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快速搞懂量子力学的形式体系和核心概念的建议 2005-5-30 10:33 前言 03 年前,考研结束后,哥们儿在太傻发了一篇文章: 《献给……》 ,我想对于考物理的同学来说量子是必须 的.我一直在想可能是国内流行的一些教材的失误造成了大多数人对着门学科的难以掌握,就算你能解题, 也基本上是概念茫然,当然,有时连题目都不知道什么意思,更不知如何下手,有时,算着算着突然不知 道意思了,……其实这些都不是咱们的错. 想起当年本人上课时,量子老师(老牛人)说,"现在教量子的那些人那里懂量子呀!"哥们当时只是笑. 现在才明白果然不错. 其实,目前而言,在下对量子也是刚入点门而已,不过,对于国内的考研量子力学题我现在是把握全部搞 定的,要是当初就这么猛就好了.我把一些想法写下来算是抛砖引玉了! 正文 (一) 选书的建议 对于量子力学最重要的是概念的清晰把握,只有明白了量子力学的形式体系和核心概念才会觉得的量子好 神秘啊!才会在解题时不至于找不到北.真正的掌握它的概念需要学习 Hilbert 空间的知识和 Dirac 符号体 系,又以后者最为重要.愚蒙认为 : 第一,优秀的量子力学书的最重要的标准是:深入浅出的讲解 Hilbert 空间和大量篇幅,透彻的讲授 Dirac 符号. 第二,应该明确指出量子力学的 5 到 6 条基本原理或假设. 第三,关键性的步骤或概念一定要指出. 下面就以上原则分析一下国内的流行教科书 1 曾谨言《量子力学导论》 2 周世洵《量子力学》 3 尹鸿钧《量子力学》 4 苏汝铿 《量子力学》 首先,我想说得是国内没有一本面向初等量子力学的教科书把概念说明白的,尤其,以北大的曾谨言先生 《量子力学导论》为首,此书发行量巨大,我上本科时就是用它的.坦白说.它的错误很少,但这决不是好 书的标准,对于 Dirac 符号就写了两页,而且语焉不详,关键地方几乎没有说.我想,就算 P A M.Dirac 亲 临也估计看不太明白.) :,至于曾老师的《量子力学》第一.二卷,的确详细,不过缺点仍然一样,作为研 究生教材,没有完整的理论体系,当字典用到行,可以作参考书,不适合当教材. 复旦的周世洵先生写的《量子力学》相比而言比曾谨言的强了不少,虽然年代久了点,但讲解较为透彻, 步骤也详细点, .当然对付考研也不用与时俱进,老一点没什么问题. 科大的尹鸿钧先生编的《量子力学》是面向本科和研究生的教材,对于本科来说难了点,关于 Hilbert 空间 和 Dirac 符号都写的比较多,但没形成主线,比较可惜.另外编排有点乱,印刷太差,不知第二版(?) 有无改进?我想如果修改一下使之完全面向初等量子力学倒也不错. 复旦大学,苏汝铿先生的《量子力学》在以上几本书中算是最好了,讲解很是透彻,覆盖面也很广.最近, 我在书店看到了高教版的苏先生的《量子力学》 ,这本书包括研究生课的内容,对于 Dirac 符号倒也多说了 一些,不过,仍不令人满意,想以此书弄懂量子力学基本上也是做梦. 到目前为止我所看过的最好的初等或高等量子力学入门书是法国 Cohen 等人著的《Quantum Mechanics》 英文版,第一卷第一分册有中译本,刘家莫,等译.全书厚度惊人,英文版的上下两册有半尺厚,不过看 起来很爽,全书行文流畅,且有助于英文写作的提高,呵呵.且正文与补充文章分列,初学者可以选择阅 读,整个内容以初等量子开始,在第二章就详尽地,深入浅出的讲述了量子力学的主要数学工具 Hilbert 空 间的知识和 Dirac 符号,注意:学懂量子力学原理的最重要的工具.我想是:Hilbert 空间的形象化与 Dirac 符号的熟练运用.把原理与数学统一起来就基本明白了量子力学.把这本书搞懂《高量》就几乎不用学了. 注:Cohen 是个很厉害的物理学家,NOBEL PRIZE 获得者,1997 年与朱隶文等一起获奖,而且,他几十 年前错过了一次获奖机会,不然就两次了. 最后, 我想补充的是想学明白量子力学, 看"初量"是没有前途的, 也是不可能的, 因为初量基本不涉及 Hilbert 空间的知识和 Dirac 符号体系.如果把看初量的精力花在一部优秀的高量书上会使你迅速掌握其精髓.说 实在的看书还是看经典原著最好. 我觉得 Hilbert 空间的知识和 Dirac 符号并不是很抽象也并不难懂, 鉴于它们对于量子力学的理解如此重要, 希望教育部老师们重新修改本科生量子力学的教学大纲,将其纳入初量中,详细讲述. 下面谈谈高量方面的书籍, 高量方面名著很多,大多是国外的.流传的量子四大名著是:Neumann 的,Heisenberg 的,Pauli 的,Dirac 的.又以 Dirac 的《The Principles of Quantum Mechanics》最有名,号称王者之声.也是我唯一看过的一 遍的.其中第四版有中译本,陈咸亨译,只有三百多页,建议大家找一找,复印一下.书中的精华是(注: 俺的看法,没什么权威性. )建立了量子物理的形式体系,统一了不同绘景,表象的形式表述,强调了物理 思想的形成过程.其实看过了这本书我才体会到学习物理是为了修改它,更好的表达这个宇宙的运动规律, 超越人类意识经验的束缚.哈哈,越扯越远了. 另外著名的教材有: 朗道和 Lifshitz 著的《Quantum Mechanics,Non-relativistic Theory.》 , Schiff 的《Quantum Mechanics》有中译本, 朗道的书,超级名著,复印了还没看,很难的说, 席夫的量子力学也是名著,讲的很广,中规中矩的,看之欲睡. 国内的高量教材似乎比初量的强多了.比如, 北师大 喀兴林先生,著的《高等量子力学》 , 复旦 倪光炯先生, 陈苏卿先生合著的《高等量子力学》 , 北大 张启仁先生的《量子力学》 , 北大 曾谨言先生的 《量子力学》两卷 杨泽森先生的《高等量子力学》 张永德先生的《量子力学》 , 徐在新先生的《高等量子力学》 .等 下面大概评价一下其中几本, 喀兴林先生著的 《高等量子力学》 本人推许为中国第一高量教材, , 全书数学讨论非常严谨, 逻辑清晰无比, 第一章和第二章分别讨论 Hilbert 空间与量子力学的理论结构, 更是将 Dirac 符号置于 Hilbert 空间的数学基 础之上,进行严格分析,几乎将我对量子力学概念的所有疑惑都一扫而空,那种感觉真是奇爽无比! !喀先 生是全国高校量子力学研究会理事长,可见其在国内地位,真是名副其实.如果要说缺点的话,我觉得这本 书更适合作为物理研究生学习高量的第二次教材,而第一次学习时应选一本数学讨论不那么严格的,可读 性较强的高量教材.然后,通读喀先生的《高等量子力学》以全面梳理概念和体系.喀先生对于算符代数 有很大发展,使全书看起来十分优美,为了追求形式和逻辑之间的统一,喀先生甚至没有将费曼的路径积 分写进书中,有点遗憾.不过,费曼曾经写过一本论述路径积分的专著而且通俗易懂,大家可以直接看此 书. 复旦 倪光炯先生,陈苏卿先生合著的《高等量子力学》,论述较为前沿,用墨好省啊,限制了她的可读性, 说不准也是哥们道行不够.该书的包含了大量现代量子力学前沿课题,并对很多问题有自己独特见解,是 其很大优点.总体来说,不宜作为教科书自学. 徐在新先生的《高等量子力学》讲解深入浅出,通俗易懂,行文流畅,只是散射和相对论量子力学方面有 些不够,总体而言,很好的入门书籍,尤其是第一章(量子力学的一般描述)讲的极好,可迅速掌握 Dirac 符号精髓. 杨泽森先生的《高等量子力学》 ,早就听说写的无比复杂,尤其是散射一章,没人看的懂.哥们本来不信, 找来一看,果然名不虚传. 曾谨言先生的《量子力学》一二卷 哥们前文说过了,不错的工具书. 其他的书,我只是见过,没看过,大家可以参考其他文章.比如,Fang 的 http://fangwu.org/index.shtml (二) 量子力学的形式体系与基本概念浅议 (个人意见,如有错误,……) 重要概念: 一.Hilbert 空间 1.量子力学中强调的态矢量是所谓的 Hilbert 空间中的矢量,什么是 Hilbert 空间哪?相信线形空间大家都 明白,Hilbert 空间就是在线形空间上加上内积运算,并且满足完全性条件的内积空间.量子力学所用的 Hilbert 空间是复数域上的 Hilbert 空间. 2.Hilbert 空间可以是有限维,无限维,连续或分立维,甚至是无理数维. 3.简单说描述态矢的坐标系就是所谓的表象,而描述态矢随时间的演化就是绘景,比如说:薛定谔绘景, 海森堡绘景,狄拉克绘景(相互作用) .不同的绘景在不同的表象中来表达就形成了不同的方程,比如说, 薛定谔绘景在坐标表象中的表述就是著名的 Schrodinger 方程. 同一态矢在不同表象中有不同的表达,但是他们都是 Hilbert 空间中的同一矢量,就像是欧几里得空间中同 一矢量在不同坐标系中有不同的表示,不同的表象(坐标系)之间存在表象(坐标)变换.即所谓的么正 变换.而力学量在不同表象中是相似变换的关系. 4. 所谓波函数, 我发现初量书都不区分波函数和态矢的概念. 而是混用之. 以曾谨言的书为例, 波函数 Ψ(x) 首先用来表示几率幅,它的模方正比于出现的几率.所谓,几率幅是个重要概念,表示态矢在一个表象的 一个基矢上的投影的值. (写到这里,我才发现还没解释基矢,555555～,无奈啊!)几率幅的模方正比 ! 于力学量取该态矢本征值的几率.而另一方面 Ψ(x,t)又用来表示态矢量,即等价与一个右矢,所以, 坐标表象中的一个本征矢用 Ψ(x,t) |x>来表示才更确切.以前学初量时我对此是有点迷糊的. 基矢就是一个或一组力学量的共同本征矢,并使之正交归一化.一个或一组力学量所有的基矢即在希尔伯 特空间中张成一个表象,通俗点说就是一个坐标系.力学量是希尔伯特空间中的张量,一般是二阶的,即 为矩阵. 二.狄拉克符号 把希尔伯特空间一分为二,互为对偶的空间,就是狄拉克符号的优点. 用右矢|α>表示态矢,左矢+. 是内积,值是一个复数.大于等于 0,称为模方.所谓的归一化就是用 |α>除以的平方根. |β>)+=)+==,就是所谓的厄米算符的期望值(平均值)是实数. 注意的是:几种表示的意义:|α> 是右矢,表示一个右矢,是一个复数,可以看成(即一个左矢与一个右矢的内积;或者 ) ,即一个右矢与一个左矢的内积.这是一个定义了. 三.量子力学的基本原理: 原理一. 描写微观状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量,相差一个复数因子德厄两个矢量,描写同一状 态. 原理二. 描写微观状态物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符;物理量所取的值是,是相应算符的本征值; 物理量 A 在状态|Ψ>中取各值 ai 概率,与态矢量|Ψ>按 A 的归一化本征矢量{|ai>}的展开式中|ai>的系数 的复平方成正比,即与下式中 ci 的复平方成正比: |Ψ>=∑|ai>ci ci= 波包的坍缩:处于|Ψ>态的系统,如果测量物理量 A 得值 ai 则该系统测量后进入 A 的本征态|ai>. 原理三. 微观系统的粒子在直角坐标下位置算符 X,正则动量 P 满足对易关系: [Xi Pj]=ih /2πδij 原理四. 微观状态随时间的变化规律是薛定谔方程. 原理五. 描写全同粒子系统的态矢量,对于任意一对粒子的变换是对称和反对称的,即为:波色子和费米 子.反映了全同粒子的不可分辨性. 所谓态叠加原理喀先生说得很好, 既要强调叠加态与与每个分立态的联系, 更要强调他们的区别. Dirac 说: 处于叠加态|Ψ>的系统,部分得处于|Ψ1>,部分的处于|Ψ2> ……, 也可以说,处于叠加态|Ψ>的系统,既不是|Ψ1>态,也不是|Ψ2>态,……,是一个新态. 就是这么多内容了,以上都是理解量子力学概念的数学工具和基本原理. 总结 明白了量子力学的形式体系后,还要学习很多具体的应用,技巧,思想方法,总是觉得数学不够用,老是 翻附录,找课本,哥们也是如此,无奈啊.
