而一个线性空间的最大线性无关组并不唯一，也就是一个向量可用多种基底表示

来源: marketreflections 于 2010-06-16 16:00:07 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (1863 bytes)
回答: 谱定理 由 marketreflections 于 2010-06-15 16:36:45

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拨动那条琴弦(2010-05-09 10:51:08)
转载标签：杂谈
那条琴弦拨动了物理学的很多领域。经典力学中有机械振动和机械波、电磁学领域有电磁振荡和电磁波、作为微观理论基石的量子理论中描述系统状态的函数叫波函数，de Broglie关系把物质和波联系了起来。

线性振动的势能曲线，在极小值处是抛物状；除了任意常量项外，势能U只包含从平衡位置算起的位移S的平方项：U（S）=二分之一、势能在平衡位置处的二阶导数、位移的平方三者的乘积；恢复力与位移S方向相反呈线性关系：f=-势能在平衡位置处的二阶导数与位移S的乘积。这样的振动可用正弦函数描述，也叫简谐振动。

用三个参量就可以把一个简谐振动定下来。振幅A代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离；角频率w；相位，t=0时的相位叫初相位。相位是相对的，对于单个简谐运动，通过零点的选择总可以使初相位为0，对于多个简谐运动。用复数描述振动计算上更方便些；振幅和i初相位的e指数乘积称为复振幅。简谐振动就可以写为复振幅与iwt的e指数的乘积。在计算上振动量对时间t求导数相当于乘上一个因子iw，求n阶导数就相当于乘上iw的n次方。

振动可以合成当然也可以分解。对于同频率振动的合成问题就是计算出合振动的振幅A和初相位；可通过简单的矢量关系与三角函数的变换就可以计算出合成振幅与初相位。从结果看出合成振幅的大小与分量的相位差有密切关系。对于非简谐振动可用傅立叶分解成许多简谐振动(数学上已经证明)；傅立叶分解就是任何一个周期函数都可分解成一系列频率为基频整数倍的简谐函数。从数学上说就是非周期函数都可以用周期函数展开，而这些周期函数必须是完备的（是否必须正交）。在一个n维线性空间中的任意一个向量都可以用该空间的一组基底表示出来，一个基底就是该空间的一个最大线性无关组；而一个线性空间的最大线性无关组并不唯一，也就是一个向量可用多种基底表示。在物理上有更加清晰的意义。量子力学中所说的波函数就是希尔伯特空间中的向量，我们可以选择一组完备系（数学上的最大线性无关组）把任意一个波函数表示出来（态的叠加，薛定谔猫）；为了实际处理问题的方便，选择什么样的完备系有时候成了问题的关键。

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