流场中各自有不同运动规律的流点，拉格朗日法与欧拉法

http://www.sie.edu.cn/jpk/jpk2009/liuti/skja/ltydx.htm

《工程流体力学》(高职)

“主题学习单三”的授课教案



主题单元三：流体运动学



一、本单元的学习单元结构

表：主题单元3的学习单元结构

子学习单元 名称
学习单元结构
学习单元要素

学习任务

(职业导向)
学习目标

(职业能力)
学习时间

(学时)

流体运动的描述方法


描述流体运动的常用方法
拉格朗日法与欧拉法在描述流体运动时的区别
掌握两种方法的本质
1

(难点)

描述流体运动的欧拉法分析
欧拉法描述流动的步骤及其分析
欧拉法的分析及其应用
2

(重点、难点)

流体的一维运动(管内流动)
流体运动的连续性方程
流体运动的相关概念及流动参数间的关系
流动参数变化规律的定性分析
2

(重点、难点)

一维管流的连续性方程及其应用
流动参数的变化规律及其应用
流体运动学基本方程的应用能力
2

(重点)

流体的二维运动(流团运动)
流体微团的基本运动形式
流团的基本运动形式分析
二维流团运动的定性分析
1

(重点)

有旋运动
有旋运动的相关概念、定律及其应用
流体有旋运动的定性分析及其应用
2

(难点)

无旋运动
无旋运动的基本规律及其应用
掌握无旋运动的描述方法及流网的基本思想
2

(重点、难点)

主题单元3：流体运动学
流体运动的工程意义、描述方法及其应用
运动参量间关系的定量计算及流场的定性分析
12

(总学时)




二、本单元教学内容之理论部分



第一部分 流体运动描述方法

流体运动的描述方法有两种，即拉格朗日法和欧拉法。

1. 拉格朗日法

(1) 着眼点

着眼于跟踪每一个流体质点的运动，因此又称为跟踪法。

(2) 步骤

对流场中各自有不同运动规律的流点，拉氏方法这样描述：

A. 用每个流点在观察开始时刻（t=0）的坐标值对流点进行编号。
B. 找出每一个流点的位移随时间变化的规律，即获得流点的轨迹方程。
C. 将轨迹方程对时间求导数，以获得流点的速度和加速度。

　　(3) 不足之处

因为流体的流动性，使问题变得复杂，主要是很难建立起轨迹方程。

　2. 欧拉法

(1) 着眼点

着眼于流场中的某一固定的空间区域，因此又称为局部法。

(2) 步骤

对流场中各自有不同运动规律的流点，欧氏方法这样描述：

A. 在流场选定所要的空间区域，即前面提及的控制体，将控制体划分为三维网格。

B. 考察某一时刻，控制体中占据各个网格节点的每个流点在此时的运动状态，如速度等。
　　C. 对某一网格节点，考察连续通过该节点的各个流点在该点的运动状态随时间的变化，如加速度等。

［例］设流场中一流点的参数方程是 ， 及 ，则速度函数为：





　　



对上述速度函数求全导数，即得到加速度为：


同理可得　　　　　　　　　

式中，等号左侧为全加速度或总加速度，等号右侧第一项称为当地加速度或时变加速度，后三项称为迁移加速度或位变加速度。由此可知，流点在空间上的加速度是当地加速度和迁移加速度之和。对于稳定流动，流点的当地加速度为零，但迁移加速度不一定为零。

(3) 优点

避开了建立轨迹方程的因难，较易于描述流体的运动，就如摄像一样。因此流体力学普遍采用欧拉法。

　　

第二部分 流体运动的基本概念

(一) 流体运动的分类

1. 按流体的性质分类

(1) 理想流体流动：切应力τ=0或流动损失hw=0，即忽略黏性的流体流动；

(2) 黏性流体流动：τ≠0或hw≠0，即实际流体的流动。

(3) 不可压缩流体流动：密度ρ=常数或dρ=0；

(4) 可压缩流体流动：密度ρ=f(x, y, z, t )或dρ≠0。

2. 按运动形式分类

(1) 层流紊流流动；(2) 有旋和无旋流动；(3) 亚音速和超音速流动。

3. 按运动参数与时间关系分类

(1) 定常流动：流体运动参数不随时间变化，仅是空间坐标的函数，即

(2) 非定常流动：流体运动参数随时间而改变。

4. 按流动与空间关系分类

(1) 一元流动；(2) 二元流动；(3) 三元流动。



(二) 系统与控制体

1. 系统

(1) 定义

系统是流体质点的集合。系统以外的一切称为环境。系统与环境通过界面分开。

(2) 特点

A. 系统界面可以改变，但始终包含着确定流点，具有确定的质量；

B. 系统通过界面来与环境进行力的传递和能量的交换；


2. 控制体

(1) 定义

控制体是流场中由封闭几何面所确定的一个空间区域。

(2) 特点

A. 控制体的形状根据流动情况和壁面边界位置任意选定，但一旦选定之后，它的形状和位置相对于坐标系而言应固定不变。

B. 当流体流经控制体的界面时，将有质量和能量的交换；

3. 系统与控制体的区别

如图3-3，某时刻系统与控制体重合，在下一时刻，控制体仍是原来的位置，而系统已经离开。因此系统是拉格朗日法的研究对象，而控制体是欧拉法的研究对象，即是现在所学流体力学的研究对象。



(三) 系统流过控制体时各物理量的关系

1. 定常流动时的物理量

(1) 控制体在微元时间内流入和流出的流体质量相等，即





(2) 通过控制体的各个与质量相关的物理量的增量，等于控制体在同一时间内出口截面与进口截面上对应的物理量的迁移量之差。 即

A. 动量增量：

B. 动能增量：

B. 位能增量：

2.非定常流动时的物理量

(1) 控制体在微元时间内流入、流出以及控制体内的流体质量之间的关系为





(2) 通过控制体的各个与质量相关的物理量的增量，将不再仅是考虑迁移增量，还要考虑由于控制体内密度与速度变化而产生的当地增量。



(四) 迹线与流线

1. 迹线

(1) 定义

迹线指流点在一段时间内的运动轨迹。流场中的迹线簇可显示流点流动规律。

(2) 迹线方程

迹线方程是以时间为自变量，描述流点在不同时刻所处空间位置的函数规律。即



这就是迹线方程的微分形式。

2. 流线

(1) 定义

流线是流场中的一条瞬时光滑曲线，此曲线上的每一个流点的速度矢量总是在该点与曲线相切。流线簇组成图形称为该时刻的流谱，它反映流点的流动趋势或者说速度方向。

(2) 性质

A. 流线不能相交(驻点与奇点除外)。因为流场中任一流点只有一个速度方向。

B. 流向不能突然折转。因为流点有速度，就有惯性，因此流线只能是连续光滑曲线。

C. 定常流动中，流线是稳定不变的曲线。而在非定常流动中，同一点在不同时刻的流线是不同的曲线，如图3-7。

D. 靠近固体壁面的流线通常与壁面平行；若流线不平行而脱离壁面时，两者间会出现能量损失。


(3) 流线方程

流线方程是以时间为参变量，描述流点在某瞬时所处空间位置与速度间的函数规律。即



这就是流线方程的微分形式。

3. 迹线与流线的比较

(1) 迹线表示一段时间同一个流点的动态；流线则表示某一瞬间多个流点的运动趋势。

(2) 同一时刻，质点的微元位移总是和它的速度同方向。因此，定常流动中，流线与迹线是重合的，即流点沿着流线运动。

(3) 迹线与流线方程虽然形式上相同，但二者的意义不同。因此，迹线是拉格朗日法研究的内容，而流线则是欧拉法研究的内容。



(五) 流束、流管、微元流束及微元流管、总流

1. 流管

(1) 定义：取流场中不是流线且不能通过同一条流线的封闭曲线，经过该曲线上每一点的流线所构成的管状表面，称为流管。

(2) 特点：因为流管是流线构成的，其切线方向是流速方向，故无法向流速，流点不能流进、流出流管，即流管可认为是抽象的管道，就如真实的管道一样。

2. 流束

(1) 定义：充满流管内部的全部流线。

(2) 特点：根据流束中流线是否平行，可将非均匀流动分为缓变流与急变流。

A. 缓变流：流线平行，或流线间的夹角很小的流动；

B. 急变流：流线不平行，流线间的夹角较大的流动。

3. 微元流束及微元流管

(1) 定义：流动时的截面面积趋于无限小的流管和流束，称为微元流管和微元流束。

(2) 特点：微元流束的截面可认为是平面，因此该截面上各点的运动要素相等，且微元流管内流线互相平行。

4. 总流

(1) 定义：以整个流动边界作流管的流束称为总流。总流是无数个微元流束的总和。

(2) 分类

A. 有压流：总流周界全为固体边界限制。如管道内的水流；

B. 无压流：总流周界一部分为固体限制，另部分则与气体接触。如明渠的水流；

C. 射流：总流周界没有固体限制。如燃烧器中一次风向炉膛内的射流。



(六) 有效截面、流量及平均流速

1. 有效截面

(1) 定义：流管内与所有的流线相垂直的横截面。

(2) 特点：

若流管中每处所有的流线互相平行，则有效截面是平面。若流管中每处所有的流线都不平行，则有效截面是曲面。

2. 流量

(1) 定义：单位时间内通过有效截面的流体量。

(2) 分类：

A. 体量流量 ：单位时间内通过有效截面的流体体积，m3/s。


B. 质量流量 ：单位时间内通过有效截面的流体质量，kg/s，


(3) 与 的关系：


3. 平均流速

(1) 定义：平均流速是一个假想流速，假定在有效截面上的各点均以此相同流速流过时通过的流量与原总流的实际流量正好相等。

(2) 计算式(按体积流量计算)


[说明] 不作特别指出，所提到的流速均指有效截面的平均流速。





第三部分 流体流动的连续性方程

(一) 连续性方程的推导


上式就是可压缩流体、非定常、三元流动时的连续性方程。



(二) 连续性方程的特例

1. 定常流动



2. 不可压缩流体



3. 可压缩流体作二元非定常流动



4. 可压缩流体作二元定常流动





5. 一元流动，可用连续方程和质量流量守恒的概念进行求解，得

或
对于不可压缩流体的一元流动，则






第四部分 二元流体运动学基础

一、 微元流团运动分析

(一) 流体微团运动的基本形式 (二维情况)

流体微团运动的基本形式有四种，即平移、转动、线变形和角变形。


1. 平移

(1) 含义:流体团整体从一处平行移动至另一处。

(2) 表示:用平移速度(u, v)表示。

2. 转动

(1) 含义:流体团绕某一转轴转动，同时伴有流团形状的改变(若取矩形流体团，转动后可按菱形考虑)。

(2) 表示:用旋转角速度 表示。

A.定义：流体团中取正交的两条流体线，单位时间内绕某一转轴(如z轴)转动时，其旋转角度(旋转具有方向性)的平均值称为旋转角速度。





B. 表示：


3. 线变形

(1) 含义:流体团中的流体线伸长或缩短。

(2) 表示:用线变形速度 、 表示。

A. 定义：单位时间流体团中流体线的相对伸长或缩短量。

B. 表示：

4. 角变形

(1) 含义: 绕某一转轴流体团形状发生改变(若取矩形流体团，转动后可按菱形考虑)。

(2) 表示:用角变形速度 表示。



A.定义：流体团中取正交的两条流体线，单位时间内绕某一转轴(如z轴)时，其所夹直角变化量的平均值称为角变形速度。



B. 表示：





(二) 海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理

1. 定理实质:主要研究流体微团内部相邻两流点间的速度关系，说明流体微团运动的基本形式有平移、转动、线变形与角变形四种。

2. 定理内容：







将上式微元速度 、 及 展开，并组合成旋转角速度、线变形速度及角变形速度的形式，则









上式即为海姆霍兹速度分解定理。

3. 意义：

(1) 将旋转运动从一般运动中分离出来，使流体运动可以划分两大类：有旋运动与无旋运动。

(2)　将变形运动从一般运动中分离出来，使问题研究更为广泛，如由角变形速度可进一步得出广义牛顿内摩擦定律(速度梯度的实质可理解为角变形速度)。

［注意］

海姆霍兹速度分解定理只适用于微元流团内部，是个局部定理，不同于《工程力学》中刚体的速度分解定理。



二、有旋运动的基本概念与基本定理

(一) 区分有旋运动与无旋运动

1.定义：流动中流体微团的旋转角速度为零或可以忽略不计，称此流动为无旋运动，否则为有旋运动。

2.区分有旋运动和无旋运动的判据：旋转角速度 ，即 为无旋运动，而 则为有旋运动。

［注意］

(1)不能只看外观表象，必须通过判据，即旋转解速度来区分有旋与无旋。如剪切流u=ay ，v=w=0，由判据可得 ，因此剪切流是有旋运动；点涡流 ， ，由判据可得 ，因此点涡流是无旋运动。若从表象看则结果正好与上述相反。

(2)有旋运动在工程中常见。可以认为无旋运动是有旋运动退化的结果。

(3)流体应指明某点或某区域有旋或无旋，具有局部性质，区别于刚体的整体性质。











(二) 有旋运动的基本概念

1.旋涡现象：

2.有旋运动与无旋运动相对应的概念(可以对照理解有旋运动的相关概念)

(1)涡量场与涡量 (即角速度场与旋转角速度 )　 　速度场与线速度 ；

(2)涡线　 　流线：涡线是指涡量场(角速度场)中的瞬时光滑曲线，该曲线上任一点的切点方向与该点的涡量(或旋转角速度)的方向相重合。

(3)涡管、涡束与微元涡管、微元涡束　 　流管、流束与微元流管、微元流束：涡管是指涡量场中取一封闭曲线(其本身不是涡线，且不能两次通过同一条涡线)，该曲线上每一点所在的涡线所构成的管状表面。涡束是指涡管中的涡线簇。


(4)涡通量Ｉ　 　体积流量qv： ，其中角标“n”表示面积的法方向。

3.速度环量：

(1) 定义：流场中取一封闭曲线l，流速沿该曲线的线积分称为速度环量，即


(2) 说明：

A.有旋运动场，其流动空间既是速度场，又是涡量场或旋转角速度场。

B.实验观测到：有旋运动中，流体围绕某一核心旋转，涡通量越大，旋转角速度越快，旋转的范围越大。因此，涡通量与环绕核心的流体线速度有密切关系，于是引入速度环量这一概念。

C.考察速度环量的方向时，认为被封闭曲线所围绕的面积正法线方向与绕行正方向遵循右手定则。



(三) 有旋运动的基本定理

1.斯托克斯(Stokes)定理

(1)内容：沿封闭曲线l的速度环量等于通过该曲线所围曲面面积A的涡通量，即


(2)意义：

A.涡通量与速度环量都可以表征流体的有旋性，但涡通量不能直接测得，而用速度环量则较容量。

B.若 ，则曲线l所围面积A内有涡线通过，流体一定有旋运动；若曲线l所围面积A内不包含涡线，则 ，流体一定无旋；若单单给出 ，则不能明确判断有旋或无旋。

2.汤姆生(Thomson)定理

(1)内容：正压性理想流体，在有势质量力作用下，沿任何封闭流体线的速度环量不随时间变化，即


(2)意义：

A.速度环量不随时间变化，意味着涡通量不随时间变化(斯托克斯定理)，即若某一时刻流体有旋，则此前此后都是有旋；若某一时刻无旋，则此前此后都是无旋；若某一时刻由于某种原因，在无旋运动场内产生旋涡，它必然成对产生大小相等、方向相反的旋涡，以保持整体仍为无旋运动。因此，汤姆生定理指明旋涡具有不生不灭的性质。

B. 旋涡不生不灭是有条件的，即流体必须是正压性理想流体，质量力必须是有势力，且流体质点必须还是原来的全部质点组成。所谓正压性流体是指流体的密度只压力有关(工程上，其它物理量的影响可忽略时也可如是认为)。

3.海姆霍兹(Helmholtz)三定理

(1)内容：

A. 海姆霍兹第一定理：任一瞬时，沿涡管长度各截面上的旋涡强度（即涡通量）相等。即

　或　
对于微元涡管，则

　或　　
因此，海姆霍兹第一定理又称为涡管强度守恒原量，可参照一维不可压缩流体动的连续性方程 理解此定理。

B. 海姆霍兹第二定理：正压性理想流体，在有势质量力作用下流动，则涡管一直保持为相同流体质点组成的涡管而不被破坏。

C. 海姆霍兹第三定理：正压性理想流体，在有势质量力作用下流动，则任何涡管的涡通量不随时间变化，永远保持定值。

(2)意义：

A. 海姆霍兹第一定理阐述了涡通量守恒原理，即涡管不能在运动中产生或消失，只能自行封闭成涡环或终止(或开始于)边界，如吸烟时所吐的烟圈；龙卷风始于地面，终于高空；漏斗中的有旋流动角速度将随面积收缩而增大等等。

B. 海姆霍兹第二、第三定理说明，在限定条件下，涡管、涡线上的流体质点永远保持在涡管、涡线上，随其一起运动，好象冻结在其上面一样，此种现象称为冻结性。



三、无旋运动的一般性质及其应用

(一) 速度势函数

1.存在条件：只要是无旋运动就存在速度势函数，因此无旋运动又称为势流。

2.势函数表示：无旋运动的旋转角速度为零，即



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　














根据高数知识，上式是 成为某个“函数”(这里记作 )全微分的充要条件，即　　　　　　　　　　　


称函数 为速度势函数。

3.势函数意义：

(1)势函数与速度的关系

因为　 ，对照 ，则


(2)势函数是调和函数

将上述势函数与速度的关系代入不可压缩流体的连续性方程 ，则



称之为势函数 的拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，因此势函数是调和函数。

(3)势函数的应用

将不可压缩流体的无旋运动归结为求解拉普拉斯方程的问题(结合初始条件和边界条件可获得某一具体问题的解)，然后根据所得的势函数可求出速度分布，进而应用伯努利方程可获得压强分布。



(二) 速度流函数

1.存在条件：不可压缩流体的平面流动就存在速度流函数。

2.流函数表示：不可压缩流体平面流动的连续性方程为 或 ，

根据高数知识，上式是 成为某个“函数”(这里记作 )全微分的充要条件，即　　　　　　　　　


称函数 为速度流函数。

3.流函数意义：

(1)流函数与流线的关系

平面流动的流线方程为 或 ，结合 可得

　　或　　　
因此，流线上的流函数是常数，这也是为何称为“流线”的原因。

(2) 流函数与速度的关系

因为　 ，对照 ，则


(3)流函数与体积流量的关系

两点流函数之差(即两条流线间的距离)等于通过此两点连线的体积流量。

(4)平面势流中，不可压缩流体的流函数是调和函数。

根据无旋运动的旋转角速度为零，平面流动时可表示为

或
将流函数与流速的关系式代入，得









因此，平面势流中，不可压缩流体的流函数是调和函数。

(5)流函数的应用

将不可压缩流体的平面势流归结为求解拉普拉斯方程的问题，然后根据所得的流函数可求出速度分布，进而应用伯努利方程可获得压强分布。



(三) 极坐标系下的势函数与流函数

1. 势函数： ，则 ， ；

2. 流函数： ，则 ，
(四) 流网

1.含义：等势函数线与等流函数线(即流线，因为流线上的流函数是常数)所构成正交网络称为流网。


2.存在条件：

(1)前提条件：同时存在速度势函数与流函数，即流动不可压缩流体的平面势流。

(2)等势函数线与等流函数线的正交性条件：

　
4.特征：

(1)流网中等势线与等流线正交；

(2)等势线的势函数沿流线方向增大，而流线的流函数则沿逆流线900的方向增大。

(3)无论是等势线还是等流线，其疏密程度反映流速的大小，越密则流速越大。

3. 应用：

获得流网后，等势线与等流线可互相推出，进一步可获得整个流场的速度和压强分布。



(五) 简单平面势流的叠加

1.均匀流

(1)含义：流体在平面内作等速直线运动，各流点的速度大小相等，方向相同。

(2)速度场：

A.沿某一坐标轴(如x轴)的均匀流： ， ；

B.速度与x轴成某一角度的均匀流： ， 。

(3)流网：

A. 沿某一坐标轴(如x轴)的均匀流网：垂直(流线)、水平网络；

B. 速度与x轴成某一角度的均匀流网：倾斜的正交网络。

2.点源与点汇

(1)含义：平面上，流体从某一点沿“径向”直线均匀地向各方流出，此流动称为点源流，某点称为源点；若流体沿“径向”直线均匀从各方流入某一点，此流动称为点汇流，某点称为汇点。

(2)速度场：

A.点源： ， ；

B. 点汇： ， 。

(3)流网：

点源与点汇的流网，其等势线都是同心圆，而流线为不同极角的径线；流线从源点指向外部的为点源流；流线从外部指向汇点的称为点汇流。

3.点涡

(1)含义：由某一涡束所诱导的环流称为涡流，若取该涡束为z轴，则其所诱导的环流在xoy面是以原点为圆心环流，称之为点涡。

(2)速度场： ， 。

(3)流网：

点涡的流网，其流线是以原点为圆心的同心圆，而等势线为不同极角的径线。



4.简单平面势流的叠加

(1) 叠加的意义

不可压缩流体的平面势流中势函数与流函数都是调和函数，都是拉普拉斯方程的解。根据数学知识，拉普拉斯方程的解叠加后仍是原拉普拉斯方程的解。因此将简单平面势流叠加将得到新的平面势流，具有工程实际意义，即工程上某一复杂的平面势流可由简单平面势流进行叠加获得。

(2) 叠加应用举例

A. 将点汇与点涡叠加可得到螺旋流，如离心泵或风机中叶轮外缘与壳体间流道内的流动等。

B. 将点源与点汇叠加可得到偶极流，再将均匀流与偶极流叠加可得到直线运动流体绕流某一物体时无环量的流动，如水绕流过桥墩的流动等。

C. 将均匀流、偶极流与点涡叠加可得到直线运动流体绕流某一物体时有环量的流动，如冲动式汽轮机的叶轮即是利用这种叠加产生轮周力矩使其转动的。



三、本单元教学内容之“准案例”部分

1. 流体运动与摄像的关系；

2. 热力发电厂汽水管道介质允许流速；

3. 流体机械叶栅中流体能量的变化；

4. 泵与风机中流体机械能的变化；

5. 流速及流量测量表计的应用；

6. 达朗贝尔疑题；

7. 锅炉自然水循环事故；

8. 旋涡的利弊；

9. 简单平面势流的叠加的工程应用。