基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在

来源: marketreflections 于 2010-06-15 16:39:28 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (1827 bytes)

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一維諧振子
[编辑] 哈密頓算符與能量本徵態

能量最低的六個束縛本徵態的波函數表徵 （n = 0 到 7）。橫軸表示位置 x 。此圖未經歸一化。在一維諧振子問題中，一個質量為 m 的粒子，受到一位勢 。此粒子的哈密頓算符為


其中 x 為位置算符，而 p 為動量算符 。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，我們必須解所謂的「定态薛丁格方程式」：

.
我們可以在座標基底下解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：



最先六個解（n = 0 到 5）展示在右圖。函數 Hn 為厄米多項式 (Hermite polynomials)：


注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作 H 。相應的能階為

。

束縛本徵態之機率密度 |ψn(x)|² ，從最底部的基態 （n = 0） 開始，往上能量逐漸增加。橫軸表示位置 x ，而較亮的色彩代表較高的機率密度。值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」(quantized)，而只能有離散的值——即 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，我們將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當 n = 0 ）不為零，而是 ，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」(null oscillations) 且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由式能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」(classical turning points)，其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。

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