于某种禁戒等原因，扰动在各简并态之间的矩阵元全都非常小（甚至为零）。这时就需要作进一步的近似，考虑简并子空间内外矩阵元的影响。

这时，由于(8.30)式中第一个方程右边的第一项已经很小，因此不再能够略去此方程右边的第二项。于是只对（8.30）式中第二个方程做近似：略去其右边的第二项，以便求出一阶修正的小量。这样，将（8.30）式近似成为

(8.34)

由第二个方程解出并代入第一个方程，便给出精确到二阶的能移和一阶的波函数方程，

(8.35)

由此可知，为了将能移（）计算到二阶的精确度，只须用下面矩阵元



代替 i, 中的矩阵元，求取相应的本征值即可。与此同时，在求得（8.35）式所给的精确到一阶的本征矢之后，连同表达式，一并代入（8.29）式即得精确到同阶的态矢表示式：

(8.36)

3, 计算举例

i, 不对称的量子陀螺。

考虑一个稍为偏离轴对称的不对称量子陀螺问题。作为一个唯象模型，这个例子常见于原子核结构与核能谱的研究，描述原子核变形中的集体转动运动。

量子陀螺的Hamilton量通常用角动量算符来表示，一般形式为

(8.37a)

这里，和称为三个惯量主矩，是常参数，由系统形状决定。

轴对称量子陀螺（）问题可以严格求解（见下）。但现在问题是假设和不相等，但相差不大。就是说有， 。现在往算能级的能量，精确到的量级。

为便于下面近似，用参数代替， 有

。

于是



(8.37b)

已知轴对称的本征值和本征矢量分别为

(8.38)

由此可知的三个能级中，对应的态为两重简并态。下面，为便于计算，将用算符表示。由于



这里。即得

(8.39a)

它在非简并态中的矩阵元为零，即。于是按一阶微扰论，此能级不会因扰动而发生移动。于是，在二维简并子空间中，表示成如下矩阵

(8.39b)

此矩阵的本征值即为能量的一阶修正。由此，原来是双重简并能级的两个态和，现在分裂成为两个能级

(8.40)

ii, 电场的Stark效应。

均匀电场中原子能级移动称为Stark效应。 原子的电偶极矩



主要由核外电子位置矢量决定，所以是奇宇称算符。由于态的宇称有确定值，附加能的对角矩阵元为零。这是因为



总为奇数，此矩阵元为零。这说明，若能级状态的宇称是确定的，则一阶微扰下的Stark效应为零，需要计算二阶微扰修正，这时能移将正比于电场强度的平方。所以多数情况下，原子的Stark效应是非线性的。只当所考虑能级是不同宇称态的简并能级，或状态是不同宇称态相干叠加时，此能级的Stark效应才会是线性的。比如，氢原子能级的Stark效应便是线性的。因为在同一主量子数里，有不同态简并着。扰动在这些不同态之间的矩阵元不为零。设电场沿方向。电场扰动前，此能级有四重简并，相应态为

(8.41)

扰动为。在这个四维子空间里的矩阵元为



注意是奇宇称算符并且不改变量子数，非零矩阵元只有两个



这里为玻尔半径。于是微扰在此子空间中成为如下的厄米矩阵（基矢排列依前面所给顺序）

(8.42)

由此得到它的四个本征值——此能级的一阶修正：

（，，，）。

而四个本征矢量——零阶修正的波函数分别为：

(8.43a)

将它们写成能量表象中的态矢形式，即为

(8.43b)

这样，在电场作用下，氢原子能级的四重简并被部分地解除，总共分裂成三个能级，

(8.44)

这里是原先能级数值。结果表明，均匀电场中态氢原子就像一个具有的电偶极矩。这个电偶极矩在外电场中共有三种不同的取向：垂直于外电场的两重简并态、分别平行和反平行于外电场的两个态。

iii, 外磁场中的自旋谐振子。

考虑一个自旋粒子在球对称势中运动，并受到一个沿方向的非均匀磁场扰动：。求基态能量的改变。

这时哈密顿量为

(8.45)

微扰前基态有两重简并，所以这是一个简并态微扰论问题。现在的情况是，在这个二维简并子空间中的四个矩阵元全部为零，于是一阶简并微扰的能移为零。这就必须进一步考虑二阶简并微扰修正。也就是将下面矩阵元所组成的矩阵对角化（参见（8.35）式），去求得二阶微扰能移，

(8.46)

注意只对z方向振子升降一个能级，并且不改变自旋状态:



所以下面计算中有，等等。因此，二阶微扰论(8.46)式里，对中间态无穷求和只剩下含中间态的项。即得



这里用了等式。类似还有



以及

。

由此可知，矩阵的本征值为两个重根，基态能量仍为二重简并的，

(8.47)

§8.3 变分方法

定态微扰论的近似方法，无论是简并或非简并情况，若要可行，都需要一个前提：系统Hamilton量能够分解为已经知道其解的部分和一个小项，即。否则定态微扰方法就难于使用。下面介绍的变分方法适用于近似确定系统的基态能级或最低能级，给出该数值的上限。方法适用于变量不能分离时Schrodinger方程的数值求解，可以大为简化计算工作量。若能采用逐级进行办法，此方法也可用于激发态，甚至也可用来证明系统本征函数族的完备性。

1，变分极值定理

下面介绍的变分方法便于求平均值泛函数的极小值。

[变分极小值定理]

“已知Hamilton量，并有约束条件，根据

下面能量平均值泛函数



达到极值的变分解可得关于基态的Schrodinger方程。”

证：用Lagrange乘子方法计入约束条件，即得



即



也即



这里，为得到第二个方程的第二项，已对第一个方程的相应项进行了两次分部积分，并设变分在两个无穷远端点处为零而舍弃了分部积出的项。假设变分在区间内是任意变化的，于是可选它为，为任选的有限小量。由此即得

（8.48）

这就是的Schrodinger方程（也参考（8.55）式证明）。这说明，只存在归一化约束的完全自由变分的结果，由变分方法所得极值解必是的最小束缚定态的本征值。

然而，在变分法实际计算过程中，总是采用某一类型的试探波函数（其中为某个或某些待定参数），所以积分出的是这些参数的函数。计算出平均值之后，再对其中参数求导并令其为零：，由此求得参数值再代回中，即得泛函达极小值时的值。就是说，实际计算中执行的变分总是局限于某一类函数集合的相对自由的约束变分，由此约束变分所求得的满足的变分极小值，一般将是局域极小值，不一定就是系统的基态能量。就是说，变分法一般给出的是基态能量的上限。用本征函数族将试探波函数展开，即可说明这一点，

(8.49)

假设能谱为，则有

(8.50)

显然，试探波函数的选择很重要。当所取试探波函数集合（按照参数变化）能够包容基态波函数时，所得一定等于基态能量。如试探波函数集合不包容基态波函数，所得解将是能量本征态的叠加态，所得最小值将是高于的局域极小——仅仅是相对于变化来说的极小。实际计算中，算出的数值越小，结果越准确。

通常，只要试探波函数能较好地逼近基态波函数，就将很接近于基态能量。这是由于用计算能量平均值时，对的依赖是二次型形式，所以当具有一阶小量的可能误差时，由它算出的，误差一般将是二阶小量。就是说，在变分法的实际计算过程中，一般而言，对能量的近似程度比起波函数的近似程度会好一些。

进一步，假如能够做到将试探波函数的选取局限于状态空间的某个子空间之内，变分最小值解将逼近甚至等于该子空间中能量最小值——属于该子空间的最低激发能级。这样，变分方法就也可以推广用于激发能级的计算。详见下面完备性定理的证明过程。

2，用变分法求解氦的基态能量

氦原子的Hamilton量为



而试探波函数则略去两电子相互作用，也即采用等效的类氢原子基态波函数，乘积，



等效的内容是将其中看作为变分参数（所以它不一定为2）。这样做的物理根据是，两个电子彼此对氦核相互屏蔽，其结果是的数值将小于2，因此可以作为变分参量。由Virial定理知，等效类氢原子中每个电子动能和势能在基态的平均值分别为和。此处平均势能的分子中不是而是2，这来自原来Hamilton量中势能项核电荷为2。电子间相互作用能的平均值则为



这里积分是表达两个球对称重叠、并沿径向指数衰减的连续分布电荷之间的相互作用静电能。这个积分可以分拆为两项和：第一项对情况，第二项对情况。即



这里第一项是球壳电荷在球壳场中的能量（少）；的被积函数则是在半径为的球场中的能量。第二项类似。由于对称，两项相等。总加起来即得



对微商求极值，得到。由此算出氦原子基态能量为



很接近于实验值。将此值代入即得在此试探波函数下，对氦原子基态波函数的变分解。

3，无限维空间分立谱Hamilton量的完备性定理——Courant-Hilbert定理

[定义1] 厄密算符有下限是说，对态空间中任意态矢，存在与无关的实常数, 使成立。

[定义2] 厄密算符无上限是说，对任给一个充分大正数，总能在态空间中找到一个态矢，使不等式成立。

[Courant-Hilbert定理]“如果一个分立谱厄密算符有下限而无上限，则它的本征函数族就函数组成的态空间而言是完备的。此处完备的含意是，对此空间中任意可归一化物理态（），下面展开式在均方逼近的意义上成立：

” （8.51）

证明：下面证明按柯朗-希伯尔特书中叙述[3]，但将其参数推广为复数。设分立谱已按其数值依次排列，直至无穷。不失一般性，设最小本征值为零。归一化本征函数族为



为证明展开式均方收敛，考虑此任意物理态与右边展式有限项和之差的 “余态”：

(8.52)

现只须证明当时余态的模长即可。

按余态定义，其模长及Hamilton量平均值分别为：

； (8.53)

一方面，设态空间中任意态为（当然），又设和

是比值泛函的变分解，即，使此泛函

达极小时的能量和态矢。这时比值泛函的变分为零。于是有

（8.54a）

（8.54b）

现往证此变分解即为定态微分方程解：设为任意复常数，有



得



注意实部和虚部可以独立取任意值，因此得



由于是中任意态，于是得和。即在全中变分极小值的解等同于以下定态微分方程的最低能量解：

(8.55)

接着在内与相垂直的子空间中重复上面证明：设，这里为此子空间内任一态矢，和是使泛函达极值的变分解。类似可证此变分解是满足下面微分方程的最小能量解：

；且 (8.56)

于是可记：。注意，由于极小值所取自的空间是极小值所取自空间的子集，因此有 。

此过程可以继续下去。所以可将此Hamilton量的谱，按变分极小值解所属正交子空间的顺序排列。按照设定它直至无穷：



另一方面，由余态定义（8.52）式知道：和正交。于是，由这种关于极小值和子空间顺序的分析可知

(8.57)

注意有界。这是因为，余态模长不小于零：



所以有（对任意），因此



由（8.57）和此式，得

(8.58)

由于余态模长当时趋于零，此时展开式（8.51）有限项和态的模平方无限逼近物理态模平方，即展开式在均方逼近的意义上成立。

以上证明也参见Kato文章[4]和后来的李正道书[5]第8-10页。

4，讨论：

C-H定理解决了分立谱情况下一类Hamilton量本征函数完备性问题——理论上这类系统能量的可观测性。当然，这个完备性只对可归一化态矢空间而言。

C-H定理一个直接应用就是表明了量子谐振子全体解集合是完备的（对上全体函数）；另外，轨道角动量全体解集合也是完备集合（在单位球面上，即球谐函数展开）；无限深方阱中波函数全体也是完备的——能展开定义在阱内、两端点为零，保证在阱内厄密性0[6]的任意函数；等。

量子体系总是要有基态的（否则由于扰动、特别是真空涨落的自发扰动，将会不断向下跃迁，系统不稳定，最终会塌缩掉）。所以一般不必担心下限问题。只要能谱分立且无上限，就可以引用这个定理。







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[1] 在目前非相对论量子力学框架下，只考虑瞬时Coulomb力。如果针对倍Bohr半径的更大距离，需要考虑虚粒子（以光速）传送的时延，这时Van der Waals剩余力将表现为规律。显然，规律是适合于凝聚态物质的通常距离的。有关讨论见C .依捷克森等，量子场论，上册，第494页，科学出版社，1986。

[2] J.M.Ziman，《Elements of Advanced Quantum Theory》，Cambridge University Press，1969, P.26。

[3] R. 柯朗，D.希伯尔特，《数学物理方法（I）》，北京：科学出版社，1958年，第306-8、325-9页。

[4] Tosio Kato, Fundamental Properties of Hamiltonian Operators of Schrodinger

Type, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 70, No.2, (1951)195-211，P.205； L. Hormander, Linear Functional Analysis, Theorem3.2.12, p.94, Lectures Fall Term 1988, University of Lund。

[5] 李正道，《粒子物理与场论》，山东：科学技术出版社，1996年，第9页。

[6] 关于完备性的详细叙述可见张永德：“量子‘天龙八部’”。该文收在由王文正、柯善哲、刘全慧主编的《量子力学朝花夕拾》文集，北京：科学出版社，2004年。