在樣本空間Ω上存在有限期望和變異數的隨機變量構成一個希爾伯特空間

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在樣本空間Ω上存在有限期望和變異數的隨機變量構成一個希爾伯特空間： L^2(Ω, dP)，不過這裡的內積和長度跟變異數，標準差還是不大一樣。 所以，我們得把這個空間「除」常變量構成的子空間，也就是說把相差一個常數的 所有原來那個空間的隨機變量做成一個等價類。這還是一個新的無窮維線性空間， 並且有一個從老空間內積誘導出來的新內積，而這個內積就是變異數

變異數
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在機率論和統計學中，一個隨機變量的變異數（Variance）描述的是它的離散程度，也就是該變量離其期望值的距離。一個實隨機變量的變異數也稱為它的二階矩，恰巧也是它的二階累積量。變異數的算術平方根稱為該隨機變量的標準差。

目錄 [隱藏]
1 定義
2 特性
3 一般化
4 歷史
5 參考出處
6 外部連接

[編輯] 定義
設X為服從分佈F的隨機變量，則稱Var(X) = E(X − E(X))2為隨機變量X或者分佈F的變異數。

如果是隨機變數 X 的期望值（平均數），則其變異數為:

[編輯] 特性
在樣本空間Ω上存在有限期望和變異數的隨機變量構成一個希爾伯特空間： L^2(Ω, dP)，不過這裡的內積和長度跟變異數，標準差還是不大一樣。 所以，我們得把這個空間「除」常變量構成的子空間，也就是說把相差一個常數的 所有原來那個空間的隨機變量做成一個等價類。這還是一個新的無窮維線性空間， 並且有一個從老空間內積誘導出來的新內積，而這個內積就是變異數

[編輯] 一般化
如果X是一個向量其取值範圍在實數空間Rn，並且其每個元素都是一個一維隨機變量，我們就把X稱為隨機向量。隨機向量的變異數是一維隨機變量變異數的自然推廣，其定義為E[(X − μ)(X − μ)T]，其中μ = E(X)，XT是X的轉秩.這個變異數是一個非負定的方陣，通常稱為共變異數矩陣。

如果X是一個複數隨機變量的向量（向量中每個元素均為複數的隨機變數），那麼其變異數定義則為E[(X − μ)(X − μ)*]，其中X*是X的共軛轉置向量或稱為埃爾米特向量。根據這個定義，變異數為實數。