求散和求旋是作用在矢量场上的算符。 求梯度是作用在标量场上的算符，梯度场是无旋的矢量场

来源: marketreflections 于 2010-09-28 15:19:54 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (7267 bytes)

http://www.douban.com/group/topic/13440974/

为什么只有旋度场和散度场？
2010-08-17 23:45:11 来自: zxn0(・´ｪ`・)
在这个帖子里我想到了一个困扰我的问题

http://www.douban.com/group/topic/13415862/

为什么只有旋度场和散度场就够了，不需要第三种场模型了？

请大牛解释下。。。
X 登录 · · · · · ·Email: 密 码: 忘记密码了 在这台电脑上记住我 >还没有注册... . 2010-08-17 23:52:29 阴阳鱼 (泽无水) 问的太好了 我想问很久了这个问题。。。
> 删除 . 2010-08-18 03:22:53 [已註銷] 因為任何矢量場都可以表達為旋度場和散度場的線性疊加。
> 删除 .2010-08-18 04:44:15 [已注销] @無慾

你把A(x, y, z)=(c1, c2, c3), c1=const, c2=const, c3=const.定义为旋度场还是散度场？
> 删除 .2010-08-18 05:49:08 [已注销] @無慾

A(x, y, z)=(x|sin(z)|, y|sin(x)|, z|sin(y)|)，A(x, y, z)=(z|1/x|, x|1/y|, y|1/z|)，怎么表示成旋度场和散度场的线性叠加？
> 删除 . 2010-08-18 09:49:28 [已注销] (so long the path) 嗯嗯 亥姆霍兹定理 对矢量场是有要求的
> 删除 .2010-08-18 10:14:53 [已注销] 从分析的角度看，3维空间中的确只存在矢量场和旋量场，一个对偶于1-form，一个对偶于2-form。
> 删除 . 2010-08-18 10:27:25 zxn0 (・´ｪ`・) 算上时间4维呢？
> 删除 . 2010-08-18 10:28:59 zxn0 (・´ｪ`・) > 嗯嗯 亥姆霍兹定理 对矢量场是有要求的

什么要求呢？
> 删除 . 2010-08-18 10:56:41 星河逍遥 (韩仲晰|满天星死了~) 因為任何矢量場都可以表達為旋度場和散度場的線性疊加。
+1
The decomposition theorem governs all the decomposition form of quantities.
> 删除 . 2010-08-18 11:35:40 Lynne (蝴蝶飞过城市高楼开出了花) 标量场、矢量场
有旋、无旋、有源、无源？
> 删除 .2010-08-18 11:38:33 [已注销] 当然还有0-form和3-form对应的标量场和赝标量场。
> 删除 . 2010-08-18 12:20:54 驿轩 (天时地利人和) 等回复
> 删除 . 2010-08-18 12:48:06 zxn0 (・´ｪ`・) > 当然还有0-form和3-form对应的标量场和赝标量场。

学习了。。。梯度场算什么呢？
> 删除 .2010-08-18 14:29:31 [已注销] @π±

嗯，而且亥姆霍兹拆分的结果是一个非散场和一个非旋场，是不是非散场就一定意味着旋呢（另一个也一样），大概不一定吧。再比如一个简单的场，A(x, y)=(y, x)，它的散度和旋度都为零，那么求它拆分的非散场和非旋场时的积分不都为零么？
> 删除 . 2010-08-18 16:29:12 Lynne (蝴蝶飞过城市高楼开出了花) 楼主的问题有点怪。
去wiki下吧，场可以有标量场、矢量场、张量场。狄拉克粒子旋量(spin)场。
求散和求旋是作用在矢量场上的算符。
求梯度是作用在标量场上的算符，梯度场是无旋的矢量场。

楼主要问的大概主要是电磁场和引力场。


> 删除 . 2010-08-18 16:38:18 从Mariana…到…珠穆朗玛 (又从Everest…到…马里亚纳) 推荐楼主读 龚升 的《话说微积分》后的附录：外微分形式，有一个数学方面的分析，PDF下载地址：http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6652042.html
> 删除 . 2010-08-18 17:00:16 赵洋 (孤独是为自由付出的代价。) 这好像是一种表述场的算符吧·····
> 删除 . 2010-08-18 17:02:13 Lynne (蝴蝶飞过城市高楼开出了花) 亥姆霍兹分解定理 要求连续可微以及在无限远处迅速衰减吧，一般实际场满足这个条件，随便写个场就未必。
> 删除 . 2010-08-18 17:28:18 zxn0 (・´ｪ`・) > 楼主的问题有点怪。 去wiki下吧，场可以有标量场、矢量场、张量场。狄拉克粒子旋量(spin)场。 求散和求旋是作用在矢量场上的算符。 求梯度是作用在标量场上的算符，梯度场是无旋的矢量场。 楼主要问的大概主要是电磁场和引力场。

或者我的问题换一种问法：如果把 散-旋 看成一种直角坐标系的话，是否存在一种“极坐标系”也能描述任意矢量场的？
> 删除 . 2010-08-18 17:51:28 Lynne (蝴蝶飞过城市高楼开出了花) 散度旋度与坐标系形式无关。这两个都是微分算符，一个是▽·，一个是▽×。这两个符号在直角坐标系下和在极坐标系下的具体表达形式不同，但意义是一样的。
从Mariana…到…珠穆朗玛 同学给的那本书挺好的，竟然可以写得这么平易近人。可以看看。
> 删除 . 2010-08-18 18:05:20 [已註銷] 現實物理問題都假定場勢除了奇點以外處處可微。工程問題中為了簡化會出現非奇點的連續不可微，甚至可能不連續，比方說信號，但這並不能構成讓物理學遷就工程師的理由。
> 删除 . 2010-08-18 18:11:36 Lynne (蝴蝶飞过城市高楼开出了花) 还有，可以说一个场的散度是多少，旋度是多少。散度为0的场为无源场，也叫横场；旋度为0的场叫无旋场，也叫纵场。“旋度场”和“散度场”听起来怪怪的。有这样说吗？

实际的电磁场你总可以分解成无旋场和无源场，所以在物理上处理这种场我们总这么分解。
> 删除 . 2010-08-18 18:26:30 Lynne (蝴蝶飞过城市高楼开出了花) 工程师自己发展了一套好用的习惯用语，他们已经独立了。
> 删除 .2010-08-18 19:19:18 [已注销] @無慾 & Lynne

1、你们是怎么拆分一个均匀无源的电场或者磁场或者电磁场的？

2、对于一个满足一定条件的矢量场F，它可以被拆分为F=▽φ+▽×A的形式，前者是无旋场（▽×▽φ=0），后者是无散场（▽·▽×A=0），但是并不能说▽φ一定是有源场，▽×A一定是有旋场。

3、我们来处理一个现实物理问题，一个有限的空间里放置有限个点电荷（任意分布）、有限个小金属球壳和有限个点状电解质（任意分布）。对于这样一个实际的物理问题，拆分也不一定能够做到。
> 删除 . 2010-08-18 21:36:31 星河逍遥 (韩仲晰|满天星死了~) 1.均匀无源的电场或者磁场或者电磁场?
we don't have to write down there decomposition into gradient or curl for such a field. BTW, do we have such a field in reality?

2.correct.

3.too many singularities here.
P.S.
2010-08-18 17:02:13 Lynne (草木有本心)
亥姆霍兹分解定理 要求连续可微以及在无限远处迅速衰减吧，一般实际场满足这个条件，随便写个场就未必。

> 删除 . 2010-08-18 21:48:23 Lynne (蝴蝶飞过城市高楼开出了花) 场可以无旋无源，但在全空间都无旋无源的场只能是0？这个我也一直没明白。
遍布整个空间的均匀电场和均匀磁场实际上不存在。

其实我们平时不是都先计算标势和矢势，然后再对其微分求场？分解一开始就在进行。
> 删除 .2010-08-18 22:40:26 [已注销] @星河逍遥 & Lynne

我们从计算标势入手，在笛卡尔坐标系下解满足Dirichlet或Neumann边界条件的拉普拉斯方程，解可能有exp的形式。那么我现在问，这个与有exp形式标势对应的电磁场E是旋场还是散场，还是它压根就不存在（即=0）？这个电磁场能分为旋场和散场的线性组合么？

> 删除 .2010-08-18 22:46:16 [已注销] @ 星河逍遥 & Lynne

如果已知一个场F的散源（▽·F=f(r)）和旋源（▽×F=g(r)），那么怎么求亥姆霍兹定理分解的两个场？

> 删除 . 2010-08-19 00:36:36 留空 (开琼筵以坐花 飞羽觞而醉月) 从严格数学的角度说，当然不一定能分解。如果假设衰减很快，就可以用Green函数法解方程了，再加上一些物理条件容易看出解是存在的
> 删除 .2010-08-19 00:58:36 [已注销] @留空

嗯，就是用Green函数法。可是如果散源（▽·F=f(r)）和旋源（▽×F=g(r)）都为零，那么积分之后的求得两个势场是什么？
> 删除 . 2010-08-19 09:15:10 已注销 (不是神仙自己编造的翅膀) A(x,y,z)=(y,x,0)? 可以拆成A1(x,y,z)=(y,0,0)和A2(x,y,z)=(0,x,0)两个旋场的和……话说这是数学问题吧……感觉怪怪的……
> 删除 . 2010-08-19 19:20:48 留空 (开琼筵以坐花 飞羽觞而醉月) 如果散度和旋度都为0，则满足在无穷远处高于-2次方收敛的场只有全0的场。否则还有很多，比如匀强场。
> 删除 . 2010-08-19 19:46:16 leeppp (罪人) Hodge Decomposition
> 删除 . 2010-08-19 22:07:30 Lynne (蝴蝶飞过城市高楼开出了花) what Liu Kong said sounds correct.
> 删除 . 2010-08-19 22:26:55 消极的布洛芬 2010-08-18 16:38:18 从Mariana…到…珠穆朗玛 (又从Everest…到…马里亚纳)

推荐楼主读 龚升 的《话说微积分》后的附录：外微分形式，有一个数学方面的分析，PDF下载地址：http://ishare.iask.sina.com.cn/f/6652042.html
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多谢分享，不错的书。
> 删除 . 2010-08-21 23:09:17 ▽·(▽×符) (双缸走肉) 路过。

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