如果波函数在无穷远处为零,将积分区域 V 扩展到整个空间,则 , 即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关,这反映了粒子数守恒.如

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如果波函数在无穷远处为零,将积分区域 V 扩展到整个空间,则 , 即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关,这反映了粒子数守恒.如波函数是归一的


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第二章 波函数与薛定谔方程 正确了解波粒二象性的本质及波函数的统计解释, 了解薛 了解态迭加原理, 掌握几种典型一维定 【教学目的】 定谔的建立过程, 教学目的】 态问题的求解方法 (一维无限深势阱, 一维线性谐振子) . §2.1 波函数的统计解释 波动- 一. 波动-粒子二重性矛盾的分析 物质粒子既然是波,为什么长期把它看成经典粒子,没犯错误? 实物粒子波长很短,一般宏观条件下,波动性不会表现出来.到了原子世界(原子大小约 1A),物 质波的波长与原子尺寸可比,物质微粒的波动性就明显的表现出来. 传统对波粒二象性的理解: (1)物质波包 物质波包会扩散, 电子衍射,波包说夸大了波动性一面. (2)大量电子分布于空间形成的疏密波. 电子双缝衍射表明,单个粒子也有波动性.疏密波说夸 大了粒子性一面. 对波粒二象性的辨正认识:微观粒子既是粒子,也是波,它是粒子和波动两重性矛盾的统一,这个 波不再是经典概念下的波,粒子也不再是经典概念下的粒子.在经典概念下,粒子和波很难统一到一个 客体上. 二. 波函数的统计解释 1926 年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上,用一函数表示描写粒子的波,这个函数叫波函数. 波函数在空间中某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比.既描写粒子的波 叫几率波. 描写粒子波动性的几率波是一种统计结果, 即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统 计结果. 几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来.微观客体的粒子性反映微观客体具有质量, 电荷等属性.而微观客体的波动性,也只反映了波动性最本质的东西:波的叠加性(相干性). 描述经典粒子:坐标,动量,其他力学量随之确定; 描述微观粒子:波函数,各力学的可能值以一定几率出现. 设波函数 描写粒子的状态,波的强度 ,则在时刻 t,在坐标 x 到 x+dx,y , 应正比于体积 到 y+dy,z 到 z+dz 的无穷小区域内找到粒子的几率表示为 和强度 归一化条件:在整个空间找到粒子的几率为 1. 归一化常数可由归一化条件确定 重新定义波函数 叫归一化的波函数. , 在时刻 t,在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度,用 则 表示, 归一化的波函数还有一不确定的相因子 只有 有限时才能归一化为 1. ; 经典波和微观粒子几率波的区别: (1) 经典波描述某物理量在空间分布的周期变化,而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布; (2) 经典波的波幅增大一倍,相应波动能量为原来四倍,就变成另一状态了;而微观粒子在空间 出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度, 将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点 出现的几率,即将波函数乘上一个常数,所描述的粒子的状态并不改变; (3) 对经典波,加一相因子 问题:设波函数为 设波函数为 率.(b)在 (b)在 方向的立体角 ,状态会改变,而对几率波,加一相因子 )范围找到粒子的几率. 范围找到粒子的几率. ,求(a)在球壳 中找到粒子的几 不会引起状态改变. ,求在( 求在( 问题:在球坐标系中,粒子波函数表示为 在球坐标系中, 在球坐标系中 中找到粒子的几率. 中找到粒子的几率. §2.2 态迭加原理 波函数的统计解释是波粒二象性的一个表现. 微观粒子的波粒二象性还可以通过量子力学的一个基 本原理:态迭加原理表现. 经典的波是遵从迭加原理的, 两个可能的波动过程 与 的线性迭加 过程.波的干涉,衍射现象可用波的迭加原理解释. 也是一个可能的波动 ( 量子力学的态迭加原理:如果 和 是体系的可能状态,那么它们的线性迭加: 是复数)也是这个体系的一个可能状态. 电子双缝衍射:设 表示电子穿过上面窄缝到达屏的状态,设 表示电子穿过下面窄缝到达屏的 ,电子在屏上某点出现的几率可 状态. 表示电子穿过两个窄缝到达屏的状态,则有 表示为 正是干涉项的存在,才有了衍射条纹. 经典的态具有正交性,而量子态具有相干性. 薛定谔猫佯谬. 薛定谔 推广到更一般情况:当 也是这个体系的一个可能状态. 是体系的可能状态,他们的线性迭加: ( 是复数) §2.3 薛定谔方程经典力学质点运动:初始状态(位置,速度) 量子力学波函数: 初始状态波函数 任意时刻质点的状态 任意时刻波函数的状态 薛定谔在 薛定谔 1926 年建立了薛定谔方程 对波函数所满足的方程的要求: (1) 线性方程,迭加原理的要求; (2) 方程系数不含状态参量(动量,能量),各种可能的状态都要满足方程. 建立过程:自由粒子波函数所满足的方程 自由粒子的波函数为平面波: 推广到一般. 对时间求偏微商: 对坐标求二次偏微商: 同理得: , , 将以上三式相加: , 利用自由粒子的能量和动量的关系,我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程: 上式中劈形算符: , 如存在势能 ,能量和动量的关系是: , 波函数应满足的微分方程是; 这个方程称为薛定谔方程. 由建立过程可以看出,只需对能量动量关系进行如下代换: , 就可得到薛定谔方程. 注意:薛定谔方程是建立起来的,而不是推导出来的,它是量子力学中的一个基本假设,地位同牛 顿力学中的牛顿 牛顿方程.它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证. 牛顿 多粒子体系的薛定谔 薛定谔方程,设体系有 N 个粒子, 薛定谔 态波函数为: ,体系的势能为 分别表示这 N 个粒子的坐标,体系的状 ,则体系的能量可写成 , 上式两边乘以波函数 ,并作代换: , 其中: , 就得到多粒子体系的薛定谔方程: . §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律一.连续性方程 设描写粒子的状态波函数为: ,则几率密度为 几率密度随时间的变化率是 薛定谔方程和其共轭复数方程得 由薛定谔 薛定谔 , 将上两式代入得 , 则: , 连续性方程. 上式两边对空间任意一体积 V 积分 , 利用高斯 高斯定理得: 高斯 , 应解释为几率流密度矢量.单位时间内体积 V 中增加的几率,等于从体积 V 外部穿过 V 边界面 S 而流进 V 内的几率.如果波函数在无穷远处为零,将积分区域 V 扩展到整个空间,则 , 即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关,这反映了粒子数守恒.如波函数是归一的,则它将保持归 一性,而不随时间改变. 质量密度: 则: ,质量流密度: ,量子力学中的质量守恒定律. 同理,定义电荷密度: ,电流密度: ,可得量子力学中的电荷守恒定律. 二.波函数的标准条件 有限性,连续性,单值性 §2.5 定态薛定谔方程 一.定态薛定谔方程 当势能与时间无关时,我们可用分离变量法将方程简化 , 带入: , 并把方程两边用 去除 ,两边都等于常数 E , 可解出: ,则 ,定态波函数. 叫定态 薛定谔 方程. 表示能量, 为哈密顿函数. 二.定态下的一些特点 定态:能量具有确定值;定态波函数所表示的状态. 在定态中,几率密度和几率流密度都与时间无关. §2.6 一维定态问题 一.一维定态波函数的一般性质 对一维定态问题,薛定谔方程为 定理一:设 是方程的一个解,对应能量为 E,则 也是方程的一个解,对应能量也为 E. 证明: , 对方程两边取复共轭,利用 满足相同的方程,对应的能量都是 E. 定理二:设 则 具有空间反射不变性,即 ,如 为方程的一个解,对应能量为 E; 也为方程的一个解,对应能量也是 E. 定理三:当 或奇宇称: 证明:因为 和 ,则 所以, , , 时,如无简并,方程的解有确定的宇称.即偶宇称: . 都是能量 E 的解,二者应表示同样的状态.因此应只差一常数. , . 二.一维无限深势阱 , , , , 令 , 方程的解为: 利用边界条件: 即: , , 得: , , ( 时, . ,无物理意义) , 对应的波函数为: 利用归一化条件: , 得: , 归一化后的波函数为: . 束缚态:无穷远处为零的波函数所描述的状态. 基态:体系能量最低的态. 三.一维线性谐振子 一维线性谐振子的势能为 , 体系的薛定谔方程为 , 进行如下变量代换: , , 薛定谔方程变为: ,变系数二级常微分方程. ,方程变为 , 解为 , 时, 有限,将 写成如下形式: , 带入原方程 将H按 展成幂级数, , 时, 有限,要求幂级数只有有限项.级数只有有限项的条件是: 线性谐振子的能级为: 零点能: , . ,线性谐振子的能量为分离值,相邻能级的间距为 . 厄密多项式: 递推公式: (1) (2) (3) (4) 对应的波函数为: , 归一化常数: 四.势垒贯穿 ; 薛定谔方程为 , (a) 时 , 令 , 方程变为: , , 在 在 在 区域,波函数: 区域,波函数: 区域,波函数: 对投射波,不应有向左传播的波,即: 利用波函数及微商在 : : : , 解方程组: 和 . 的连续条件,我们有 利用几率流密度公式: 得出入射波 ,透射波 入射波几率流密度: 透射波几率流密度: 反射波几率流密度: ,反射波 的几率流密度 投射系数: 反射系数: (b) 时 令 方程的解形式为: 利用边界条件得: , 方程变为: , 其中 双曲正弦函数 ,双曲余弦函数 投射系数: 隧道效应:粒子在能量 E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象. 按经典力学: ,如 ,则动能为负.是无意义的.但在微观世界,由于 粒子的波粒二象性,动能和势能是无法同时确定的,上述等式是不成立的.因此可以可出,隧道效应是 微观粒子所特有的量子效应. 第二章 小结 波函数的统计解释. 一. 波函数的统计解释. (量子力学―基本假设) 量子力学―基本假设) 为几率波. 几率密度 满足连续性,有限性,单值性. 态叠加原理: 二. 态叠加原理: 态叠加原理是微观例子具有波动性的体现.经典粒子的态是具有正交性. 三. 薛定谔方程 (量子力学――基本假设) 量子力学――基本假设) ――基本假设 (1).薛定谔方程是基本假定,是建立的不是推导的 (2).薛定谔方程是线性方程 四. 定态薛定谔方程 定态:能量有确定的值 定态波函数 定态薛定谔方程 定态波函数实际是能量本征函数 定态薛定谔方程存在定态解 五. 一维定态问题 (1).一维无限深势井 本征值 本征函数 (2).一维线性谐振子 本征值 本征函数 六. 连续性方程 几率密度 几率流密度 第二章 例题 一.求解一位定态薛定谔方程 1.试求在不对称势井中的粒子能级和波函数 [解] 薛定谔方程: 当 , 故有 利用波函数在 处的连续条件 由 处连续条件: 由 处连续条件: 给定一个 n 值,可解一个 , 为分离能级. 2. 粒子在一维 势井中的运动 求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数 [解]体系的定态薛定谔方程为 当 时 对束缚态 解为 在 处连续性要求 将 代入得 又 相应归一化波函数为: 归一化波函数为: 3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为 求束缚态的能级所满足的方程 [解] 束缚态下粒子能量的取值范围为 当 时 当 时 薛定谔方程为 令 解为 当 时 令 解为 当 时 薛定谔方程为 令 薛定谔方程为 解为 由 波函数满足的连续性要求,有 要使 有非零解 不能同时为零 则其系数组成的行列式必须为零 计算行列式,得方程
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