單一變數的函數,常微分方程; 薛定谔方程与海森堡方程和相互作用绘景中的方程一样均是偏微分方程

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薛定谔方程与海森堡方程和相互作用绘景中的方程一样均是偏微分方程，只有在少数情况下，这些方程才能被精确地解。氦原子的电子结构就已经无法被精确地解了 [编辑] 数学理论
2009年05月12日


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微分方程

Differential Equation



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十七世紀後，自然科學與技術蓬勃的發展，一個核心的因素是微積分的發明，而微積分之所以能廣泛地應用在各科學課題，則是因為這些問題經常被化歸為解某微分方程的問題。因此，微分方程成為整個十八與十九世紀數學發展的主調，其中包括各種重要微分方程解的研究，求解方法的發展，一般理論的萌芽，在經由反饋而催生新的數學領域。


例子


底下是一些微分方程的例子

(1)
(2) Malthus人口方程：








(3) 虎克定律：






(4) 牛頓萬有引力方程






其中 , , 代表相對的位置向量，例如行星之於太陽。
(5) d'Alembert 波動方程：






(6) 勢方程或 Laplace 方程：






其中 V(x,y,z) 為空間位置函數。
(7) Fourier 熱傳導方程：






,T(x,y,t) 溫度函數。
(8) Largrange 最小曲面方程：


(1+q2)r-2pqs+(1+p2)t=0



其中 z=z(x,y) 為曲面之函數式， , , , , 。
(9)Maxwell 方程式：






由這些例子，我們知道微分方程就是指一些函數的方程式或方程組，而且式中還包括了這些函數的導函數或偏導函數。


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微分方程的一些基本分類

如果在方程式中，我們關心的函數都是某單一變數的函數（例如(1)、(2)、(3)、(4)），則稱為常微分方程（ODE, ordinary differential equation，在物理系統中最常見的變數是時間 t）；不然稱為偏微分方程（PDE, partial differential equation）；如果方程式不只一個，則通稱為微分方程組（例如(4)、(9)）；一個滿足微分方程的函數稱為一個解，通常微分方程的解並不唯一，經常要給定恰當的起始條件才能確定：如果微分方程的解，滿足疊加原理（或稱線性條件）


若 F(x),G(x) 為解，則 也是解，
則稱為線性方程，（如(1)、(2)、(3)、(5)、(6)、(7)），不然則稱為非線性方程（(4)、(8)），線性常微分方程組，數學家已經非常了解它們的性質，線性偏微分方程也有許多研究，但是非線性則相對地要困難許多。



歷史

最早談及微分方程的數學家是 Huygens 與 Leibniz，最先以微積分技巧處理微分方程可能是 James Bernoulli 的等時曲線問題（牛頓的方法是幾何的），但是在早期分析史上最重要的兩個問題來源是


(1) 弦震動問題：
它在與 ODE 的簡諧邉臃匠袒虿ㄐ头匠蹋ㄐ稳