前面，我们已说过，对空间进行分类的一个重要方法就是构造它上面的拓扑不变量，也就是，对每一个空间我们赋予它一个量（一般是复数）。等

对空间进行分类的一个重要方法就是构造它上面的拓扑不变量


来源: marketreflections 于 10-05-25 05:23:23 [档案] [博客] [旧帖] [转至博客] [给我悄悄话]





回答: '变分原理'是物理学的一条基本原理 根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。这种表示 由 marketreflections 于 2010-05-24 15:09:03

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拓扑不变量的构造(2007-04-22 16:06:00）
转载标签：空间拓扑不变量数学物理学 分类：科学
几何学研究的对象是各种各样的空间。具体来说，几何学的目的就是要搞清楚我们所关心的这个空间具有什么样的性质，包括各种拓扑性质和几何性质。这其中，最重要的一个方面就是，希望能够对空间以某种标准进行分类，这是数学家最喜欢做的事情（比如有限单群的分类）。实际上，分类就是一种等价的思想，在每一个类里面可以用一种等价元来表示（这也许是数学中最重要的思想，它可以把无限化为了有限，把一个复杂的问题化为了简单）。如果完成了这种分类，那么我们就不必再去研究所有的空间，只需要把这些等价元给搞清楚就行了。因为，当我们需要研究某个空间的时候，只需要判断它属于那一类，然后就知道它具有和我们的等价元相同的性质。因此，几何学的中心问题就是空间对象的分类问题。
从十九世纪，黎曼提出关于几何学的基本假设以来，几何学经历了从局部到整体的发展过程。这也是朝着分类努力的过程。当然在二维的情形，关于闭曲面的分类问题，已有了完全的结果，那么三维的情形呢，这里面最有趣的Poincare猜想也已经被俄罗斯的大胡子数学家给解决了，这也花了人类一百多年的时间。当然最有趣的情形，还在四维。在四维的情形空间具了有很多神秘的性质。比如，只有它上面的微分形式可以分为自对偶和反自对偶，Donaldson也运用了它上面的yang-mills理论构造了四维流形上怪异微分结构，从而也证明了四维流形上存在无穷多拓扑同胚而不是微分同胚的微分结构，这是拓扑学中最重要的结果之一。除此之外，他还构造了一系列的多项式不变量来区分四维流形。当然在这以后发展的Seiberg-Witten理论，简化了Donaldson的四维流形不变量，提出了新的Seiberg-Witten不变量，这也算是走出了重要的一步。从代数几何的发展来看，四维流形对应于代数曲面，代数曲线以及它的模空间的研究结果已有很多，我相信，代数曲面将是未来代数几何学家需要搞清楚的重要研究对象。我们也期待着四维情形的微分几何，代数几何，理论物理，代数拓扑，微分方程……能够共同发挥作用，揭开四维的神秘面纱，也许从中还能找到统一宇宙中四种基本力的统一理论（我个人认为这个终极理论将是一个简单而优美的方程）。
前面，我们已说过，对空间进行分类的一个重要方法就是构造它上面的拓扑不变量，也就是，对每一个空间我们赋予它一个量（一般是复数）。等价的空间取相同的量。所以，我们要构造这种不变量就是要找到一个赋予拓扑空间这种量的方法，这种想法应该是来自于Poincare代数拓扑的思想，也就是空间代数化（比如同伦理论，同调上同调理论，K-理论等等）。有趣的是，在另一方面，物理学家也正在通过路径积分的方法来计算他们最感兴趣的分布函数，相关函数等等。而这些物理量正是数学家要找的拓扑不变量。殊途同归，何等奇妙！反过来，虽然路径积分没有严格的定义，但是数学家通过对这些量的研究，所得到的优美结果，也极大的鼓舞了物理学家的信心，他们更大胆的向前迈进，也提出了很多伟大的猜想，留给数学家去证实和解决。数学和物理竟如此美妙的联系在了一起，他们本应该是一家。
通过对物理学的认识。在数学上，关于流形拓扑不变量的构造，目前主要有两种途径：肚子饿了，先到此！（待续）。

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