"哈密顿回路路径积分":在“一维欧氏时空”，量子的运动完全由 Brownian motion 的数学理论刻画。显然，这种刻画不适

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弦外之音物理数学还是数学物理？ Home关于Jan 18Floer 同调简述
数学 No Comments »先说 Morse.

n 维紧致光滑流形上一个函数 的临界点是使 的点, 即 . 在临界点, 二阶导数组成的 Hessian 矩阵是一个二阶协变张量. 如果每个临界点处的 Hessian 矩阵都非退化, 则 叫 Morse 函数. Morse 函数是流形上光滑函数的常态, 就是说, 随机取一个光滑函数, 几乎肯定是 Morse 函数. 严格来说, 它们组成光滑函数空间里的稠密开集. 在临界点附近, 沿着 Hessian 矩阵的正特征值对应的特征方向, 函数值增大, 沿着负特征值对应的特征方向函数值减小. 临界点的 Morse 指数 就是负特征值的个数 (计算重数).

固定一个 Morse 函数 . 取流形上一个黎曼度量 . 则微分 可以通过度量对应到切矢量场 . 由于流形紧致, 切矢量场生成单参数变换群 , 称为 的梯度流. 得到它的过程是, 在局部解常微分方程

然后把积分曲线整体拼接起来. 流形被积分曲线充满. 每条积分曲线在 时收敛到临界点. 从临界点 出发的积分曲线并起来, 加上这个临界点本身, 拓扑上是一个 维开圆盘, 称为 “升圆盘” . 在 终结的积分曲线的并加上这个临界点本身, 拓扑上是一个 维开圆盘, 称为 “降圆盘” . 这样, 流形被各维数的升圆盘和降圆盘充满. 所有升圆盘或者所有降圆盘都构成流形的一个 “胞腔结构”.

一个光滑函数和一个度量在一起称为 Morse-Smale, 如果 是 Morse 函数, 而且其梯度流决定的升圆盘降圆盘之间相交的情况良好, 即,

或者说, “横截相交”. 直观上说, 就是除了总维数的限制以外没有多余的维数重叠. 微分拓扑的定理保证, 横截相交的交集仍然是光滑流形. 如果临界点 和临界点 的 Morse 指数相差 1, 且从 到 的积分曲线非空, 则由维数公式, 这些积分曲线并成 1 维流形, 说明这些积分曲线是孤立的, 可以计数. 在计数的时候, 需要考虑到圆盘相交处的定向问题, 所以有些积分曲线被记为负.

现在, 把注意力放在一个临界点 上. 定义它的 “边界” 为 Morse 指数比它小 1 的临界点 的系数组合,

系数 就是从 到 的积分曲线的定向计数. 把 Morse 指数为 的临界点的所有整系数组合记为 , 逐项求边界, 得到一串映射

它实际上是一个链复形, 即, 满足 . 其原因如下: 如果 临界点 的 Morse 指数为 , 比 大 2, 那么它们之间的积分曲线并成一个二维流形. 模掉积分曲线的平移, 即把每条积分曲线视为一个元素, 则这两点之间 “积分曲线的集合” 是一个一维流形. 应用一维光滑流形的分类, 它是一些圆圈和一些开区间的并. 由于求一次边界的结果是一些指数为 的临界点, 所以一圈积分曲线对两次求边界没有贡献. 而每个开区间的两端可以加上边界点, 这两个边界点正好代表两条 “折断” 的积分曲线, 即, 中间通过了指数 的临界点. 这两个 “中间临界点” 的贡献在两次求边界的结果中正好互相抵消 (定向相反) . 这样就证明了以上映射串是一个链复形, 从而可以定义同调群. 如果要证明如此定义的同调群不依赖于 Morse-Smale 设置, 就要对不同的函数和度量定义的链复形构造 “链同伦”, 这并非一件难事.

利用 CW-复形工具, 也容易证明以上构造的同调群实际上同构于流形 的奇异同调群.

第二段说说 Witten.

同样对 Morse-Smale 函数和度量, Witten 定义了微分算子

当 时, 它就是外微分算子. 外微分算子定义了 de Rham 同调, 加上它在度量下的伴随算子, 又定义 Laplace 算子
. 这个算子的零空间里的微分形式称为 “调和形式”, 它们 1-1 对应到 de Rham 同调类. 这是 Hodge 理论. 现在, 新定义的算子 同它的伴随算子一起, 构成新的 Laplace 算子 . 这个算子的零空间给出新的 “调和形式” 空间, 并且同原来的 Laplace 算子定义的调和形式空间同构. 所以, 这是一族变形的 de Rham 和 Hodge 理论. 当 时, 这些新调和形式集中于函数 的临界点, 它们代表粒子的稳定态. 而由于量子效应, 稳定态之间有所谓 “隧道穿透” 效应. 实现这个效应的 “瞬子” 就是连接两个稳定态的积分曲线. 而新的外微分 正好给出到 Morse 指数小 1 的临界点的边界算子, 即, 记录 “瞬子” 个数. 因而在 时, Hodge 理论成为 Morse 理论.

Witten 指出, 新的 Laplace 算子 是一维超对称 模型的哈密顿量. 即, 一个粒子在超对称流形 里自由运动的量子力学描述. 从物理的角度, 它只是一个非常简单的模型, 如果把粒子换成弦, 就得到更丰富的理论, 二维超对称非线性 模型. 这个模型同样对应着 Morse 理论, 然而, 此时的稳定态并不对应到流形 上的临界点, 而是弦的某个位形, 即, 流形的 “回路空间” 中的点. 此时的 Morse 函数其实是泛函, 而外微分, 微分算子等都是在一个无穷维的黎曼流形中讨论.

现在来说 Floer.

Floer 应该多少受到了 Witten 的启发, 但即便没有 Witten, 他也应该能够发现以他名字命名的同调理论. 他做的是无穷维的 Morse 理论. 其实, 无穷维的 Morse 理论并不是什么新东西. Morse 最初就是在无穷维空间 — 黎曼流形的道路空间上工作. 只是, 在 Floer 之前数学家们能处理的例子, 即便是无穷维, 每个临界点处的 “降圆盘” 都是有限维的, 或者说, Morse 指数都是有限的. 这就使得这些例子本质上跟有限维流形上的 Morse 理论没有什么差别. Floer 认识到, 对于一类无穷维流形上的函数, 虽然临界点的 Morse 指数是无穷, 但临界点之间的梯度流可以是有限维. 对于这些例子, Floer 发展了一整套处理方法, 主要的目的是:

(1) 证明临界点之间的梯度流线构成光滑流形. 这需要偏微分方程的方法. 因为此时梯度流线连接的是两个函数 (弦位形).

(2) 证明如果梯度流线构成一维流形(开区间), 那么可以添加端点, 即一族梯度流在两端收敛到 “折断” 的梯度流线. 在无穷维位形空间的梯度流线一般对应到 里的几何对象, 比如极小曲面, 自对偶联络等.

(3) 证明一条 “折断” 的梯度流线可以 “粘合” 成一族梯度流线. 关于这个程序, 我还不理解为什么. 需要其他人来解释.

这些处理其实都是为了把链复形定义好. 证明链复形的链同伦类不依赖于额外数据的选取, 也有一套标准程序.

Floer 主要研究了两个这种例子:

(1) 开弦在辛流形中运动, 两端限制在两个 Lagrange 子流形上. 取一个跟辛结构相容的近复结构, 辛流形成为黎曼流形. Morse 函数定义为开弦单位时间扫过的面积. “临界点” 是开弦的稳定状态, 即停在两个 Lagrange 子流形的交点上的开弦, “梯度流线” 是开弦划出的两个 Lagrange 子流形之间, 从一个交点到另一个交点的叶状的 “赝全纯条带”.

(2) 三维流形 上的 规范场. Morse 函数定义为 Chern-Simons 泛函. “临界点” 是 上的 平坦联络, 要使临界点非退化, 必要条件是 1 维同调群为 0 , 所以这个理论只在三维同调球面上定义. “梯度流线” 是四维流形 上的自对偶联络, 它在 方向的左右极限分别是 上两个平坦联络.
Apr 15最近两篇关于体积猜想的文章
数学 No Comments »一篇是 Gukov 和 Zagier 等人的 Exact results for perturbative Chern-Simons theory with complex gauge groups. 继续了 Gukov 自己在2003年的工作, 给出了关于任意圈 Feynmann 图计算结果的猜想. 并且比较了三种得到此结果的方法, 一种是用鞍点方法直接计算 Feynmann 积分; 第二种是用正则量子化, 通过比较传统量子不变量得到约束方程, 然后递归解出各阶微扰项; 第三种是利用双曲流形的理想单形剖分, 构造类似于 Turaev-Viro 或者 Kashaev 的不变量, 其重要构成成份是二次对数函数, 从而必然同双曲体积有紧密联系. 他们利用计算机算出了8字结的前面几阶微扰项, 证实三种方法得到的微扰不变量一致.他们还进一步猜想所有项都应该是代数数.

不过这仍然不能看作是对体积猜想的一般证明. 其中的分析困难, 即鞍点方法的严密性仍然有待细致检查.

第二篇是关于拓扑弦论的.
Jan 26几何量子化
数学 2 Comments »从数学上理解“量子化” 是数学物理的课题之一。应用量子理论来探索新的数学对象和新的数学性质，根据某些学者提议，可以叫做 “物理数学”。自从量子力学诞生，数学家就一直在思索量子化的数学本质。我个人来揣度 Weyl 当初对量子化的理解，可以说是用代数来细化几何。 在广义相对论提出以后，量子力学尚在酝酿之时，Weyl 已经试图把电磁学纳入几何框架，即所谓 规范场论。在他看来，经典物理基础理论对应于几何。矩阵力学和波动力学出现以后，Weyl 第一个从数学上描述了量子力学，这就是他的著作《群论与量子力学》，他的语言基本上是当时的抽象代数。“经典物理用几何描述, 量子物理用代数描述”，这可以视为对量子化的一种理解。


矩阵力学和波动力学统一在“变换理论”框架下，这使得具有深刻分析背景的 von Neumann 意识到，某种函数空间上的微分算子理论对应于波动力学，而这种空间的代数结构可以用来归纳矩阵力学，因为这种函数空间已经被 Hilbert 的学生 Schmidt 研究过，而大家普遍相信是 Hilbert 的思想引导了对这种函数空间的研究，所以 von Neumann 用了 Hilbert space 这个名字。 据数学史研究者澄清，Hilbert space 的主要思想基本来自于 Schmidt 本人。von Neumann 的名著〈量子力学的数学基础〉用分析和代数的结合体 －－－ 算子代数来描述量子物理，他的基本定理是 Stone-von Neumann 定理：由坐标和动量生成的“Heisenberg 代数” 只有唯一的自伴表示等价类，其中一个代表的表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标和动量分别表示为算子 . 这种对量子理论的理解可以大致总结为“非交换”观点，因为 Hilbert 空间 可以被理解为来源于力学变量的“非交换性”（更准确地说是“几乎交换性”）。我个人认为最有希望切入量子化本质的“非交换几何”就是由 von Neumann 这一脉相承而来。 Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛函 加权，得到经典观测值。由量子力学的概率解释，经典观测值应该是可观察量特征值的期望，这样路径积分非常像概率模型，权泛函就像概率密度一样。这里其实我很不理解的是，作为传播子（又叫 Green 函数或基本解）， 的模方是粒子从 a 到 b 的迁移概率，而权函数本身的模方永远是 1，因而不能被视为概率密度。从这个角度来说，可观察量 的期望为什么是 是非常难以理解的一个巧合。


在从算子描述推演路径积分的过程中，如果用虚时间，就得到完美的概率解释。这相当于考虑欧氏指标的时空背景。在这种数学模型中，量子理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论。由于路径积分在 non-abelian 规范理论，弦论中的关键作用，这个解释也是很多数学物理学家努力探索的方向。近些年在随机面的数学理论方向有很多发展，这相当于研究二维欧氏时空量子理论的数学基础。


在“一维欧氏时空”，量子的运动完全由 Brownian motion 的数学理论刻画。显然，这种刻画不适用于真实世界，因为时间是实数而不是虚数。Brownian motion 非常适合描述股票等金融产品的价格随机性，如今已广泛用于金融市场理论。股票价格可以视为以时间为指标的一个随机过程（或者本质等价的，路径空间上的一个高斯测度），而随机面理论相当于研究有两个实指标的随机过程，我们应该期望这个理论会有一些跟我们社会生活相关的重要应用。


对于量子这个概念有着许多种不同理解，也许说明这个概念还不是基本概念（至少从数学上来说）。现在言归正传，说说量子化与几何的微妙关系。 先从有限维自由度系统的量子化说起。最简单的是一维谐振子，其 Hamiltonian 是


.


经典相空间是余切丛 , 正则量子化把坐标和动量看成算子，满足交换关系


.


如果要求这个系统描述一个粒子的运动，态空间必须是不可约的，而以上交换关系的所有不可约表示都等价于前面提到的 Schrodinger 表示，表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标表示为乘法算子，动量表示为求导算子。Hamiltonian 现在成为一个线性微分算子，如果要求波函数在无穷远消失，Hamiltonian 的谱必须是离散的，而它本身是正定算子，所以存在最小本征值，所属的本征波函数代表的态叫做“真空”，可以显式解出。


从数学上来说，以上过程相当于先利用经典相空间上的辛形式定义出一个 Lie 代数 — Heisenberg 代数，再直接运用 Stone-von Neumann 定理写出 Heisenberg 代数的唯一自伴表示，表示空间里的真空态则由 Hamiltonian 的本征值问题给出。用物理学的说法，这相当于在 Schrodinger 表象或者（等价的）动量表象中进行计算。


现代量子力学教材上常见的是使用 Fock 表象，即构造复变量


,


正则量子化把这个复变量看作算子，满足 . 如果有一态矢满足 , 那么所有矢量 组成以上交换关系的不可约表示，从而可以被视为单粒子系统的态空间。容易看到在 Schrodinger 表象下， 满足以上湮灭方程，既然对所有多项式 p, , 而且它们组成稠密子集，所以从代数上构造的 Fock space 可以等同于从分析上构造的 Schrodinger 表示空间。


从数学上来说，Fock 表象相当于在经典相空间上选取了一个“复结构”，使经典相空间成为一个复空间，而系统的态空间可以视为这个复空间上所有的“反全纯函数”组成的空间。这个空间如果要跟 Schrodinger 表象中的平方可积空间保持一致，我们选取的这个复结构就最好跟原来的辛结构有很密切的关系，这种“好”的复结构叫做辛空间上的“相容复结构”，后面再详细说明。


以上这两种从经典相空间构造态空间和真空态的方式，在数学中被总结为“实极化”和“复极化”，这里的“极化”当然跟物理学里的“极化”没有任何关系，我不知道这个名称的来源是什么。 （待续） 续写见新繁星客栈之望月殿 http://www.fxkz.net/forumdisplay.php?fid=4&page=1
Dec 06图论小问题
数学 4 Comments »图都可以嵌入三维欧氏空间吗？
Nov 24Combinatorics of dimer
数学 No Comments »Please see the attachment
Combinatorics of dimer

Short summary of relevant definitions
dimer.pdf
Nov 06Polygon gluing and matrix integrals
数学 5 Comments »Please see the attachment:
Polygon gluing and matrix integrals
Oct 29Regge Symmetry
数学 4 Comments »Please see the attachment:
Regge Symmetry
Oct 27繁星客栈关闭
未分类 8 Comments »回头看在繁星上写的科普文章, 还是有很多错误在里头. 比较想备份的只有非交换几何的一篇. 以后这里就是写科普的基地了.
Oct 18歇口气
未分类 4 Comments »终于把 proposal 的 project description 部分搞完了, 不容易啊, 一通胡吹大气, 写到最后真心虚. 接下来干脆花点时间把所有参考文献做成一个 .bib , 一劳永逸. 这两天琢磨狭义相对论, 发现以前的理解漏洞真多, 搞得晚上睡不踏实. 今天算是想了一个能说服自己的办法, 看下周能不能去说服讨论班的人.
Oct 17SL(2,C) 的表示
数学 3 Comments »Let a general element of be .

Full principal series (indexed by ):



where

It includes two unitary series:

Unitary principal series: when for some . In this series as unitary representations.

Complementary series: when , the above representatation becomes unitary w.r.t. the inner product



The trivial representation, the unitary principal series, and the complementary series are the only irreducible unitary representations of .
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